电动力学作业第二章

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郭硕鸿《电动力学》课后答案

解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为和，电位移分别设为和，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为
取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得：
同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
因此
即只有切向分量，从而只有切向分量，电场线与导体表面平行。
14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，板间填充电导率为的非磁性物质。
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。
（2）求随时间的衰减规律。
（3）求与轴相距为的地方的能量耗散功率密度。
在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
所以有，
由于E
所以 E
当介质漏电时，重复上述步骤，可得：
，，
介质1中电流密度
介质2中电流密度
由于电流恒定，，
再由E 得
E
E E
E
E
12.证明：
（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足
其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
其中和为球面的极化面电荷激发的电势，满足拉普拉斯方程。由于对称性，和均与无关。考虑到时为有限值；时，故拉普拉斯方程的解为：
由此（1）
（2）
边界条件为：（3）
（4）
将（1）（2）代入（3）和（4），然后比较的系数，可得：
于是得到所求的解为：
在均匀介质内部，只在自由电荷不为零的地方，极化电荷才不为零，所以在球体内部，只有球心处存在极化电荷。

电动力学第2章 2-4

q ⎡1 1 1 1⎤ ϕ= − + ⎥ ⎢ − 4πε 0 ⎣ R R1 R2 R3 ⎦
3、线电荷对无限大导体平面的镜像
位于无限大接地导体平面附近的无限长直线电荷问题也可由镜像法求解。设线电荷距导体平面为h，单位长度带电荷ρl ，则其像电荷仍是无限长线电荷，其中像电荷的线密度为 ρl ’=- ρl ，像电荷的位置为z’=-h 在z>0的上电Q，则还需要在球心放置一个点电荷Q。
3、球内点电荷的镜像
在半径为a的接地导体球壳内，有一点电荷q，它与球心相距为d (d<a),如图所示。求球内的电位分布和球面上总感应电荷。解：与点电荷位于导体球外的情况做类似的处理。这里像电荷q’应位于导体球壳外且在球心与点电荷q的连线的延长线上，如图所示。设像电荷距球心为d，同样有球壳内任一点的电位则为
§2.4
镜像法(电象法)
在许多静电场问题中，电荷位于导体表面附近、或位于电介质分界面附近。对这类问题，直接求解泊松方程（或拉普拉斯方程）会遇到很大困难，这时可采用镜像法间接求解。镜像法是一种间接求解方法，它是在所求解的场区域以外的空间中某些适当的位置上设置适当的等效电荷（称为像电荷），在保持场域边界面上所给定的边界条件下，用像电荷替代导体面上或介质面上的复杂电荷分布，把求解边值问题转换为求解无界空间的问题。根据唯一性定理，只要由源电荷与像电荷共同产生的位函数既满足场域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足边界上所给定的边界条件，则这个位函数就是唯一正确的解。
在介质分界面z＝0处，电位满足边界条件
总
结：
（１）点电荷对导体平面的镜象一个点电荷Q，若距无限大的电位为零的导体平面为d，则其镜象电荷为在平面另一侧，距平面为d处的点电荷-Q。（２）点电荷对导体球的镜象一个点电荷Q，若离半径为a的接地导体球球心为d，则其镜象电荷Q’位于球心及Q所在点的联线上，距球心为b， a 并且 a2 Q Q ' = − b= d d （３）点电荷对电介质平面的镜像其中：q’位于点电荷的异侧， q’’位于点电荷的同侧。

