大物复习：几个典型例题

mg
求T解 1 mg
4
例:细线一端连接一质量 m 小球，另一端穿过
水平桌面上的光滑小孔，小球以角速度 0 转
动，用力 F 拉线，使转动半径从 r0 减小到
r0/2 。
求：（1）小球的角速度；（2）
拉力 F 做的功。
0
解：（1）由于线
r0 o
的张力过轴，小球 受的合外力矩为0，
mF
角动量守恒。
F
L0 L J 00 J
大小为F的水平力拉A。设A、B和滑轮质量都为m， 滑AB轮之的间半、径A与为桌R，面对之轴间的、转滑动轮惯与量轴之间均J 无12 m摩R2擦，m
绳与滑轮之间无相对滑动，且绳子不可伸长。已
知F＝10N，m＝8.0 kg，R＝0.050m，
T
求：滑轮的角加速度。
B A
F
a
T
T
B
T
m
a
A
F
m
F T ma
1.升降机内有一装置如图所示，悬挂的两物体的质量各 为处m摩1、擦m，2且绳不m1可伸m长2 。，若求不当计升绳降及机滑以轮加质速量度，a不（计方轴向承向
上）运动时，两物体的对地的加速度各是多少？绳内的
张力是多少？
解：该问题可以在不同的参考系中讨论
一、选地面参考系，地面参考系是惯性 系，那么我们就用惯性系中的牛二律来 解决此问题。
2a
a 2
m1g 2a
m1 m2
m2 g
2、一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的
均匀滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的
重物。绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑。
两个定滑轮的转动惯量均为 轮之间的绳内张力。
J
1 2
mr 2，求两滑
解：在地面参考系中，分别以两个物
体和两个滑轮为研究对象，用隔离体
请自行列式
k m2
o
L
Fra Baidu bibliotek
解：m1 + m2+k 系统非刚体， A 缓慢滑动，不计 m2 沿杆径 m1 向运动的动能。
A 外
A 内
Ek
A 内
A 弹
x
kx
d
x
0
1 2
k (x)2
A 外
1 2
k
x
2
1 2
1 3
m L2 1
m L2 2
2
kx m2 2L
联立可解
例：质量为 m 、长为 l 的细杆两端用细线 悬挂在天花板上，当其中一细线烧断的瞬间另 一根细线中的张力为多大？
T
T
a
a' m2
a'
m1
m2 g
m1 g
联立上面四个式子，得：
a'
m1 g
a
m1
m2 g
m2
a
T
2m1m2 g
m1 m2
a
a 1
m1 g
m2 g
m 1
m 2
2a
a 2
m1g 2a
m1 m2
m2 g
如果电梯是加速向下运动呢？
不过是把上式中的 a 都换成 a罢了
二、选电梯参考系，电梯参考系是非惯 性系，那么我们就用非惯性系中的力学 定律来解决此问题。
在非惯性系中，物体除了真实受力外， 还要受到一个假想的惯性力的作用。
设 m1、m2相对于的电梯的加速
度 a' ，相对于地的加速度分别
为 a 、a 受力分析如图。
1
2
a
T
a' m2
ma 2
m2 g
T
a'
m1
ma 1
m1 g
在非惯性系中，利用牛顿第二定律：
m: 1
mg 1
ma 1
T
m a' 1
(1)
m: 2
o
F
r d Fn F
ds
0
r0 o mF
F
由动能定理： W E k E k0
W
1J
2
2
1J
2
2
00
1 m(r0
22
)2 (4 0
)2
1 2
mr0202
3 2
mr02
2 0
0
练习6：
如图所示， 已知: M , L , m , , v0 ;击中
3 4
L
处
求:击中时 ; max ? (只列方程)
T
mg 2
ma 2
m a' 2
(2)
联立两式可得：
a'
m1 g
a
m1
m2 g
m2
a
再根据相对运动公式：
a m地
a m梯
a 梯地
得到： a1 a' a a2 a' a
T
2m1m2 g
m1 m2
a
a
T
a' m2
m2a
m2 g
T
a'
m1
ma 1
mg 1
a 1
m1 g
m2 g
m1 m2
法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴
转动定律建立方程。
mg
2mg
2m : 2mg T1 2ma (1) m : T2 mg ma (2)
a r (5)
T1r
Tr
1 2
mr 2
Tr
Tr 2
1 2
mr
2
(3) (4)
联立上面的式子，可得：
T
11mg 8
物体A和B叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不
可伸长的轻质细绳相互连接，如图所示。今用
T
a' m2
T
a'
m1
a
设
m、 1
m
2相对于的电梯的加速
度 a' ，相对于地的加速度分别
m2 g
mg
1
为 a1、a2 受力分析如图。
m 1
:
m1 g
T
m1a1
(1)
m 2
:
T
m 2
g
ma 22
(2)
根据相对运动公式：
a m地
a m梯
a 梯地
得到： a1 a' a a2 a' a
（3） （4）
o
分两个阶段求解,各遵循什么规律?
3 4
L
M
vc0
1 4
L
m
①相撞: 质点
定轴刚体
对 O 轴角动量守恒
②摆动: M + m + 地球系统 E 守恒
o
3 4
L
M
vc0
1 4
L
m
①相撞: 质点
定轴刚体
对 O 轴角动量守恒 撞前
Lm
r mv0
3 4
Lmv0sin
2
3 4
Lmv0
cos
LM 0
撞后
Lm
m
3 4
L
2
;
LM
1 3
ML2
3 4
Lmv0
cos
9 16
m
1 3
M
L2
②摆动: M + m + 地球系统 E 守恒
动能 Ek
势能Ep
初态:
1 2
9 16
m
1 3
M
L22
mg
3 4
L
Mg
1 2
L
末态:
0
(mg
3 4
mr020 mr2
0
r0 o mF
r r0 /2
40
F
半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0，
为什么拉力还作功呢？
W
0
Md
在定义力矩作功时， 我们认为只有切向力 作功，而法向力与位 移垂直不作功。
但在例题中，小球 受的拉力与位移并 不垂直，小球的运 动轨迹为螺旋线， 法向力要作功。
T ma
TR
T
'
R
1 2
mR2
a R
2F 5mR
2 10 5 8 0.050
10
rad s2
练习5：
k
m2
o
L
已知： 杆长 L，质量 m1
A
m1
环：m2 , 轻弹簧 k
系统最初静止，在外力矩作用下绕竖直轴无摩擦转
动。当 m2 缓慢滑到端点A时，系统角速度为
求：此过程中外力矩的功
解：在线烧断瞬间，以
杆为研究对象，细杆受
重力和线的张力，
T m,l
mg T ma （1）
注意：在细杆转动时，各点的 加速度不同，公式中a为细杆
mg
质心的加速度。
以悬挂一端为轴，重力产生力矩。
mg l J
2
（2）
J 1 ml2
3
T m,l
a r l （3）
2
联立(1)、(2)、(3)式