平行四边形章节测试题(提高篇)精编版
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R
P D C
B
A
E
F A
B
C
D
E F
O
D
A
B
C
P
M
N 平行四边形章节测试题（提高篇）
一、选择题：
1、菱形的的面积是38，一条对角线长是4，则菱形的周长是（ ） （A ）32 （B ）16 （C ）24 （D ）48
2、正方形的面积是5
2，则它的对角线长是（ ）
（A ）
552
（B ）2 （C ）54 （D ）5
10 3、如图，P 为正方形ABCD 的对角线AC 上任意一点， PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，
若AC=2，则四边形PEBF 的周长为（ ）
（A ）2 （B ）22 （C ）2 （D ）1 4、下列命题中，真命题是（ ）
（A ）对角线互相垂直的四边形是菱形
（B ）一组对边平行且有三边相等的四边形是菱形 （C ）对边都相等、邻角都互补的四边形是菱形
（D ）一组对角相等且这组对角被对角线平分的四边形是菱形
5、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E
处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）
（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）８
6、如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在
CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ) (A)线段EF 的长逐渐增大 (B)线段EF 的长逐渐减小
(C)线段EF 的长不变 (D)线段EF 的长与点P 在的位置有关
二、填空题： 7、若正方形的对角线长为2
cm ，则正方形的面积为＿＿＿。
8、若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm 两部分，则这个矩形周长是＿＿＿ 9、已知：如图，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，
若AE ＝4cm ，DF ＝3cm ，且OE ⊥OF ，则EF 的长为 。
10、如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、
N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．
A B
C
D E
F
A B
C
D
E
P
F
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11、如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和
BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 ．
12、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC⊥BD，垂足为O ，点E 、F 、G 、H 分别为边 AD 、
AB 、BC 、CD 的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH 的面积为 ．
三、解答题：
13、如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点， PE⊥BC，垂足为E ， PF⊥CD，垂足为F ，
求证：EF ＝AP
14、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，延长BA 到点D ，使AD=AB ．连接DE ，DF ．
（1）求证：AF 与DE 互相平分； （2）若BC=4，求DF 的长．
15、如图，四边形ABCD 中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD ≠BC ，对角线BD 与边DC 互相垂直，M 、N 、
H 分别是AD 、BC 、BD 的中点，且∠ABD=30°求：（1）MH 的长（2）MN 的长。
16、如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ． (1)求∠ABD 的度数；
(2)若菱形的边长为2，求菱形的面积。
17、如图，在RT ΔABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠CAB ， CE ⊥AB 交AD 于G ，DF ⊥AB 于F ，
求证：四边形CGFD 是菱形。
18、已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ． （1）求证：BE = DF ；
（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边
形？并证明你的结论．
C A G
F
E
B
D
G
F
E
D
C
B
A
19、如图所示
, ABCD 中,AE,AF 是高,∠BAE=30º,BE=2,CF=1,DE 交AF 于G. (1)求 ABCD 的面积; (2)求△ECD 的面积;
(3)求证:△AEG 为等边三角形.
