利用指幂对函数单调性比较大小解答题(1)
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又 ，∴ .
综上可知， .
16．已知 ，试比较 的大小.
答案：
解答：
因为 ,所以 , , ;
又因为 ， ，所以 ;
所以 ；
所以 .
17．比较下列各题中两个幂的值的大小:
(1) , ;
(2) , ;
(3) , .
答案：
(1) ；
(2) ；
(3) .
解答：
(1)∵ 为R上的增函数,又 .
(2)∵ 在 上为减函数,且 ,
当 或 时， ;
当 时， ;
当 时， .
解答：
，所以 ；
当 时， ，所以 ;
当 时， ，所以 ;
当 时， ，所以 ;
当 时， ，所以 ;
综上所述：当 或 时， ;
当 时， ;
当 时， .
21．已知 ,且 当 时,比较( 与 的大小.
答案：
解答：
,
.
∵ ,且 ,
∴ , ,且 ,
∴ ,
即 .
22.已知 试比较 的大小.
答案：
解答：
(1) 的定义域为 ，
为奇函数；
(2)函数 在 上是增函数，证明如下，
任取 ，且 ，
则 ，
，
故 在 上是增函数；
(3) .
6.设 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)比较 的大小．
答案：
(1)见证明；
(2)
解答：
(1)证明：∵ ，且 ，
；
(2) ，
.
7.设 ，其中 且 ．
(1)若 ，求x的值；
3.若 ，求实数a的取值范围．
答案：
解答：
，
当 时，函数是一个增函数，不等式成立，
当 时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有 ，
综上可知a的取值是 .
4.若 ，试比较 的大小．
答案：
解答：
.
5.设 .
(1)指出函数的定义域，证明 为奇函数；
(2)判断函数 在 上的单调性并用定义证明；
(3)试比较 与 的大小关系．
(2)若 ，求x的取值范围．
答案：
(1) ；
(2)当 时， ；
当a>1时， .
解答：
(1) ，
经检验 ，所以， 是所求的值；
(2)当 时，∵ ，即 ，
；
当 时，∵ ，
，
综上，当 时， ；当a>1时， .
8.已知 ，试比较 的大小关系.
答案：
解答:
,
9.已知 ，试比较 与 的大小．
答案：
即 时， ；
时， ；
(3)因为 ， ，所以 .
(4)当 时，因为 为增函数，且 ，所以 ；
当 时，同理可得，
19．比较 与 且 )的大小，
答案：
当 时， ；
当 时， .
解答：
(1)当 ，即 时， 递增.
所以 .
(2)当 ，即 时， 递减，
所以 .
综上所述，当 时， ；当 时， .
20．已知 ，试比较 与 的大小.
答案：
答案：
(1) ；
(2) .
解答：
(1)函数 图象过点 ， ；
(2)由(1)知 在R上是减函数． .
13.指数函数 与 具有不同的单调性，比较 与 的大小.
答案：
解答：
因为指数函数 与 具有不同的单调性，
所以 或 ，
，
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14．已知函数 ( 且 ).
(1)若函数 的图象经过点 ,求a的值;
(2)判断并证明函数 的奇偶性;
(3)比较 与 的大小,并说明理由.
答案：
(1)2；
(2)偶函数；
(3)当 时, ;
当 时,
解答：(1)∵函数 的图象经过点 ,
(2)函数 为偶函数.
∵函数 的定义域为R,且 ,
∴函数 为偶函数.
(3)∵ 在 上单调递减,
∴当 时, 在 上单调递减,
;
当 时,f(x)在 上单调递增,
∴
15．比较下列各组数的大小：
∴ .
(3)∵ 为R上的偶函数,∴ ,
又函数 在 上为增函数,且 ,∴ ,
即 .
18．比较下列各组数的大小：
(1) 与 . (2) 与 .
(3) 与 . (4) 与 .
答案：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)当 时， ；
当 时，
解答：
(1)因为 为增函数，且 ，所以 .
