大学物理(上册)期末考试重点例题

第一章 质点运动学习题

1-4一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =

2

1t 2

+3t -4.（） (式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．)

(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；

(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，并计算这1秒内质点的位移；

(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；

(4)求出质点速度矢量表示式，并计算t ＝4 s 时质点的速度； (5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；

(6)求出质点加速度矢量的表示式，并计算t ＝4s 时质点的加速度。 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)

解：（1）质点位置矢量 21

(35)(34)2

r xi yj t i t t j =+=+++-m

(2)将1=t ,2=t 代入上式即有

211

[(315)(1314)](80.5)2t s r i j m i j m ==⨯++⨯+⨯-=-

221

[(325)(2324)](114)2

t s r i j m i j ==⨯++⨯+⨯-=+m

21(114)(80.5)(3 4.5)t s t s r r r i j m i j m i j m ==∆=-=+--=+

(3) ∵

202

41

[(305)(0304)](54)2

1[(345)(4344)](1716)2

t s t s r i j m i j m

r i j m i j m

===⨯++⨯+⨯-=-=⨯++⨯+⨯-=+

∴ 1140(1716)(54)(35)m s 404

t s t s r r r i j i j v m s i j t --==-∆+--=

==⋅=+⋅∆-

(4) 21d d 1[(35)(34)][3(3)]m s d d 2

r t i t t j i t j t

t

-==+++-=++⋅v

则 14[3(43)](37)t s v i j m s i j -==++⋅=+ 1s m -⋅ (5)∵ 1104(33),

(37)t s t s v i j m s v i j m s --===+⋅=+⋅

∴ 2241(37)(33)

m s 1m s 44

t s t s v v v i j i j a j t --==-∆+-+==

=⋅=⋅∆

(6) 2d d

[3(3)]1m s d d v a i t j j t t

-=

=++=⋅ 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1-5 已知一质点做直线运动，其加速度为 a ＝4+3t （），开始运动时，x ＝5 m ，v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t

v

a 34d d +==

分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 122

34c t t v ++= 由题知，0=t ,00

=v ,∴01=c

故 22

34t t v +=

又因为 22

3

4d d t t t x v +==

分离变量， t t t x d )23

4(d 2+=

积分得 2322

1

2c t t x ++=

由题知 0=t ,50=x ,∴52=c

故 52

1232++=t t x 所以s 10=t 时

m

7055102

1

102s m 190102

3

10432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+

⨯=-x v

1-8 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 θ=2+33t ，θ式中以弧度计，t 以秒计，

(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；

(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t

t t 18d d ,9d d 2==

==ω

βθ

ω

(1)s 2=t 时， 2

s m 362181-⋅=⨯⨯==βτR a

2222s m 1296)29(1-⋅=⨯⨯==ωR a n

(2)当加速度方向与半径成ο45角时，有

145tan ==

︒n

a a τ

即 βωR R =2

亦即 t t

18)9(2

2=

则解得 923=

t

于是角位移为

rad

67.29

2

32323=⨯

+=+=t θ

1-12质点的运动方程为：2,,x at y b ct a b c ==+、、均为常数，当质点的运动方向与x 轴成45°角时，求质点此时运动速率的大小。 解： ()x dx d

at a dt dt

=

==v 当质点的运动方向与x 轴成45°角时， tan 45tan 451y

x

y x a a

=︒

=︒=⨯=v v v v

质点此时运动速率为

==

=v

1-13在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如图所示．当人以0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小。