§17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式

2、两角和、差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
➢复数的代数形式 z a bi
➢复数的三角形式 z r(cos isin )
其中r= z 0, . 且有r cos a, r sin b.
三角形式 有哪些特征？
➢确定复数的三角形式，需要先明确什么？ 模和辐角
➢两个共轭复数的模和辐角有什么关系？ 模相等，辐角互为相反数
1.指出下列复数的模和辐角：
(1) cos 210o i sin 210o;
(2) （ 2 cos i sin ）;
5
5
2.将下列复数的代数形式化成三角形式：
(1) z1 5; (2)z2 1 i;
则 z2 z2 z1 z1 z1 z1

r2
(cos2

i
sin2 )

r1[cos(1)
z1 2

i
sin(1)]
z2 z1

r2 r1
[cos(2
1) i sin(2
1 )]
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的差．
计算：[6(cos 70o isin 70o)][3(cos 40o isin 40o)]. 解：原式 2[ cos(70o 40o) i sin(70o 40o)]
r1r2 (cos1 i sin1)(cos2 i sin2 ) r1r2 (cos1 cos2 i cos1 sin2
i sin1 cos2 i2 sin1 sin2 ) r1r2[cos1 cos2 sin1 sin2
i( cos1 sin2 sin1 cos2 )] z1 z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
(3) z4 2i;
(4)
z5


1 2

3 i. 2
三角形式下复数的乘法！
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2 (cos2 i sin2 ). 则z1 z2 r1(cos1 i sin1) r2 (cos2 i sin2 )
由此可见， 复数的积的模等于模的积， 复数的积的辐角等于辐角的和．
计算：（3 cos i sin ） 4(cos i sin ).
6
6
12 12
解：原式 4 3[ cos( ) i sin( )]
4
3(cos
6
12 i sin

)
6 12
复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
棣莫弗定理：[r(cos i sin )]n rn (cos n i sin n ).
源自文库
计算：(1)(cos 40o i sin 40o)9; (2)(1 3i)2012.
解：(1)原式 cos 360o i sin 360o 1



) i sin(

)]
66
66
3(cos i sin ) 3 3 3 i
3 z3 z z z (
3 3)3[cos(
2
2 3)
i sin(
3)]

6
6
3 3(cos i sin ) 3 3i
2
2
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂，
2(cos30o i sin 30o) 3 i.
计算： 6(cos 50 i sin 50）. 3(cos 20 i sin 20)
复数的乘方！
若z 3(cos i sin )，求z2与z3的值.
6 解：z2 z z (
3
6 )2[cos(
17.4 复数三角形式的乘除法 与棣莫弗定理
学习目标
1、理解复数的三角形式的乘除法法则;
2、理解、掌握复数三角形式的乘方法则， 即棣莫弗定理； 3、能熟练地进行复数的三角形式的乘、除、 乘方运算。
1、两角和、差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
本节课
学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？ 何处还需要注意？
P77 T（1） P78 T(1)
(2)原式 [2(cos i sin )]2012
3
3
22012 (cos 2012 i sin 2012 )
3
3
22012 (cos 2 i sin 2 )
3
3
22012 ( 1 3 i) 22011 22011 3i 22
计算：(1)(cos 5o i sin 5o)6; (2)( 3 1 i)4. 22
4
4
2 6 2 6i.
（1） 2(cos 50 i sin 50) • 3(cos 40 i sin 40) （计2）算：（4 cos 20 i sin 20） 3(cos 40 i sin 40).
复数的除法运算！
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2 (cos2 i sin2 ).