圆锥曲线小题专练含答案.

【答案】 A
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(2)(2014·辽宁)已知椭圆 C：x92＋y42＝1，点 M 与 C 的焦点不重 合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点 在 C 上，则|AN|＋|BN|＝________.
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【解析】 直线 2x＋y－4＝0 与 x 轴，y 轴的交点分别为(2,0)， (0,4)，则 c＝2，|F2N|＝2 5.∵|MN|＝|MF1|，∴|MF2|＋|MF1|＝|F2N| ＝2a，即 a＝ 5，∴椭圆 E 的方程为x52＋y2＝1.
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∵yx11－ －yx22＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴－ba22＝－12. ∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ac＝
2 2.
【答案】
2 2
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C.1x22 ＋y82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
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【解析】 利用椭圆的定义及性质列式求解．
由 e＝ 33，得ac＝ 33①.又△AF1B 的周长为 4 3，由椭圆定义， 得 4a＝4 3，得 a＝ 3，代入①得 c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故 C 的方程为x32＋y22＝1.
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利用三角形的中位线结合椭圆的定义求解． 椭圆x92＋y42＝1 中，
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a＝3. 如图，设 MN 的中点为 D，则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6. ∵D，F1，F2 分别为 MN，AM，BM 的中点， ∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|. ∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.
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【解析】 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 r1＋r2＝4. 又 r21＋r22－2r1r2cos60°＝|F1F2|2，即(r1＋r2)2－3r1r2＝12，
∴r1r2＝43，S＝12r1r2sin60°＝
3 3.
【答案】
3 3
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【典例 2】 (离心率) (1)(2014·江西)过点 M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆 C：ax22＋ by22＝1(a＞b＞0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭 圆 C 的离心率等于________．
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【解析】 利用点差法，设而不求，建立方程组求解． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则aaxx222122＋＋bbyy222122＝＝11.， ∴x1－x2a2x1＋x2＋y1－y2b2y1＋y2＝0. ∴yx11－ －yx22＝－ab22·xy11＋ ＋xy22.
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第二部分 讲重点•小题专练
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第12讲 圆 锥 曲 线
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热点调研
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调研一 椭圆
【答案】 x52＋y2＝1
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(2)(2014·岳阳一模)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心 为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为________．
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【解析】 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，因为 AB 过 F1 且 A，B 在椭圆上，如图，则△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2| ＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.
【典例 1】 (椭圆定义、标准方程) (1)(2014·大纲全国)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右
焦点分别为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两
点，若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1
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(2)(2014·黄山七市联考)如图所示，已知椭圆的方程为ax22＋by22 ＝1(a>b>0)，A 为椭圆的左顶点，B，C 在椭圆上，若四边形 OABC 为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆的离心率等于( )
2 A. 2
6 C. 3
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3 B. 3
又离心率 e＝ac＝ 22，∴c＝2 2，∴b2＝a2－c2＝8. ∴椭圆 C 的方程为1x62 ＋y82＝1.
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【答案】 1x62 ＋y82＝1
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(3)已知 P 是椭圆x42＋y2＝1 上的一点，F1，F2 是椭圆的两个 焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2 的面积是________．
【答案】 12
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【对点练 1】 (1)(2014·福建龙岩期末)已知直线 2x＋y－4＝ 0 过椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点 F2，且与椭圆 E 在第一象 限的交点为 M，与 y 轴交于点 N，F1 是椭圆 E 的左焦点，且|MN| ＝|MF1|，则椭圆 E 的方程为________．