2019-2020学年朝阳区高一上学期期末数学试卷及答案
2019-2020学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，集合{}2Z 20B x x x =∈-≤，那么AB 等于（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-【答案】D【解析】求出B 后可得A B .【详解】{}{}2Z 200,1,2B x x x =∈-≤=，故{}1,0,1,2A B ⋃=-，故选：D. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解以及集合的并，本题属于容易题. 2．已知命题2:1,1p x x ∀<->，则p ⌝是（ ） A ．21,1x x ∃<-≤ B ．21,1x x ∀≥-> C ．21,1x x ∀<-> D ．21,1x x ∃≤-≤【答案】A【解析】根据全称命题否定的结构形式可得p ⌝. 【详解】p ⌝为：21,1x x ∃<-≤,故选：A. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝. 3．下列不等式中成立的是（ ） A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则【答案】D【解析】试题分析：A 中当时不成立；B 中若不成立；C 中不成立，所以D 正确 【考点】不等式性质4．函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期是（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】由二倍角的余弦公式可得()cos 2f x x =，根据最小正周期的计算公式可求该函数的最小正周期. 【详解】由二倍角的余弦公式可得()cos 2f x x =，故最小正周期为22ππ=， 故选：B. 【点睛】本题考查二倍角的余弦以及余弦型函数的最小正周期，本题为基础题.5．已知函数()f x 在区间(0,)+∞上的函数值不恒为正，则在下列函数中，()f x 只可能是（ ） A ．12()f x x = B ．()sin 2f x x =+C ．2()ln(1)f x x x =-+ D ．21,0()1,0x x f x x x ⎧->=⎨-+≤⎩【答案】C【解析】逐项判断可得正确的选项. 【详解】对于A ，当0x >时，12()f x x =的值域为()0,∞+； 对于B ，当0x >时，()sin 2f x x =+的值域为[]1,3；对于C ，因为当0x >时，2114x x -+≥，故2()ln(1)f x x x =-+的值域为1ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 所以()f x 的函数值不恒为正；对于D ，当0x >时，()21xf x =-的取值范围为()0,∞+，故选：C. 【点睛】本题考查在给定范围上的函数的函数值的正负判断，一般地，可结合解析式的具体形式选择合适的方法求出函数的值域即可，本题属于中档题.6．已知,,a b c R ∈，则“a b c ==”是“222a b c ab ac bc ++>++”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】设:p “a b c ==”，:q “222a b c ab ac bc ++>++”，考虑命题“若p 则q ”及其逆命题的真假后可得两者之间的条件关系. 【详解】设:p “a b c ==”，:q “222a b c ab ac bc ++>++”.若a b c ==，则222a b c ab ac bc ++=++，故“若p 则q ”是假命题. 因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，所以222a b c ab ac bc ++++≥，当且仅当a b c ==时等号成立， 故当222a b c ab ac bc ++>++，a b c ==必定不成立， 故“若q 则p ”是假命题.故“a b c ==”是“222a b c ab ac bc ++>++”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为12,E E ，则1E 和2E 的关系为（ ） A ．1232E E = B ．1264E E =C ．121000E E =D ．121024E E =【答案】C【解析】考虑12lg lg E E -的值，再利用指对数转换可得1E 和2E 的关系. 【详解】由题设可得12lg lg 1.52E E -=⨯，故312101000E E ==， 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算以及指对数的转化，注意根据给定的计算公式计算即可，本题属于容易题.8．已知函数4()()f x x a a R x=+-∈，2()43g x x x =-++，在同一平面直角坐标系里，函数()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧有两个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}3a a <- B ．{}3a a >-C ．{}3a a =-D ．{}34a a -<<【答案】B【解析】函数()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧有两个交点等价于()()0f x g x -=在()0,∞+上有两个不同的实数解，令()()()F x f x g x =-，可判断()F x 在()0,2上为减函数，在()2,+∞上为增函数，利用零点存在定理可得实数a 的取值范围. 【详解】令()()()()2453,0F x f x g x x x a x x=-=--++>. 设1202x x <<≤，则()()()121212124x x f x f x x x x x --=-， 因为1202x x <<≤，故120,x x -<1240x x -<，120x x >， 故()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以当()0,2x ∈时，()f x 为减函数，同理可证：当()2,x ∈+∞时，()f x 为增函数.由2()43g x x x =-++，()0,x ∈+∞可得：当()0,2x ∈时，()g x 为增函数；当()2,x ∈+∞时，()g x 为增函数. 故()F x 在()0,2上为减函数，在()2,+∞上为增函数.因为函数()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧有两个交点，所以()F x 在()0,∞+上有两个不同的实数解，所以()20F <即470a --<，故3a >-.又当3a >-时，30a +>，设()2530x x a --+=较大的解为0M =>，当x M >时，()24530,0x x a x--+>>，故()0F x >， 又当4010x a <<+时， ()()()22253453571010024x x a x x a x a x ⎛⎫--+=-+-+=-+-++> ⎪⎝⎭，故()0F x >，由零点存在定理可知，()F x 在()0,2，()2,+∞上各有一个零点. 综上，实数a 的取值范围是3a >-. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点，注意函数零点的个数判断需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，后者需要在一个单调区间内找两个函数值异号的点，如果找点比较麻烦，可以利用常见函数的性质放缩后再判断函数值的符号，本题属于难题.9．已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是（ ） A ．a b c == B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】D【解析】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点，根据判别式可得b c ≥，就b c =和b c >分类讨论后可得,,a b c 的大小关系. 【详解】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点且该函数图象的对称轴为lg x b =，故24lg 4lg lg 0b b c ∆=-≥，因为1,1b c >>，故lg 0,lg 0b c >>，所以lg lg b c ≥即b c ≥.又()()()()22lg lg lg lg lg lg lg ,lg lg lg lg lg lg lg f b b c b b c b f c c b c c c b =-=-=-=-，若b c =，则()()lg lg 0f b f c ==，故lg lg lg a b c ==即b c =. 若b c >，则()()lg 0,lg 0f b f c <<，所以lg lg a c <或者lg lg b a <， 即a c b <<或a b c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题. 10．已知正整数1210,,,x x x 满足当i j <（*,N i j ∈）时，i j x x <，且22212102020x x x +++≤，则91234()x x x x x -+++的最大值为（ ）A ．19B ．20C ．21D ．22【答案】A【解析】先由i j <（*,N i j ∈）时，i j x x <得到j j x ≤，再将22212102020x x x +++≤放缩为()222229912812020x x +++++≤，从而929x ≤，故可得91234()x x x x x -+++的最大值. 【详解】因为当i j <（*,N i j ∈）时，i j x x <，故1223121,1,,1j j x x x x x x -≤+≤+≤+≤，诸不等式相加可得11j x j x +-≤即j j x ≤. 故()222222229912101281x x x x x +++++≤+++，所以()222229912812020x x +++++≤，2992218150x x +-≤，故929x ≤.又12341,2,3,4x x x x ≥≥≥≥，故()91234()29123419x x x x x -+++≤-+++=. 当910,(18),29,30i x i i x x =≤≤==等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的性质，解题中注意根据欲求最值的类型去估算9x 的最大值以及1234x x x x +++的最小值，注意检验，本题属于难题.二、填空题11．sin330︒=_________. 【答案】12-【解析】根据诱导公式可求该值. 【详解】()1sin330sin 36030sin302︒=︒-︒=-︒=-.故答案为：12-. 【点睛】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”．本题属于基础题.12．若集合{}220A x x ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[-【解析】根据一元二次不等式的解集为空集可得判别式小于等于零，从而可求实数a 的取值范围. 【详解】因为{}220A x x ax =-+<=∅，故220x ax -+<无解，所以280a -≤即a -≤≤故答案为：-⎡⎣.【点睛】本题考查一元二次不等式的解，注意解的形式与判别式的正负之间的关系，本题属于容易题.13．已知函数2()log f x x =，在x 轴上取两点12(,0),(,0)A x B x （120x x <<），设线段AB 的中点为C ，过,,A B C 作x 轴的垂线，与函数()f x 的图象分别交于111,,A B C ，则点1C 在线段11A B 中点M 的________.（横线上填“上方”或者“下方”） 【答案】上方【解析】比较122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭与()()122f x f x +的大小关系后可得正确结论. 【详解】如图，M 的纵坐标为()()122M f x f x y +=，1C 的纵坐标为1122C x x y f +⎛⎫= ⎪⎝⎭.又()()()1221221log log 22f x f x x x +==1212log 22x x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为120x x <<，由基本不等式可得122x x +> 故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故1C 在M 的上方. 故答案为：上方.【点睛】本题考查对数函数的图像和性质以及基本不等式，注意根据图象得到两点的位置关系后需给出严谨的证明，本题属于中档题. 14．给出下列命题：①函数π()sin(2)2f x x =+是偶函数；②函数()tan 2f x x =在ππ(,)44-上单调递增；③直线π8x =是函数π()sin(2)4f x x =+图象的一条对称轴；④将函数π()cos(2)3f x x =-的图象向左平移π3单位，得到函数cos 2y x =的图象.其中所有正确的命题的序号是_______. 【答案】①②③【解析】逐项判断后可得正确的结论序号. 【详解】对于①，π()sin(2)cos22f x x x =+=，故()()f x f x -=，()f x 为R 上的偶函数，故①正确.对于②，因为2,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，而tan ,,22y u u ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭为增函数，故()tan 2f x x =在ππ(,)44-上单调递增，故②正确.对于③，π()sin(2)4f x x =+图象的对称轴为,28k x k Z ππ=+∈，当0k =时，8x π=，故③正确.对于④，函数π()cos(2)3f x x =-的图象向左平移π3单位，所得图象对应的解析式为πcos(2)3y x =+，故④错误.故答案为：①②③. 【点睛】本题考查正弦型函数、余弦型函数和正切型函数的图像和性质，通常用复合函数的方法来讨论此类，比如考虑函数的单调性时，我们先确定u x ωϕ=+的单调性，再确定三角函数在相应的u 的范围上的单调性，从而可确定复合函数的单调性，再如求函数的对称轴、对称中心时，可以由三角函数的对称轴或对称中心得到复合函数图象的对称轴或对称中心.另外，图象平移或周期变换时，都是自变量x 本身变化.15．已知在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A 关于y 轴的对称点A '的坐标是______.若A 和A '中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组12xy x a y a>+⎧⎪⎨⎛⎫>+ ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数a 的取值范围是____.【答案】(1,1)- [)1,-+∞【解析】根据关于y 轴对称点的特征可得A '的坐标， 考虑两个点的横纵坐标都满足不等式组时实数a 的取值范围，该范围在R 上的补集即为所求的实数a 的取值范围. 【详解】因为点,(1,1)A A '关于y 轴的对称，故()1,1A '-.当,A A '都满足不等式组时，有111112a a ->+⎧⎪⎨⎛⎫>+ ⎪⎪⎝⎭⎩，故1a <-.所以A 和A '中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组时，实数a 的取值范围为[)1,-+∞.故答案为： (1,1)-，[)1,-+∞. 【点睛】本题考查坐标平面上点的对称性以补集思想在取值范围中的应用，注意当题设有至少、至多等关键词时，可从反面考虑，本题为中档题.16．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数sin()y A x ωϕ=+，[)0,x ∈+∞表示，其中0,0A ω>>.如图，平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，r 为半径作圆，A 为圆周上的一点，以Ox 为始边，OA 为终边的角为α，则点A 的坐标是________，从A 点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点(,)B x y ，动点B 在y 轴上的投影C 作简谐运动，则点C 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为___________.【答案】(cos ,sin )r r αα s i n ()y r t ωα=+（0t ≥） 【解析】根据三角函数的定义可得A 的坐标和B 的坐标，C 的纵坐标即为B 的纵坐标. 【详解】 设(),A x y ，则cos ,sin ,x yr rαα== 故cos ,sin ,x r y r αα==即()cos ,sin A r r αα.经过t 秒，以OB 为终边的角为t ωα+，故()()()cos ,sin B r t r t ωαωα++， 所以点C 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为sin()y r t ωα=+，0t ≥. 故答案为：()cos ,sin r r αα，sin()y r t ωα=+，（0t ≥）. 【点睛】本题考查三角函数的定义，注意根据终边的一点的坐标和角对应的三角函数的关系来解题，本题属于基础题.三、解答题17．已知集合{}2560A x x x =--≤，{}121,B x m x m m R =+≤≤-∈. （1）求集合A R ð；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）A R ð{16}x x x =<->或；（2）7(,2⎤-∞⎥⎦.【解析】（1）求出集合A 后可得A R ð.（2）由A B A ⋃=可得B A ⊆，就B =∅和B ≠∅分类讨论后可得实数m 的取值范围 【详解】（1）{}16A x x =-≤≤，A R ð{16}x x x =<->或. （2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆. 当=B ∅时，+1>21m m -，则<2m ；当B ≠∅时，由题意得21121611m m m m -≥+⎧⎪-≤⎨⎪+≥-⎩，解得722m ≤≤. 综上，实数m 的取值范围是7(,2⎤-∞⎥⎦.【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式组，要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.18．已知函数2()sin 2f x x x =-.（1）若点1,)2P 在角α的终边上，求tan2α和()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期；（3）若π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求函数()f x 的最小值.【答案】（1）tan 2α=()f α=0；（2）最小正周期为π；（3）最小值为【解析】（1）根据三角函数的定义可求α的三个三角函数，再利用倍角公式可求tan α和()f α的值.（2）利用降幂公式和辅助角公式可得()2sin(2)3f x x π=+，利用最小正周期的计算公式可求该函数的最小正周期. （3）求出23x π+的取值范围后利用正弦函数的性质可求()f x 的最小值.【详解】 （1）因为点1()22P -在角α的终边上，故1r OP ==， 所以1sin 2α=-，cos 2α=，tan 3α=-.则22(2tan 3tan 211tan 13ααα⨯===--22()sin 22sin cos f αααααα=-+=-21120222⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）)2()sin 2sin 21cos 2f x x x x x =-+=-+sin 222sin(2)3x x x π==+ ，所以()f x 的最小正周期为22ππ=． （3）因为[0,]2x π∈，所以42333x πππ≤+≤，所以sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当4233x ππ+=，即2x π=时，()f x有最小值【点睛】本题考查三角函数的定义、二倍角的正弦、余弦和正切公式以及正弦型函数的周期、最值，注意形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()sin 2f x A x B ωϕ''=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等． 19．已知函数2()xf x x a=-（x a ≠）. （1）若2(1)(1)f f =--，求a 的值；（2）若2a =，用函数单调性定义证明()f x 在(2,)+∞上单调递减；（3）设()()3g x xf x =-，若函数()g x 在(0,1)上有唯一零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3a =-；（2）证明见解析；（3）13|038a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或. 【解析】（1）由2(1)(1)f f =--可直接求出a 的值；（2）当2a =时，可利用单调性定义可证明()f x 在(2,)+∞上单调递减；（3）函数()g x 在(0,1)上有唯一零点等价于2()233h x x x a =-+在()0,1上有唯一零点（x a =不是函数()h x 的零点），后者可结合函数图像得到实数a 满足的不等式组，从而得到实数a 的取值范围. 【详解】（1）由2(1)(1)f f =--可得4211a a=---，得3a =-. （2）()12,2,x x ∀∈+∞，且12x x <， 则1221121212224()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x --=-=----， 因为12(2)(2)0x x -->，210x x ->， 所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以()f x 在(2,)+∞内单调递减.（3）22233()3x x x ag x x x a x a-+=⋅-=--因为()g x 在()0,1有唯一零点，故2()233h x x x a =-+在()0,1上有唯一零点且x a =不是函数()h x 的零点. 又2()2h a a =，故0a ≠.因为2()233h x x x a =-+的图象的对称轴方程为34x =，故()()01h h >. 因为()h x 在()0,1上有唯一零点，故3040h a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≠⎩或者()()30400100h h h a ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪≤⎪≠⎪⎩，即93080a a ⎧-=⎪⎨⎪≠⎩或930803100a a a a ⎧-<⎪⎪⎪>⎨⎪-≤⎪≠⎪⎩，故38a =或103a <≤. 所以a 的取值范围是13|038a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题考查函数单调性的证明以及二次函数的零点，注意一元二次的根分布问题，一般遵循“由图列式，动态检验，多退少补”的基本原则.（1）由图列式指根据一元二次方程的解的状况画出对应的二次函数图像的草图，从二次函数的开口方向、判别式的正负、对称轴的位置和区间端点函数的正负四个角度分析，列出相应的不等式组；（2）动态检验指让图像上下二元平移，看判别式的条件是否多余或者缺失，左右移动看对称轴的位置是否有限制；（3）结合（2）把多余的条件去掉或补上缺失的条件.20．已知函数2()log ()f x x a =+（0a >）.当点(,)M x y 在函数()y g x =图象上运动时，对应的点(3,2)M x y '在函数()y f x =图象上运动，则称函数()y g x =是函数()y f x =的相关函数.（1）解关于x 的不等式()1f x <；（2）对任意的(0,1)x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，求a 的取值范围；（3）设函数()()()F x f x g x =-，(0,1)x ∈.当1a =时，求()F x 的最大值. 【答案】（1）{}2x a x a -<<-；（2）(0,1]；（3）23log 32-. 【解析】（1）利用对数函数的单调性可解不等式()1f x <.（2）先求出()g x ，再考虑不等式()()0f x g x -<对任意的(0,1)x ∈恒成立后可得实数a 的取值范围.（3）当1a =时，22131()log 2(1)x F x x +=+，令31=x u +，求出14(4)9y u u=++的最小值后可得()F x 的最大值. 【详解】（1）依题20log ()1x a x a +>⎧⎨+<⎩，则02x a x a +>⎧⎨+<⎩，所以2.a x a -<<-所以原不等式的解集为{}2x a x a -<<-. （2）由题意22log (3)y x a =+，所以21log (3)2y x a =+. 所以()f x 的相关函数为21()log (3)2g x x a =+. 依题意，对任意的(0,1)x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方， 即当(0,1)x ∈，221()()log ()log (3)02f xg x x a x a =++<--恒成立①. 由030x a x a +>⎧⎨+>⎩对任意的(0,1)x ∈总成立，0a ≥，结合题设条件有0a >.在此条件下，①等价于(0,1)x ∈时，222log ()log (3)x a x a +<+恒成立，即2()3x a x a +<+，即22(23)0x a x a a +-+-<.设22()(23)h x x a x a a =+-+-， 要使(0,1)x ∈时，()0h x <恒成立，只需(0)0(1)0h h ≤⎧⎨≤⎩即22020a a a a ⎧-≤⎨+-≤⎩成立，解得01a ≤≤，即a 的取值范围是(0,1].（3）由（2）可得当=1a 时，在区间(0,1)上，()()f x g x <.即22131()()()log 2(1)x F x g x f x x +=-=+， 设t =()2310(1)x t x +>+，则21(1)31x t x +=+. 令31=x u +(14)u <<，则13u x -=， 所以22()1143(4)9u u t u u +==++， 因为44u u+≥（当且仅当2u =时等号成立），可得189t ≥，当13x =时等号成立，满足(0,1)x ∈，则t 的最大值为98，所以()F x 的最大值是22193log =log 3282-.【点睛】本题考查与对数函数有关的复合函数的性质（如最值）以及对数不等式的恒成立，解决这类问题，通常是“脱去对数符号”，把问题转化为二次函数在给定范围上的恒成立或分式函数的最值来讨论，本题属于中档题.。
