§17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式

三角形式下复数的乘法！
设z1 r1 (cos 1 isin 1 ), z2 r2 (cos2 isin 2 ). 则z1 z2 r1 (cos 1 isin 1 ) r2 (cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 isin 1 )(cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 cos 2 i cos 1 sin 2 i sin 1 cos 2 i 2 sin 1 sin 2 ) r1r2 [cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i( cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 )] z1 z2 r1r2 [cos(1 2 ) isin(1 2 )]
由此可见， 复数的积的模等于模的积， 复数的积的辐角等于辐角的 和 ．
i sin ） 4(cos i sin ). 6 6 12 12 原式 4 3[ cos( ) i sin( )] 解： 6 12 6 12 4 3(cos i sin ) 4 4 2 6 2 6i.
计算：（ 3 cos




（） 1
2(cos50 i sin 50 ) 3(cos 40 i sin 40 )；

2
计算： （ 4 cos120 isin120） 3(cos30 isin 30).
复数的除法运算！ 设z1 r1 (cos 1 isin 1 ), z2 r2 (cos2 isin 2 ). z2 z2 z1 则 z1 z1 z1 r2 (cos 2 i sin 2 ) r1[cos(1 ) i sin(1 )] 2 z1 z2 r2 [cos( 2 1 ) i sin( 2 1 )] z1 r1
指出下列复数的模和辐角： (1) cos 210 i sin 210 ; (2)5(cos 3 i sin 3); (3) （ 2 cos

5
i sin

5
） ; (4)2(sin1 i cos1).
将下列复数的代数形式化成三角形式： (1) z1 5; (2) z2 1 i; 1 3 (3) z4 2i; (4) z5 i. 2 2
复数及其应用
§17.4.1复数三角形式的乘除法 与棣莫弗定理
复数的代数形式
复数的三角形式
z a bi z r (cos isin )
三角形式 有哪些特征？
其中r= z 0, . 且有r cos a, r sin b.
确定复数的三角形式，需要先明确什么？ 模和辐角 两个共轭复数的模和辐角有什么关系？ 模相等，辐角互为相反数


由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
n n
[r (cos isin )] r (cos n isin n ). 棣莫弗定理：
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计算： (1)(cos 40 i sin 40 )9 ; (2)(1 3i) 2012 . 1 cos360 i sin 360 (1)原式 解： 2012 (2)原式 [2(cos i sin )] 3 3 2012 2012 2012 2 (cos i sin ) 3 3 2 2 2012 2 (cos i sin ) 3 3 1 3 2012 2 ( i) 22011 22011 3i 2 2
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
问题解决
当n取什么正整数时，z= 1 3i 是一个实数？


n
n 3k , k Z .
本节课 学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
何处还需要注意？
归纳
乘法：
复数的积的模等于模的积，
复数的积的辐角等于辐角的 和 ．
复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的 差 ． 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
除法：
乘方：
计算：
1
3+4i
2 3i
2
;
2
2 2 2i 3 4i
2
3
;
1 2i 3 3 2 2 3i 3 3i 3i i 4
6(cos 50 i sin 50） 计算： . 3(cos 20 i sin 20)
复数的乘方！
若z 3(cos
i sin )，求z 2与z 3的值. 6 6 2 2 解：z z z ( 3) [cos( ) i sin( )] 6 6 6 6 3 3 3 3(cos i sin ) i 3 3 2 2 3 3 z z z z ( 3) [cos( 3) i sin( 3)] 6 6 3 3(cos i sin ) 3 3i 2 2
2 3
;
21 2
i i 2 6i

.
关键点拨：如果我们要求几个复数积或商或幂的模，那么可以利用 z1 z1 n n z1 z2 = z1 z2 、 = 和 z z 进行计算，而不需要 z2 z2 先算出积、商、幂之后再求模.
作业
P82 习题1.1 — 6
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的 差 ．
计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )].
原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )] 解：

2(cos30 isin 30 ) 3 i.