大学物理电子教案(西南交大)4_6

M z Jβ
M外 0 Mz 0
t2
M
t1
z
dt Lz
五、角动量守恒
L 恒矢量 Lz 恒 量
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例1. 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于 盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为 l 的匀质柔软绳索(如图)。设绳与圆盘无相对滑动，试求 当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大小。 解：在地面参考系中，建立如图 x 坐标，设滑轮半径为 r , 有：
O
m (2)
v0
l
质点 质点 柔绳无切向力 水平方向： Fx = 0 ， px 守恒
对 O点： M 0 ， L 守恒
mv0 = (m+M)v
M
Fy
mv0 l = (m+M)vl
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
O
v0
m
l
轴作用力不能忽略，动量不守恒， 但对 O 轴合力矩为零，角动量守恒
同学们好！
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五、角动量守恒定律 1. 角动量守恒定律 研究对象：质点系 由角动量定理： 当
M外 0
M 外 dt L
时，
L 0
Mx 0 时 My 0 时 Mz 0 时
L 恒矢量
Lx 恒 量 Ly 恒 量 Lz 恒 量
分量式：
2R
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例3. 如图所示，质量分别为m1和m2、半径为R1和R2 的两个均匀圆柱的转轴相互平行。最初它们在水平面 内分别以10 和 20 沿同一方向转动。平移二轴，使两 圆柱体的边缘接触，求接触处无相对滑动时，两个圆 柱体的角速度 1和 2。 20 10 解: 因摩擦力为内力, 外力 m1 m2 .O1 .O2 过轴, 外力矩为零, 则：J1 + J2 R1 R2 系统角动量守恒，以顺时针 方向为正：


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均可以变化，但 不变 (3) 对于变形体：J , J
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为什么猫从高处落下时总能四脚着地？
请看: 猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝 天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你注意，猫 狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当它着 地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。那么，甩 尾巴而获得四脚转向的过程，就是角动量守恒过程。
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即孤立系统角动量守恒。
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当有力矩作用于质点系时，力矩的方向为一可测量 方向，空间旋转对称性发生破缺。因此，角动量将不 再守恒，其规律为角动量定理：
M外
dL dt

t2
t1
M 外dt L
dLz d J J dt dt
M轴
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严格同步条件 轨道严格为圆形
运行周期与地球自转周期完全相同
（23小时56分4秒）
地球扁平，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂移
用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术
研究微观粒子相互作用规律
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4. 角动量守恒与空间旋转对称性 空间绝对位置是不可测量的 空间具有平移对称性 动量守恒 空间绝对方向是不可测量的 空间具有旋转对称性 角动量守恒 空间各向同性：各方向对物理定律等价。 孤立系统在某个角位置具有角动量 L ， 则在其它角位置也应具有相同的角动量 L ，
增加通讯卫星的可利用率 探险者号卫星偏心率高
h1 160 .9km
h2 2.03 10 5 km
4 1
近地
v1 3.38 10 km s
远地
v2 1225 km s 1
t小很快掠过
t大充分利用
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地球同步卫星的定点保持技术
卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
a
mgs 1 ( m M ) l 2
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例2. 乒乓球的自动回滚 现象：使乒乓球向前运动的同时，以较高的转速
“反转”，则乒乓球过一段时间自动回滚
。 原因：
质心平动
绕质心转动
当平动速度减为零时，
转动角速度尚未减为零。
N
N
v0
0
f
C.
R
mg

f
C.
R
mg
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条件：
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(4) 角动量定理适用于一切转动问题，大至天体，小 至粒子、电子 ……
为什么银河系呈旋臂盘形结构？ 为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？ 体操运动员的“晚旋” 芭蕾、花样滑冰、跳水…...
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3. 有心力场中的运动 物体在有心力作用下的运动 力的作用线始终通过某定点的力
联立(1)、(2)、(3)、(4)式求解，对不对？
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问题: (1) 式中各角量是否对同轴而言？ (2) J1 +J2 系统角动量是否守恒？ 分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：
f1
F2
N
(1) O1为轴 (2) O2为轴
O1.N F1
N f2
M F2 0 M F1 0
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h2
h1 m
对地心力矩为零
卫星 m 对地心 o 角动量守恒
dm O.dF dm
dF1
m
dF2
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卫星 m 对地心 O角动量守恒
mv1 R h1 mv2 R h2
h2
h1 m
R h1 6378 439 v2 v1 8.1 6.3km s1 R h2 6378 2384
O
v
mv0 sin 30 m M v

mv0 l sin 30 v m M l sin 90 或：
得： v = 4 ms-1
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例4. 已知：匀质细棒 m , 长 2l ；在光滑水平面内以 v0 平动，与支点 O 完全非弹性碰撞。 求：碰后瞬间棒绕 O 的 m B 解：碰撞前后AB棒对O的角动量守恒 l /2 O 思考：碰撞前棒对O角动量 L=? 碰撞后棒对O角动量 L=？ 撞前： (1)
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角动量守恒定律习题课
复习提要
一、转动惯量
二、角动量 质点 质点系 定轴刚体 三、力矩
J mi ri
i
2
J r dm
2 m
L r mv
L L轨 道 L自 旋 rc mvc ri mi vi
i
Lz Jω
A
CA
M r
o
x2 x1
B
T1
T2
N Jr

