理论力学--质点力学习题

R mg cos m v2 2mg cos
2014/3/13
第一章 习题课
（4） （5）
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1.40 (P82)一质点受一与距离成反比的引力作用在 一直线上运动,质点的质量为m,比例系数为k.如此质 点从距原点O为a的地方由静止开始运动,求其达到O 点所需的时间.
解： f k / x
运动方程 mx f k / x
r r 2 sin r 2r cos
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第一章 习题课
3
v xi y j r cos r sin i r sin r j
a xi y j r r 2 cos r 2r sin i r r 2 sin r 2r cos j
理论力学
教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
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第一章 习题课
1
第一章 习题课
1.4 (P76) 细杆OL绕O点一匀角速w转动,并推动小环
C在固定的钢丝AB上滑动.图中的d为一已知常数, 试求小环的速度及加速度的量值.
解：小环C作一维运动，以AB为x轴，A为坐标原点
x
tan
g
tan
2v02
cos2
,
y
tan
g
tan
2v02
cos2
tan
d x2 y2 x 1 tan2
tan
g
tan
2v02
cos2
1 cos
2v02 cos sin
g
cos2
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第一章 习题课
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d
2v02 g
cos sin
cos2
求极值。一阶导数为零
ds p
tan1 1 tan2 1
1
,
4
2
4
3
4
2
1
2
v uek
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第一章 习题课
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1.20 (P79)一枪弹以仰角a,初速v0自倾角为的斜面
的下端发射.试证子弹击中斜面的地方和发射点 的距离d(沿斜面度量)及此距离的最大值分别为
d
2v02 g
cos sin
cos2
dmax
2mg cos ,式中为水平线和质点运动方向
之间的夹角.已知圆滚线方程为
x a2 sin 2 , y a 1 cos 2
解: 切向方程 m dv mg sin
dt
法向方程 R mg cos m v2
几何关系 sin dy / ds
（1） （2） （3）
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第一章 习题课
x d tan
x d tan '
d
1 cos2
w
L
Ax
dw sec2 w d 2 w2 / d
d
B
x dw
sec2
'
dw2 2sin cos3
O
2w2x d 2 x2 / d 2
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第一章 习题课
2
1.7 (P77)试自
x r cos, y r sin 出发,计算 x 及 y .并由此推出径向加速度 ar 及 横向加速度a .
2v02 g
sec2
4
2
解： mx 0,
y
my mg
v
两次积分
x tv0 cos ,
y
tv0
sin
1 2
gt
2
x
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第一章 习题课
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消去t，得轨道方程
y
x tan
1 2
v02
g
cos2
x2
（1）
斜面方程为 y x tan
（2）
(1)、(2)两式联立,求得枪弹落在斜面上的点：
dd
d
2v02 g cos2
d
d
cos
sin
0
给出
cos2 0
即 2
2
42
2
dmax
2v02 g
cos
sin
2
cos2
2
2
2v02 g
sec2
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4
2
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第一章 习题课
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1.29 (P80)一质量为m的质点自光滑圆滚线的尖 端无初速地下滑.试证在任何一点的压力为
r 2
（5）
椭圆运动中，其周期为 2 a3/2 所所以(5)式变为
k
dr dt
4 2a2 r2 2
a
2e2
a
r 2
积分
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2
dt
1 a
rdr
a2e2 a r2
第一章 习题课
（6）
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题设
2
dt T
a r aecos E
则(6)变为
M a ae cos E aesin EdE
i i 'cos j 'sin, j i 'sin j 'cos y
v r cos r sin i 'cos j 'sin
j' r i'
r sin r i 'sin j 'cos
j
ri ' r j '
o i
x
同理可证：
故 vr r, v r
ar r r 2, a r 2r
即 mxdx k dx
x
积分得
x
xdx
x
k
dx
0
a mx
x2 2k ln x 2k ln a mam x
x 2k ln a mx
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第一章 习题课
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dx 2k ln a
dt
mx
t
0
dt
dx
0
a 2k ln a
mx
0
t
dx
a 2k a
ln
mx
dx dt 2k ln a mx
解：
r2 h,
p
h2 k2
a
1 e2
（1） （2）
将（2）代入（1） r2 k a 1 e2 （3）
行星椭圆运动的总能量 1 mv2 k2m k2m
2
r
2a
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第一章 习题课
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即
r2
r
2
k2
2 r
1 a
（4）
(3)代入(4)：
r2
k2 r2a
a
2e2
a
,
p
所以 dv 2k v2
dt
O
x
而
ds ds dt v dt
d dt d d
p 2
,
p
于是
dv 2kv d
dt
dt
或
dv 2kd
v
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第一章 习题课
5
dv 2kd
v
v dv
2k
2 d
uv
1
ln
v u
2k
2
1
v ue2k2 1
因为 tan dy y
d
r r0
h
0
ln r 1 a2 h2
r0 h
上式变为
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第一章 习题课
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1.49 (P83)在行星绕太阳运动的椭圆运动中，如令
轴，ae为r 偏a心eco率s E，, E2为dt一个T ，新式参中量t，为在周天期文，学a为叫半做长
偏近点角。试由能量方程导出下面的开普勒方程
M E esin E
2 dr
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第一章 习题课
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1.46 (P83)质点在有心力作用下运动.此力的量值为
质点到力心距离r的函数,而质点的速率则与此距离
成反比,即 v a / r. 如果 a2 h2 h r2 , 求质点的轨道
方程.设当 r r0 时, 0 .
解： 已知 F F r v a / r
a
a2e2 a2e2 cos2 E
M 1 ecos E dE
M E esin E
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第一章 习题课
开普勒方程
20
• 1.45, 1.50
作业
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第一章 习题课
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而
v2 r2 r 2
所以
r2
r
2 a2 r2
利用 r2 h 可得
r2
1 r2
a2 h2
dr 1 a2 h2 dt r
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第一章 习题课
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注意到
dr dt
dr
d
d
dt
dr d
h r2
dr
d
dr 1 a2 h2 d
rh
r dr 1
a2 h2
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第一章 习题课
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1.10 (P77)一质点沿抛物线 y2 2 px运动.其切向加 速度的量值是法向加速度量值的 2k 倍.如此质 点从正交弦 p / 2, p的一端以速度u出发,试求其 达到正交弦另一端时的速率.
解：
dv
v2
a dt , an
题设 a 2kan
y
p 2
解： x r cos, y r sin
x r cos r sin y r cos r sin
x r cos r sin r sin r sin r 2 cos
r r 2 cos r 2r sin
y r sin r cos r cos r cos r 2 sin
m a dx
2k 0 ln a x
a m 1 dy a m
2k 0 ln y
2k
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第一章 习题课
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1.41 (P82)试导出下面有心力量值的公式:
F mh2 dp2 2 dr
式中m为质点的质量,r为质点到力心的距离, h r2 常数 , p为力心到轨道切线的垂直距离.
解：
动能定理
d
1 2
mv
2
F
d
r
（1）
角动量守恒 mh mr2
（2）
角动量还可以表示为 r mv mvr sin mvp
所以 mvp mh
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即 vh/ p
第一章 习题课
（3）
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(3)代入(1)，并注意到
F d r Fdr
得:
d
1 2
m
h2 p2
Fdr
即
F mh2 dp2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0
-0 .5
-1
-1 .5
-2
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（3）代入（1）：
dv dt
g
dy ds
即 vdv gdy
初始时刻 t 0, , x a, y 0,v 0
2
v
y
0 vdv 0 gdy
v 2gy
ds d
dx
d
2
dy
d
2
4a cos
将（4）、（5）代入（2）：