北京市朝阳区2018-2019学年高一上期末数学试卷含答案解析
2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc23．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？5．给定函数①，②，③y=|x2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①④B．②④C．②③D．①③6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（ ）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，【考点】集合的相等．【分析】根据两个集合相等，元素相同，排除A；根据两个集合相等，元素相同，排除B先解集合M，然后判断元素是否相同，排除C先化简集合N，然后根据集合元素的无序性，选择D【解答】解：A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，故排除B：M={2，3}，N={（2，3）}，因为M的元素为2和3，而N的元素为一个点（2，3），故元素不同，集合不同，故排除C：M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}，由M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}得，M={0，1}，故两个集合不同，故排除D：∵∴=，根据集合元素的无序性可以判断M=N，故选择D故答案为D【点评】本题考查两个集合相等的条件，涉及到元素相同以及集合元素的三个性质：无序性，互异性，确定性，为基础题2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc2【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得A、B、C都不正确，对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．【解答】解：∵a＞b，故当c=0时，ac=bc=0，故A不成立．当b=0 时，显然B、C不成立．对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．3．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故应选C【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．给定函数①，②，③y=|x 2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据增函数、减函数的定义，对数函数的单调性，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性即可判断每个函数在（0，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：①y=，x 增大时，增大，即y 增大；∴该函数在（0，1）上单调递增；②，x 增大时，x+1增大，减小；∴该函数在（0，1）上单调递减；③；∴x ∈（0，1）时，y=﹣x 2+2x ，对称轴为x=1；∴该函数在（0，1）上单调递增；④，∴指数函数在（0，1）上单调递减；∴在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②④．故选：B ．【点评】考查增函数、减函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，对数函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性．6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵，∴b ＞c ＞a ．故选A ．【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．7．函数的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y 轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x ＞0时，其图象是指数函数y=a x 在y 轴右侧的部分，因为a ＞1，所以是增函数的形状，当x ＜0时，其图象是函数y=﹣a x 在y 轴左侧的部分，因为a ＞1，所以是减函数的形状， 比较各选项中的图象知，C 符合题意故选C ．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（ ）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据茎叶图，计算甲、乙的平均数，再根据数据的分布情况与方差的概念，比较可得答案．【解答】解：根据茎叶图有：①甲地树苗高度的平均数为=28cm，乙地树苗高度的平均数为=35cm，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；②甲地树苗高度分布在19～41之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右，乙地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，相对分散些；∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些；故选：B．【点评】本题考查了利用茎叶图估计平均数与方差的应用问题，关键是正确读出茎叶图，并分析数据，是基础题．9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，故选：C．【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到a（x+a）（x﹣2a+1）＜0对x≥1均成立，得到a满足的条件，求解不等式组可得答案．【解答】解：由g（x）=2x﹣2＜0，得x＜1，故对x≥1时，g（x）＜0不成立，从而对任意x≥1，f（x）＜0恒成立，由于a（x﹣a）（x+a+3）＜0对任意x≥1恒成立，如图所示，则必满足，解得﹣4＜a＜0．则实数a的取值范围是（﹣4，0）．故选：C．【点评】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是﹣2．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】将x=代入函数的表达式，求出函数值即可．【解答】解：f（）==﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了求函数值问题，考查分段函数以及对数函数的性质，是一道基础题．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.03．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.03，3．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，根据二次函数的图象和性质进行求值即可．【解答】解：∵y=4x（3﹣2x）=﹣8x2+12x=﹣8（x﹣）2+，∴当x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方得到函数的对称轴是解决二次函数的关键．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）【考点】模拟方法估计概率．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，∴P（A）==，=平方米，∴S不规则图形故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，函数f（x）的定义域关于原点对称，从而求得a 的值．【解答】解：由于函数的图象关于y轴对称，故该函数为偶函数，故函数f（x）的定义域关于原点对称，故a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查偶函数的图象特征，偶函数的定义域关于原点对称，属于基础题．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是①②③④．【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．【专题】函数思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：对于①，若x是有理数，则f（x）=1，则f（1）=1，若x是无理数，则f（x）=0，则f（0）=1，即对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；故①正确，对于②，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是偶函数，故②正确；对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；对于④，取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查命题的真假判断，给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（Ⅰ）先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义即可求出；（Ⅱ）根据交集的定义即可求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由的定义域得A={x|﹣1＜x≤5}．当m=3时，B={x|﹣1＜x＜3}，则∁R B={x|x≤﹣1或x≥3}．所以A∩∁R B={x|3≤x≤5}．（Ⅱ）因为A={x|﹣1＜x≤5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，所以有﹣42+2×4+m=0．解得m=8．此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意．所以m=8．【点评】本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算，属于基础题．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个某市年月日﹣月日（天）对空气质量指数进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分布的意义和作用．【专题】图表型；概率与统计．【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率；（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．…（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．则基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个．其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个，∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为．【点评】本题考查条形图，考查学生的阅读能力，考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0．（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，所以．又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．所以．综上，（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．方法一令3t2﹣2t﹣k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得．方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t2﹣2t，t∈R则∴故实数k的取值范围为．【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．【考点】函数的值．【专题】证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．（Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）当x∈（k n，k n+1]时，，由此得到，当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n），由此能求出f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，∴．∵函数f（x）为二阶伸缩函数，∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．∵x∈（1，3]时，．∴．令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．∴函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．∴当x∈（k n，k n+1]时，．∵，所以．∴当x ∈（k n ，k n+1]时，f （x ）∈[0，k n ）． 当x ∈（0，1]时，即0＜x ≤1，则∃k （k ≥2，k ∈N *）使，∴1＜kx ≤k ，即kx ∈（1，k ]，∴f （kx ）∈[0，1）．又，∴，即．∵k ≥2，∴f （x ）在（0，k n+1]（n ∈N *）上的取值范围是[0，k n ）． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．2019年3月12日。
2019-2020学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．14．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：96．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P 是上任意一点，则∠P 的正切值为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为，线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°【分析】根据随机事件的意义，这个选项进行判断即可．解：“通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰”是必然事件；“随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数”因此选项B符合题意；“明天太阳从东方升起”是必然事件，不符合题意；“三角形的内角和是180°”因此“三角形的内角和是360°”是确定事件中的不可能事件，不符合题意；故选：B．2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】抛物线的顶点式为：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）．故选：A．3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据概率＝所求情况数与总情况数之比解答即可．解：∵共3个素数，分别是5，7，11，∴抽到的数是7的概率是；故选：C．4．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍【分析】根据相似三角形的性质解答．解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：D．6．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．解：如图，∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，∴连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，∵AP+BP＞AB，∴CD+EF＞AB；∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，∴＝，＝，∵+＝，∴+＝；∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，∴正确结论的序号是②③④，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3【分析】根据抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小．解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（1，3）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．故答案为：（1，3）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．【分析】直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式．解：∵射线l的端点为（0，1），l∥x轴，∴写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．故答案为：答案不唯一，如y＝．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为2．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．解：∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD＝，∴，，∴AB＝2，故答案为2．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝1，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝1，∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝π，故答案为：．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为．【分析】：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD＝∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD＝，从而得到tan∠P的值．解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠APB＝∠AOB，∴∠AOD＝∠APB，在Rt△AOD中，tan∠AOD＝＝，∴tan∠P＝．故答案为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为2．【分析】根据根与系数的关系解答即可．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），∴m+n＝﹣＝2．故答案是：2．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为0.920（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；（2）根据完好的概率进行列方程求解即可．解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920，故答案为：0.920；（2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得，m×0.920×x＝m×0.880，解得，x＝，故答案为：．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是①②③．【分析】如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC＝3，S△BOD＝3，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算S四边形OAPB和S△ACD得到m与n的关系可对对③进行判断．解：如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），∵S△AOC＝3，S△BOD＝3，∴S△AOC＝S△BOD；所以①正确；∵S△POA＝﹣n×＝﹣，S△POB＝﹣n×＝﹣，∴S△POA＝S△POB；所以②正确；∵S四边形OAPB＝﹣n×＝﹣，S△ACD＝×m×（﹣）＝3﹣，∴当﹣＝3﹣，即m2﹣mn﹣2n2＝0，所以m＝2n（舍去）或m＝﹣n，此时P点为无数个，所以③正确．故答案为①②③．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式＝＝1．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tan C＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC 的长，本题得以解决．