电动力学第2章 2-6

v 当电荷分布区域的线度远小于R时，可以把 x′ 各分量
r r f (x − x')
看作小参量。设 2 则在 3 3 1 ∂ ∂ r r r r r f ( x − x ' ) = f ( x ) − ∑ xi ' f ( x ) + ∑ xi ' x j ' f (x) + L 附近的泰勒展开式为 i =1 ∂x 2! i , j =1 ∂x ∂x
1 ∇ =0 R
2
由于
，此时φ(2)形式不变，仍为
2 i, j ij
1 1 ∂ 1 ϕ = ∑D ∂x ∂x R 4πε 6
(2) 0 i j
但是电四极矩满足 D11 + D22 + D33 = 0 ，对只有5个独立分量。以后我们也将沿用此定义形式。可以验证：球对称电荷分布没有电四极矩；反过来，电荷分布偏离球对称性，电四极矩不为零。因此电四极矩反映了电荷分布是否具有球对称性。
二、电多极矩的概念
下面讨论展开式中各项的物理意义：（1） ϕ
(0)
=
Q 4πε 0 R
代表原点处点电荷Q激发的电势，即整个体系在远点产生的势相当于把整个体系的电荷都集中于原点处的贡献。
(1) ϕ （2）
v v v 1 1 P⋅R =− P ⋅∇ = 4πε 0 R 4πε 0 R 3
代表放于原点处的电偶极矩P在远处产生的电势，即体系产生的电偶极矩P放在原点处时产生的势。
l 0
当l为偶数当l为奇数
同理可以得到
§2.6 矩一、电势的多极展开
v ϕ (x) =
电多极
v
' ρ ( x ) 真空中给定电荷分布

电动力学第二章习题解答2

华中师大陈义成
= πR2 ∫ =
2.19
π/2
0
⎛ ∂ϕ ⎞ 9π R 2σ0 2 2 ⎟ ⎜ − = i d 3 σ sin θ cos θ θ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎝ ∂r ⎠ ε0 r=R
∫
π/2
0
sin θ cos3 θdθ
(9)
9π R 2σ0 2 4ε0
如图所示，内导体球半径为 a ，带电量为 Q ，
2
θ 项给出
A0 +
即
B0 =0 b
A0 = −
−
联立（2）、（3）、（6）式得到
Q 4πε 0b
（5）
B0 c B1 + A1b + 2 =0 2 b b
（6）
A1 =
Qc −Qca 3 B ， = 1 4πε 0 (b3 − a 3 ) 4πε 0 (b3 − a 3 )
3 ⎧ ⎫ cr ⎡ ⎛ a ⎞ ⎤ ⎪1 1 ⎪ − θ 1 cos ⎢ ⎥ ⎨ − + 3 ⎬ ⎜ ⎟ 3 − r b b a r ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
n=0
∞
介质中的电势 ϕ0 当 r → ∞ 时趋于均匀电场 E0 的电势，故
ϕ0 (r , θ ) = −E0 r cos θ + ∑
n=0
∞
bn Pn (cos θ ) r n+1
(4)
- 41 -
华中师大陈义成
球面上 r = R 处的边值关系为
ϕi (r , θ ) = ϕ0 (r , θ )
W = − pi E0 = −
导线外面是一对称的二维径向场，因此
E0 =
λ er 2πε 0 r

电动力学试题第二章.(DOC)

第二章一、选择题1、在两个夹角为900的接地导体平板内有一点电荷Q ，用镜像法求解空间电势时其像电荷的数目为［］：答：B (A) 两个 (B) 三个 (C) 四个 (D) 五个2、电四极矩可反映电荷分布对球对称的偏离，沿Z 轴方向拉长的旋转椭球体，其内部电荷均匀分布，则电四级矩D 33 [ ]。

答：A A). 大于0 B). 小于0 C). 等于0 D). 不确定一、填空题1、如果一个体系电荷分布关于原点对称，则它的电偶极矩p = 。

1答：02、电荷体系激发的势在远处的多级展开式为2ij i ,j 0i j 1Q 111(x )(p D )4R R 6x x Rϕπε∂=-⋅∇++∂∂∑展开式中第一项的物理意义是，第二项的物理意义是。