20、如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =AC BD ，相交于点O ，将
直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此
时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．
A B C O
F E。
八年级初二数学第二学期平行四边形单元提高题学能测试试题
八年级初二数学第二学期平行四边形单元提高题学能测试试题一、解答题1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．2．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．3．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .4．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠． （1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．5．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．6．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．7．已知：如图，在ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，CF BA交PQ于点F，连接AF．过点C作//(1)求证：四边形AECF是菱形；AC ，AE=5，则求菱形AECF的面积．(2)若88．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？（3）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /秒的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．（1）求证：AG AE =（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM10．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。
初中数学平行四边形提高题及常考题及培优题含解析
数学平行四边形提升题与常考题和培优题(含分析 )一．选择题（共12 小题）1．如图， DE 是△ ABC的中位线，过点 C 作 CF∥ BD 交 DE 的延伸线于点 F，则下列结论正确的选项是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜ BD D．EF＞ DE2．如图，在△ ABC中，∠ ABC=90°，AB=8，BC=6．若 DE 是△ ABC的中位线，延长 DE 交△ ABC的外角∠ ACM 的均分线于点 F，则线段 DF 的长为（）A．7B．8C．9D．103．如图，在△ ABC中， AB=4，BC=6，DE、DF 是△ ABC的中位线，则四边形B EDF 的周长是（）A．5B．7C．8D．104．如图，在△ ABC中，点 D，E 分别是边 AB，AC的中点， AF⊥BC，垂足为点 F，∠ ADE=30°， DF=4，则 BF 的长为（）A．4B．8C．2D．45．如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B′的地点， AB′与 CD交于点 E，若 AB=8， AD=3，则图中暗影部分的周长为（）A．11 B．16 C．19D．226．如图，在 ?ABCD中， AB=6，BC=8，∠ C 的均分线交 AD 于 E，交 BA 的延伸线于 F，则 AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．67．如图，平行四边形ABCD的周长是 26cm，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AC⊥AB，E 是 BC中点，△AOD 的周长比△ AOB 的周长多 3cm，则 AE 的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm8．如图，在 ?ABCD中， AB=12，AD=8，∠ ABC的均分线交 CD 于点 F，交 AD 的延伸线于点 E，CG⊥BE，垂足为 G，若 EF=2，则线段 CG的长为（）A．B．4C．2D．9．对于 ?ABCD的表达，正确的选项是（）A．若 AB⊥ BC，则 ?ABCD是菱形B．若 AC⊥BD，则 ?ABCD是正方形C．若 AC=BD，则 ?ABCD是矩形 D．若 AB=AD，则 ?ABCD是正方形10．如图，在 ?ABCD中， BF均分∠ ABC，交 AD 于点 F，CE均分∠ BCD，交 AD 于点 E，AB=6，EF=2，则 BC长为（）A．8B．10 C．12D．1411．如图，将 ?ABCD沿对角线 AC折叠，使点 B 落在 B′处，若∠ 1=∠ 2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°12．已知菱形 OABC在平面直角坐标系的地点以下图，极点A（5，0），OB=4，点 P 是对角线 OB 上的一个动点，D（0，1），当 CP+DP 最短时，点 P 的坐标为（）A．（0，0） B．（1，）C．（，）D．（，）二．填空题（共12 小题）13．如图，在平行四边形ABCD中， AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形 ABCD的对角线 AC、 BD交于点 O，过点 O 作 OE⊥ AD，则 OE=．