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝4，BD＝，∵在Rt△ADC中，tan C＝，AD＝4，∴，∴CD＝3．∴BC＝BD+CD＝．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．【分析】首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°．根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．∴AB＝BD．∴∠ABD＝90°，∠BDC＝75°．∴∠BDA＝45°．∴∠ADC＝30°．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）根据题意设出y2的表达式，再把（0，0）代入，求出a的值，即可得出y2的表达式；（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，从而得出不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集．解：（1）根据题意设y2的表达式为：y2＝a（x+1）2﹣1，把（0，0）代入得a＝1，∴y2＝x2+2x；（2）当x＝﹣2时，y1＝y2＝0；当x＝1时，y1＝y2＝3；∴直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），而x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．故答案为：x＜﹣2或x＞1．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴OA＝OD．∵点C为OA的中点，CD⊥AB，∴AD＝OD．∴OA＝OD＝AD．∴△OAD是等边三角形．∴∠AOD＝60°．∴∠ABD＝30°．（2）如图2，∵∠ADE＝∠ABD，∴∠ADE＝30°．∵∠ADO＝60°．∴∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝2．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；【分析】阅读材料：证明△ACP∽△CBP．得出．由等腰直角三角形的性质得出CB＝AC得出＝．PC＝AP＝．得出PB＝PC＝2．解决问题：证明△ACP∽△CBP．得出＝，设AP＝a，则PC＝，得出PB＝3a．即可得出．【解答】阅读材料：解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴CB＝AC，∴＝．∵AP＝1，∴PC＝AP＝．∴PB＝PC＝2．故答案为：∠PBC；；2；解决问题：解：作AD⊥BC于D，如图2所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝BC，∴AD＝AC，CD＝AD，∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2AD，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴＝＝，设AP＝a，则PC＝，∴PB＝3a．∴．24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD 的长度；（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB＝2a，CD＝．即可求得AB＞CD．解：（1）∵AB∥x轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，∴B（3，1）．同理可求：C（1，3），D（，3）．∴AB＝2，CD＝．（2）AB＞CD．证明：∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，∴A（a，）．∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，∴B（3a，）．同理可求：C（a，），D（，）．∴AB＝2a，CD＝．∵a＞0，∴2a＞．∴AB＞CD．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为 2.98和1.35 cm．【分析】（1）由函数的定义可得；（2）描点即可；（3）结合图象，即可求解．解：（1）由函数的定义可得：BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数，故答案为：BM，DF，DM；（2）如图所示．（3）由图象得到：当DF＝2cm时，DM的长度约为2.98cm和1.35cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．【分析】（1）将点（3，3）代入解析式即可求得；（2）把y＝4代入y＝x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求得；（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况讨论，即可得结论．解：（1）将点（3，3）代入y＝ax2+bx，得9a+3b＝3．∴b＝﹣3a+1．（2）令x+4a+4＝4，得x＝﹣4a．∴B（﹣4a，4）．（3）∵a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∵A（1，4），B（﹣4a，4）∴点A、B所在的直线为y＝4，由（1）得b＝1﹣3a，则抛物线可化为：y＝ax2+（1﹣3a）x，分两种情况讨论：①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点时，且抛物线的顶点在点A、B之间，则1≤≤﹣4a或﹣4a≤≤1，方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，即（1﹣3a）2+16a＝0，解得a1＝﹣，a2＝﹣1，当a1＝﹣时，＝6（不符合题意），当a2＝﹣1时，＝2，则1≤≤﹣4a成立．②当抛物线经过点A时，即当x＝1，y＝4时，a+1﹣3a＝4，解得a＝﹣；∴a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，综上：a的取值为：a＝﹣1或a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB 上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）①由旋转得∠ACD＝120°，由三角形内角和得出∠DCB+∠ACO＝60°，∠OAC+∠ACO＝60°，即可得出结论；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝30°，∠AEC＝150°，得出∠AEC＝∠CBD，易证AE＝BC，由ASA证得△AEC≌△CBD，即可得出结论；（3）猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝60°，得出△OFC是等边三角形，则CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，由SAS证得△CFH≌△COA，得出∠H＝∠OAC，由三角形外角性质得出∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，则∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，由CA＝CD，∠ACD＝120°，得出∠CAD＝30°，即可得出∠DCH＝2∠DAH．【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∵∠MON＝120°，∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∴∠OAC＝∠DCB；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，由旋转得：∠CBD＝150°，∴∠AEC＝∠CBD，∵OA＝OB，OE＝OC，∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，，∴△AEC≌△CBD（ASA），∴CD＝CA；（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，∴△OFC是等边三角形，∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，在△CFH和△COA中，，∴△CFH≌△COA（SAS），∴∠H＝∠OAC，∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，∵CA＝CD，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为（0，1），线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为6；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ，M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝，CQ＝．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①当k＝1时，y＝x+4，Q（t﹣4，t），P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B （m，0），则圆心为C（，1），由CQ⊥PQ，可求CQ的解析式为y＝﹣x++1，Q 点横坐标为﹣＝t﹣4，则C（2t﹣5，1），再由CQ＝AC，得到t＝6或t＝2；②y ＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），PQ是圆的切线，AO是圆的弦，则有PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以1﹣2＜k≤﹣；当k ＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以≤k＜1+2．解：（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，∴PQ＝，故答案为（0，1）；；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）．∴M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．∴CQ＝．∵P（0，3），M（0，1），∴PM＝2．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，∴Q（t﹣4，t），∵1≤PA≤2，∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B（m，0），∴C（，1），∵CQ⊥PQ，∴CQ的解析式为y＝﹣x++1，∴Q点横坐标为﹣，∴﹣＝t﹣4，∴m＝4t﹣10，∴C（2t﹣5，1），∵CQ＝AC，∴（2t﹣5）2+1＝2（t﹣1）2，∴t＝6或t＝2，∴t的最大值为6；故答案为6．②∵﹣1≤x≤1，∵y＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，∴PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝﹣，∴1﹣2＜k≤﹣；当k＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝，∴≤k＜1+2．。
朝阳区2023-2024学年第一学期期末质量检测高三数学试卷及答案
北京市朝阳区2023-2024学年度第一学期期末质量检测高三数学 2024.1（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|03}A x x =≤≤，3{|log 1}B x x =<，则AB =（A ）[0,3]（B ）[0,3)（C ）(0,3)（D ）(0,3]（2）设a ∈R ，若复数(2i)(2i)a -+在复平面内对应的点位于虚轴上，则a =（A ）4- （B ）1- （C ）1 （D ）4（3）若01a <<，则（A ）1132a a < （B ）23a a < （C ）11log log 23aa > （D ）sin cos a a >（4）在ABC △中，若π1,cos 63a A C =∠==-，则c =（A（B ）23（C）（D ）83（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1),(2,1)A B ，动点P 满足0PA PB ⋅=，则||OP 的最大值为（A ）1（B（C ）2（D1（6）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是平面1111A B C D 内一点，且//EB 平面1ACD ，则1tan DED ∠的最大值为（A）2（B ）1 （C（D ）2（7）设函数()()2mf x x m x =+∈-R 的定义域为(1,2)-，则“30m -<≤”是“()f x 在区间(1,2)-内有且仅有一个零点”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若30PEF ∠=，则sin PFE ∠= （A（B（C（D（9）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用Q 表示产量，L 表示劳动投入，K 表示资本投入，A 表示技术水平，则它们的关系可以表示为Q AK L αβ=，其中0,0,0,01,01A K L αβ>>><<<<．当A 不变，K 与L 均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是 （A ）存在12α<和12β<，使得Q 不变 （B ）存在12α>和12β>，使得Q 变为原来的2倍 （C ）若14αβ=，则Q 最多可变为原来的2倍 （D ）若221+2αβ=，则Q 最多可变为原来的2倍 （10）在ABC △中，AB AC ==，当λ∈R 时，||AB BC λ+的最小值为4．若AM MB =，22sin cos AP AB AC θθ=+，其中ππ[,]63θ∈，则||MP 的最大值为（A ）2 （B ）4 （C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2019-2020学年北京市昌平区高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6} 2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．55．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2 s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝．15．（5分）已知函数，则f（0）＝；能说明“方程f （x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6}【分析】直接根据交并补的定义即可求出．【解答】解：集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝{0，1，2，3}，A∩B＝{1，2}，∁U A＝{3，4，5，6}，∁U B＝{0，4，5，6}，故选：B．【点评】本题考查了集合的交并补的运算，属于基础题．2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先分解因式，解出不等式即可求解结论．【解答】解：因为x2﹣2x﹣3≤0⇒（x﹣3）（x+1）≤0⇒﹣1≤x≤3；故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了因式分解的应用问题，是基础题目．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．【分析】由已知结合指数与对数的运算性质及对数的换底公式分别检验各选项即可．【解答】解：根据指数的运算性质可知，π2•π3＝π5，A错误；根据分数指数幂可知，＝，B错误；由对数的运算性质可得，lg2+lg5＝lg10＝1，C正确；由对数的换底公式可得，＝log36≠ln2，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查指数与对数的运算性质，对数的换底公式的简单应用，属于基础试题．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．5【分析】根据向量的坐标即可求出的坐标，进而求出的值．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b【分析】直接利用不等式的性质求出结果．【解答】解：对于A，D：当a＜b＜0时，不等式不成立．对于B：a＝0或b＝0，关系式没有意义．故错误．对于C：由于b＜a，且y＝（）x为单调递减函数，则：（）b＜（）b，故C正确．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．【分析】小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出选择的2部名著中包括外国名著的概率．【解答】解：某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，∴选择的2部名著中包括外国名著的概率为P＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】条件转化为方程mx2+x+1＝0有两个不等根，结合根的判别式列出不等式即可【解答】解：函数有两个零点等价于关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有两个不等根，则，解得m＜且m≠0，即m∈（﹣∞，0）∪（0，），故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及二次函数根的判别式，属于中档题．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）【分析】根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣2）＝f（2），由函数的图象分析函数的单调性，可得f（1）＞f（2）＞f（3），综合可得答案．【解答】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣2）＝f（2），又由函数图象可得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，即有f（1）＞f（2）＞f（3），则有f（1）＞f（﹣2）＞f（3），故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意偶函数的性质，属于基础题．9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．【解答】解：“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．∴，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6【分析】分别把云南澜沧发生地震的里氏等级与四川汶川发生的地震的里氏等级代入，然后利用对数的运算性质求解的值．【解答】解：∵云南澜沧发生地震为里氏7.6级，∴7.6＝，即；①∵四川汶川发生的地震为里氏8级，∴，即．②①﹣②得：，即，∴．故选：A．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则￢p是：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．故答案为：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，注意量词的变化．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝（x ≥0）．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，求出α的值．【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（4，2），则4α＝2，解得α＝，所以f（x）＝（x≥0）．故答案为：（x≥0）．【点评】本题考查了幂函数的定义与解析式的求法问题，是基础题．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为70；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2＞s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）【分析】由茎叶图得甲组成绩从小到大排列，由25%×12＝3，得到甲组成绩的25%分位数为第3个数和第4个数的平均数，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，从而s甲2＞s乙2．【解答】解：由茎叶图得甲组成绩从小到大为65，67，69，71，75，77，80，83，85，89，93，95，25%×12＝3，∴＝70，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，∴s甲2＞s乙2．故答案为：70，＞．【点评】本题考查25%分位数的求法，考查方差的求法及应用，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝0．【分析】建坐标系，可得，，的坐标，由＝λ+μ可得关于λμ的方程组，解之相加可得．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得＝（3，0），＝（0，4），可得＝（3，﹣4）∵＝λ+μ，∴，解之得λ＝1，μ＝﹣1，∴λ+μ＝0．故答案为：0．【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，建系是解决问题的关键，属中档题．15．（5分）已知函数，则f（0）＝1；能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为1（答案不唯一）．【分析】直接把变量代入对应的解析式求出第一个空，结合图象求解第二个空．【解答】解：因为函数，则f（0）＝e0＝1；函数的大致图象为：故能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的取值范围是（0，1]；故答案为：1，1（答案不唯一）．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，以及数形结合思想的应用，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．【分析】由题意同时满足3个条件的函数可得为f（x）＝（x2﹣1）|x|．【解答】解：由题意可得满足条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．故答案为：f（x）＝（x2﹣1）|x|．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，及函数的奇偶性的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，即为频率之和为1，解得a．（Ⅱ）先从抽取的100人中，算出周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例，再估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数2000×60%＝1200．（Ⅲ）每条的中点横坐标乘以面积，全加一起．【解答】解：（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，所以（0.02+0.05+0.1+a+0.18）×2＝1，解得a＝0.15．（Ⅱ）抽取的100人中，周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例为（a+0.1+0.05）×2＝0.6＝60%．因此估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例也为60%．