答：把电荷体系看作全部电荷集中于坐标原点处的点电荷所激发的势；放置在坐标原点处与电荷体系同等电偶极矩的等效电偶极子p 产生的电势。

3、对于均匀线性介质，静电场中电势ϕ满足的泊松方程为。

答：20/ϕρε∇=-二、判断题3、在稳恒电路中，供给负载消耗的电磁能量是通过导线内的电子运动传递给负载的。

（）×导线周围的电磁场三、综合题1、一个内径和外经分别为2R 和3R 的导体球壳，带电荷Q ，同心的包围着一个半径为1R 的导体球（12R R <）。

使这个导体球接地，（1）试用分离变量法求空间各点的电势；（2）求这个导体球的感应电荷。

1解：见教材第48页例题1.（1）电势满足拉普拉斯方程。

电势分布有球对称性。

球壳内外的电势通解为ϕϕ323ba (R R )R (R >R R )RI II dc =+>=+>选择无穷远处电势为0，则边界条件为12332IIIR=R R IIIR=R R=R 22I II R R R R 01) 02) Q3)-R d R d RR ϕϕϕϕϕϕΩΩε→∞==⎧⎪==⎪⎪=⎨⎪∂∂⎪+=⎪∂∂⎩⎰⎰确定解中的待定系数a 、b 、c 、d11100010Q Q Q Q a 0,b , c , d 444R 4πεπεπεπε=+==- = 其中 131111123Q Q R R R R ----=--+得电势的解： ϕπε130Q+Q (R R )4RI =>ϕπε12101Q 11()(R >R>R )4R R II =-（2）导体球的感应电荷为12201R R R d Q Rϕε=∂-Ω=∂⎰2、半径为0R ，电容率为ε的介质球置于均匀电场0E中，球外为真空，设球外电势分布为1ϕ，球内电势分布为2ϕ，试用分离变量法求空间电势ϕ1和ϕ2以及球内的电场E。

电动力学第二章习题解答1

⎛ ⎝
ε0 ⎞ ⎟ p 。 pf 和 p ′ 共同产生的电势为 ε1 ⎠ f
（1）
ϕ偶 =
pf i R p′i R p iR + = f 3 3 3 4πε 0 R 4πε 0 R 4πε1 R
2
设球面上极化电荷产生的电势为 ϕ ′ ， ϕ ′ 满足： ∇
ϕ ′ = 0 。空间总电势为
ϕ = ϕ偶 + ϕ ′ =
于是
⎧ϕ1 = Φ 0 ⎪ 3 ⎨ (Φ 0 − ϕ0 ) R0 E0 R0 + 2 cos θ ⎪ϕ 2 = ϕ0 − E0 R cos θ + ⎩ R R （二）导体球上带总电荷 Q ，这时
(5) (6)
⎧ ⎪ ⎪ϕ2 R →∞ = ϕ0 − E0 R cos θ ⎪ / ⎨ϕ2 R = R0 = ϕ1 R=R0 = Φ 0 ⎪ ∂ϕ 2 Q ⎪ = ⎪− ∫∫ S ∂n dS ε0 R = R0 ⎩
⎛ ⎝
a2 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎟ 处的电荷 ⎜ − q ⎟ 及球 r ⎠ ⎝ r ⎠
心（0，0，0）处的点电荷 ⎜
⎛a ⎞ q ⎟ 代替。这样，在点 (0,0, a + ) 处，场强 E 为 ⎝r ⎠
⎡ a r)q ⎤ ( q 1 ⎢(a r ) q ⎥ ez − − E= 4 πε 0 ⎢ a 2 (r − a ) 2 ( a − a 2 r )2 ⎥ ⎣ ⎦
球内、外电势分别为：
pf i R + ϕ′ 4πε1 R 3
⎧ bn ⎞ pf i R ⎛ n ⎪球内 : ϕ1 = 4πε R 3 + ∑ ⎜ an R + R n +1 ⎟ Pn (cos θ ) ⎠ n ⎝ ⎪ 1 ⎨ ⎪球外 : ϕ = pf i R + ⎛ c R n + d n ⎞ P (cos θ ) ∑ ⎜ n R n+1 ⎟ n 2 ⎪ 4πε1 R 3 n ⎝ ⎠ ⎩