14．如图，在△ ABC中，点 D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的中点，且 AB=6cm，AC=8cm，则四边形 ADEF的周长等于cm．15．如图， ?ABCD中，∠ ABC=60°， E、 F 分别在 CD 和 BC的延伸线上， AE∥BD，EF⊥BC， EF=3，则 AB 的长是．16．有 3 个正方形以下图搁置，暗影部分的面积挨次记为S1，S2，则 S1：S2=．17．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， M 、N 分别是 AB、 AC的中点，延伸BC至点 D，使 CD= BD，连结 DM、DN、MN．若 AB=6，则 DN=．18．如图，在 ?ABCD中， E 为边 CD 上一点，将△ ADE沿 AE 折叠至△ AD′E处，AD′与 CE交于点 F．若∠ B=52°，∠ DAE=20°，则∠ FED′的大小为．19．如图，在 Rt△ABC中，∠ B=90°，AB=4，BC＞AB，点 D 在 BC上，以 AC 为对角线的平行四边形ADCE中， DE的最小值是．20．如图，把平行四边形 ABCD折叠，使点 C 与点 A 重合，这时点 D 落在 D1，折痕为 EF，若∠ BAE=55°，则∠ D1AD= ．21．如图，△ APB中， AB=2，∠ APB=90°，在 AB 的同侧作正△ ABD、正△ APE和正△ BPC，则四边形 PCDE面积的最大值是．22．如图，已知菱形 ABCD的边长 2，∠ A=60°，点 E、 F 分别在边 AB、AD 上，若将△ AEF沿直线 EF折叠，使得点 A 恰巧落在 CD边的中点 G 处，则 EF= ．23．如图，在菱形 ABCD中，过点 B 作 BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E， F，延伸 BD 至 G，使得 DG=BD，连结 EG， FG，若 AE=DE，则=．24．如图，在正方形ABCD中，对角线 AC 与 BD 订交于点 O，E 为 BC上一点，CE=5，F 为 DE 的中点．若△ CEF的周长为 18，则 OF的长为．三．解答题（共16 小题）25．如图，四边形 ABCD是平行四边形， AE 均分∠ BAD，交 DC的延伸线于点E．求证： DA=DE．26．如图，已知△ ABC，AD 均分∠ BAC交 BC于点 D，BC的中点为 M ，ME∥AD，交 BA 的延伸线于点 E，交 AC 于点F．（ 1）求证： AE=AF；（ 2）求证： BE= （AB+AC）．27．已知：如图，矩形ABCD的对角线 AC、 BD 订交于点 O，CE∥DB，交 AB 的延伸线于点 E．求证： AC=EC．28．如图，平行四边形ABCD中， BD⊥ AD，∠ A=45°，E、F 分别是 AB、CD上的点，且 BE=DF，连结 EF交 BD 于 O．（1）求证： BO=DO；（2）若 EF⊥ AB，延伸 EF交 AD 的延伸线于 G，当 FG=1时，求 AE的长．29．如图，在四边形ABCD中，∠ ABC=90°， AC=AD， M ，N 分别为 AC，CD的中点，连结 BM，MN，BN．（1）求证： BM=MN；（2）∠ BAD=60°，AC均分∠ BAD，AC=2，求 BN 的长．30．在平行四边形 ABCD中， E 是 AD 上一点， AE=AB，过点 E 作直线 EF，在EF 上取一点 G，使得∠ EGB=∠EAB，连结 AG．（1）如图①，当 EF与 AB 订交时，若∠ EAB=60°，求证： EG=AG+BG；（2）如图②，当 EF与 CD订交时，且∠ EAB=90°，请你写出线段 EG、AG、BG 之间的数目关系，并证明你的结论．31．如图，四边形 ABCD为平行四边形，∠ BAD的角均分线 AE 交 CD于点 F，交BC的延伸线于点 E．（1）求证： BE=CD；（2）连结 BF，若 BF⊥AE，∠ BEA=60°，AB=4，求平行四边形 ABCD的面积．32．如图， ?ABCD中， AB=2，AD=1，∠ ADC=60°，将 ?ABCD沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D′处，折痕交 CD边于点 E．（1）求证：四边形 BCED′是菱形；（2）若点 P 是直线 l 上的一个动点，请计算 PD′+PB 的最小值．33．如图，在 ?ABCD中，连结 BD，在 BD 的延伸线上取一点E，在 DB的延伸线上取一点 F，使 BF=DE，连结 AF、 CE．求证： AF∥CE．34．如图，在 ?ABCD中， E 是 BC的中点，连结 AE并延伸交 DC的延伸线于点 F．（1）求证： AB=CF；（2）连结 DE，若 AD=2AB，求证： DE⊥AF．35．如图， ?ABCD的对角线 AC、BD 订交于点 O，EF过点 O 且与 AB、CD分别相交于点 E、 F，连结 EC．（1）求证： OE=OF；（2）若 EF⊥ AC，△ BEC的周长是 10，求 ?ABCD的周长．36．如图，在 ?ABCD中， E、 F 分别为边 AD、BC的中点，对角线 AC 分别交 BE，DF于点 G、H．求证： AG=CH．37．如图，分别以Rt△ ABC的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD及等边△ABE，已知：∠ BAC=30°，EF⊥AB，垂足为 F，连结 DF．（1）试说明 AC=EF；（2）求证：四边形 ADFE是平行四边形．38．如图，BD 是△ ABC的角均分线，它的垂直均分线分别交A B，BD，BC于点 E，F，G，连结 ED，DG．（ 1）请判断四边形EBGD的形状，并说明原因；（ 2）若∠ ABC=30°，∠ C=45°，ED=2 ，点 H 是 BD 上的一个动点，求HG+HC 的最小值．