高一数学必修五基本不等式
高一 必修五 数学 不 等 式
高一不等式——知识清单：1．如果a ,b ∈{x |x 是正实数}，那么2b a +≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）. 注：该不等式可推出:当a 、b 为正数时,2112a b a b++≥≥（当且仅当a = b 时取“=”号） 即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数2.绝对值不等式：(0)a b a b a b ab --+⑴≤≤≥时,取等号注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.3．不等式同解变形（1）同解不等式（(1)f xg x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解，m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解；（3）f x g x ()()>0与f x g x g x ()()(()⋅>≠00同解）； 4．一元一次不等式ax b a a a >⇒>=<⎧⎨⎪⎩⎪分()()()102030情况分别解之。
5．一元二次不等式ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠⇒()分a >0及a <0情况分别解之，还要注意∆=-b ac 24的三种情况，即∆>0或∆=0或∆<0，最好联系二次函数的图象。
6．分式不等式分式不等式的等价变形：)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0，)()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(xg x g x f 。
证明不等式常用方法：（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0（2）综合法：由因导果。
（3）分析法：执果索因。
基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）反证法：正难则反。
《基本不等式》17种题型高一
基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。
它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。
在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。
本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。
一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。
二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。
三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。
学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。
人教版高一数学课件-基本不等式
成立.
4
復習引入
小結:
1. 兩個正數的和為定值時，它們的積有最
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為
定值，則ab≤ M 2 ，等號當且僅當a＝b小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定 值，則a＋b≥2 P ，等號當且僅當a＝b
時成立.
講授新課
称 ab 为正数a, b的几何平均数.
a2 b2 2ab和 a b ab成立的条 2
件是不同的.
復習引入
練習
(1) f ( x) 2 3x 4 最 ___ 值是_______( x 0). x
(2)sin x 1 最 ___ 值是_____( x 0).
2sin x
復習引入
關係為：
920v
y v2 3v 1600 (v 0).
(1)該時段內，當汽車的平均速度v為多少 時，車流量最大？最大車流量為多少？
(2)若要求在該時段內，車流量超過10千輛 /時，則汽車的平均速度應在什麼範圍內？
課堂小結
本節課我們用兩個正數的算術平均數 與幾何平均數的關係順利解決了函數的一 些最值問題.
講授新課
例2. 某工廠要建造一個長方形無蓋貯水 池，其容積為4800m3，深為3m.如果池 底每平方米的造價為150元，池壁每平 方米的造價為120元，怎樣設計能使總 造價最低？最低總造價是多少？
講授新課
歸納: 用均值不等式解決此類問題時，應按如下 步驟進行：
講授新課
歸納: 用均值不等式解決此類問題時，應按如下 步驟進行： (1)先理解題意，設變數，設變數時一般把
復習引入
1．基本不等式：
(1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; (2) 如果a, b是正数,那么 a b ab(当且
高一数学复习知识讲解课件15 基本不等式(第2课时)
2.2基本不等高一数学复习知本不等式(第2课时)
复习知识讲解课件
探究1 利用基本不等式求最值的关键条件和欲求的式子，运用适当的“拆项、基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不向；二不定，应凑出定和或定积；三不等数的单调性．
的关键是获得定值条件．解题时应对照已知、添项、配凑、变形”等方法创设使用一不正，用其相反数，改变不等号方不等，一般需用其他方法，如尝试利用函
探究2 (1)拼凑法的实质在于代数式的利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利整，做到等价变形．
②代数式的变形以拼凑出和或积的定值③拆项、添项应注意检验利用基本不等(2)常数代换法求最值的方法步骤： 常数代换法适用于求解条件最值问题为：
数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，方面的问题：
注意利用系数的变化以及等式中常数的调的定值为目标． 本不等式的前提．
问题．应用此种方法求解最值的基本步骤
①根据已知条件或其变形确定定值②把确定的定值(常数)变形为1.