电动力学西南师范大学出版社罗婉华第二章作业答案

习题二1．将一个位于真空中的带电导体球切成两半，求它们之间的排斥力．设球的半径为0R ，球的电势为0V ．答案： .ˆ2200z eV F πε= 解：0004R q V πε=，0004V R q πε=，.000R V εσ=z z e V e R F ˆ2ˆ22002002πεπεσ=⋅=２．内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质．⑴证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消．因此内部无磁场．⑵求f λ随时间的衰减规律．⑶求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度．⑷求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率． ⑵;0tf eεσλλ-=⑶22⎪⎪⎭⎫⎝⎛r f πελσ； ⑷.ln222ab l f πελσ解：⑴r f e r D ˆ2πλ=，.ˆ2r f e rDE πελε==.ˆ2r f f e r E J πεσλσ== .ˆ21r fD e tr t D J ∂∂=∂∂=λπ对两式求散度，并且由f D ρ=⋅∇ ，0=∂∂+⋅∇tJ ff ρ得f f tλεσλ-=∂∂，所以0=∂∂+tD J f。

因为介质是非磁性的，即H Bμ=，故任意一点，任意时刻有000=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⨯∇=⨯∇t D J H B fμμ ⑵由f f tλεσλ-=∂∂，解这个微分方程得()tf et εσλλ-=0⑶()222/r E E J p f f πελσσ==⋅=⑷长度为l 的一段介质耗散的功率为.ln 222222a bl rldr r f baf πελσππελσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰能量密度()22/,21r tw D E w f πελσ-=∂∂⋅=长度为l 的一段介质内能量减少率为 .ln2222ab l rldr tw f baπελσπ⎰=∂∂-３．一很长的直圆筒，半径为R ，表面上带有一层均匀电荷，电荷量的面密度为σ．在外力矩的作用下，从0=t 时刻开始，以匀角加速度α绕它的几何轴转动，如图所示．⑴试求筒内的磁感应强度B；⑵试求筒内接近内表面处的电场强度E和玻印廷矢量S ；⑶试证明：进入这圆筒长为l 一段的S 的通量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2022B l R dt d μπ．答案： ⑴ωσμR B 0=；⑵ωασμe eRr E r ˆˆ210⨯= ； r er R S ˆ212320ασμ-= ．解：⑴单位面电流ωσσπR lT Rl i ==2ωσμμR ei B z 00ˆ== ⑵在圆筒的横截面内，以轴线为心，r 为半径作一圆，通过这圆面积的磁通量为 ωσμπR r S d B s02=⋅=Φ⎰由法拉第定律，得 .21210d td Rrdtd r E ωσμπ-=Φ-=因为t αω= 所以ασμrR E 021-=考虑到方向，则有z r e erR E ˆˆ210⨯=ασμ 在筒内接近表面处，z r e eR E ˆˆ2120⨯=ασμ 该处的能流密度为 ()()z z r R R R e R e eR H E S ˆˆˆ2120ωσασμ⨯⨯=⨯=r et R ˆ212320ασμ-= 负号表明，S 垂直于筒表面指向筒内。

电机学第二章直流电机习题

电机学第二章直流电机习题(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直流电机一、填空1.直流电机的电枢绕组的元件中的电动势和电流是。