39．如图 1，已知点 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD各边 AB，BC， CD，DA 的中点，依据以下思路能够证明四边形 EFGH是平行四边形：（ 1）如图 2，将图 1 中的点 C 挪动至与点 E 重合的地点， F，G，H 还是 BC，CD，DA 的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；（2）如图 3，在边长为 1 的小正方形构成的 5× 5 网格中，点 A，C，B 都在格点上，在格点上画出点 D，使点 C 与 BC，CD，DA 的中点 F，G，H 构成正方形 CFGH；（3）在（ 2）条件下求出正方形 CFGH的边长．40．我们给出以下定义：按序连结随意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图 1，四边形 ABCD中，点 E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点．求证：中点四边形 EFGH是平行四边形；（2）如图 2，点 P 是四边形 ABCD内一点，且知足 PA=PB，PC=PD，∠ APB=∠CPD，点 E，F，G，H 分别为边 AB， BC，CD，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（ 2）中的条件，使∠ APB=∠CPD=90°，其余条件不变，直接写出中点四边形 EFGH的形状．（不用证明）数学平行四边形提升题与常考题和培优题(含分析 )参照答案与试题分析一．选择题（共12 小题）1．（ 2016?厦门）如图， DE是△ ABC的中位线，过点 C 作 CF∥BD 交 DE的延伸线于点 F，则以下结论正确的选项是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜ BD D．EF＞ DE【剖析】第一依据三角形的中位线定理得出AE=EC，而后依据 CF∥BD 得出∠ ADE=∠ F，既而依据AAS 证得△ ADE≌△ CFE，最后依据全等三角形的性质即可推出EF=DE．【解答】解：∵ DE是△ ABC的中位线，∴E为 AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ ADE=∠F，在△ ADE和△ CFE中，∵，∴△ ADE≌△ CFE（AAS），∴DE=FE．应选 B．【评论】本题考察了三角形中位线定理和全等三角形的判断与性质，解答本题的重点是依据中位线定理和平行线的性质得出 AE=EC、∠ ADE=∠F，判断三角形的全等．2．（2016?陕西）如图，在△ ABC中，∠ ABC=90°，AB=8，BC=6．若 DE 是△ ABC 的中位线，延伸DE 交△ ABC的外角∠ ACM 的均分线于点F，则线段 DF 的长为（）A．7B．8C．9D．10【剖析】依据三角形中位线定理求出DE，获得 DF∥BM，再证明 EC=EF= AC，由此即可解决问题．【解答】解：在 RT△ABC中，∵∠ ABC=90°，AB=8，BC=6，∴ AC===10，∵DE是△ABC的中位线，∴ DF∥BM，DE= BC=3，∴∠ EFC=∠ FCM，∵∠ FCE=∠ FCM，∴∠ EFC=∠ ECF，∴EC=EF= AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．应选 B．【评论】本题考察三角形中位线定理、等腰三角形的判断和性质、勾股定理等知识，解题的重点是灵巧应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判断和性质，属于中考常考题型．3．（2016?贵宾）如图，在△ ABC中， AB=4，BC=6，DE、 DF是△ ABC的中位线，则四边形 BEDF的周长是（）A．5B．7C．8D．10【剖析】由中位线的性质可知DE=，DF=，DE∥BF，DF∥ BE，可知四边形 BEDF为平行四边形，从而可得周长．【解答】解：∵ AB=4， BC=6， DE、DF 是△ ABC的中位线，∴DE= =2，DF==3，DE∥BF， DF∥BE，∴四边形 BEDF为平行四边形，∴四边形 BEDF的周长为： 2× 2+3× 2=10，应选 D．【评论】本题主要考察了三角形中位线的性质，利用中位线的性质证得四边形BEDF为平行四边形是解答本题的重点4．（2016?葫芦岛）如图，在△ ABC中，点 D，E 分别是边 AB，AC的中点， AF⊥BC，垂足为点 F，∠ ADE=30°，DF=4，则 BF 的长为（）A．4B．8C．2D．4【剖析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在 RT△ ABF 中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF 即可解决问题．【解答】解：在 RT△ABF中，∵∠ AFB=90°，AD=DB，DF=4，∴AB=2DF=8，∵AD=DB， AE=EC，∴ DE∥BC，∴∠ ADE=∠ABF=30°，∴ AF= AB=4，∴ BF===4 ．应选 D．【评论】本题考察三角形中位线性质、含 30 度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的重点是灵巧应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．5．（ 2017?河北一模）如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线 AC折叠，使点 B 落到点 B′的地点，AB′与 CD 交于点 E，若 AB=8，AD=3，则图中暗影部分的周长为（）A．