用比例解决行程问题

★路程相同，速度比等于时间的反比
例1、（难度等级 ※※※）在一圆形跑道上，甲 从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分 后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？
例2、（难度等级 ※※※）上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出 发匀速去 A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到 原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、 乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分．
巩固训练 （难度等级 ※※※）甲、乙两车同时从 A地出发， 不停地往返行驶于 A、B 两地之间．已知甲车的 速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次 相遇都在途中 C 地．甲车的速度是乙车速度的 多少倍？
例4、（难度等级 ※※※※）甲、乙两人同时从A 地出发，在 A、 B 两地之间匀速往返行走，甲 的速度大于乙的速度，甲每次到达 A地、B 地或 遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 A、 B 之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇 点距离 B 地1800 米，第三次相遇点距离 B 地 800米，那么第二次相遇的地点距离B 地多少米？
s乙 v乙 t乙
由，s甲 v甲 t甲，s乙 v乙 t乙
得：s v甲 t甲 v乙 t乙
v甲 t乙 ，v t 乙 甲
，
甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度的反比
典型例题
模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题 例1、（难度等级 ※※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出 发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上 了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追 上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
s s t甲 甲 ，t乙 乙 v甲 v乙
s甲 s乙 t v甲 v乙
，
s甲 v甲 s乙 v 乙
，
2、当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同 的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。 s甲 v甲 t甲 s甲 s乙 s ，这里因为路程相同，即：
综合以上两种情况可以得到：
s 3 v 1 t2 t2 s 4 v 2 t1 t2 8
解得，t1=12 点32 t2=4 则t3=12，小明一共花了24分钟，现在是8
巩固训练
（难度等级 ※※※）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在 同一栋楼里．早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的 贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高 到原来的 2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校 服用去 6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时 是几点几分．
2、（难度等级 ※※※）如右图，A，B 是圆的直 径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向 而行，两人在 C 点第一次相遇，在 D 点第二次 相遇.已知 C 离 A 有 80 米，D 离 B 有 60 米 ，求这个圆的周长.
例3、（难度等级 ※※※※）甲、乙两人从相距 490 米的 A、 B 两地同时步行出发，相向而行， 丙与甲同时从 A出发，在甲、乙二人之间来回跑 步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知 丙每分钟跑 240 米，甲每分钟走 40 米，当丙 第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距 210 米，那么乙每分钟走________米；甲下一次 遇到丙时，甲、乙相距________米．
第一次遇到时：
s1 = 4千米 t1 = t2 + 8
s2 = 4千米 t2
他们行驶的距离相同，则：
v 1 t2 t2 v 2 t1 t2 8
第二次遇到时：
s3 = 4千米
花费了时间t3
s4 = 12千米 花费了时间t3
两人花费的时间相同，走过的路程不同，由上述第一种情况
Fra Baidu bibliotek
s3 v 1 s4 v 2
例2、（难度等级 ※※※※）甲、乙两人同时从山 脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人 的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且 甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在 离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰 好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？
第一次相遇时，他们行驶的路程相同，这时欢欢速度为v1，贝贝速度为v2，欢欢 用时t1=6分钟，贝贝用时t2
v 1 t2 v 2 t1
这时候然后欢欢往回走，速度提升到了原来的两倍，那么回家的时间就变成原来 的一半，花费了三分钟，加上换衣服的六分钟，一共九分钟，这时候是7点55，然 后换换用了5分钟赶到学校，和贝贝相遇。
例5、（难度等级 ※※※）A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果 在距 B 地 2400 米处相遇．如果乙的速度提高 到原来的 3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则 甲的速度是每分钟行多少米？
例6、（难度等级 ※※※）甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比 是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地 和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第 二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米， 则 A、 B 两地相距多少千米？
比例解决行程问题
教学目标
1、熟知行程中三个量的比例关系。 2、运用比例关系解决行程问题。
知识地位
比例的知识是小学数学最后一个重要内容， 从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知 识点”的角色。从一个工具性的知识点而言， 比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优 势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性 上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。 比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程 问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
例3、（难度等级 ※※※※）一列火车出发 1 小 时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 前进， 最终到达目的地晚1.5 小时．若出发 1 小时后 又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同 样以原速的 前进，则到达目的地仅晚1 小时， 那么整个路程为多少公里？
例4、（难度等级 ※※※※）一列火车出发 1 小 时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 前进， 最终到达目的地晚1.5 小时．若出发 1 小时后 又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同 样以原速的 前进，则到达目的地仅晚1 小时， 那么整个路程为多少公里？
例8、（难度等级 ※※※※）甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的 速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%， 乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙 离 A地还有 10 千米，那么 A、B 两地相距多少 千米？
例9、（难度等级 ※※※※※）早晨，小张骑车从 甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲 地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距 离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离 还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚 上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？
例2、（难度等级 ※※※）甲、乙两车分别同时从 A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相 遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回， 第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的 距离？
设两地的距离为s，第一次相遇时，甲从A地出发，那么甲走过的距离即为95千米 ，乙走过的距离为s-95，甲乙花费的时间相同则：
巩固训练
（难度等级 ※※※※）一辆汽车从甲地开往乙地， 如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按 原速行驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也 可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路 程的几分之几？
比例综合
例1、（难度等级 ※※※）甲、乙两人同时从 A地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时 到达 B 地，此时甲、乙共行了 35 千米．求 A， B 两 地间的距离．
s甲 v甲 95 s乙 v乙 s 95
第二次相遇时，甲走过距离为s+25，乙走过的距离为2s-25
s甲2 v甲 s 25 s乙2 v 乙 2s 25
巩固训练
1、（难度等级 ※※※）地铁有 A，B 两站，甲、 乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从 A， B 两站同时出发，他们第一次相遇时距 A 站 800 米，第二次相遇时距 B 站 500 米.问：两 站相距多远？
第二次相遇时，我们考虑从出发地到学校整个过程，她们走过的 路程相同，欢欢用时为5分钟，贝贝用时为 t2+14分钟，第二次 欢欢的速度提升到了原来的两倍
2v 1
v2
t 4 (t2 14 ) 2t2 t3 5 6
解得：t2=16 第一次相遇时，贝贝已经走了16分钟，所以她 是7点30出发的
巩固训练
（难度等级 ※※※）甲、乙两车分别从 A、B 两 地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车 的速度是乙车的速度的 ，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点 与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米， 那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？
例7、（难度等级 ※※※※）甲、乙两人同时从 A、 B 两点出发，甲每分钟行 80米，乙每分钟行 60 米，出发一段时间后，两人在距中点的 C 处相 遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7分钟，两 人将在距中点的 D 处相遇，且中点距 C 、 D 距离相等，问 A、 B 两点相距多少米？
用比例解决行程问题
主要分为两种情况：
1、当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一 段时间后，他们走过的路程之比等于他们的速度之比。 s甲 v甲 t甲 ，这里因为时间相同，即： t甲 t乙 t ，
s乙 v乙 t乙
所以由： 得到： 甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比