答：交流的。

2.一台并励直流电动机拖动恒定的负载转矩，做额定运行时，如果将电源电压降低了20℅，则稳定后电机的电流为倍的额定电流（假设磁路不饱和）。

T em=φIa答：倍。

3.并励直流电动机，当电源反接时，其中I a的方向，转速方向。

答：反向，不变。

4.直流发电机的电磁转矩是转矩，直流电动机的电磁转矩是转矩。

答：制动，驱动。

5.直流电动机电刷放置的原则是：。

答：空载时正、负电刷之间获得最大的电动势，这时被电刷短路的元件的电动势为零。

6.直流电动机调速时，在励磁回路中增加调节电阻，可使转速，而在电枢回路中增加调节电阻，可使转速。

答：升高，降低。

7.电磁功率与输入功率之差对于直流电动机包括损耗。

答：绕组铜损耗。

8.串励直流电动机在负载较小时，I；当负载增加时，T e，aI；负载增加时，n下降的程度比并励电动机要。

a答：小，增加，增加，严重。

9.并励直流电动机改变转向的方法有，。

答：将电枢绕组的两个接线端对调，将励磁绕组的两个接线端对调，但二者不能同时对调。

10.串励直流电动机在电源反接时，电枢电流方向，磁通方向，转速n的方向。

答：反向，反向，不变。

11.当保持并励直流电动机的负载转矩不变，在电枢回路中串入电阻后，则电机的转速将。

答：12.直流电机单叠绕组的并联支路数为答：2p。

13．直流发电机，电刷顺电枢旋转方向移动一角度，直轴电枢反应是；若为电动机，则直轴电枢反应是。

答：去磁的，增磁的。

二、选择填空1.一台串励直流电动机，若电刷顺转向偏离几何中性线一个角度，设电机的电枢电流保持不变，此时电动机转速。

A：降低 B：保持不变，C：升高。

答：C2.一台直流发电机，由额定运行状态转速下降为原来的30℅，而励磁电流及电枢电流不变，则。

电动力学答案chapter2

-5-
电动力学习题解答参考
第二章静电场
4
均匀介质球容率为 ε 2
电容率为 ε 1
的中心置一自由电偶极子 Pf
r
球外充满了另一种介质
电
求空间各点的电势和极化电荷分布
提示
同上题
φ=
r r Pf ⋅ R 4πε 1 R 3
+ φ ' ,而 φ ' 满足拉普拉斯方程
解
ε1
∂φ内 ∂R
= ε2
∂φ 外 ∂R 2 Pf cosθ l 1 + ∑ lAl R0 Pl 3 4πε 1 R0 2 Pf cosθ B − ∑ (l 1 l l 2 Pl 3 4πε 1 R0 R0
Qf
4πεR
与球面上的极化电荷所产生的电势的
叠加后者满足拉普拉斯方程解一. 高斯法在球外而言
R > R0 ,由高斯定理有
r r ε 0 ∫ E ⋅ ds = Q总 Q f + Q P = Q f
对于整个导体球
束缚电荷 Q P = 0)
r ∴E =
Qf 4πε 0R 2 Qf 4πε 0 R + C.(C是积分常数
导体球是静电平衡
是一个常数
ϕ外
R = R0
= ϕ 0 − E 0 R0 cosθ
b 0 b1 + cosθ = C R0 R02
∴ − E 0 R0 cosθ +
b1 3 cosθ = 0即 b1 = E 0 R0 2 R0
-3-
电动力学习题解答参考
第二章静电场
ϕ外 ϕ0
又由边界条件 −
3 b0 E 0 R0 E 0 Rcosθ + + cosθ R R2

电动力学作业及参考解答

习题与参考答案第1章电动力学的数学基础与基本理论1.1 A 类练习题1.1.1 利用∇算符的双重性质，证明（1）()A A A ϕϕϕ∇×=∇×+∇×r r r（2）2()()A A A ∇×∇×=∇∇⋅−∇r r r1.1.2 证明以下几个常用等式，其中()x r x x e ′=−r r ()()y z y y e z z e ′′+−+−r r ,a r为常矢量，(,,)u u x y z =。

（1）3r r ′∇⋅=−∇⋅=r r ，（2）0r ∇×=r，（3）r r r r ′∇=−∇=r ，（4）31r r r ∇=−r ，（5）30r r∇×=r，（6）330r r r r ⋅⋅′∇=−∇=r r (0)r ≠，（7）()a r a ∇⋅=r r r，（8）()dA A u u du∇×=∇×r r 。

1.1.3 从真空麦克斯韦方程出发，导出电荷守恒定律的微分形式和真空中的波动方程。

1.1.4证明均匀介质中的极化电荷密度与自由电荷密度满足关系式0(1/)p f ρεερ=−−。

1.1.5 已知电偶极子电势304p R R ϕπε⋅=r r ，试证明电场强度53013()[4p R R p E R Rπε⋅=−r r r r r 。

1.1.6 假设存在孤立磁荷（即磁单极），试改写真空中的麦克斯韦方程组以包括磁荷密度m ρ和磁流密度m J r的贡献。

答案：D ρ∇⋅=ur ， m B ρ∇⋅=u r ， m B E J t ∂∇×=−−∂u r u r u r ， D H J t∂∇×=+∂ur uu r ur 。