11 B．16 C．19D．22【剖析】第一由四边形 ABCD为矩形及折叠的特征，获得B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，∠ B′EC=∠DEA，获得△ AED≌△ CEB′，得出 EA=EC，再由暗影部分的周长为 AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，即矩形的周长解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴ B′C=BC=AD，∠ B′=∠B=∠D=90°∵∠ B′EC=∠DEA，在△ AED和△ CEB′中，，∴△ AED≌△ CEB′（AAS）；∴EA=EC，∴暗影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C，=AD+DC+AB′+B′C，=3+8+8+3，=22，应选 D．【评论】本题主要考察了图形的折叠问题，全等三角形的判断和性质，及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的重点．6．（2016?泰安）如图，在 ?ABCD中， AB=6，BC=8，∠C 的均分线交 AD 于 E，交BA 的延伸线于 F，则 AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．6【剖析】由平行四边形的性质和角均分线得出∠F=∠FCB，证出 BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出 AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠ F=∠DCF，∵ CF均分∠ BCD，∴∠ FCB=∠DCF，∴∠ F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理： DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；应选： C．【评论】本题考察了平行四边形的性质、等腰三角形的判断；娴熟掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的重点．7．（ 2016?绵阳）如图，平行四边形 ABCD的周长是 26cm，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AC⊥AB， E 是 BC 中点，△ AOD的周长比△ AOB 的周长多 3cm，则 AE 的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【剖析】由?ABCD的周长为 26cm，对角线 AC、BD 订交于点 O，若△ AOD 的周长比△ AOB的周长多 3cm，可得 AB+AD=13cm，AD﹣AB=3cm，求出 AB 和 AD的长，得出 BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．【解答】解：∵ ?ABCD的周长为 26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△ AOD的周长比△ AOB 的周长多 3cm，∴（ OA+OD+AD）﹣（ OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E 是BC中点，∴ AE= BC=4cm；应选： B．【评论】本题考察了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．娴熟掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE 是解决问题的重点．第 17 页（共 56 页）8．（2016?济南）如图，在 ?ABCD中， AB=12，AD=8，∠ ABC的均分线交 CD 于点F，交 AD 的延伸线于点 E，CG⊥BE，垂足为 G，若 EF=2，则线段 CG的长为（）A．B．4C．2D．【剖析】先由平行四边形的性质和角均分线的定义，判断出∠ CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，从而获得 CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比率定理求出 BE，而后用等腰三角形的三线合一求出 BG，最后用勾股定理即可．【解答】解：∵∠ ABC的均分线交 CD 于点 F，∴∠ ABE=∠CBE，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠ CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，∵ AD=8，∴DE=4，∵DC∥AB，∴，∴，∴EB=6，∵CF=CB，CG⊥BF，∴ BG= BF=2，在 Rt△BCG中， BC=8， BG=2，依据勾股定理得， CG===2，应选： C．【评论】本题是平行四边形的性质，主要考察了角均分线的定义，平行线分线段成比率定理，等腰三角形的性质和判断，勾股定理，解本题的重点是求出AE，记着：题目中出现平行线和角均分线时，极易出现等腰三角形这一特色．9．（2016?河北）对于 ?ABCD的表达，正确的选项是（）A．若 AB⊥ BC，则 ?ABCD是菱形B．若 AC⊥BD，则 ?ABCD是正方形C．若 AC=BD，则 ?ABCD是矩形 D．若 AB=AD，则 ?ABCD是正方形【剖析】由菱形的判断方法、矩形的判断方法、正方形的判断方法得出选项A、B、D 错误， C 正确；即可得出结论．