估计所求人数为2000×60%＝1200．（Ⅲ）4×0.02×2+6×0.18×2+8×0.15×2+10×0.1×2+12×0.05×2＝7.92，所以估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在[7，9）内．【点评】本题考查频率分布直方图中频率，平均数的求法，属于基础题．18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【分析】（Ⅰ）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底{，}，表示；（Ⅱ）考虑三点共线时，＝+（1﹣λ），经检验═+，∵，∴E，G，F三点共线．【解答】解：（Ⅰ）由题，＝+＝+＝+＝，＝+＝+＝﹣＝﹣．（Ⅱ）＝+＝+＝+，＝（）+（+）＝+，∵，∴E，G，F三点共线．【点评】本题考查平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【分析】（Ⅰ）由两人击中环数的频数折线图得甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，由此能估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【解答】解：（Ⅰ）由两人击中环数的折线图得：甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，∴估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率p＝1﹣＝．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得：甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，基本事件总数n＝20×20＝400，甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环包含的基本事件个数m＝6×12+14×8＝184，∴甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率为：P＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考査折线图、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？【分析】（Ⅰ）把x＝5，C（x）＝12代入C（x）＝，求得m值，可得C（x）的解析式，再由题意写出F（x）的解析式；（Ⅱ）分段求解（Ⅰ）中函数的最小值，取最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当0≤x≤5时，C（x）＝，由题意，12＝，即m＝80．∴C（x）＝．则F（x）＝＝；（Ⅱ）当0≤x≤10时，F（x）＝160﹣7.5x（0≤x≤10），当x＝10时，F（x）min＝85；当x＞10时，F（x）＝＝40，当且仅当，即x＝40平方米时上式等号成立，故当x为40平方米时，F（x）取得最小值，最小值是40万元．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．【分析】（Ⅰ）直接根据定义，写出f A（2019），f B（2019）．的值．（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}，分两种情况当f A（x）＝2且f B（x）＝时，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，x取值，即可得出答案．（Ⅲ）列举法写出A∪B，A∩B＝{2，4，6，…2020}，所以M中的元素a∈A∪B且a∉A ∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n的值最小．【解答】（Ⅰ）f A（2019）＝2，f B（2019）＝，（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}当f A（x）＝2且f B（x）＝时，所以x∈A且x∉B，那么x取值为：1，3，5，…，2019，共有＝1010个，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，所以x∉A且x∈B，那么x取值为：2022，2024，…4040，共有＝1010个，所以card（A*B）＝1010+1010＝2020个．（Ⅲ）A＝{1，2，3，4，…，2020}，B＝{2，4，6，…，2020，2022，…4040}，A∪B＝{1，2，3，…，2020，2022，…4040}，A∩B＝{2，4，6，…2020}共1010个元素所以M中的元素a∈A∪B且a∉A∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n＝card（M*A）+card（M*B）的值最小，最小值为1011．【点评】本题属于新定义题，结合集合的交集并集，即可分析出答案，属于中档题．。
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一年级数学试卷(解析版)
北京市朝阳区2019-2020学年高一（上）期末数学试卷选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1 3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2 8．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4} 9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的．（横线上填“上方”或者“下方”）14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B （x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值2019-2020学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x＜﹣1，x2≤1，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．3．（5分）下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．【解答】解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；对于D，若a＜b＜0，则，成立；故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T ＝，可得结论．【解答】解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T＝＝π，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y＝A sin （ωx+φ）的周期等于T＝，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断．【解答】解：∵x＞0，根据幂函数的性质可知，y＝＞0，不符合题意，∵﹣1≤sin x≤1，∴2+sin x＞0恒成立，故选项B不符合题意，C：∵x2﹣x+1＝，而f（x）＝ln（x2﹣x+1），故值域中不恒为正数，符合题意，D：当x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞0恒成立，不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．6．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再讨论充要性．【解答】解：由a，b，c∈R，知：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，∴“a＝b＝c”⇒“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”，“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”⇒“a，b，c不全相等”．“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．【点评】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4}【分析】作出函数f（x）与函数g（x）的图象，数形结合即可判断出a的取值范围【解答】解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的示意图如图：因为f（x）＝x+﹣a≥2﹣a＝4﹣a（x＞0），当且仅当x＝2时取等号，而g（x）的对称轴为x＝2，最大值为7，根据条件可知0＜4﹣a＜7，解得﹣3＜a＜4，故选：D．【点评】本题考查函数图象交点问题，涉及对勾函数图象在第一象限的画法，二次函数最值等知识点，属于中档题．9．（5分）已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c 的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．【解答】解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg ＜0，不满足题意；故选：D．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是中档题．10．（5分）已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22【分析】要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，结合题意，则需前8项最小，第9项最大，则第10项为第9项加1，由此建立不等式，求出第9项的最大值，进而得解．【解答】解：依题意，要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，则x i＝i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8），且x10＝x9+1，故，即，又2×292+2×29﹣1815＝﹣75＜0，2×302+2×30﹣1815＝45＞0，故x9的最大值为29，∴x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为29﹣（1+2+3+4）＝19．故选：A．【点评】本题考查代数式最大值的求法，考查逻辑推理能力及创新意识，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是[﹣2，2]．【分析】根据集合A的意义，利用△≤0求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则不等式x2﹣ax+2＜0无解，所以△＝（﹣a）2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的上方．（横线上填“上方”或者“下方”）【分析】求出点C1，M的纵坐标，作差后利用基本不等式即可比较大小，进而得出结论．【解答】解：依题意，A1（x1，log2x1），B1（x2，log2x2），则，则＝，故点C1在线段A1B1中点M的上方．故答案为：上方．【点评】本题考查对数运算及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是①②③．【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解．【解答】解：在①中，函数＝cos2x是偶函数，故①正确；在②中，∵y＝tan x在（﹣，）上单调递增，∴函数f（x）＝tan2x在上单调递增，故②正确；在③中，函数图象的对称轴方程为：2x+＝kπ+，k∈Z，即x＝，k＝0时，x＝，∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确；在④中，将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos（2x+）的图象，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a 的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．【解答】解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组，可得：且⇒a＜0且﹣1＜a＜2⇒﹣1＜a＜0故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．故答案为：（﹣1，1），{a|a≥0或a≤﹣1}．【点评】本题主要考查对称点的求法以及二元一次不等式组和平面区域之间的关系，属于基础题．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是A（r cosα，r sinα），从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．【分析】由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），根据题意∠BOx＝ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．【解答】解：由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），则∠BOx＝ωt+α，点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．故答案为：A（r cosα，r sinα），y＝r sin（ωt+α）．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，三角函数解析式，属于中档题．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；【分析】（Ⅰ）容易求出A＝{x|﹣1≤x≤6}，然后进行补集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，解出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集、补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅲ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值．【解答】解：（Ⅰ）若点在角α的终边上，所以，，故，所以tan2α＝＝＝．f（α）＝＝2．（Ⅱ）由于函数f（x）＝sin2x﹣2＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅲ）由于，所以，所以当x＝时，函数的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）将a＝2代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅲ）问题转化为h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由2f（1）＝﹣f（﹣1）得，，解得a＝﹣3；（Ⅱ）当a＝2时，，设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ），若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，即h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点（x＝a不是函数h（x）的零点），且二次函数h（x）＝2x2﹣3x+3a的对称轴为，若函数h（x）在（0，1）上有唯一零点，依题意，①当h（0）h（1）＜0时，3a（3a﹣1）＜0，解得；②当△＝0时，9﹣24a＝0，解得，则方程h（x）＝0的根为，符合题意；③当h（1）＝0时，解得，则此时h（x）＝2x2﹣3x+1的两个零点为，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．【点评】本题考查函数单调性的证明及二次函数的零点分布问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质可得，解出即可；（Ⅱ）根据题意，求得，依题意，在（0，1）上恒成立，由此得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知，，则只需求出的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，则，解得﹣a＜x＜2﹣a，∴所求不等式的解集为（﹣a，2﹣a）；（Ⅱ）由题意，2y＝log2（3x+a），即f（x）的相关函数为，∵对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，∴当x∈（0，1）时，恒成立，由x+a＞0，3x+a＞0，a＞0得，∴在此条件下，即x∈（0，1）时，恒成立，即（x+a）2＜3x+a，即x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＜0在（0，1）上恒成立，∴，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）当a＝1时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上，f（x）＜g（x），∴，令，则，令μ＝3x+1（1＜μ＜4），则，∴，当且仅当“”时取等号，∴|F（x）|的最大值为．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查换元思想的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。
19-20年度朝阳高一期末数学答案
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测 高一年级数学答案 2020.1二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分70分） 17． (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）{16}A x x =-≤≤，A R ð{16}x x x =<->或 . ……………………4分（Ⅱ）因为A B A =U ，所以B A ⊆. 当=B ∅时，+1>21m m -则<2m ；当B ≠∅时，由题意得211,216,11,m m m m -≥+⎧⎪-≤⎨⎪+≥-⎩解得722m ≤≤. 综上，实数m 的取值范围是7(,2⎤-∞⎥⎦. ……………………14分18．(本小题满分18分) 解：（Ⅰ）因为点)2P -1在角α的终边上，所以1sin 2α=-，cos α=，tan α=.则22(2tan 3tan 211tan 13ααα⨯-===--2()sin 2f ααα=-+19．(本小题满分18分)解：（Ⅰ）由2(1)(1)f f =--可得4211a a=---，得3a =-. ………3分 （Ⅱ）()12,2,x x ∀∈+∞，且12x x <， 则1221121212224()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x --=-=----，因为12(2)(2)0x x -->，210x x ->， 所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以()f x 在(2,)+∞内单调递减.……………………10分（Ⅲ）22233()3x x x ag x x x a x a-+=⋅-=-- 若()g x 在()0,1有唯一零点，即2()233h x x x a =-+在()0,1上有唯一零点 (x a =不是函数()h x 的零点) ， 因为2()233h x x x a =-+的对称轴方程为34x =， 若()h x 在()0,1上有唯一零点，由题意：（1）当(0)(1)0h h ⋅<时，3(31)0a a -<，解得103a <<； （2）当=0∆时，924=0a -，解得3=8a ，则方程()0h x =的根为34x =，符合题意；（3）当(1)0h =时，解得1=3a ； 则2()231h x x x =-+.()0h x =的两个根为1=1x ，21=2x ，符合题意. 所以a 的取值范围是13038a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或 ……………………18分 20． (本小题满分20分) 解：（Ⅰ）依题20,log ()1,x a x a +>⎧⎨+<⎩则0,2,x a x a +>⎧⎨+<⎩所以2.a x a -<<-所以原不等式的解集为{}2x a x a-<<- ……………………5分（Ⅱ）由题意22log (3)y x a =+，所以21log (3)2y x a =+. 所以()f x 的相关函数为21()log (3)2g x x a =+. 依题意，对任意的(0,1)x ∈， ()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，即当(0,1)x ∈，221()()log ()log (3)02f xg x x a x a =++<--成立.由0,30x a x a +>+>，0a >得3a x >-. 在此条件下，即(0,1)x ∈时，222log ()log (3)x a x a +<+成立，即2()3x a x a +<+，即22(23)0x a x a a +-+-<.设22()(23)h x x a x a a =+-+-， 要使(0,1)x ∈时，()0h x <成立，只需(0)0,(1)0h h ≤⎧⎨≤⎩成立，解得01a ≤≤，即a 的取值范围是(]0,1.……………………13分（Ⅲ）当=1a 时，易知在区间(0,1)上，()()f x g x <.即22131()()()log 2(1)x F x g x f x x +=-=+，设t =()2310(1)x t x +>+，则21(1)31x t x +=+. 令31=x u +(14)u <<,则13u x -=. 所以22()1143(4)9u u t u u +==++ 因为44u u +≥（当且仅当2u =时等号成立），可得189t ≥，当13x =时等号成立，满足(0,1)x ∈，则t 的最大值为98.所以()F x 的最大值是22193log =log 3282-.……………………20分。
北京市朝阳区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含答案
