正余弦定理公式总结
正余弦定理公式总结
1、正弦定理:在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ?AB 的外接圆的半径,则有
2sin sin sin a b c R C
===A B . 2、正弦定理的变形公式:①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R
=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C
++===A +B +A B . 3、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ?AB =A ==B . 4、余弦定理:在C ?AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ,2222cos b a c ac =+-B , 2222cos c a b ab C =+-.
5、余弦定理的推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222
cos 2a b c C ab
+-=. 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边,则:①若222a b c +=,则90C =o ; ②若222a b c +>,则90C
典型综合练习:
1.在△ABC 中,A =60°,B =75°,a =10,求c
2.已知a ,b ,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a +b -c )(a +b +c )=ab ,求角C 的大小为
3.在△ABC 中,已知sin A cos B =sin C ,判断△ABC 为什么三角形
4.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C =5∶11∶13,则△ABC 为什么三角形
5.△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积为多少
6.在△ABC 中,2b =a +c ,∠B =30°,△ABC 的面积为32
,那么b 值为 7.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,b =3, A +C =2B ,求sin A
8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2,b =2,sin B +cos B =2,求角A 的大小
9.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且3b 2+3c 2-3a 2=42bc .
(1)求sin A 的值;
(2)求2sin ????A +π4sin ?
???B +C +π41-cos 2A 的值.
10.已知平面四边形ABCD 中,△BCD 为正三角形,AB =AD =1,∠BAD =
θ,记四边形的面积为S .
(1)将S 表示为θ的函数, (2)求S 的最大值及此时θ的大小.
11.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=
,4cos ,35
A b ==.(Ⅰ)求sin C 的值;
(Ⅱ)求ABC ?的面积. 12.在ABC ?中,内角A ,B,C 对边的边长分别是a,b,c ,已知c =2,C =3π. (Ⅰ)若ABC ?的面积等于3,求a,b ;
(Ⅱ)若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC ?的面积.
13.在⊿ABC 中,BC=5,AC=3,sinC=2sinA
(I) 求AB 的值:
(II) 求sin 24A π?
?- ???的值
正弦定理和余弦定理的所有公式
正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中,正弦定理和余弦 定理的应用是很频繁的,正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角 形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有 公式,供参考。 数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分 的技巧如何判断函数的对称性与周期性 1正弦定理、三角形面积公式正弦定理:在一个三角形中,各边和它 所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式:S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2) sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦 定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:a.已知两角 和任一边,求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解.(2)正弦定 理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如:在判断三角形形状时,经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.2.余弦定理在△ABC中,有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2- 2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式:cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2- b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中,我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素,只要已知其中的三个元素(至少一个是边),便
初中几何定理、公式
初中几何公式、定理 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a2+b2=c2
两角和与差的余弦公式证明
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础,其他三角函数公式都是在此公式 基础上变形得到的,因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式,往 往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同,认真体会各种不同 的两角和与差的余弦公式的推导方法,对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、 解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下:方法一:应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β. 过点P作PM⊥x轴,垂足为M,那么OM即为α-β角的余弦线,这里要用表示α,β 的正弦、余弦的线段来表示OM. 过点P作PA⊥OP1,垂足为A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,再过点P作PC⊥AB,垂 足为C,那么cosβ=OA,sinβ=AP,并且∠PAC=∠P1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB +CP=OA cosα+AP sinα=cosβcosα+sinβsinα. 综上所述,. 说明:应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了,构思巧妙,容易理解. 但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路,存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明,因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推 广问题. 方法二:应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆,并做出任意角α,α+β和,它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点,单位圆与x轴交于P1,则P1(1,0)、P2(cosα,sinα)、P3(cos(α+β),sin(α+β))、. ∵,且, ∴,∴, ∴ , ∴, ∴,. 说明:该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起,利用单位圆上与角有关的四个点, 建立起等式关系,通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中,推导思路的产生是一个难点,另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况,还需要加以解释、说明.
高中数学必备知识点 正弦与余弦定理和公式
三角函数正弦与余弦的学习,在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难,是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分,那是为什么呢? 首先,我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中,有以下的应用领域: (1)已知三角形的两角与一边,解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形 (3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次,余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论: a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径) (4)设R为三角外接圆半径,公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时,所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1.在△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,则sinA 的值为 2.已知α为锐角,且,则α的度数是() A.30° B.45° C.60° D.90° 3.在△ABC中,若,∠A,∠B为锐角,则∠C的度数是() A.75° B.90° C.105° D.120° 4.若∠A为锐角,且,则A=() A.15° B.30° C.45° D.60° 5.在△ABC中,AB=AC=2,AD⊥BC,垂足为D,且AD=,E是AC中点, EF⊥BC,垂足为F,求sin∠EBF的值。
初中几何定理大全:初中数学几何121个定理总结
初中几何定理大全:初中数学几何121个定理总结1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9同位角相等,两直线平行 10内错角相等,两直线平行 11同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13两直线平行,内错角相等 14两直线平行,同旁内角互补 15定理三角形两边的和大于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边
17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18推论1直角三角形的两个锐角互余 19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等 26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28定理2到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33推论3等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
初中数学几何定理汇总
几何是初中数学中重要的一部分内容,考试时一般会出现在大题里。学习几何,需要证明,这时定理就很重要! 点的定理: 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 角的定理: 1、同角或等角的补角相等 2、同角或等角的余角相等 直线定理: 1、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 平行定理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 推论:如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 证明两直线平行定理:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行 两直线平行推论:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补 定理:三角形两边的和大于第三边
推论:三角形两边的差小于第三边 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 定理:全等三角形的对应边、对应角相等 边角边定理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角定理(ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边定理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边定理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 推论1: 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)