【解答】解：∵ ?ABCD中， AB⊥BC，∴四边形 ABCD是矩形，不必定是菱形，选项 A 错误；∵ ?ABCD中， AC⊥BD，∴四边形 ABCD是菱形，不必定是正方形，选项 B 错误；∵?ABCD中， AC=BD，∴四边形 ABCD是矩形，选项 C 正确；∵?ABCD中， AB=AD，∴四边形 ABCD是菱形，不必定是正方形，选项 D 错误；应选： C．【评论】本题考察了平行四边形的性质、菱形的判断方法、矩形的判断方法、正方形的判断方法；娴熟掌握矩形、菱形、正方形的判断方法是解决问题的重点．10．（ 2016?丹东）如图，在 ?ABCD中， BF均分∠ ABC，交 AD 于点 F，CE均分∠BCD，交 AD 于点 E，AB=6，EF=2，则 BC长为（）A．8B．10 C．12D．14【剖析】由平行四边形的性质和角均分线得出∠ABF=∠AFB，得出 AF=AB=6，同理可证 DE=DC=6，再由 EF的长，即可求出BC的长．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∴∠ AFB=∠FBC，∵ BF均分∠ ABC，∴∠ ABF=∠FBC，则∠ ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可证： DE=DC=6，∵EF=AF+DE﹣AD=2，即 6+6﹣AD=2，解得： AD=10；应选： B．【评论】本题主要考察了平行四边形的性质、等腰三角形的判断；娴熟掌握平行四边形的性质，证出 AF=AB是解决问题的重点．11．（2016?河北）如图，将 ?ABCD沿对角线 AC折叠，使点 B 落在 B′处，若∠ 1=∠ 2=44°，则∠ B 为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【剖析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ ACD=∠ BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠ BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B 即可．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠ BAC=∠B′AC，∴∠ BAC=∠ACD=∠B′AC=∠ 1=22°，∴∠ B=180°﹣∠ 2﹣∠ BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；应选： C．【评论】本题考察了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；娴熟掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的重点．12．（2016?咸宁）已知菱形 OABC在平面直角坐标系的地点以下图，极点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点 P 的坐标为（）A．（0，0） B．（1，）C．（，）D．（，）【剖析】如图连结 AC，AD，分别交 OB 于 G、P，作 BK⊥ OA 于 K．第一说明点 P 就是所求的点，再求出点 B 坐标，求出直线 OB、 DA，列方程组即可解决问题．【解答】解：如图连结 AC，AD，分别交 OB 于 G、P，作 BK⊥ OA 于 K．∵四边形 OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2 ，A、 C 对于直线 OB 对称，∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此时 PC+PD最短，在 RT△ AOG中， AG===，∴ AC=2，∵OA?BK= ?AC?OB，∴ BK=4， AK==3，∴点 B 坐标（ 8，4），∴直线 OB分析式为 y=x，直线 AD 分析式为 y=﹣x+1，由解得，∴点 P坐标（，）．应选 D．【评论】本题考察菱形的性质、轴对称﹣最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的重点是正确找到点 P 地点，建立一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．二．填空题（共12 小题）13．（ 2017?新城区校级模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形 ABCD的对角线 AC、 BD交于点 O，过点 O 作 OE⊥AD，则OE=．【剖析】作 CF⊥AD 于 F，由平行四边形的性质得出∠ ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，求出∠DCF=30°，由直角三角形的性质得出 DF= CD=2，求出CF= DF=2，证出OE是△ ACF的中位线，由三角形中位线定理得出OE 的长即可．【解答】解：作 CF⊥AD 于 F，以下图：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴∠ ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，第 22 页（共 56 页）∴DF= CD=2，∴CF= DF=2 ，∵CF⊥AD，OE⊥AD， CF∥OE，∵OA=OC，∴OE是△ ACF的中位线，∴OE= CF= ；故答案为：．【评论】本题考察了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；娴熟掌握平行四边形的性质，证出 OE 是三角形的中位线是解决问题的重点．