1.1.7 从麦克斯韦方程出发导出洛伦茨规范下的达朗贝尔方程，并证明洛伦茨规范中的ψ满足齐次波动方程，即222210c tψψ∂∇−=∂。

1.1.8 证明：（1）在静电情况下，导体外侧的电场总是与表面垂直；（2）在稳恒电流的情况下，导体内侧的电场总是平行于导体表面。

电动力学第二章

若轴对称，
u()abln
§3拉普拉斯方程——分离变量法例2：电容率为的介质球置于匀强外场中，求电势解：设：球半径为，球外为真空，该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外场方向的轴线。取此线为轴线，球心为原点建立球坐标系。以原点为电势0点，为球外势，为球内势能
1
写出通解通解为
上给定
（i）电势 S
或
（ii）电势的法向导数
n S
若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电
势或导体上的电荷。
则V内的电场唯一地确定。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．例如：① 电容器内部的电场是由作为电极的两个
导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的。
当带电体为一点电荷
静电场标势静电势的微分方程
a.边界条件
由边界条件
导体的静电条件归结为：
①导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上。
②导体内部电场为零。
③导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。
§1 静电场的标势及其微分方程 1。静电场标势 2。静电势的微分方程
的梯度、散度、旋度公式
§4 镜象法
一、研究的问题在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面
二、镜象法的基本思想在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或介质的极化电荷
§4 镜象法
三、理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候必须保证原有的场方程，边界条件不变

郭硕鸿《电动力学》习题解答完全版(1-6章)

l S
r
r r
r
r
∫ f ⋅ dl = ∫ ( f
l l
r
x
dl x + f y dl y + f z dl z )
r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f y )dS x + ( f x − f z )dS y + ( f y − f x )dS z ∇ × ⋅ dS = ∫ ( f z − ∫S S ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
节) 2 求
r r r r r r r r r r r r r r r ∇ ⋅ r , ∇ × r , (a ⋅ ∇)r , ∇(a ⋅ r ), ∇ ⋅ [ E 0 sin(k ⋅ r )]及∇ × [ E 0 sin(k ⋅ r )], 其中a , k 及E 0 均为常矢量
r (r 3 − r13 ) ρ f r ∴E = r , (r2 > r > r1 ) 3εr 3
7 有一内外半径分别为 r1 和 r2 的空心介质球求介质的电容率为 ε 使介质内均匀带静止自
由电荷 ρ f 1 2 解 1
空间各点的电场极化体电荷和极化面电荷分布
r r D ∫ ⋅ dS = ∫ ρ f dV ,
S
(r2>r>r1)
即
D ⋅ 4πr 2 =
4π 3 (r − r13 ) ρ f 3
3
r ex r ∂ ∇ × A(u ) = r∂x Ax (u )
r ey ∂ r ∂y Ay (u )
r ez r r r r r r ∂ ∂ A A ∂ ∂Ax r A ∂ A ∂ A r r ∂ y y x z z =( − )e x + ( − )e y + ( − )e z = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z y z z x x y r Az (u )

电动力学第二章答案

1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2/r K r P =，电容率为ε。

（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。

解：（1）P ⋅-∇=p ρ2222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=∇⋅+⋅∇-=⋅∇-=r r r)(12P P n -⋅-=p σR K R r r /=⋅==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内200)/()/(r K f εεεεεερ-=-⋅∇=⋅∇=P D 内（3）)/(/0εεε-==P D E 内内rr frKRr Ve e D E 200200)(4d εεεεπερε-===⎰外外 rKRr)(d 00εεεεϕ-=⋅=⎰∞r E 外外)(ln d d 00εεεεϕ+-=⋅+⋅=⎰⎰∞r R K RR rr E r E 外内内（4）⎰⎰⎰∞-+-=⋅=R R rrr R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 20))(1(2εεεεπε-+=K R2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ；（2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。

