概率论与数理统计第2章作业题解(初稿)

第二章作业题解：

2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和

，求X 的概率分布，并验证

其满足(222)式.

解:

2 36 ； 4

36 ；

分别用 A i , B i (i 1,2)表示甲乙第一、二

次投中，则

P(A 2) 0.3,P(BJ P(B 2) 0.4,P(Bj P(B 2) 0.6,

两人两次都未投中的概率为：

P(A 1A 2B 1 B 2) 0.3 0.3 0.6 0.6 0.0324，

两人各投中一次的概率为：

P (A 1A 2瓦B 2)P (AX 瓦BJ P (A 2A 1B ^B 2) P (A 1A 2B 2

B 1) 4 0.7 0.3 0.4 0.6 0.2016

两人各投中两次的概率为：

P(A 1A 2B 1B 2) 0.0784。所以：

(1)

两人投中次数相同的概率为 0.0324 0.2016 0.0784 0.3124

(2) 甲比乙投中的次数多的概率为：

2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1。

并且，

P(X 2) P(X 12) 36 ； P(X

3) P(X 11)

P(X

4) P(X

10) 3

36 ； P(X

5) P(X

9)

5

6

P(X 6) P(X 8) —；P(X 36

7)

。 36

即 P(X

k)

6 |

7 k| (k =2,3,4,5,6

「,7,8,9 =10,11,12

)

2.2 设离散型随机变量的概率分布为

P{X k} ae k , k 1,2 ，试确定常数a.

解: 根据

k P(X k) 1，得

k k

ae

i 1

、k

a(e )

k 0

1，即

ae 1

1 e 1

1。

2.3 和0.4 ,今甲、 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7 (1)两人投中的次数相同；(2)甲比乙投中的次数多

乙各投篮两次， 求下列事件的概率:

解: P(AJ P(A 2) 0.7,P(A) 由表格知X

P(A I A 2B I B 2)P( A 1A 2 B 2 B I ) P( A 1A 2 B 1B 2) P (A 1A 2 Bi B 2) P( A 1A 2 B1B 2)

2 0.49 0.4 0.6 0.49 0.36

2 0.21 0.36

0.5628

1 2

3 2 解：(1)P(1 X 3)

15 15 15

5

1 2

1 (2) P(0.5 X 2.5) P(X 1) P(X 2)

15 15

5

1

2.5设离散型随机变量 X 的概率分布为P{X k} r ，k 1,2,3,,，求

2k

2.6设事件A 在每次试验中发生的概率均为 0.4 ,当A 发生3次或3次以上时，指示灯发出

信号，求下列事件的概率：

(1)进行4次独立试验，指示灯发出信号；(2)进行5次独立试验，指示灯发出信号.

解: (1)P(X 3) P(X 3) P(X 4)

3

3

4

C 40.4 0.6 0.4 0.1792

(2) P(X 3) P(X 3) P(X 4) P(X 5)

C ；0.43 0.62 C ；0.44

0.6 0.45

0.31744 .

2.7某城市在长度为t (单位：小时)的时间间隔内发生火灾的次数 X 服从参数为0.5t 的泊

松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率：

(1) 某天中午12时至下午15时未发生火灾； (2) 某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.

k

1 5

解：(1) P(X k) e ，由题意， 0.5 3 1.5,k 0,所求事件的概率为 e .

.

k!

2.4设离散型随机变量 X 的概率分布为P{X

k k} i5，k 1Z3,4,5

，求

(1) P(1 X 3)

(2) P(0.5 X 2.5)

(1) P{X 2,4,6 };

⑵ P{X 3}

解：(1)P{X

2,4,6

22

22

(1

(2) P{X 3}

1 P{X

1} P{X

2}

⑵P(X 2) 1 e e 1 e e ,由题意，0.5 4 1.5，所求事件

0! 1!

的概率为1 3e

2.8为保证设备的正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员 •现有同类设备180台，且

各台设备工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是 0.01，假设一台设备的故障由一人进 行修理，问至少应配备多少名修理人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不 小于0.99? 解：设应配备 m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为

X,则X ~ B （180，0.01）。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于 0.99,即P （X m ） 0.99，也即

P （X m 1） 0.01

因为n =180较大，p =0.01较小，所以X 近似服从参数为 180 0.01 1.8的泊松分布。

查泊松分布表，得，当 m +1=7时上式成立，得 m =6。 故应至少配备6名设备维修人员。

0， x p 1000

解：一个元件使用 1500小时失效的概率为

2.10设某地区每天的用电量 X （单位：百万千瓦？时）是一连续型随机变量，概率密度函数为:

假设该地区每天的供电量仅有 80万千瓦？时，求该地区每天供电量不足的概率 .若每天的供

电量上升到90万千瓦？时，每天供电量不足的概率是多少

？

解：求每天的供电量仅有 80万千瓦？时，该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区 用电量X 超过80万千瓦？时（亦即X 0.8百万千瓦？时）的概率：

0.8 0.8 2

P(X 0.8)=1-P(X 0.8)=1-

f (x)dx 1 o 12x(1 x) dx

1 (6x 2

8x 3

3x 4

) 0.8

0.0272

若每天的供电量上升到 90万千瓦？时，每天供电量不足的概率为:

2.9某种元件的寿命 X （单位：小时）的概率密度函数为:

1000

f(x)

—，x 1000 求5个元件在使用

1500小时后，恰有2个元件失效的概率。

P(1000 X 1500)

1500

1000 2 dx

x

1000 设5个元件使用1500小时失效的元件数为

2

1 2 P(Y 2) C ；q)2 2、3 80

)

3 243

1500

100C x 1000

Y ，则Y ~ B （5」）。所求的概率为

3

f(x)

12x(1 x)2, 0p xp 1, 0，其他