（考试时间 100 分钟 满分 120 分）一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）下列各组中的两个集合 A 和 B ，表示同一集合的是（A ） A，，{1,3, π} B {π, 1, | 3 |} ，（D ） A b c R ， （2）若a ，则下列不等式中成立的是a（A ） ac （B ） （C ）（D ）ac 2 ≥ b c 2b(x)x x 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：（3）函数 f 3 2 的一个近似根（精确度0.1）为那么方程 x（A ）1.23 2（4）某程序框图如图所示，若输出的S，则判断框内为4？ （B ） （D ）6?k 7?5 1y x，② y o l g ( 1)x ，③ y |x 2x | 2 ，④ ( )，其中在区间 2 y x 6（D ）①③0.3 b 2 ，0.3 ，0.2，则a ， ，c 三者的大小关系是bc ab c（B ）ba c（D ）c b a（A ）b （C ） a（0a 1）的图象的大致形状是（7）函数 y10（8）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了 株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x x 和方差进行比较，， 甲乙下面结论正确的是（A ） x ＞ x ，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定甲乙（B ） x ＜ x ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定甲甲甲乙乙乙＜＞，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定（9）右图是王老师锻炼时所走的离家距离（ ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老Sf (x)0 （10）已知函数 fx，若对任意，总有 成立，则实数a 的取值范围是（A ）(, 4) （C ）(4, 0)（B ）[4, 0) （D ）(4, )（11）已知函数 f2 则 的值是________．x.若要从身高在[120, 130) [130, 140) [140,150] 三组内的学， ， 18生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，.3，则函数 y ．2（14）如图，一不规则区域内，有一边长为1 米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依平方米.（用分数作答）x 2a的图象关于 y 轴对称，则 ．(x )（16）关于函数 f 有以下四个命题：；(x)②函数 f ③若T 为一个非零有理数，则 f 对任意④在 f．x x m 的定义域为集合 B . ( ) l g ( 2 )已知函数 f 的定义域为集合 A ，函数 g x2R（Ⅱ）若 m（18）（本题满分 9 分）空气质量指数 PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，表示空气 污染越严重： PM2.5 日均浓度 空气质量级别 空气质量类别0～35 一级 优35～75 二级 良75～115 >250 三级 六级轻度污染中度污染 重度污染 严重污染（19）（本题满分 10 分）x (x ) x 02x . 已知定义域为R 的单调减函数 f 是奇函数，当 时， 3（Ⅰ）求 f （Ⅱ）求 f的值； 的解析式；（Ⅲ）若对任意的 R ，不等式t22上的函数 f，如果对任意x(0, )，都有k≥ 2, N * ）成立，则称 fx ，求 f 的值；(2 3)(x) (x)（Ⅰ）若函数 f 为二阶伸缩函数，且当 y f (x) 2xx x ，求证：函数2（Ⅱ）若函数 f 在 f (x) 在(0,，求]（Ⅲ）若函数 fkn 1（ nN *）上的取值范围．高一数学试卷参考答案第一部分（选择题 共 50分）一、选择题：本大题共 10小题,每小题 5分，共 50分.题号 1 答案D2 D3 C4 A5 B6 A7 D8 B9 10 CC二、填空题：本大题共 6小题,每小题 5分，共 30分.题号 111213141516 ①②③④925 1 2 答案0.030 32 9 2注：（12）题第一空 3分，第二空 2分.三、解答题：本大题共 4小题，共 40分.4x 5 x 2 A x| 1 x 5（17）解:（Ⅰ）由 f (x) 的定义域得 ≤ . x 1 当则 m 3时， B x|1 x 3 ， ð B x| x 1, x 3} ≤ 或 ≥ . Rð B x |3 x 5 所以 A ≤ ≤ .……………………………… 6分R {x| 1 x 5} ≤| 1 4 （Ⅱ）因为 A ， A B x x ， 42 4 m 0 . 所以有 2 解得 m 8.B x | 2 x 4 此时 ，符合题意.所以m 8.……………………………… 9分（18）解:（Ⅰ）由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为16天，16 8所以此次监测结果中空气质量为良的概率为 = ； ………3分30 15（Ⅱ）样本中空气质量级别为三级的有 4天，设其编号为a ， ，c ，d ；b 样本中空气质量级别为四级的有 2天，设其编号为e ， ，f则基本事件有：(a , b) (a , c ) (a , d) (a , e ) (a , f ) (b , c) (b , d) (b , e ) (b , f ) (c, d) (c , e ) ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (c , f ) (d, e ) (d, f ) (e , f ) ， ， ， 共 15 个.其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：(a , e ) (b , e ) (c , e ) (d, e ) (a , f ) (b , f ) (c , f ) (d, f ) (e, f ) ， ， ， ， ， ， ， ， 共 9 个.所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为9 3. ……………9 分15 5(x ) （19）解:（Ⅰ）因为定义域为R 的函数 f 所以 f(0)0. 是奇函数，……………………………………2 分0 x 0 ，（Ⅱ）因为当 x 时， x (x )2x .所以 f 3 (x) f (x ) f (x).又因为函数 f 是奇函数，所以 xf (x) 2 所以 . x 3x 2 , x 0, x3 (x)0, x 0, 综上， f ……………………………………6 分x2 , 0. x x 3(t2t) f (2t k) 0 f t (2 ) (2 )（Ⅲ）由 f 得 f t t2 k . 2 2 2 (x ) f (t 2t) f (k 2t )f (x) R t 2t k 2t 在 上是减函数，所以 2 2 .因为 f 是奇函数， 所以 2 .又 2 3t2t k 0 对任意 恒成立.t R 即 2 1 3t 2t k 0 412k 0 0 .由【方法一】令 【方法二】即k2 ，则 ，解得 .k 3 3t 2tR对任意恒成立.g(t)3t 2t 2t 令 2，tR2 1 1 1 1 (t) 3t 2t 3(t t) 3(t ) 则 gk 2 2 2 3 3 3 3 3 1 (, ) 故实数 的取值范围为 k． ……………………………………10 分 3 （20）解:（Ⅰ）由题设，当 x (1, 2]( ) 1 l og 时， f x x ，131 1(3)=1+log 3 1 所以 f . 2 21 3(x) 因为函数 f 为二阶伸缩函数，所以对任意 x(0, )，都有 f .(2x) 2 f (x) 所以 f(2 3) 2 f ( 3) 1.……………………………4 分x (3, 3 ] m N (1, 3]．（Ⅱ）当 x m 1 （ ）时，m 3m f (3x) 3 f (x).(x) 由 f 为三阶伸缩函数，有 (1, 3] 时， f x x x . ( ) 32注意到 x x x x x x (x ) 3f ( ) 3 f ( ) 3 f ( ) 3 3( )( ) 3 x x 所以 f 2 ． 2 m m 2 m 1 3 3 23 m3 m3m(x) 2x 0 x 0 x 3或 (3 , 3 ] 内. ……7 分令 f ，解得 m ，它们均不在 上无零点．……………………………8 分m m 1 f (x)2x (1,) 在所以函数 y f(kx ) k f (x)(x) （Ⅲ） 由题设，若函数 f 且当 x(1, k]为k 阶伸缩函数，有 ，的取值范围是[0,1). (x) 时， f x (k , k ] (x) k f ( ) 所以当 x 1 时， f ．n n n k n x x因为(1, k]， 所以 f ( )[0,1)．k nk n(k , k ] f (x)[0,k ) .所以当 x n 1 时， n n 当x (0, 1]时，即0 x 1，1k (k 2,k N ) 0 1 x 则 使 ， k1 kx k k(1, ]kx，即 ， f (kx )[0,1)． 1f (x ) f (kx ) 又 ， k1 1 1 f (x )[0, ) k f (x) f (kx)[0, ) ，即 ．k kk 2因为 ≥ ，N*）上的取值范围是[0, k ) n 所以 f (x) 在 (0, k ]（nn 1．……………12 分1 1(3)=1+log 3 1 所以 f . 2 21 3(x) 因为函数 f 为二阶伸缩函数，所以对任意 x(0, )，都有 f .(2x) 2 f (x) 所以 f(2 3) 2 f ( 3) 1.……………………………4 分x (3, 3 ] m N (1, 3]．（Ⅱ）当 x m 1 （ ）时，m 3m f (3x) 3 f (x).(x) 由 f 为三阶伸缩函数，有 (1, 3] 时， f x x x . ( ) 32注意到 x x x x x x (x ) 3f ( ) 3 f ( ) 3 f ( ) 3 3( )( ) 3 x x 所以 f 2 ． 2 m m 2 m 1 3 3 23 m3 m3m(x) 2x 0 x 0 x 3或 (3 , 3 ] 内. ……7 分令 f ，解得 m ，它们均不在 上无零点．……………………………8 分m m 1 f (x)2x (1,) 在所以函数 y f(kx ) k f (x)(x) （Ⅲ） 由题设，若函数 f 且当 x(1, k]为k 阶伸缩函数，有 ，的取值范围是[0,1). (x) 时， f x (k , k ] (x) k f ( ) 所以当 x 1 时， f ．n n n k n x x因为(1, k]， 所以 f ( )[0,1)．k nk n(k , k ] f (x)[0,k ) .所以当 x n 1 时， n n 当x (0, 1]时，即0 x 1，1k (k 2,k N ) 0 1 x 则 使 ， k1 kx k k(1, ]kx，即 ， f (kx )[0,1)． 1f (x ) f (kx ) 又 ， k1 1 1 f (x )[0, ) k f (x) f (kx)[0, ) ，即 ．k kk 2因为 ≥ ，N*）上的取值范围是[0, k ) n 所以 f (x) 在 (0, k ]（nn 1．……………12 分。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
江西省新余市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题含解析
【点睛】本小题主要考查锥体体积计算，考查分析、思考与解决问题的能力,属于基础题。
16。已知函数 ，则下列四组关于 的函数关系:① ；② ；③ ；④ ，其中能使得函数 取相同最大值的函数关系为______。
【答案】①②④
【解析】
【分析】
先求得 取得最大值时 的值，再将点 的值代入题目所给四个函数关系，由此判断出正确的结论。
1.过点 且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A. B。 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据倾斜角为 的直线的方程形式,判断出正确选项.
【详解】由于过 的直线倾斜角为 ，即直线垂直于 轴，所以其直线方程为 .
故选:B
【点睛】本小题主要考查倾斜角为 的直线的方程，属于基础题。
2。下列命题正确的是（ ）
13.若 , , ， ，则直线 与平面 有_____个公共点；
【答案】1
【解析】
【分析】
根据已知条件判断出直线 与平面 相交，由此确定直线 与平面 的公共点个数。
【详解】由于 ， ，所以直线 与平面 有公共点，而 ， ，所以直线 与平面 相交，故直线 与平面 的公共点个数为 个。
故答案为：
【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，属于基础题.
【详解】连接 如图所示，由于 ，所以 是异面直线 与 所成角，由于三角形 是等边三角形,所以 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题。
4.利用二分法求方程 的近似解，可以取得的一个区间为( ）
A。 (0，1）B。 （1,2）C。 （2，3）D. （3，4）
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数 ，利用零点存在性定理判断出函数 零点所在区间，也即方程 的解所在区间.
2019-2020学年高一数学上学期期末联考试题及答案(新人教A版第60套)
2019-2020 学年度第一学期期末联考高一数学试题第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．每题只有一个正确答案）1．若 A={0,1,2 } , B = { x 1? x 2} , 则A?B（）{ } { 0,1,2 }{}{1,2 }A ． 1B ．C ． 0,1D ．2． sin15 o cos15o 值为（）A ．1B ．1C．3 D． 324243． 函数 f ( x)1lg(1 x) 的定义域是 ()1 xA ．( － ，－ 1)B ．(1，＋ )C ．(－1，1)∪(1，＋ )D ．(－ ，＋ )4．已知点 P( x,3) 是角终边上一点，且 cos4），则 x 的值为（B ． 55D ． 4A ． 5C ． 45．已知 a0.7 0.8 ,blog 2 0.8, c1.10.8 ，则 a,b, c 的大小关系是（）A ． a b cB ． b a cC ． a c bD ． b c a6．设函数 y ＝ x 3 与 y( 1 )x 2 的图像的交点为 ( x 0，y 0) ，则 x 0 所在的区间是 ()2A ．(0，1)B．(1 ，2) C ．(2 ， 3) D ．(3 ，4)7．在自然界中，存在着大批的周期函数，比方声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y 1 3sin 100 t , y 2 3cos 100 t ，则这两个声波合成后即yy 1 y 2 的振幅为（）A ． 3B ． 6C ． 3 2 D． 6 28．以下函数中，不拥有奇偶性的函数是 ( )A ． yexexB ． y lg1 x1 xC ． ycos2xD ． y sin x cos x9．若 yAsin( x)( A0,0,| |) 的最小值为2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为2 ，且图像过点（20， 1），则其分析式是（）A ． y 2sin( x )6B． y 2sin( x )3C ． y2sin( x) 2 6xD ． y 2sin( )2 310．如右图，点 P 在半径为 1的半圆上运动， AB 是直径， P当 P 沿半圆弧从 A 到 B 运动时，点 P 经过的行程 x 与 APBxB O A的面积 y 的函数y f ( x) 的图像是以下图中的（）yy11 12OC π2πx OD第 II卷（非选择题）π2πx二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分．将答案填在题后横线上）11．(log29)(log 3 4)．12．把函数y＝ 3sin2 x的图象向左平移个单位获得图像的函数分析是．13．已知tan 2 ，则 cos26．14．若函数f x 知足 f ( x 1) f ( x) ，且当x1,1 时， f x x ，则 f 2 f 3f4．15．函数f ( x)| cos x | cos x 具备的性质有．（将全部切合题意的序号都填上）（ 1）f (x)是偶函数；（ 2）f (x)是周期函数，且最小正周期为；（ 3）f (x)在[, ] 上是增添的；2（ 4）f (x)的最大值为2．三、解答题（本大题共 6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知会合M ={x 1 < x < 2}，会合Nx 3x 4 ．2（ 1）求AèB；P ={}（ 2）设会合x a < x < a + 2，若 P 腿(A B) ，务实数 a 的取值范围．117．（本小题满分12 分）已知tan2, tan，此中0,0．3（ 1）求tan() 的值；（ 2）求角的值．18．（本小题满分12 分）已知函数 f (x) sin( x)sin( x) ．32（ 1）求f (x)的最小正周期；3，求 g(x) 在区间[0,] 上的值域．（ 2）若g (x) f ( x)4219．（此题满分12 分）辽宁号航母纪念章从2012 年10 月5 日起开始上市．经过市场检查，获得该纪念章每 1 枚的市场价y(单位 : 元) 与上市时间x(单位 : 天 ) 的数据以下:上市时间x 天41036市场价y 元905190(1) 依据上表数据联合散点图，从以下函数中选用一个适合的函数描绘辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x 的变化关系并说明原因: ①y ax b ；②y ax 2bx c ；③y a log b x ．(2)利用你选用的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价钱．20． ( 本小题满分13 分)已知函数 f (x)cx1, 0 x c，知足 f (c)9 x．2 c 21, c ≤ x128(1)求常数 c 的值；(2)解对于 x 的不等式 f (x)21．821． ( 本小题满分14 分 ) 已知函数mf( )|x|1( x0)．x x（ 1）当m 2时，判断f (x)在(,0) 的单一性，并用定义证明．（ 2）若对随意x R ，不等式 f (2x)0 恒建立，求 m 的取值范围；（ 3）议论f (x)零点的个数．2019-2020 学年度第一学期期末 考高一数学参照答案参照答案： 一、1．A2．B 3 ．C4．D5．B 6 ．B 7 ．C 8 ．D 9 ．C10．A 二、填空11． 4 12． 13 ．3 14． 115．（ 1）（ 3）（4）56三、解答{ x 1 < x < 4}16．解：（ 1） A? B⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 （ 2）由（1） A ? B {x 1 < x < 4 }， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分ì?a 3 1?1＃a2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分í?2 ? 4?a +1tantan217．解：（ 1） tan()37⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1 tan tan1 ( 2) 131tantan2（ 2） tan(31⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分)tan tan111( 2)1 3因 tan2 0,tan0 ，3因此， 022因此2，2故4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分18．解：f (x)( 1 sin x3cos x)cos x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分221 sin x cos x3cos 2 x221sin 2x3(1 cos 2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分441sin(2 x3) 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分24（ 1）因此T 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分21（2）g (x)) ，sin(2 x23因 0 ≤ x ≤2 ，因此3 ≤ 2x3 ≤ ，3因此3≤ sin(2 x)≤1，233≤ 1sin(2 x) ≤ 1，423 2因此 g(x) 在区 [0,] 上的 域 [3 ,1] ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分24 219．解 :(1) ∵跟着 x 的增添， y 的 先减后增，而所 的三个函数中y ax b 和 ya logb x 然都是 函数，不 足 意，∴ yax 2 bx c ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2) 把点 (4 ， 90) ， (10 ， 51) ， (36 ， 90) 代入 yax 2 bx c 中，16a 4b c90得 100a 10bc 51⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分1296a 36b c 90解得 a 110， c 126⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分， b1 4 1∴ yx 2 10x 126 (x 20)2 26 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44∴当 x 20 ， y 有最小 y min 26 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分答： 宁号航母 念章市 价最低 的上市天数 20 天，最低的价钱 26 元．⋯⋯⋯⋯12 分20．解： (1)∵ f ( c)9 ，即 c c1 9 ，2 8 28解得 c1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分．21 x 1, 0 x 1(2) 由 (1) 得 f ( x)21, 1≤ x2 ，2 4x12由 f ( x)2，适当 0x12 x1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分1，解得4 ；822当1≤ x 1 ，解得 1≤ x5 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分228∴不等式 f ( x)2 1的解集 { x | 2 x 5} ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分8 4821．分析：（ 1）当 m2 ，且 x0 ， f ( x)x 2 1 是 减的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分x明： x 1x 2 0 ，f (x 1)f (x 2 )x 12 1 ( x 22 1)x 1x 2(x 2 x 1 ) (2 2x 1)x 2( x 2 x 1 )2( x 2 x 1)x 1x 2( x 22 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分x 1 )(1 ) x 1 x 2又 x 1 x 2 0 ，因此 x 2 x 1 0 ， x 1x 2 0 ，因此 ( x 2 x 1 )(1 2 0)x 1x 2 因此故当f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，即 f (x 1) f (x 2 ) ，m 2 ， f ( x) x2在 ( ,0) 上 减的． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1 x（ 2）由 f (2 x ) 0 得 | 2x | m x1 0 ，形 (2 x )22x22x(2 x ) 2m 0 ，即 m而 2x(2 x )2(2 x 1)21 ，12 41当 2x即 x1 (2 x (2 x )2 )max ，2 14因此 m⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分．4（ 3）由 f (x)0 可得 x | x | xm 0( x 0) ， m x | x | x(x 0)令 g( x)x x | x |x 2 x, xx 2x, x 0作 y g (x) 的 像及直y m ，由 像可得：当 m1 1f ( x) 有 1 个零点．或 m，4 4当 m10 或 m1或 m， f (x) 有 2 个零点；41 14当 0mm0 ， f ( x) 有 3 个零点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分或44。
北京市朝阳区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析
