高一数学必修五基本不等式

1 错。因为 x 和 不一定是正数 x
2
一正
二定 三相等
8 8 2 (2)设x R , 则y x 中,当x , x 2时, ymin 8; x x
8 2 错。因为 x 不是定值 x
9 3 若0 x ,则y sinx 2 9 6, sinx 所以函数的最小值是 6.
解： ∵a，b，c 为正数， 1 1 1 ＋ ＋ 1 1 1 ∴ ＋ ＋ ＝(a＋b＋c) a b c a b c a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c b c a c a b ＝ ＋ ＋ ＝3＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ a a b b c c a b c b a c b c a ＋ ＋ ＋ ＝3＋ a b ＋ b c ＋ a c ≥3＋2＋2＋2＝9， 1 1 1 ∵a，b，c 不全相等，∴“＝ ”不成立．即 ＋ ＋ >9． a b c
2 P 小值_______. 注意：①各项皆为正数； 一“正” ②和为定值或积为定值；二“定” ③注意等号成立的条件. 三“相等”
注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定
和 定 积 最 大 ， 积 定 和 最 小
例2、若正数x, y满足x y 18, 求xy的最大值。
解法一： Q x 0, y 0
9 错。因为 sin x sin x
应用基本不等式求最值的条件：
一正 二定ห้องสมุดไป่ตู้三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须能 够相等
强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 1 2 S ； 大值_______ 4 （2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最
ab a b 1、ab 2 2
2
2
2
2、 1 1 a b ( a , b R ，当且仅当a b时取“=”）
2
ab ab 2
a 2 b2 , 2
1 例 例1、(1)当x>0时， 2 ，当且仅当 x x 题 讲 x= 1 时取等号。 解 2若x 0，y 0且x y 9, 则x y的最小值是 6
320· 2
4 x· 2 4＝1 760． x＝480＋320·
4 当 x＝x，即 x＝2 时，ymin＝1 760 元． 故当池底长为 2 米时，这个水池的造价最低，最低造价 为 1 760 元．
此时x y 3 .
，
解： Q x 0，y 0 x y 2 x y 6
当且仅当x y 3时取等号。
两个正数积为定值P，和有最小值 2 。 P
利用a b 2 ab
3、基本不等式求最值的条件的探究：
变式： 判断以下命题是否正确 4 4 (1)因为y x 2 x 4, 所以ymin 4. x x
例2、若正数x, y满足2x y 18, 求xy的最大值。
解： Q x 0, y 0
81 2x y 2 xy 81 xy 2 2
2
9 当且仅当 2 x y即x , y 9时取等号。 2
基本不等式的应用
新坐标71页例2
1：已知 a、b、c 为正数，a＋b＋c＝1， 1 1 1 且不全相等，求证： ＋ ＋ >9． a b c
x y 2 xy即2 xy 18
xy 81
当且仅当x y 9时取等号。
解法二： Q x 0, y 0
x y a b xy 81 公式变形：ab 2 2 当且仅当x y 9时取等号。
2
2
新坐标75页第四题
4、建造一个容积为 8 m 3，深为 2 m 的长方体无盖水池， 若池底每平方米 120 元，池壁的造价为每平方米 80 元， 这个水池的最低造价为多少元？
x 2
【解】 设水池的总造价为 y 元，池底长为 x 米，则宽 4 为x米，由题意可得：
8 4 x＋ ≥480 ＋ y ＝ 4×120 ＋ 2 2x＋x · 80 ＝ 480 ＋ 320· x
3.4基本不等式:
ab ab 2
一 、 基 本 不 等 式 的 探 究
D
D
b
G A H
a 2 b2
aF
E
C
a
A
O
b
C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我 们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
深 入 探 用 a和 b a 0, b 0代替a, b会得到什么？ 究 ab ab a 0, b 0 基本不等式： 揭 2 示 当且仅当a=b时，等号成立。 本 质
新坐标74页例2
3、已知 x >0，y>0，且 xy＝4x ＋y＋12，求 xy 的最小值．
解：∵x >0 ，y>0，xy＝4x ＋y＋12≥4 xy＋12， ∴( xy)2－4 xy－12≥0， ∴( xy－ 6)( xy＋2)≥ 0， ∴ xy≥6，当且仅当 4x ＝y 时取等号． 由 4x ＝y 且 xy＝4x ＋y＋12，得 x ＝3，y＝12． 此时 xy 有最小值 36．
深 入 探 究 揭
剖析公式应用
ab 2
算术平均数
ab
均值不等式 几何平均数
示 基本不等式可以叙述为: 本 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数. 质
注意：（1）不等式使用的条件不同； （2）当且仅当a=b时取等号；
2、两个不等式的推论：
重要不等式：a 2 b 2 2ab (a , b R ) ab 基本不等式：ab (a 0, b 0) 2
新坐标73页例1
1 5 （1） 、已知 x < ，求函数 y＝4x －2＋ 的最大值． 2、 4 4x －5 1 9 （2） 、已知 x >0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x ＋y 的最小值． x y
5 解：(1)∵x < ，∴5－4x >0， 4 1 5 － 4 x ＋ 1 5－4x ＋3≤－2＋3＝ 1． ∴y＝4x －2＋ ＝－ 4x －5 1 当且仅当 5－4x ＝ 时，即 x ＝1 时，上式等号成立， 5－4x 故 x ＝1 时，ymax＝ 1． 1 9 ＋ 1 9 y 9x (2)(“ 1” 的代换)∵ ＋ ＝1，∴x ＋y＝ (x ＋y) x y ＝10＋ ＋ ． x y x y y 9x y 9x ∵x >0，y>0，∴ ＋ ≥ 2 · ＝6． x y x y y 9x 当且仅当 ＝ ，即 y＝3x ，取 “＝”． x y 1 9 又∵ ＋ ＝1，∴ x ＝4，y＝12．∴当 x ＝4，y＝12 时，(x ＋y)min＝ 16． x y