T2
B
s x
CB
a
. CA
m Ag
CB . a
T1 m Bg
A
(mAB+M)g
mA g T1 mAa
T2 mB g mB a
解得：
又： a r s x1 x2
T1r T2 r Jβ 1 2 J J M J AB Mr mAB r 2 2
对定轴转动刚体，当 M 轴 0 时， L轴 恒量
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角动量守恒定律： 当质点系所受外力对某参考点(或轴)的力矩的矢量 和为零时，质点系对该参考点(或轴)的角动量守恒。 注意
1)守恒条件： M 外 0
或
?
能否为
M 外 dt 0
M轴 0
2)与动量守恒定律对比：
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由：
dvc mg ma c m dt d 2 2 d mgR J c mR dt 3 dt
得：
vc v0 gt 2 g 0 t 3R
时 v0 t g
得： 3v0 0
当：
vc 0
3g v0 代入 0 0 2 R g
人相对地面转过的角度：
2π M dt 2m M
台相对地面转过的角度：
2 π ( 2m ) dt 2m M
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2. 角动量守恒定律应用举例 角动量守恒定律适用于以下情况：
均不变， (1)对于单一刚体：J、
则匀速转动
(2) 对于系统: Ji、 i 均可以变化，但 J ii 不变
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A M r o
x2
m
B
B
s
A
x1
x
l AA AB BB x1 x2 r m mAB r s x1 x2 l m m mAA x1 , mBB x2 , l l
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用隔离法列方程：(以逆时针方向为正)
l /2
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c v0
L L轨道 L自旋
l L mv0 2 0
l
A
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(2) 各微元运动速度相同，但到O距离不等，棒 上段、下段对轴O角动量方向相反 m -l/2 线密度：
O
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质元角动量：
dm
2l md x 取质元： dm dx 2l
M r F ; M z r F ;
M i内 0
i
第16页 共37页
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四、角动量定理 质点 质点系
dL M dt dL M外 dt
t2
Mdt L
t2
t1
M 外 dt L
t1
定轴刚体
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解:选地面为参考系,设对转轴
人：J , ; 台：J , R 系统对转轴角动量守恒
J J 0
J mR
2
1 MR 2 J 2
2m M
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人沿转台边缘跑一周：
dt dt 2π
2m dt M dt 2π
O2
系统角动量不守恒！
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对m1 , m2 ，受力如图： 选顺时针转动为正向， 分别对m1 , m2 应用角动量定理： 对O1: t fR1 d t J11 J110
1
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f1
F2
N
t2
O1.N F1
N
O2
对O2:

t2
t1
fR2 d t J 22 J 220
1 2 J 2 m2 R2 2
f2
1 J1 m1R12 2
无滑动
1R1 2 R2
m1R110 m2 R2 20 1 (m1 m2 ) R1
m1R110 m2 R2 20 2 (m1 m2 ) R2
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大学物理
注意：区分两类冲击摆
(1)
大学物理
力心 有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体对 力心的角动量守恒。
应用广泛，例如：
天体运动（行星绕恒星、卫星绕行星……）
微观粒子运动（电子绕核运动；加速器中粒子与靶 核散射……）
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例. P.109 4-17 已知: 地球 R = 6378 km 卫星 近地: h1= 439 km v1 = 8.1 kms-1 远地: h2= 238 km 求 : v2 解：卫星 ~ 质点 m 地球 ~ 均匀球体 对称性：引力矢量和过地心
v0
x
3l 2
mv0 dL dm v0 x xdx 2l
设垂直向外为正方向，总角动量：
3l/2
L

0
mv0 mv0 1 x dx xdx mv0l 2l 2l 2 l 2
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0
撞后：
L J ( J 下 J 上 )
M
1 2 mv0l ml Ml 3
2
v l
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练习：已知 m = 20 g，M = 980 g ,v 0 =400ms ，绳
-1
大学物理
不可伸长。求 m 射入M 后共同的 v = ? 提示：哪些量守恒？请列方程。 解： m、M系统水平方向动量守恒(F x = 0) 竖直方向动量不守恒(绳冲力不能忽略) 对O点轴角动量守恒(外力矩和为零) m 30 v0 M
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1
2
m1
R1
.O1
R2
m2 .O2
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大学物理
J110 J 220 J11 J 22
1
m1
R1
1来自百度文库
.O1
R2
2
m2 .O2
接触点无相对滑 动:
1R1 2 R2
1 2 J1 m1R1 2
2
3
1 2 J 2 m2 R2 2
4
当 F外 0 时，
当 M 外 0 时，
p 恒矢量 L 恒矢量
彼此独立
第3页 共37页
例. 一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其中心 的竖直轴转动, 质量为m 的人站在转台边缘，最初人和 台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力)，相对 于地面，人和台各转了多少角度？