当0R R >时，电势ϕ满足拉普拉斯方程，通解为∑++=nn n nn n P R b R a )(cos )(1θϕ 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θϕθϕϕRP E R E -=-→ 所以 00ϕ=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n当 0R R →时，0Φ→ϕ所以 0101000)(cos )(cos Φ=+-∑+n nn nP R b P R E θθϕ 即： 002010000/,/R E R b R b =Φ=+ϕ所以 )2(,0,),(3010000≥==-Φ=n b R E b R b n ϕ⎩⎨⎧≤Φ>+-Φ+-=)()(/cos /)(cos 000230000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ（2）设球体待定电势为0Φ，同理可得⎩⎨⎧≤Φ>+-Φ+-=)()(/cos /)(cos 000230000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ当 0R R →时，由题意，金属球带电量Qφθθθϕθεϕεd d sin )cos 2cos (d 200000000R E R E S nQ R R ⎰⎰+-Φ+=∂∂-== )(40000ϕπε-Φ=R所以 00004/)(R Q πεϕ=-Φ⎩⎨⎧≤+>++-=)(4/)(cos )/(4/cos 00002300000R R RQ R R R R E R Q R E πεϕθπεθϕϕ 3. 均匀介质球的中心置一点电荷f Q ，球的电容率为ε，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。

电动力学章节练习题第一、二、三章

电动力学第一章练习一、填空1. 一个半径为a 的带电球，其介电常数为ε，电荷在球内均匀分布，总电荷为Q ，则球内电场满足=⋅∇E ____________，球外电场满足=⋅∇E____________。

2. 一个半径为a 的带电导体球处于静电平衡状态，所带总电荷为Q ，其介电常数为ε0，则球内电场满足=⋅∇E ____________，球外电场满足=⋅∇E____________。

3. 一个半径为a 的带电球，其介电常数为ε，电荷在球内均匀分布，总电荷为Q ，则球内电场满足=⨯∇E ____________，球外电场满足=⨯∇E ____________。

4. 电流I 均匀分布于半径为a 的无穷长直导线内，导线外为真空，则导线内磁场B⨯∇=__________，导线外磁场B⨯∇=_________。

5. 电流I 均匀分布于半径为a 的无穷长直导线内，导线外为真空，则导线内磁场B⋅∇=__________，导线外磁场B⋅∇=_________。

6. 位移电流的实质是。

介质中位移电流密度等于。

7. 在两种导电介质分界面上，优点和分布σ。

一般情况下，电流密度满足的边值关系是。

8. 坡印亭矢量描述。

9. 场强与电势梯度的关系式为 .。

10. 电量为q 的点电荷处于介电常数为ε的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为 .11. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为f J,磁化电流密度为M J ,磁导率μ,磁场强度为H ，磁化强度为M，则=⨯∇H ,=⨯∇M . 12. 介电常数为ε的均匀各向同性介质中的电场为E . 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝,则缝中电场强度大小为。