(2)因为 为减函数，且 ，所以
答案：
解答：
，
∴当 时， ，∴ 在 上递增，∴
当 时， ，∴ 上递减，∴
综上知：
23.已知 ，且 ，试比较 与 的大小．
答案：
解答：
∵ ，又∵ 为单调递增的函数，
，
，
∵ 在R上单调递增， 在R上单调递减，
.
时， ．
解答：
，
当 ，即 时， ，
∴ ．
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
10.已知函数 .若 ，试比较 与 的大小.
答案：
解答：
函数 的定义域为 ，
再判断函数的单调性，
因为函数 在区间 都是减函数，
所以 在区间 和 都是增函数，
∵ ，根据 在 上是增函数得，
∴ .
11.已知函数 .
(1)若函数 的图象经过 点，求a的值；
(1) 与 ；
(2) 与1；
(3)(0.8)-2与 .
答案：
(1) ;
(2)
(3) .
解答：
(1)考察函数 .
∵ ，∴函数 在 上是减函数.
又 ，∴ .
(2)考察函数 ，∵ ，
∴函数 在 上是减函数.
又－π<0，∴ .
(3)先考察函数 . ，
∴函数 在 上是减函数.
又 ，∴ .
再考察函数 .
∵ ，∴函数 在 上是增函数.
(2)比较 与 大小，并写出比较过程．
答案：
(1)2；
(2)当 时，
当 时， .
解答：
(1)∵函数 的图象经过 ．又 ，所以 ．
(2)当 时， ；当 时， ；
证明：由于 ，
当 时， 在R上为增函数，
∵ ，即
当 时， 在R上为减函数，
∵ ，故有 .
12.已知指数函数 图象过点 .
(1)求 的解析式；
(2)利用第(1)的结论，比较 与 的大小．
1.函数 定义在R上，对于任意实数 ，恒有 ，
且当 时， ．
(1)求证： ；
(2)当 时，比较 与1的大小.
答案：
解答：
(1)∵任意实数 ，恒有 ,
令 ,
∵x>0时， ;
(2)当 时， ，
则 ；
2.求不等式 中x的取值范围．
答案：
当 时， ；
当 时，
解答：
当 时， ；
当 时， ，
故不等式 的解集：
当 时， ，当 时， .
综上可知， .
16．已知 ，试比较 的大小.
答案：
解答：
因为 ,所以 , , ;
又因为 ， ，所以 ;
所以 ；
所以 .
17．比较下列各题中两个幂的值的大小:
(1) , ;
(2) , ;
(3) , .
答案：
(1) ；
(2) ；
(3) .
解答：
(1)∵ 为R上的增函数,又 .
(2)∵ 在 上为减函数,且 ,
当 或 时， ;
当 时， ;
当 时， .
解答：
，所以 ；
当 时， ，所以 ;
当 时， ，所以 ;
当 时， ，所以 ;
当 时， ，所以 ;
综上所述：当 或 时， ;
当 时， ;
当 时， .
21．已知 ,且 当 时,比较( 与 的大小.
答案：
解答：
,
.
∵ ,且 ,
∴ , ,且 ,
∴ ,
即 .
22.已知 试比较 的大小.
答案：
解答：
(1) 的定义域为 ，
为奇函数；
(2)函数 在 上是增函数，证明如下，
任取 ，且 ，
则 ，
，
故 在 上是增函数；
(3) .
6.设 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)比较 的大小．
答案：
(1)见证明；
(2)
解答：
(1)证明：∵ ，且 ，
；
(2) ，
.
7.设 ，其中 且 ．
(1)若 ，求x的值；
3.若 ，求实数a的取值范围．
答案：
解答：
，
当 时，函数是一个增函数，不等式成立，
当 时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有 ，
综上可知a的取值是 .
4.若 ，试比较 的大小．
答案：
解答：
.
5.设 .
(1)指出函数的定义域，证明 为奇函数；
(2)判断函数 在 上的单调性并用定义证明；
(3)试比较 与 的大小关系．
(2)若 ，求x的取值范围．
答案：
(1) ；
(2)当 时， ；
当a>1时， .
解答：
(1) ，
经检验 ，所以， 是所求的值；
(2)当 时，∵ ，即 ，
；
当 时，∵ ，
，
综上，当 时， ；当a>1时， .