北京市朝阳区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x|x≥2}，则A∩（∁U B）=（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}2．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|4．（5分）偶函数f（x）的图象如图所示，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（）B．f（），f（﹣），f（﹣1）C． f（﹣），f（），f（﹣1）D．f（﹣1），f（），f（﹣）5．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，）D．（e，+∞）6．（5分）从某小学随机抽取100分学生，将们们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为（）A．8 B．12 C．10 D．307．（5分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b28．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣（）x B．（）x C．﹣2x D．2x9．（5分）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（2）=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中正确的是（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=x2﹣2x C．f（x）=e x D．f（x）=lnx二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为．12．（5分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，8），则f（3）=．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．14．（5分）当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值为．15．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以点C为圆心，CB为半径的圆与边DC交于点E，F是上任意一点（包括端点），在矩形ABCD内随机取一点M，则点M落在△AFD内部的概率的取值范围是．16．（5分）对于集合A={a1，a2，…a n}（n≥2，n∈N*），如果a1•a2…•a n=a1+a2+…+a n，则称集合A具有性质P，给出下列结论：①集合{，}具有性质P；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；④当n=3时，若a i∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．其中正确的结论是．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（9分）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．18．（9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]）19．（10分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20．（12分）对于函数f（x），g（x），φ（x）如查存在实数a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），那么称φ（x）为f（x），g（x）的线性组合函数，如对于f（x）=x+1，g（x）=x2+2x，φ（x）=2﹣x2存在a=2，b=﹣1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此时φ（x）就是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅰ）设f（x）=x2+1，g（x）=x2﹣x，φ（x）=x2﹣2x+3，试判断φ（x）是否为f（x），g（x）的线性组合函数？关说明理由；（Ⅱ）设f（x）=log2x，g（x）=log x，a=2，b=1，线性组合函数为φ（x），若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设f（x）=x，g（x）=（1≤x≤9），取a=1，b＞0，线性组合函数φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范围，（可利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数）北京市朝阳区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x|x≥2}，则A∩（∁U B）=（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解．解答：解：∵B={x|x≥2}，∴∁U B={x|x＜2}，则A∩（∁U B）={0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：结合对数函数以及二次根式的性质，得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜1，故选：A．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了对数函数，二次根式的性质，是一道基础题．3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．4．（5分）偶函数f（x）的图象如图所示，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（）B．f（），f（﹣），f（﹣1）C． f（﹣），f（），f（﹣1）D．f（﹣1），f（），f（﹣）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过观察图象即可比较出f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系．解答：解：根据图象f（）．故选B．点评：考查由图象比较函数值大小的方法，以及偶函数图象的对称性．5．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，）D．（e，+∞）考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答．解答：解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f（2）﹣ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0∴f（2）•f（3）＜0，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B．点评：本题考查的是零点存在的大致区间问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、函数零点存在性定理的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．6．（5分）从某小学随机抽取100分学生，将们们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为（）A．8 B．12 C．10 D．30考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：先求出身高在[120，130）、[130，140）和[140，150]的频数，再计算用分层抽样方法选取身高在[120，130）内的学生数．解答：解：根据频率分布直方图，得；身高在[120，130）的频率为0.030×10=0.3，频数是0.3×100=30；身高在[130，140）的频率为0.020×10=0.2，频数是0.2×100=20；身高在[140，150]的频率为0.010×10=0.1，频数是0.1×100=10；在这三组学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，身高在[120，130）内的学生中选取的人数为20×=10．故选：C．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目．7．（5分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2考点：四种命题．专题：不等式．分析：对于错误的情况，只需举出反例，而对于C，D需应用同向正的不等式两边平方后不等号方向不变这一结论．解答：解：A．错误，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|；B．错误，比如3＞﹣4，便得不到；C．错误，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D．正确，a＞|b|，则a＞0，根据不等式的性质即可得到a2＞b2．故选D．点评：考查若a＞b，对a，b求绝对值或求倒数其不等号方向不能确定，而只有对于同向正的或非负的不等式两边同时平方后不等号方向不变．8．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣（）x B．（）x C．﹣2x D．2x考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先设x＜0，所以﹣x＞0，所以根据f（x）是奇函数，所以便有f（x）=﹣f（﹣x）=．解答：解：设x＜0，﹣x＞0；∴．故选：A．点评：考查求奇函数在对称区间上解析式的方法，以及奇函数定义的运用．9．（5分）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（2）=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中正确的是（）A． B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：图表型；函数的性质及应用．分析：根据已知中，实线表示即时曲线y=f（x），虚线表示平均价格曲线y=g（x），根据实际中即时价格升高时，平均价格也随之升高，价格降低时平均价格也随之减小的原则，对四个答案进行分析即可得到结论．解答：解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A，D错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故A，B，D均错误．故选C．点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据实际情况，分析出函数y=f（x）与y=g（x）单调性的关系，是解答本题的关键．10．（5分）函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=x2﹣2x C．f（x）=e x D．f（x）=lnx考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：将所给的不等式化为：“f（x+2）﹣f（x+1）＜f（x+1）﹣f（x）”，得到不等式对应的函数含义，根据基本函数同为增函数时的增长情况，对答案项逐一进行判断即可．解答：解：由f（x+2）+f（x）＜2f（x+1）得，f（x+2）﹣f（x+1）＜f（x+1）﹣f（x）①，∵（x+2）﹣（x+1）=（x+1）﹣x，∴①说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，对于A、f（x）=2x+1是一次函数，且在R上直线递增，函数值的变化量是相等的，A错；对于B、f（x）=x2﹣2x在定义域上不是单调函数，在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）递增，B错；对于C、f（x）=e x是增长速度最快﹣呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越大，C错；对于D、f（x）=lnx是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，D正确．故选D．点评：本题考查了基本函数同为增函数时的增长速度的应用，此题的关键是将不等式进行转化，并能理解不等式所表达的函数意义，考查了分析问题、解决问题的能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：利用系统抽样的性质求解．解答：解：由已知得：分段的间隔为：=25．故答案为：25．点评：本题考查系统抽样的分段间隔的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．12．（5分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，8），则f（3）=27．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设出幂函数y=f（x）的解析式，根据图象过点（2，8），求出解析式，计算函数值即可．解答：解：设幂函数y=f（x）=x a，其图象过点（2，8），∴2a=8；解得a=3，∴f（x）=x3，∴f（3）=33=27．故答案为：27．点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的问题，是基础题目．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值．解答：解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：8点评：本题主要考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题．14．（5分）当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值为1．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得x+1＞0，可得y=x+=x+1+﹣1，由基本不等式可得．解答：解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=x+=x+1+﹣1≥2﹣1=1当且仅当x+1=即x=0时取等号，故答案为：1．点评：本题考查基本不等式，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．15．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以点C为圆心，CB为半径的圆与边DC交于点E，F是上任意一点（包括端点），在矩形ABCD内随机取一点M，则点M落在△AFD内部的概率的取值范围是 []．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型的公式，只要求出△AFD的面积范围，由几何概型的概率公式可求点M落在△AFD内部的概率的取值范围解答：解：由题意，设△AFD的高为h，因为F是上任意一点（包括端点），所以h∈[1，2]，所以△AFD的面积范围为[，1]，又矩形ABCD的面积为2，由几何概型的公式可得点M落在△AFD内部的概率的取值范围[]；故答案为：[]．点评：本题考查了几何概型的概率公式的运用，关键是求出△AFD的面积范围．16．（5分）对于集合A={a1，a2，…a n}（n≥2，n∈N*），如果a1•a2…•a n=a1+a2+…+a n，则称集合A具有性质P，给出下列结论：①集合{，}具有性质P；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；④当n=3时，若a i∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．其中正确的结论是①③④．考点：集合的表示法；进行简单的合情推理．分析：根据已知中性质P的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．解答：解：∵•=+=﹣1，故①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n﹣1＜n，当n=2时，即有a1＜2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的集合A，故③正确．当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是具有性质P的集合A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×（n﹣1），即有n＞（n﹣1）!，也就是说具有性质P的集合A存在的必要条件是n＞（n﹣1）!，事实上，（n﹣1）!≥（n﹣1）（n﹣2）=n2﹣3n+2=（n﹣2）2﹣2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在具有性质P的集合A，故④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义的含义是解答的关键，难度较大．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（9分）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：计算题；集合．分析：（Ⅰ）当m=3时，化简A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；从而求交集．（Ⅱ）讨论当B≠∅时，；当B=∅时，m﹣1≥2m+1，从而解得．解答：解：（Ⅰ）当m=3时，A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；则A∩B=（2，5]．（Ⅱ）∵B⊆A，当B≠∅时，；解得，﹣1≤m≤2；当B=∅时，由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；故实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．18．（9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S甲2和S乙2，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些．（Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．解答：解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得 m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得 n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S甲2=[（7﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（13﹣10）2]=5.2，S乙2=[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=2，并由，S甲2＜S乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个，故该车间“待整改”的概率为P==．点评：本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．19．（10分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx﹣a+2=0的两根分别为﹣1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax﹣a+2）＞0，由此讨论﹣1与的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．解答：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3）∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣a+2=0的两根，∴可得，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x﹣a+2=（x+1）（ax﹣a+2），∵a＞0，∴①若，即a=1，解集为{x|x≠﹣1}．②若，即0＜a＜1，解集为．③若，即a＞1，解集为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20．（12分）对于函数f（x），g（x），φ（x）如查存在实数a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），那么称φ（x）为f（x），g（x）的线性组合函数，如对于f（x）=x+1，g（x）=x2+2x，φ（x）=2﹣x2存在a=2，b=﹣1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此时φ（x）就是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅰ）设f（x）=x2+1，g（x）=x2﹣x，φ（x）=x2﹣2x+3，试判断φ（x）是否为f（x），g（x）的线性组合函数？关说明理由；（Ⅱ）设f（x）=log2x，g（x）=log x，a=2，b=1，线性组合函数为φ（x），若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设f（x）=x，g（x）=（1≤x≤9），取a=1，b＞0，线性组合函数φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范围，（可利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据线性组合函数的定义，解方程即可．（Ⅱ）利用换元法，结合对数函数的性质进行求解．（Ⅲ）利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数的性质，将不等式恒成立进行转化，求出函数的最值即可．解答：解：（Ⅰ）设a•（x2+1）+b•（x2﹣x）=x2﹣2x+3，即（a+b）x2﹣bx+a=x2﹣2x+3，则，此时方程组无解，故不存在a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），则φ（x）不是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅱ）∵a=2，b=1，∴φ（x）=2f（x）+g（x）=2log2x+log x=2log2x﹣log2x=log2x，若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，即m＜﹣3（log2x）2+2log2x在x∈[，4]上有解，设t=log2x，则∵x∈[，4]，∴t∈[，2]，则不等式等价为m＜﹣3t2+2t，∵y=﹣3t2+2t=﹣3（t﹣）2+，∴当t=时，函数y取得最大值，则m＜，实数m的取值范围是m＜．（Ⅲ）由题意φ（x）=x+，（1≤x≤9），①若∈（1，9），则φ（x）在[1，）上递减，在（，9]上递增，故φ（x）min=φ（）=2，由，解得1＜b≤4．②若≤1，则φ（x）在[1，9]上递增，故φ（x）min=φ（1）=1+b，由，解得1＜b≤1．③若≥9，则φ（x）在[1，9]上递减，故φ（x）min=φ（9）=9+，由，此时不等式组无解．综上b的取值范围是（0，4]．点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，以及不等式恒成立问题，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．。
北京市西城区2022-2023学年高一上册期末考试数学试卷(含答案)