14．（ 2016?张家界）如图，在△ ABC中，点 D、E、F 分别是边 AB、 BC、CA上的中点，且 AB=6cm， AC=8cm，则四边形 ADEF的周长等于 14 cm．【剖析】第一证明四边形 ADEF是平行四边形，依据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．【解答】解：∵ BD=AD， BE=EC，∴ DE= AC=4cm，DE∥AC，∵ CF=FA，CE=BE，∴ EF= AB=3cm，EF∥AB，∴四边形 ADEF是平行四边形，∴四边形 ADEF的周长 =2（ DE+EF）=14cm．故答案为 14．【评论】本题考察三角形中位线定理、平行四边形的判断和性质等知识，解题的重点是出现中点想到三角形中位线定理，记着三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型．15．（ 2017 秋?海宁市校级月考）如图，?ABCD中，∠ ABC=60°，E、F 分别在 CD 和 BC的延伸线上， AE∥BD，EF⊥ BC，EF=3，则 AB 的长是．【剖析】依据直角三角形性质求出CE长，利用勾股定理即可求出AB 的长．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵ AE∥BD，∴四边形 ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即 D 为 CE中点，∵ EF⊥BC，∴∠ EFC=90°，∵ AB∥CD，∴∠ DCF=∠ABC=60°，∴∠ CEF=30°，∵ EF=3，∴ CE==2 ，∴AB= ，故答案为：．【评论】本题考察了平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，本题综合性比较强．16．（2017?河北区模拟）有 3 个正方形以下图搁置，暗影部分的面积挨次记为S1，S2，则 S1：S2= 4：9．【剖析】设大正方形的边长为 x，再依据相像的性质求出 S1、S2与正方形面积的关系，而后进行计算即可得出答案．【解答】解：设大正方形的边长为x，依据图形可得：∵= ，∴= ，∴=，∴ S1=S正方形ABCD，∴S1= x2，∵= ，∴=，∴S2= S正方形ABCD，∴S2= x2，∴S1：S2= x2： x2=4：9．故答案是： 4：9．【评论】本题考察了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相像三角形的性质、正方形的面积公式，重点是依据题意求出 S1、S2与正方形面积的关系．17．（2016?随州）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，M 、N 分别是 AB、AC的中点，延伸 BC至点 D，使 CD= BD，连结 DM、DN、MN．若 AB=6，则 DN= 3 ．【剖析】连结 CM，依据三角形中位线定理获得NM=CB，MN∥ BC，证明四边形 DCMN 是平行四边形，获得 DN=CM，依据直角三角形的性质获得CM= AB=3，等量代换即可．【解答】解：连结 CM，∵ M、N 分别是 AB、AC的中点，∴NM= CB，MN ∥BC，又 CD= BD，∴MN=CD，又 MN∥BC，∴四边形 DCMN 是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ ACB=90°，M 是 AB 的中点，∴CM= AB=3，∴DN=3，故答案为： 3．【评论】本题考察的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判断和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半是解题的重点．18．（ 2016?武汉）如图，在 ?ABCD中，E 为边 CD上一点，将△ ADE沿 AE 折叠至△AD′E处，AD′与 CE交于点 F．若∠ B=52°，∠DAE=20°，则∠ FED′的大小为 36° ．【剖析】由平行四边形的性质得出∠D=∠ B=52°，由折叠的性质得：∠ D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠ AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠ AED′=108，°即可得出∠ FED′的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ D=∠ B=52°，由折叠的性质得：∠ D′=∠D=52°，∠ EAD′=∠DAE=20°，∴∠ AEF=∠D+∠ DAE=52°+20°=72°，∠ AED′=180﹣°∠ EAD′﹣∠ D′=108，°∴∠ FED′=108﹣°72°=36°；故答案为： 36°．【评论】本题考察了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；娴熟掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠ AEF和∠ AED′是解决问题的重点．19．（ 2016?东营）如图，在Rt△ABC 中，∠ B=90°，AB=4，BC＞ AB，点 D 在 BC 上，以 AC为对角线的平行四边形ADCE中， DE的最小值是4．【剖析】第一证明 BC∥AE，当 DE⊥BC 时， DE 最短，只需证明四边形ABDE是矩形即可解决问题．