8.已知 ，试比较 的大小关系.
答案：
解答:
,
9.已知 ，试比较 与 的大小．
答案：
即 时， ；
时， ；
(3)因为 ， ，所以 .
(4)当 时，因为 为增函数，且 ，所以 ；
当 时，同理可得，
19．比较 与 且 )的大小，
答案：
当 时， ；
当 时， .
解答：
(1)当 ，即 时， 递增.
所以 .
(2)当 ，即 时， 递减，
所以 .
综上所述，当 时， ；当 时， .
20．已知 ，试比较 与 的大小.
答案：
答案：
(1) ；
(2) .
解答：
(1)函数 图象过点 ， ；
(2)由(1)知 在R上是减函数． .
13.指数函数 与 具有不同的单调性，比较 与 的大小.
答案：
解答：
因为指数函数 与 具有不同的单调性，
所以 或 ，
，
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14．已知函数 ( 且 ).
(1)若函数 的图象经过点 ,求a的值;
(2)判断并证明函数 的奇偶性;
(3)比较 与 的大小,并说明理由.
答案：
(1)2；
(2)偶函数；
(3)当 时, ;
当 时,
解答：(1)∵函数 的图象经过点 ,
(2)函数 为偶函数.
∵函数 的定义域为R,且 ,
∴函数 为偶函数.
(3)∵ 在 上单调递减,
∴当 时, 在 上单调递减,
;
当 时,f(x)在 上单调递增,
∴
15．比较下列各组数的大小：
∴ .
(3)∵ 为R上的偶函数,∴ ,
又函数 在 上为增函数,且 ,∴ ,
即 .
18．比较下列各组数的大小：
(1) 与 . (2) 与 .
(3) 与 . (4) 与 .
答案：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)当 时， ；
当 时，
解答：
(1)因为 为增函数，且 ，所以 .
(2)因为 为减函数，且 ，所以
答案：
解答：
，
∴当 时， ，∴ 在 上递增，∴
当 时， ，∴ 上递减，∴
综上知：
23.已知 ，且 ，试比较 与 的大小．
答案：
解答：
∵ ，又∵ 为单调递增的函数，
，
，
∵ 在R上单调递增， 在R上单调递减，
.
时， ．
解答：
，
当 ，即 时， ，
∴ ．
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
10.已知函数 .若 ，试比较 与 的大小.
答案：
解答：
函数 的定义域为 ，
再判断函数的单调性，
因为函数 在区间 都是减函数，
所以 在区间 和 都是增函数，
∵ ，根据 在 上是增函数得，
∴ .
11.已知函数 .
(1)若函数 的图象经过 点，求a的值；
(1) 与 ；
(2) 与1；
(3)(0.8)-2与 .
答案：
(1) ;
(2)
(3) .
解答：
(1)考察函数 .
∵ ，∴函数 在 上是减函数.
又 ，∴ .
(2)考察函数 ，∵ ，
∴函数 在 上是减函数.
又－π<0，∴ .
(3)先考察函数 . ，
∴函数 在 上是减函数.
又 ，∴ .
再考察函数 .
∵ ，∴函数 在 上是增函数.
(2)比较 与 大小，并写出比较过程．
答案：
(1)2；
(2)当 时，
当 时， .
解答：
(1)∵函数 的图象经过 ．又 ，所以 ．
(2)当 时， ；当 时， ；
证明：由于 ，
当 时， 在R上为增函数，
∵ ，即
当 时， 在R上为减函数，
∵ ，故有 .
12.已知指数函数 图象过点 .
(1)求 的解析式；
(2)利用第(1)的结论，比较 与 的大小．
1.函数 定义在R上，对于任意实数 ，恒有 ，
且当 时， ．
(1)求证： ；
(2)当 时，比较 与1的大小.
答案：
解答：
(1)∵任意实数 ，恒有 ,
令 ,
∵x>0时， ;
(2)当 时， ，
则 ；
2.求不等式 中x的取值范围．
答案：
当 时， ；
当 时，
解答：
当 时， ；
当 时， ，
故不等式 的解集：
当 时， ，当 时， .