二、选择1. 在带自由面电流的磁介质界面上，两边介质的介电常数不同，这时候边值关系为： A. 磁感应强度法向不连续，磁场强度切向连续。

B. 磁感应强度切向连续，磁场强度法向不连续。

C. 磁感应强度法向连续，磁场强度切向不连续。

《电动力学第三版郭硕鸿》第1-5章练习题答案

9. S
10. 变化磁场激发电场
11. 电场强度随时间的变化率
∇
×
G E
=
−
G ∂B
12.
∂t
G ∇×H
=
G J+
G ∂D
13.
∂t
G 14. ∇ ⋅ D = ρ
G
15. ∇ ⋅ B = 0 16. 稳恒电流
G
G GG
17. f = ρ E + J × B (适用于电荷分布情况)
G
GG
18. e E + e v × B
0
Pn (cos
θ
)]
=
Q
⇒
b0
=
Q 4πε 0
, b1
=
−
E 0 R03 2
,bn
=
0(n
≠
0 ,1)
⇒
ϕ
=
− E 0 R cos θ
+
Q 4πε 0 R
−
E 0 R03 2R 3
cos
θ
-8-
《电动力学》各章练习题参考答案（2014） __________________________________________________________________________________
（三）证明题： 1. 书上内容P112-113。 2．书上内容P115。 3. 书上内容P115。 4. 书上内容P122。 5. 书上内容P126。
（四）计算、推导题：
1.解： G
GGG
(1)k G ek =
= G k
k
−3ex
+ G
ey
+ G
ez

郭硕鸿第三版电动力学第2章

三、静电场能量
1 线性介质中，静电场总能量为 W E DdV 2
E D E D D (D) D (D)
1 1 1 W E DdV dV (D)dV 2 2 2 1 1 dV D dS 2 2 S
(x' ) (x) dV dV ' r
例1：求均匀电场 E0的电势。
解：均匀电场可看作两无限大平行板组成的电容器产生的电场。因为电荷分布在无穷区域，可选取空间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势 0
0 ( P)
0
P
E dl
2、介质的磁化磁化电流密度磁化线电流密度
JM M M n (M 2 M1 )
1 1 M ( )B
各向同性介质
H
0
B
0

0
M

B

1
1 1 JM ( ) B
M (
0
1 )n ( B2 B1 )
1 W Q 2
3、静电场总能量
导体球的静电场总能量 1 W dV 2
2.2
唯一性定理
一、泊松方程和边界条件
假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。设V内所求电势为 i ，它们满足泊松方程
i i
2
(i 1,2, , m)
z E r 2rzE E 2r 0 0 20 r 2 R R dr R r dl ( R) ( R0 ) E dl R 2 R 2 r R 20 r 0 R ln R ln 取 ( R0 ) 0 ( R ) 20 R0 20 R0

北大电动力学课的作业～

电动力学习题（2008年9月）第一章电磁现象普遍规律1.1. 设 u 是空间坐标 x , y , z 的函数，证明：∇f (u ) = ,df u du ∇ (),d u u du ∇=∇A A ()d u u du∇⨯=∇⨯A A 1.2. 根据算符 ∇ 的微分性和矢量性，推导下列公式∇(A ∙B ) = B ⨯(∇⨯ A ) + (B ∙∇) A + A ⨯(∇⨯ B ) + ( A ∙∇)B ,A ⨯(∇⨯ A ) =12∇ A 2-( A ∙∇) A .1.3. 设 R =x ' 到场点 x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

(1) 证明下列结果，并体会对源变数求微商()x y z x y z∂∂∂'∇=++'''∂∂∂e e e 与对场变量求微商()x y z x y z∂∂∂∇=++∂∂∂e e e 的关系： ,R R R '∇=-∇=R 311,R R R'∇=-∇=-R 30,R ∇⨯=R 330.(0)R R R '∇=-∇=≠R R (2) 求∇∙R, ∇⨯R , (a ∙∇)R , ∇(a ∙ R ), ∇∙ [E 0sin(k ∙r )] 以及 ∇⨯[E 0sin(k ∙r )]，其中 a , k 及E 0 均为常矢量。

1.4. 若m 是常矢量，证明除 R=0 点外，矢量 3R ⨯=m R A 的旋度等于标量 3R ϕ=m R 的梯度的负值，即 ϕ∇⨯=-∇A 。

其中 R 为原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

1.5. 应用高斯定理证明,V S dv d ∇⨯=⨯⎰⎰⎰⎰⎰f s f 利用斯托克斯定理(用曲面积分来表示曲线积分) ,L S d d =∇⨯⎰⎰⎰f l f s 证明 S Ld d ϕϕ⨯∇=⎰⎰⎰s l 1.6. 球心为O 半径为 R 的均匀带电球，电荷密度为ρ，在O' 处挖去一个半径为R/2的空洞，OO'=R/2，试算出空洞内的电场强度。