北京市西城区2022-2023学年高一上册期末考试数学试卷（含答案）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤9，则A B =（A ）[5,3]-（B ）(3,1]-（C ）[3,1)-（D ）[3,3]-（2）已知命题:p 1x ∃<，21x ≤，则p⌝为（A ）1x ∀≥,21x >（B ）1x ∃<,21x >（C ）1x ∀<,21x >（D ）1x ∃≥,21x >（3）如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（A ）CB（B ）AD（C ）BD （D ）CD （4）若a b >，则下列不等式一定成立的是（A ）11a b<（B ）22a b >（C ）e e a b--<（D ）ln ln a b>（5）不等式2112x x +-≤的解集为（A ）[3,2]-（B ）(,3]-∞-（C ）[3,2)-（D ）(,3](2,)-∞-+∞ （6）正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB AD +=uu u r uuu r（A ）1（B ）3（C （D （7）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C （单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位：km ）之间满足的关系为80022000C s s=++，则当C 最小时，的值为（A ）20（B ）（C ）40（D ）400（8）设2log 3a =，则122a +=（A ）8（B ）11（C ）12（D ）18（9）已知为单位向量，则“||||1+-=a b b ”是“存在0λ>，使得λb =a ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失.在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度（单位：米）是影响疏散的重要因素.在特定条件下，疏散的影响程度与能见度满足函数关系：0.20.1,1.4,0.110,110,b x k ax x x ⎧<⎪⎪=+⎨⎪⎪>⎩≤≤，，（,a b 是常数）.如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，的值是（参考数据：lg30.48≈）（A ）0.24-（B ）0.48-（C ）0.24（D ）0.48第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市西城区2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题1.已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A. {﹣1，1}【答案】CB. {﹣2，0}C. {﹣2，0，2}D. {﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】利用交集直接求解．【详解】∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x y 02.方程组的解集是（）y 2x22A.{(1，﹣1),(﹣1，1)} C.{(2，﹣2),（﹣2，2)}B.{(1，1),(﹣1，﹣1)} D.{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【解析】【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．x y 0x 1x 1【详解】方程组的解为或，y 2y 1y 1x22其解集为{(1,1),(1,1)}．故选：A．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为(x,y)，一个解可表示为(1,1)．13.函数y＝x的定义域是（）x 1A. [0，1)B. (1，+∞)C. (0，1)∪(1,+∞)D. [0，1)∪(1,+∞)【答案】D 【解析】 【分析】x 0由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组 x 1 0，解出即可求得定义域．x 0【详解】依题意， x 1 0，解得x ≥0 且x ≠1，即函数的定义域为[0，1)∪(1，+∞)，故选：D ．【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题． 4.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（ ） y l og xA. y ＝x +1 【答案】DB. y ＝x ﹣1 C. y ＝2xD.2 12【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x +1，为一次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于B ，y ＝x ﹣1，为二次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 2 对于C ，y ＝2 ，为指数函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；x y l og x对于D ，，为对数函数，在 (0，+∞)上单调递减，符合题意；1 2故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 5.设a ＝log 2 A. a ＜b ＜c 【答案】A0.4，b ＝0.4 ，c ＝2 ，则a ，b ，c 的大小关系为（）20.4B. a ＜c ＜bC. b ＜a ＜cD. b ＜c ＜a【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解，要借助于中间值0 和 1 比较．【详解】∵log 0.4＜log 1＝0，∴a＜0，22∵0.4 ＝0.16，∴b＝0.16，2∵2 ＞2 ＝1，∴c＞1，0.40∴a＜b＜c，故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．b0c d06.若a，，则一定有（）A.ac b d ac bdB.C.ad bcD.ad bc【答案】B【解析】d0c d0，由于a b0试题分析：根据c，有bd,ac bd，故选B.，两式相乘有ac考点：不等式的性质.a,b R ，则a b a b7.设“”的（）”是“A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】b试题分析：因为a成立，a,b的符号是不确定的，所以不能推出a b成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D．考点：充分必要条件的判断．8.某种药物的含量在病人血液中以每小时 20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么 x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ）A. 2000(1﹣0.2x )mgB. 2000(1﹣0.2)x mgD. 2000•0.2x mgC. 2000(1﹣0.2 )mgx 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数模型求得函数 y 与 x 的关系式．【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时 20%的比例递减，给某病人注射了该药物 2000mg ，经过 x 个小时后，药物在病人血液中的量为 y ＝2000× (1﹣20%) ＝2000×0.8 (mg )， x x 即 y 与 x 的关系式为 y ＝2000×0.8． x 故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题． r r9.如图，向量a b 等于（）u r u u r A. 3 ﹣ u r u u r e 3eu r u u r 3e eu r u u r e 3eD.e eB. C.12121212【答案】B 【解析】 【分析】r r根据向量减法法则，表示出a b，然后根据加法法则与数乘运算得出结论． u r u u rr r a b e 3e，【详解】 ＝ 12故选：B ．【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础．本题属于基础题．10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1） 所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调 整后y 与x 的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2） 对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图 （3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【详解】由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图(3)成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C ．【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．二、填空题11.已知方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和 x ，则x +x ＝_____． 222 1 2 1 2【答案】14 【解析】 分析】利用韦达定理代入即可．【详解】方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和x ， 2 1 2x +x ＝4，x x ＝1， 1 2 1 2x +x ＝ (x +x ) ﹣2x x ＝16﹣2＝14， 2 2 2 1 2 1 2 1 2故答案为：14．【点睛】考查韦达定理的应用，基础题．r r r r r12.已知向量a ＝(1,﹣2)，b ＝(﹣3,m )，其中 m ∈R ．若a ，b 共线，则|b |＝_____．【答案】3 5 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示求出 m ，再由模的坐标运算计算出模．r r【详解】∵ ， 共线，∴m －6＝0，m ＝6，a br∴ b (3) 6 3 5 ． 22 故答案为：3 5 ．【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题． a 1b 913.已知函数 f (x )＝log 3x ．若正数 a ，b 满足，则 f (a )﹣f (b )＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接代入函数式计算．a 1f (b) l og a l og b l og l og 2 【详解】 f (a) ． b 93 3 3 3 故答案为： ．2 【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础．本题属于基础题．x 2,x 0f x 14.函数 的零点个数是_____；满足 f (x 0 )＞1 的 x 的取值范围是_____． x 2 3,x 0【答案】 (1). 2 (2). （﹣1，0）∪（2，+∞）【解析】 【分析】(x) 0 直接解方程 f 求出零点即可知零点个数，注意分段函数分段求解．解不等式 f (x )＞1 也同样由函数 0 解析式去求解．0 f (x) x3 0 0 ， 3 ，当 x 时， f(x) x 2 0, x 2 ，共 2 个零点，即 【详解】 x 时， 2 x 零点个数为 2；0 f (x) x3 1 x 0 ( ) 2 1, 1 时， f x x ，即 1 0 ，x当 x ∴ f 时， ， 2 ，当 x 2 x (x ) 1 (1,0) U (2, ) 的 的取值范围是 x． 0 0故答案为：2；(1,0)U (2, )．【点睛】本题考查分段函数，已知分段函数值求自变量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范 围即可．15.已知集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}，B ＝{x |x ＞c }，其中 c ∈R ．①集合∁ A ＝_____；②若∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 2 Rx ∈B ，则 c 的取值范围是_____． 【答案】 (1). {x |﹣2＜x ＜3}(2). （﹣∞，﹣2]【解析】 【分析】①先求出集合 A ，再利用补集的定义求出∁ A ；R ②由对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，所以 A ∪B ＝R ，从而求出 c 的取值范围． 【详解】①∵集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}， 2 ∴∁ A ＝{x |﹣2＜x ＜3}； R②∵对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，∴A ∪B ＝R ， ∵集合 A ＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}，B ＝{x |x ＞c }， ∴c ≤﹣2，∴c 的取值范围是： (﹣∞，﹣2]， 故答案为：{x |﹣2＜x ＜3}； (﹣∞，﹣2]．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属 于基础题．16.给定函数 y ＝f (x )，设集合 A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得 x +y ＝0 成立，1x1则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②y ；③y＝lgx．其中，具有性质的函Pyx2数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题17.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5 人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5 人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．3【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）5【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5 人中男生人数和女生人数．(Ⅰ)记这5人中3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1 名女1 2 3 1 2生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19232012832053，女生人数为52．(Ⅰ)记这5人中的3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，1 2 3 1 2则样本空间为：Ω＝{(B，B)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2(G ，G )}，1 2 样本空间中，共包含 10 个样本点． 设事件 A 为“抽取的 2 人中恰有 1 名女生”，则 A ＝{ (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )}， 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 63P A事件 A 共包含 6 个样本点． 从而 10 5 3所以抽取的 2 人中恰有 1 名女生的概率为 ．5【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x 3f x l og8 2 的图象为曲线 C ，函 数 g x 18.在直角坐标系 xOy 中，记函数 的图象为曲线x13C ． 2（Ⅰ）比较 f （2）和 1 的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线 C 在直线 y ＝1 的下方时，求 x 的取值范围； 1 （Ⅲ）证明：曲线 C 和 C 没有交点．1 2 【答案】（Ⅰ）f (2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log 5,3)；（Ⅲ）证明见解析 2 【解析】 【分析】 (Ⅰ)因为 f2l og 8 2 l og 4 ，求出 f (2)的值，结合函数的单调性判断 f (2)和 1 的大小．2332 1 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，推出log 8 ．求解即可．x3(Ⅰ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C 和 C 没有交点．1 2 f 2 l og 8 2 l og 4 【详解】解： (Ⅰ)因为，2 33又函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数， 3 所以 f (2)＝log 4＞log 3＝1．3 3 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，log 8 2 1 所以．x 3因为 函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数，3 所以 0＜8﹣2 ＜3， x 即 5＜2＜8， x 所以 x 的取值范围是 (log 5，3)．2(Ⅰ)因为f(x)有意义当且仅当8﹣2 ＞0，x解得x＜3．所以f(x)的定义域为D＝(﹣∞，3)．1g(x)有意义当且仅当x﹣3≥0，解得x≥3．所以g(x)的定义域为D＝[3，+∞)．2因为D∩D＝，1 2所以曲线C和C没有交点．1 2【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1 次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）3【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）；（Ⅲ）甲8【解析】【分析】(I)由频率分布图中频率之和为1，可计算出a；(I I)事件“甲恰有1次中靶环数大于7”表示第一次中靶环数大于7，第二次中靶环数不大于7，和第一次中靶环数不大于7，第二次中靶环数大于1，由相互独立事件的概率公式可计算概率；(I I I)估计两人中靶环数的均值差不多都是8，甲5 个数据分布均值两侧，而乙6个数据偏差较大，甲较稳定．a1(0.190.450.290.01)0.06【详解】(I)由题意；(II)记事件 A 甲中射击一次中靶环数大于 7，则 P (A) 0.45 0.29 0.01 0.75，甲射击 2 次，恰有 1 次中靶数大于 7 的概率为：3P P(AA) P(AA) P(A)P(A) P(A)P(A)0.750.25 0.250.75； 8(III)甲稳定．【点睛】本题考查频率分布图，考查相互独立事件同时发生的概率，考查用样本数据特征估计总体的样本 数据特征，属于基础题．x 1, 20.已知函数． f x x21 （Ⅰ）证明：f (x )为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f (x )是(1，+∞)上的减函数； （Ⅲ）当 x ∈[﹣4，﹣2]时，求 f (x )的值域．1,1 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3【解析】 【分析】(I)用偶函数定义证明； (II)用减函数定义证明；(III)根据偶函数性质得函数在[4,2] 上的单调性，可得最大值和最小值，得值域． 【详解】(I)函数定义域是{x |x 1},x 1 x 1 f (x )f (x) , (x ) 1 x 12 2 (x) ∴ f 是偶函数；1 x 1 1 x 11 x x (II)当 x 时， f x，设， 1 x 1 x 1 1 2 x2 2 11xx(x ) f (x )则 f ， 2 1 1 2x11 x21 (x 1)(x 1)121 x x x 1 0, x1 0, x x 0，∵，∴ 121221f (x ) f (x ) 0 f (x ) f (x ) ，∴ ，即 1 2 1 2在(1,)上是减函数；(x) ∴ f(III)由 (I) (II)知函数 f(x) [4,2] 在 上是增函数， 4 1 1 2 1 (x)f (4)f (x) f (2) ， 1， ∴ f (43 (2) 1min2 max 2 1[ ,1] ∴所求值域为 ． 3【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．21.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量 x （单位：千件）183x 5,0 x 6 8 间的函数关系是C ＝3+x ；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是Sx . 14, x 6（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量 x 的函数； （Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）确定 5 千件时，利润最大． 【解析】 【分析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润； (II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．183x5 (3 x),0 x6 S C 8 y (万元)，则 y【详解】(I)设利润是 x ， 14 (3 x), x 6 182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6∴ ； 18 9 0 x 6时， 2 2 2[(8 x) ]18 y x (II)， x 8 8 x9 由“对勾函数”知，当8 x，即 x 6 5时， 6 ， y 8 xm ax 6 11 5 当 x ∴ x时， y x 是减函数， x 时， y， m ax5时， 6 ，ym ax∴生产量为 5 千件时，利润最大．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式．属于基础题．x , x P f x 22.设函数 其中 P ，M 是非空数集．记 f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }． x , x M（Ⅰ）若 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)，求 f (P )∪f (M )；（Ⅱ）若 P ∩M ＝∅，且 f (x )是定义在 R 上 增函数，求集合 P ，M ； （Ⅲ）判断命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”的真假，并加以证明．的【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M ＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求出 f (P )＝[0，3]，f (M )＝ (1，+∞)，由此能过求出 f (P )∪f (M )．(Ⅰ)由 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0，得到当 x ＜0 时，f (x )＜0， (﹣∞，0)⊆P ． 同理可证 (0， +∞)⊆P ． 由此能求出 P ，M ．(Ⅰ)假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ．证明 0∈P ∪M ．推导出 f (﹣x )＝﹣x ，且 0 0 f (﹣x )＝﹣ (﹣x )＝x ，由此能证明命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”是真命题． 0 0 0 【详解】(Ⅰ)因为 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)， 所以 f (P )＝[0，3]，f (M )＝(1，+∞)， 所以 f (P )∪f (M )＝[0，+∞)．(Ⅰ)因为 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0， 所以当 x ＜0 时，f (x )＜0，所以(﹣∞，0)⊆P ． 同理可证(0，+∞)⊆P ． 因为 P ∩M ＝∅，所以 P ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M ＝{0}． (Ⅰ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ． 首先证明 0∈P ∪M ．