③把“1”的表达式与所求最值的表达式式．
④利用基本不等式求解最值．
(3)对含有多个变量的条件最值问题，尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表只含有一个变量的最值问题．
(常数)． 表达式相乘或相除，进而构造和或积的形，若无法直接利用基本不等式求解，可变量表示另一个，再代入代数式中转化为
课
后 巩 固
自 助 餐。
高一数学不等式基础知识点
高一数学不等式基础知识点不等式是数学中重要且常见的概念，它在解决实际问题中起着极为重要的作用。
在高一数学中，学习不等式的基础知识点对于掌握后续的数学知识具有至关重要的作用。
本文将围绕高一数学不等式基础知识点展开论述。
一、不等式的基本性质不等式是指两个数之间的大小关系，其比较运算包括大于、小于、大于等于、小于等于四种形式。
在不等式中，我们需要了解以下几个基本性质：1. 相等性质：将不等式两边同时加上、减去一个相同的数（非零），不等式的大小关系不变。
2. 倍数性质：将不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等式的大小关系不变；将不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等式的大小关系发生改变。
3. 倒数性质：将不等式两边同时取倒数，不等式的大小关系发生改变。
二、一元一次不等式一元一次不等式是数学中最基础的不等式形式，其形式一般为ax + b > c（或 <、≥、≤），其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
1. 解一元一次不等式的基本步骤是：将x的系数提出来，根据正负号的情况确定不等式的方向，最后将解集写出来。
2. 对于带有绝对值符号的一元一次不等式，我们需要分情况讨论。
当绝对值的自变量为未知数x时，分别考虑x的取值范围即可。
三、一元二次不等式一元二次不等式是高一数学中较为复杂的不等式形式，其形式一般为ax² + bx + c > 0（或 <、≥、≤），其中a、b、c为已知实数，a≠0。
1. 解一元二次不等式的基本步骤是：求出一元二次不等式的解集。
可以通过因式分解、配方法以及判别式等方法来解。
2. 对于带有绝对值符号的一元二次不等式，我们同样需要分情况讨论。
当绝对值的自变量为未知数x时，根据x的取值范围确定不等式的方向。
四、常见的不等式在高一数学中，有一些特殊的不等式形式常常出现，我们需要熟练掌握其解法。
1. 分式不等式：对于形如f(x) > 0的分式不等式，我们需要找出其定义域和零点，并根据函数在不同区间的取值情况确定不等式的解集。
第1课时 基本不等式 高一数学
要注意“1”的代换.
3.提升逻辑推理和数学运算素养.
易 错 辨 析
忽视基本不等式成立的条件致错
1
【典例】 求 y=x+ 的取值范围.
错解:∵x+ ≥2 · =2,
∴y的取值范围为{y|y≥2}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
(
)
A.
B.b
解析:∵ab<
∵
+
>
C.2ab
D.a2+b2
+
,∴ab< ,∴2ab< .
+
+
>0,
∴
>Fra bibliotek2
2
,
∴
a
+b
>
.
∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,
∴b>a2+b2,∴b最大.
证明:∵a,b,c 均大于 0,∴ , , 也都大于
∴ + ≥2c, + ≥2a, + ≥2b,
三式相加得 2
+ +
≥2(a+b+c),
即 + + ≥a+b+c,
当且仅当 a=b=c 时,取等号.
《基本不等式(第1课时)》教学设计
课题：基本不等式（第1课时）一、指导思想与理论依据布鲁姆将教育目标划分为认知领域、情感领域和操作领域三个领域，共同构成教育目标体系.认知目标又分类为：记忆、理解、应用、分析、评价、创造，每个层次的要求各不相同，因此教学目标的确定应结合课程内容和学生的实际情况，符合学生的认知规律．学生是课堂中的主体，教学设计一定要从学生的认知水平出发，充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，立足于学生的“最近发展区”；用学生的眼光看数学，学生在理解的基础上，由浅入深，由感性到理性地设计问题，才能真正引导和帮助学生思考问题、分析问题和解决问题．同时《高中数学学科德育指导纲要》指出，在高中数学教学中加强德育，对于全面推进素质教育，培养社会主义的建设者和接班人具有重要意义.因此在教学中要关注学生的情感、态度和价值观，渗透德育内容．教学活动是师生积极参与、交流互动、共同发展的过程．有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一．《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……”、“还应注重提高学生的数学思维能力”．本节课从学生的最近发展区出发，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，亲身经历、体验发现规律的过程，学会如何去研究问题的方法，体会蕴含在其中的数学思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，培养学生交流合作的意识．二、教学背景分析（一）教学内容分析本节课的内容是人教A 版《数学（必修5）》第三章 3.4基本不等式：2a b +≤的第1课时． “基本不等式”在教学中安排3课时，第1课时的内容是基本不等式的形成、证明及其几何解释，正确把握基本不等式的结构和等号成立的条件；第2课时的内容是能用基本不等式求简单的最值问题，并理解其应用条件“正、定、等”；第3课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，并应用基本不等式处理最值问题，也就是将基本不等式作为处理优化问题的一种模型．基本不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化．这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量．这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。
人教新课标版数学高一必修5练习 3.4.1基本不等式
第三章 3.4 第1课时一、选择题1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A.25 B ．12C.22D ．1[答案] B[解析] 令t ＝x (t ≥0)，则x ＝t 2， ∴f (x )＝x x ＋1＝tt 2＋1.当t ＝0时，f (x )＝0； 当t >0时，f (x )＝1t 2＋1t ＝1t ＋1t.∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤12.∴f (x )的最大值为12.2．若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3[答案] C[解析] ∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a (0≤a ≤2)，∴ab ＝a (2－a )＝－a 2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a ≤2，∴0≤ab ≤1，故A 、B 错误； a 2＋b 2＝a 2＋(2－a )2＝2a 2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2.∵0≤a ≤2，∴2≤a 2＋b 2≤4.故选C.3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( )A.12 B ．a 2＋b 2 C ．2ab D ．a[答案] B[解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜12，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， ∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12，即a 2＋b 2＞12.故选B.解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a 2＋b 2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 6．已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得 (a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋yx ＋2≥2y x ·xy＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题7．若0<x <1，则x (1－x )的最大值为________． [答案] 14[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0， ∴x (1－x )≤[x ＋(1－x )2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立，∴所求最大值为14.8．