高考数学 第八章 第七节 双曲线课件 理 新人教A版

(A) 5 (B)5
(C) 2 (D)2
【解析】选A.由已知得b=2a,∴c2=a2+b2=5a2,
∴c= 5a,∴离心率e=
c 5a 5. aa
3.已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到
另一个焦点的距离为_________.
【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为： x 2 =y 12 ， 所以a2=3，
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又因为点P到一个焦点的距离为4，所以到另一焦点的距离为 4+2 3 或4- 2 (舍3 ). 答案:4+ 2 3
4.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
=1(a＞0,b＞0)的虚轴长为2，焦距为 2
3，
则双曲线的渐近线方程为_______________.
【解析】依题意知：2b=2，2c2= 3 ，
cc
要条件的判定方法判断即可. a b (2)解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理构建关于|PF1|, |PF2|的方程，进而求解. (3)先根据椭圆的定义得出动点F满足的等式，再探究出动点F 与两定点A，B的差为常数，从而用定义法求轨迹方程.
第七节 双曲线
1.双曲线的定义
||MF1|-|MF2|| ＜
2.双曲线的标准方程和几何性质
图形
标准方程
__xa_22___by_22 __1__ (a>0，b>0)
___ay_22 __xb_22__ _1__ (a>0，b>0)
范围
_x_≥__a_或__x_≤__-_a_
对称轴：_坐__标__轴__ 对称性 对称中心：_原__点__
(4)正确.因为
x2 a2
=y 12 (a>0,b>0)的渐近线方程为y=±
b2
xb 即
a
x2 a2 x2 m
2
=y02 ，∴当λ>0时，
b2
=y02 .即
n2
m=x 220，ny即22
x2 m
2=1(ymn22 >0,n>0)的渐近线方程为 =0.同x 理y当λ<0时，仍成
mn
立，故结论正确.
(5)正确.等轴双曲线:x2-y2=a2(a>0)的渐近线方程为x2-y2=0即
2 2
=1(此结论中两条双曲线为共轭双
曲线).( )
【解析】(1)错误.由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而
非双曲线的全部.
(2)错误.因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|，表示的轨迹为两条射 线.
(3)错误.当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m<0,n<0时
则表示焦点在y轴上的双曲线.
y=±x，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均为2a,∴c= 2 a， ∴e= c 2a 2.
aa
(6)正确.双曲线
x2 a2
=by122 (a>0,b>0)的离心率e1=
c a
同理e2= a 2 b 2 ，
b
∴
1
e
2 1
=e1(22
)2+a (
a2 b2
)2=1. b
a2 b2
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
离心率
c
e=__a _,e∈_(_1_,_+_∞__)_
a,b,c 的关系
c2=_a_2_+_b_2_
性
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长
质 实虚轴 |A1A2|=___2；a 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，
它的长|B1B2|=___；2ab叫做双曲线的半实
轴长，b叫做双曲线的半虚轴长.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
【解析】选D.由|MA|-|MB|=6，且6<|AB|=10，
得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.
故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支. ∴方程为 x 2 =y12 (x≥3).
9 16
2.若双曲线 x 2 y 2 =1(a＞0,b＞0)的焦点到其渐近线的距离
a2 b2
等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
_y_≤__-_a_或__y_≥_a__
对称轴：_坐__标__轴__ 对称中心：_原__点__
性 质
顶点
顶点坐标：
顶点坐标：
A1_(_-_a_,_0_)_,A2_(_a_,_0_)_ A1__(_0_，__-_a_),A2_(_0_，__a_)_
渐近线
b
_y_=_±__a __x_
_y_=_±__ab _x__
①
a
又一个顶点到相应焦点的距离为1，即c-a=1. ②
由①②得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3, ∴双曲线C的方程为 x 2 =y 21.
3
答案: x 2 =y 12
3
考向 1 双曲线的定义及应用
【典例1】(1)(2013·阳江模拟)“ab<0”是“方程ax2+by2=c表
示双曲线”的( )
=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程
是 x2 y2
m2 n2
=0，即 x
m
y n
=0.(
)
(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2 .( )
(6)若双曲线
x2 a2
y2 b2
=1(a>0,b>0)与
x2 b2
y2 a2
=1(a>0,b>0)的离
心率分别是e1,e2,则
1
e
2 1
1
e
a2 b2 , a
1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0)，动点M满足|MA|-|MB|=6，
则点M的轨迹方程是( )
(A) x 2 y 2 =1
16 9
(C) x 2 y 2 =1
9 16
(B) x 2 y 2 =1(x≥4)
16 9
(D) x 2 y 2 =1(x≥3)
9 16
所以b=1，c=3 ， a= 2 ，因此，双曲线的渐近线方程为：
y=±b x= x2 .
a
2
答案:y= x2
2
5.已知双曲线C:
x2 a2
y2 b2
=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一
个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为__________.
【解析】由已知e=c =2,∴c=2a.
(A)必要不充分条件
(B)充分不必要条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
(2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2-y2=1，点F1，F2为其两个 焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值 为_________.
(3)已知定点A(0, 7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A， B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程. 【思路点拨】(1)将方程化为 x 2 =y 21的形式，然后根据充
(1)平面内到点F1(0，4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹 是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0，4),F2(0，-4)距离之差的绝对值等于8的
点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程 x 2 y 2 =1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
mn
(4)双曲线方程
x2 m2
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y2 n2