否则，若 0∉P ∪M ，则 0∉P ，且 0∉M ， 则 0∉f (P )，且 0∉f (M )，即 0∉f (P )∪f (M )，这与 f (P )∪f (M )＝R 矛盾． 若∃x ∉P ∪M ，且 x ≠0，则 x ∉P ，且 x ∉M ， 00 0 0所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|4−x>0}，B={x|x>1}，则A∩B=()A. φB. (1,4)C. (1,+∞)D. (4,+∞)2.已知函数f(x)=sinx−x，则下列错误的是()A. f(x)为奇函数B. f(x)在R上单调递减C. f(x)在R上无极值点D. f(x)在R上有三个零点3.已知向量a⃗=(2,−1)，a⃗+b⃗ =(5,k)，且a⃗⊥b⃗ ，则k=()A. 5B. −5C. 52D. −524.执行如图所示的程序图，输出的S值为()A. −1B. 12C. 1D. 25.已知向量a⃗=(−2,m)，b⃗ =(1,m2)，m∈R，则“a⃗⊥b⃗ ”是“m=2”的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6.设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则能推出m⊥β的是()A. α⊥β，α∩β=l，m⊥lB. α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC. α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD. n⊥α，n⊥β，m⊥α7.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为()A. 4B. 8C. 43D. 838.已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2,如果g(x)=f(x)−log5|x+1|，则函数g(x)的所有零点之和为()A. −10B. −8C. 0D. 8二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知sinα=35，且α∈(π2,π)，则cosα=______ ．10.已知等差数列{a n}的公差为3，且a2=−2，则a6=______．11.已知{2x+3y≤6x−y≥0y≥0则z=3x+y的最大值为______ ．12.一天晚上，甲、乙、丙、丁四人要过一座吊桥，这座吊桥只能承受两个人的重量，且过桥需要手电筒照明，其中甲过桥要1min，乙过桥要2min，丙过桥要5min，丁过桥要8min，而且只有一个手电筒，所以过去的人要把手电筒再送过去，则最快过桥需要____________min．13.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k的图象，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为__________．14.已知函数f(x)={3|x−1|x>0−x2−2x+1x≤0，若关于x的方程f2(x)+(a−1)f(x)=a有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx−2sin2ωx(其中ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．(1)求ω的值及f(x)的单调减区间；(2)若f(x0)=15,x0∈[−π12,π4]，求f(x0+π6)的值．16.等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=2,a4=12．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA=2，E为PD的上一点，且PE=2ED．(Ⅰ)若F为PE的中点，求证：BF//平面AEC；(Ⅱ)求三棱锥P−AEC的体积．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin(A+B)a+b =sinA−sinBa−c，b=3．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若cosA=√63，求△ABC的面积．19.设f(x)=e x(ax2+x+1)，且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行．(Ⅰ)求a的值，并求f(x)的极值；(Ⅱ)k(k∈R)如何取值时，函数y=f(x)+kx2e x存在零点，并求出零点．20.已知二次函数ℎ(x)=ax2+bx+2，其导函数y=ℎ′(x)的图象如图，f(x)=6lnx+ℎ(x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(1,m+12)上是单调函数，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A={x|x<4}；∴A∩B={x|1<x<4}=(1,4)．故选：B．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：∵f(x)=sinx−x，∴f(−x)=sin(−x)+x=−sinx+x=−(sinx−x)，故f(x)为奇函数，即A正确；又∵f′(x)=cosx−1≤0恒成立，故f(x)在R上单调递减，即B正确；故f(x)在R上无极值点，即C正确；故f(x)在R上有且只有一个零点，即D错误；故选：D由已知中函数的解析式，分析出函数的奇偶性，单调性，是否存在极值及零点个数，可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，单调性，是否存在极值及零点个数，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．3.答案：A解析：解：b⃗ =a⃗+b⃗ −a⃗=(3,k+1)；∵a⃗⊥b⃗ ；∴a⃗⋅b⃗ =2⋅3+(−1)⋅(k+1)=0；解得k=5．故选：A．根据a⃗,a⃗+b⃗ 的坐标即可求出b⃗ =(3,k+1)，而由a⃗⊥b⃗ 即可得出a⃗⋅b⃗ =0，这样进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件．4.答案：A解析：【分析】本题考查的知识要点：程序框图的应用，属于基础题．直接利用程序框图得循环结构求出结果．【解答】解：在执行循环前：k=1，S=2，在执行第一次循环时：由于k<9，，所以：k=2，S=12在执行第二次循环时，k=3，S=−1，在执行第三次循环时，k=4，S=2，，在执行第四次循环时，k=5，S=12在执行第五次循环时，k=6，S=−1，在执行第六次循环时，k=7，S=2，在执行第七次循环时，k=8，S=1，2当k=9时，S=−1，不满足k<9，直接输出S=−1．故选：A．5.答案：B解析：【分析】本题考查了向量的坐标运算，考查充分必要条件的定义，是基础题．由向量垂直的坐标表示求得m值，再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】)，m∈R，a⃗⊥b⃗ ，解：∵向量a⃗=(−2,m)，b⃗ =(1,m2=0，解得m=±2．∴a⃗⋅b⃗ =0，即−2+m22∴“a⃗⊥b⃗ ”是“m=2”的必要不充分条件．故选：B．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查空间线面关系、面面关系等知识，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．逐一进行判断即可．【解答】解：对于A，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于B，α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β⇒α//β，而m⊥α，则m⊥β，故正确．故选D．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查了棱锥的体积，空间几何体的三视图，属于基础题．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱锥，如图所示，则体积为13×12×22×2=43．故选C．8.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的周期性和函数零点与方程根的关系，根据函数f(x)的周期性可画出函数f(x)的图象，在同一坐标系中再画出函数y=log5|x+1|的图象，根据两函数图象的交点情况可以判断出零点的个数．【解答】解：由题意可得g(x)=f(x)−log 5|x +1|，根据周期性画出函数f(x)=(x −1)2的图象以及y =log 5|x +1|的图象，根据y =log 5|x +1|在(−1,+∞)上单调递增函数，当x =6时，log 5|x +1|=1，∴当x >6时，y =log 5|x +1|>1，此时与函数，y =f(x)无交点．再根据y =log 5|x +1|的图象和f(x)的图象都关于直线x =−1对称，结合图象可知有8个交点，则函数g(x)=f(x)−log 5|x +1|的零点个数为− 8，故选B ．9.答案：−45 解析：解：∵sinα=35，且α∈(π2,π)，∴cosα=−√1−sin 2α=−45． 故答案为：−45．本题考查同角三角函数基本关系的运用，利用同角三角函数的平方关系，即可得出结论． 10.答案：10解析：解：在等差数列{a n }中，∵公差为3，且a 2=−2，∴a 1+d =−2，即a 1=−5．则a 6=a 1+5d =−5+5×3=10．故答案为：10．由已知条件求解得到a 1的值，然后利用等差数列的通项公式化简代值即可得答案．本题考查了等差数列的通项公式，是基础题．11.答案：9解析：解：作出不等式组{2x +3y ≤6x −y ≥0y ≥0表示的平面区域得到如图的△AB0及其内部，其中A(3,0)，B(65,65)，O(0,0)设z =F(x,y)=3x +y ，将直线l ：z =3x +y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值∴z 最大值=F(3,0)=3×3+0=9故答案为：9作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABO及其内部，再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=0时，z=3x+y取得最大值为9．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．12.答案：15解析：【分析】此题主要考查了应用类问题，结合实际发现用时最少的两人先过桥往返送灯会节省时间是解题关键，关键是此题的条件中必须有一人来回送手电筒，回来的时间越短，则总时间就越短．【解答】解：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送灯会节省时间，故：(1)1分钟的甲和2分钟的乙先过桥(此时耗时2分钟)．(2)1分钟的甲回来，(此时共耗时2+1=3分钟)．(3)5分钟的丙和8分钟的丁过桥(共耗时2+1+8=11分钟)．(4)2分钟的乙回来(共耗时2+1+8+2=13分钟)．(5)1分钟的甲和2分钟的乙过桥(共耗时2+1+8+2+2=15分钟).此时全部过桥，共耗时15分钟．故答案为15．13.答案：8解析：【分析】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．【解答】x+φ)取最小值−1时，解：由题意可得当sin(π6函数取最小值y min=−3+k=2，解得k=5，x+φ)+5，∴y=3sin(π6x+φ)取最大值3时，∴当3sin(π6函数取最大值y max=3+5=8，故答案为8．14.答案：(−2,−1)解析：解：函数f(x)={3|x−1|x >0−x 2−2x +1x ≤0，的图象如图： 关于x 的方程f 2(x)+(a −1)f(x)=a ，即f(x)=−a 或f(x)=1f(x)=1时有3个不等的实数根，f(x)=−a 时，有4个不等的实数根，由函数f(x)图象，可得−a ∈(1,2)，∴a ∈(−2,−1)．故答案为(−2,−1)．画出函数的图象，f(x)=1时有3个不等的实数根，f(x)=−a 时，有4个不等的实数根，利用函数的图象，求解a 的范围．本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力． 15.答案：解：(1)函数f(x)=2√3sinωxcosωx −2sin 2ωx ， =√3sin2ωx −(1−cos2ωx)， =2sin(2ωx +π6)−1，(ω>0)由于函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．故，解得ω=1，所以f(x)=2sin(2x +π6)−1．令π2+2kπ≤2x +π6≤2kπ+3π2(k ∈Z)， 解得：π6+kπ≤x ≤kπ+2π3，(k ∈Z)， 所以f(x)的单调减区间为[π6+kπ,kπ+2π3](k ∈Z)．(2)由于f(x 0)=15,x 0∈[−π12,π4]， 所以：f(x 0)=2sin(2x 0+π6)−1=15，解得：sin(2x 0+π6)=35，由于x 0∈[−π12,π4]，所以：2x 0+π6∈[0,2π3]， 则：cos(2x 0+π6)=45，则：cos2x 0=cos[(2x 0+π6)−π6]=cos(2x 0+π6)cos π6+sin(2x 0+π6)sin π6 =4√3+310 所以f(x 0+π6)=2sin(2x 0+π2)−1=2cos2x 0−1=4√3−25．解析：本题考查的知识要点：两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，函数y =Asin(ωx +φ)性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．(1)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，根据周期求得ω，得到函数解析式，进一步求出函数的单调区间．(2)利用(1)的函数解析式将f(x 0)=15化简整理，根据cos2x 0=cos[(2x 0+π6)−π6]展开求值，最后代入f(x 0+π6)即可求出结果．16.答案：解：(Ⅰ)设数列a n 的公比为q ，则{a 2=a 1q =2a 4=a 1q 3=12 解得q =12,a 1=4(负值舍去)．所以a n =a 1q n−1=4⋅(12)n−1=2−n+3．(Ⅱ)因为a n =2−n+3，b n =log 2a n ，所以b n =log 22−n+3=−n +3，b n −b n−1=(−n +3)−[−(n −1)+3]=−1，因此数列{b n }是首项为2，公差为−1的等差数列，所以T n =n(2+3−n)2=−n 2+5n 2．解析：(Ⅰ)由a 2=2,a 4=12，利用等比数列的通项公式得{a 2=a 1q =2a 4=a 1q 3=12，解得q =12,a 1=4，由此能求出数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)因为a n =2−n+3，b n =log 2a n ，所以b n =log 22−n+3=−n +3，由此能求出数列{b n }的前n 项和T n ．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．17.答案：(Ⅰ)证明：连接BD 交AC 于O ，连接OE ，∵E 为PD 的上一点，且PE =2ED ，F 为PE 的中点∴E 为DF 中点，OE//BF又∵BF ⊄平面AEC ，∴BF//平面AEC(Ⅱ)解：∵侧棱PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD∴PA⊥CD，∵CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又AD=2AB=2PA=2，∴三棱锥P−AEC的体积为V P−AEC=V C−AEP=13CD⋅S△PAE=13CD⋅23S△PAD=29×1×12×1×2=29解析：本题考查线面平行，考查三棱锥的体积，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确运用转换底面法求体积．(Ⅰ)利用三角形中位线的性质，OE//BF，再利用线面平行的判定定理，即可证得BF//平面AEC；(Ⅱ)证明CD⊥平面PAD，从而三棱锥P−AEC的体积转化为求三棱锥C−AEP的体积，即三棱锥C−PAD的体积的23．18.答案：解：(Ⅰ)因为A+B+C=π，所以A+B=π−C，所以sin(A+B)=sinC，由正弦定理得：ca+b =a−ba−c，整理得a2+c2−b2=ac，由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12.又B∈(0,π)，所以B=π3．(Ⅱ)因为cosA=√63，且A∈(0,π)，所以sinA=√1−cos2A=√33，由正弦定理可得：√33=√32，解得a=2.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√33×12+√63×√32=√3+3√26.所以△ABC的面积S=12 absinC=12×2×3×√3+3√26=√3+3√22．解析：本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由三角形内角和定理和诱导公式，正弦定理化简已知等式得a2+c2−b2=ac，由余弦定理求出cos B的值，结合范围B∈(0,π)，可求B的值；(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由正弦定理可得a的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．19.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=e x(ax2+x+1+2ax+1)…(2分)由已知条件知，f′(1)=0，故a+3+2a=0⇒a=−1…(3分)于是f′(x)=e x(−x2−x+2)=−e x(x+2)(x+1)…(4分)故当x∈(−∞,−2)∪(1,+∞)时，f′(x)<0；当x∈(−2,1)时，f′(x)>0．从而f(x)在x=−2处取得极小值−5e−2，在x=1处取得极大值e…(8分)(Ⅱ)由y=f(x)+kx2e x=e x[(k−1)x2+x+1]=0，得(k−1)x2+x+1=0(∗)…(10分)当k=1时，方程(∗)有一解x=−1，函数y=f(x)+kx2e x有一零点x=−1；…(11分)当k≠1时，方程(∗)有二解⇔△=−4k+5>0⇔k<54，函数y=f(x)+kx2e x有两个零点x=−1±√−4k+52(k−1)；方程(∗)有一解⇔△=0⇔k=54，函数y=f(x)+kx2e x有一个零点x=−2…(13分)综上，当k=1时，函数有一零点x=−1；当k=54时，函数有一零点x=−2；当k<54且k≠1时，函数y=f(x)+kx2e x有两个零点x=−1±√−4k+52(k−1)…(14分)解析：(Ⅰ)求导函数，利用曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行，即可求a的值，确定函数的单调性，可求f(x)的极值；(Ⅱ)由y=f(x)+kx2e x=e x[(k−1)x2+x+1]=0，得(k−1)x2+x+1=0，分类讨论，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．20.答案：解：(1)由已知，ℎ′(x)=2ax+b，其图象为直线，且过(0,−8)，(4,0)两点，把两点坐标代入ℎ′(x)=2ax+b，∴{2a=2b=−8，解得：{a=1b=−8，∴ℎ(x)=x2−8x+2，ℎ′(x)=2x−8，∴f(x)=6lnx+x2−8x+2，(2)f′(x)=6x +2x−8=2(x−1)(x−3)x，∵x>0，∴x，f′(x)，f(x)的变化如下：要使函数f(x)在区间(1,m+12)上是单调函数，则{m+12≤31<m+12，解得：12<m≤52．解析：本题考查了求函数的解析式问题，考查导数的应用，考查函数的单调性问题，是一道中档题．(1)先求出f(x)的导数，通过待定系数法求出a，b的值，从而求出f(x)的解析式；(2)求出f(x)的导数，得到函数的单调区间，集合函数的单调性求出m的范围即可．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测
高一年级数学试卷 2020.1
(考试时间120分钟 满分150分)
本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分
第一部分 （选择题 共50分）
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.
1. 已知集合{}1,0,1A =-，集合{}
2
Z 20B x x x =∈-≤，那么A
B 等于
（A ）{}1- （B ）{}0,1 （C ）{}0,1,2
（D ）{}1,0,1,2-
2. 已知命题2:1,1p x x ∀<->，则p ⌝是
（A ）21,1x x ∃<-≤ （B ）21,1x x ∀≥-> （C ）21,1x x ∀<-> （D ）21,1x x ∃≤-≤
3. 下列命题是真命题的是
（A ）若0a b >>，则22ac bc > （B ）若a b >，则22a b >
（C ）若0a b <<，则22a ab b << （D ）若0a b <<，则
11a b
> 4. 函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期是
（A ）
π2
（B ）π （C ）2π （D ）4π
5. 已知函数()f x 在区间(0,)+∞上的函数值不恒为正，则在下列函数中，()f x 只可能是
（A ）12
()f x x = （B ）()sin 2f x x =+ （C ）2()ln(1)f x x x =-+
（D ）21,0
()1,0x x f x x x ⎧->=⎨-+≤⎩
6. 已知,,a b c R ∈，则“a b c ==”是“222a b c ab ac bc ++>++”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
7. 通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关
系为lg 4.8 1.5E M =+.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为12,E E ，则1E 和2E 的关系为 （A ）1232E E = （B ）1264E E =
（C ）121000E E =
（D ）121024E E =
8. 已知函数4
()()f x x a a R x
=+
-∈，2()43g x x x =-++，在同一平面直角坐标系里，函数()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧有两个交点，则实数a 的取值范围是 （A ）{}3a a <-
（B ）{}3a a >-
（C ）{}3a a =- （D ）{}34a a -<<
9. 已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关
系不可能是 （A ）a b c == （B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>
10. 已知正整数1210,,
,x x x 满足当i j <（*,N i j ∈）时，i j x x <，且
22212102020x x x +++≤，则91234()x x x x x -+++的最大值为
（A ）19 （B ）20 （C ）21
（D ）22
第二部分（非选择题 共100分）
二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分. 11. °sin330=________.
12. 若集合{}
220A x x ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围是________.
13. 已知函数2()log f x x =，在x 轴上取两点12(,0),(,0)A x B x （120x x <<），设线段AB
的中点为C ，过,,A B C 作x 轴的垂线，与函数()f x 的图象分别交于111,,A B C ，则点1C 在线段11A B 中点M 的________.（横线上填“上方”或者“下方”）。