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值是________．[答案] －2[解析] ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋14＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时，等号成立．三、解答题 9．已知x >0，y >0.(1)若2x ＋5y ＝20，求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)若lg x ＋lg y ＝2，求5x ＋2y 的最小值．[解析] (1)∵x >0，y >0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥22x ·5y ＝210·xy . 又∵2x ＋5y ＝20， ∴20≥210·xy ， ∴xy ≤10，∴xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y 2x ＋5y ＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2.∴当x ＝5，y ＝2时，xy 有最大值10. 这样u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1. ∴当x ＝5，y ＝2时，u max ＝1. (2)由已知，得x ·y ＝100， 5x ＋2y ≥210xy ＝2103＝2010.∴当且仅当5x ＝2y ＝103，即当x ＝210， y ＝510时，等号成立． 所以5x ＋2y 的最小值为2010.10．求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a 的最小值，其中a >0.[解析] 当0<a ≤1时， y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a≥2，当且仅当x ＝±1－a 时，y min ＝2. 当a >1时，令x 2＋a ＝t (t ≥a )，则有y ＝f (t )＝t ＋1t.设t 2>t 1≥a >1，则f (t 2)－f (t 1)＝(t 2－t 1)(t 1t 2－1)t 1t 2>0，∴f (t )在[a ，＋∞)上是增函数． ∴y min ＝f (a )＝a ＋1a，此时x ＝0. 综上，当0<a ≤1，x ＝±1－a 时，y min ＝2；当a >1，x ＝0时，y min ＝a ＋1a.一、选择题1．设a 、b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是 ( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D ．b a ＋a b≥2[答案] D[解析] a ＝b 时，A 不成立；a 、b <0时，B 、C 都不成立，故选D.2．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是 ( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b [答案] D[解析] 解法一：∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2>2ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2， ∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D.解法二：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．3．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x ∴A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0. ∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤(1＋a )＋(1＋b )2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b 2，等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x 、y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1[答案] A[解析] 由已知得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.∴xy ＝x (2－2x )＝2x (2－2x )2≤12×(2x ＋2－2x 2)2＝12，等号成立时2x ＝2－2x ，即x ＝12，y ＝1，∴xy的最大值为12.二、填空题5．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6 [解析] 2x ＋3y≥26xy，∴26xy≤2，∴xy ≥6. 6．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是________．[答案] 1[解析] ∵x ＜54，∴4x －5＜0，y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(5－4x )＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x ＝15－4x，即x ＝1时成立． 三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长． [解析] 设一条直角边长为x cm ，(0<x <10)，则另一条直角边长为(10－x )cm ， 面积s ＝12x (10－x )≤12[x ＋(10－x )2]2＝252(cm 2)等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立， ∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋(10－x )2＝52＋52＝52(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x 是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k (2000x )，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%，故有y ＝1 440 000x ＋100x≥21 440 000x·100x ＝24 000(元)． 当且仅当1 440 000x ＝100x ，即x ＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．。
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ab ab 2
一 、 基 本 不 等 式 的 探 究
D
D
b
G A H
a 2 b2
aF
E
C
a
A
O
b
C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我 们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
深 入 探 用 a和 b a 0, b 0代替a, b会得到什么？ 究 ab ab a 0, b 0 基本不等式： 揭 2 示 当且仅当a=b时，等号成立。 本 质
ab a b 1、ab 2 2
2
2
2
2、 1 1 a b ( a , b R ，当且仅当a b时取“=”）
2
ab ab 2
a 2 b2 , 2
1 例 例1、(1)当x>0时， 2 ，当且仅当 x x 题 讲 x= 1 时取等号。 解 2若x 0，y 0且x y 9, 则x y的最小值是 6
解： ∵a，b，c 为正数， 1 1 1 ＋ ＋ 1 1 1 ∴ ＋ ＋ ＝(a＋b＋c) a b c a b c a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c b c a c a b ＝ ＋ ＋ ＝3＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ a a b b c c a b c b a c b c a ＋ ＋ ＋ ＝3＋ a b ＋ b c ＋ a c ≥3＋2＋2＋2＝9， 1 1 1 ∵a，b，c 不全相等，∴“＝ ”不成立．即 ＋ ＋ >9． a b c
例2、若正数x, yx 0, y 0
81 2x y 2 xy 81 xy 2 2
2
9 当且仅当 2 x y即x , y 9时取等号。 2
基本不等式的应用
新坐标71页例2
1：已知 a、b、c 为正数，a＋b＋c＝1， 1 1 1 且不全相等，求证： ＋ ＋ >9． a b c
2 P 小值_______. 注意：①各项皆为正数； 一“正” ②和为定值或积为定值；二“定” ③注意等号成立的条件. 三“相等”
注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定
和 定 积 最 大 ， 积 定 和 最 小
例2、若正数x, y满足x y 18, 求xy的最大值。
解法一： Q x 0, y 0
此时x y 3 .
，
解： Q x 0，y 0 x y 2 x y 6
当且仅当x y 3时取等号。
两个正数积为定值P，和有最小值 2 。 P
利用a b 2 ab
3、基本不等式求最值的条件的探究：
变式： 判断以下命题是否正确 4 4 (1)因为y x 2 x 4, 所以ymin 4. x x
新坐标75页第四题
4、建造一个容积为 8 m 3，深为 2 m 的长方体无盖水池， 若池底每平方米 120 元，池壁的造价为每平方米 80 元， 这个水池的最低造价为多少元？
x 2
【解】 设水池的总造价为 y 元，池底长为 x 米，则宽 4 为x米，由题意可得：
8 4 x＋ ≥480 ＋ y ＝ 4×120 ＋ 2 2x＋x · 80 ＝ 480 ＋ 320· x
新坐标73页例1
1 5 （1） 、已知 x < ，求函数 y＝4x －2＋ 的最大值． 2、 4 4x －5 1 9 （2） 、已知 x >0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x ＋y 的最小值． x y
5 解：(1)∵x < ，∴5－4x >0， 4 1 5 － 4 x ＋ 1 5－4x ＋3≤－2＋3＝ 1． ∴y＝4x －2＋ ＝－ 4x －5 1 当且仅当 5－4x ＝ 时，即 x ＝1 时，上式等号成立， 5－4x 故 x ＝1 时，ymax＝ 1． 1 9 ＋ 1 9 y 9x (2)(“ 1” 的代换)∵ ＋ ＝1，∴x ＋y＝ (x ＋y) x y ＝10＋ ＋ ． x y x y y 9x y 9x ∵x >0，y>0，∴ ＋ ≥ 2 · ＝6． x y x y y 9x 当且仅当 ＝ ，即 y＝3x ，取 “＝”． x y 1 9 又∵ ＋ ＝1，∴ x ＝4，y＝12．∴当 x ＝4，y＝12 时，(x ＋y)min＝ 16． x y
1 错。因为 x 和 不一定是正数 x
2
一正
二定 三相等
8 8 2 (2)设x R , 则y x 中,当x , x 2时, ymin 8; x x
8 2 错。因为 x 不是定值 x
9 3 若0 x ,则y sinx 2 9 6, sinx 所以函数的最小值是 6.
新坐标74页例2
3、已知 x >0，y>0，且 xy＝4x ＋y＋12，求 xy 的最小值．
解：∵x >0 ，y>0，xy＝4x ＋y＋12≥4 xy＋12， ∴( xy)2－4 xy－12≥0， ∴( xy－ 6)( xy＋2)≥ 0， ∴ xy≥6，当且仅当 4x ＝y 时取等号． 由 4x ＝y 且 xy＝4x ＋y＋12，得 x ＝3，y＝12． 此时 xy 有最小值 36．
深 入 探 究 揭
剖析公式应用
ab 2
算术平均数
ab
均值不等式 几何平均数
示 基本不等式可以叙述为: 本 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数. 质
注意：（1）不等式使用的条件不同； （2）当且仅当a=b时取等号；
2、两个不等式的推论：
重要不等式：a 2 b 2 2ab (a , b R ) ab 基本不等式：ab (a 0, b 0) 2
320· 2
4 x· 2 4＝1 760． x＝480＋320·
4 当 x＝x，即 x＝2 时，ymin＝1 760 元． 故当池底长为 2 米时，这个水池的造价最低，最低造价 为 1 760 元．
9 错。因为 sin x sin x
应用基本不等式求最值的条件：
一正 二定 三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须能 够相等
强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 1 2 S ； 大值_______ 4 （2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最
x y 2 xy即2 xy 18
xy 81
当且仅当x y 9时取等号。
解法二： Q x 0, y 0
x y a b xy 81 公式变形：ab 2 2 当且仅当x y 9时取等号。
2
2