【解答】解：∵四边形 ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当 DE⊥BC时， DE最短，此时∵∠ B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形 ABDE是平行四边形，∵∠ B=90°，∴四边形 ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为 4．【评论】本题考察平行四边形的性质、垂线段最短等知识，解题的重点是找到DE的地点，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．20．（ 2016?常德）如图，把平行四边形 ABCD折叠，使点 C 与点 A 重合，这时点 D 落在 D1，折痕为 EF，若∠ BAE=55°，则∠ D1AD= 55° ．【剖析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1∠，得出∠1AE=BAD D AD=∠BAE=55°即可．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴∠ BAD=∠C，由折叠的性质得：∠ D1AE=∠ C，∴∠ D1AE=∠ BAD，∴∠ D1AD=∠ BAE=55°；故答案为： 55°．【评论】本题考察了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出∠ D1AE=∠BAD 是解决问题的重点．21．（2016?常州）如图，△ APB中，AB=2，∠ APB=90°，在 AB 的同侧作正△ ABD、正△ APE和正△ BPC，则四边形 PCDE面积的最大值是1．【剖析】先延伸 EP交 BC于点 F，得出 PF⊥BC，再判断四边形 CDEP为平行四边形，依据平行四边形的性质得出：四边形 CDEP的面积 =EP×CF=a× b= ab，最后依据 a2+b2=4，判断ab 的最大值即可．【解答】解：延伸 EP交 BC于点 F，∵∠ APB=90°，∠ APE=∠BPC=60°，∴∠ EPC=150°，∴∠ CPF=180°﹣150°=30°，∴PF均分∠BPC，又∵ PB=PC，∴PF⊥BC，设 Rt△ABP中， AP=a， BP=b，则CF= CP= b，a2+b2=22=4，∵△ APE和△ ABD都是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠ EAP=∠ DAB=60°，∴∠ EAD=∠PAB，∴△ EAD≌△ PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△ APB≌△ DCB（SAS），∴EP=AP=CD，∴四边形 CDEP是平行四边形，∴四边形 CDEP的面积 =EP×CF=a×b=ab，又∵（ a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥ 0，∴2ab≤a2+b2=4，∴ab≤1，即四边形 PCDE面积的最大值为1．故答案为： 1【评论】本题主要考察了等边三角形的性质、平行四边形的判断与性质以及全等三角形的判断与性质，解决问题的重点是作协助线结构平行四边形的高线．22．（ 2016?盐城）如图，已知菱形 ABCD的边长 2，∠ A=60°，点 E、F 分别在边AB、AD 上，若将△ AEF沿直线 EF折叠，使得点 A 恰巧落在 CD边的中点 G 处，则EF=．【剖析】延伸 CD，过点 F 作 FM⊥CD于点 M，连结 GB、 BD，作 FH⊥AE 交于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠ MFD=30°，设 MD=x，则 DF=2x， FM= x，得出 MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解方程得出 DF=0.6，AF=1.4，求出 AH= AF=0.7，FH=，证明△ DCB是等边三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，由勾股定理得出（）2+y2=（2﹣y）2，解方程求出 y=0.25，得出 AE、 EH，再由勾股定理求出 EF即可．【解答】解：延伸 CD，过点 F 作 FM⊥CD于点 M ，连结 GB、BD，作 FH⊥ AE交于点 H，以下图：∵∠ A=60°，四边形 ABCD是菱形，∴∠ MDF=60°，∴∠ MFD=30°，设 MD=x，则 DF=2x， FM= x，∵DG=1，∴ MG=x+1，∴（ x+1）2 +（x）2=（2﹣2x）2，∴DF=0.6， AF=1.4，∴ AH= AF=0.7，FH=AF?sin∠ A=1.4×=，∵CD=BC，∠ C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G 是 CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG= ，设 BE=y，则 GE=2﹣ y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得： y=0.25，∴ AE=1.75，∴ EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．【评论】本题考察了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判断与性质等知识；本题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的重点．23．（ 2016?丽水）如图，在菱形ABCD中，过点 B 作 BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，延伸 BD 至 G，使得 DG=BD，连结 EG，FG，若 AE=DE，则=．【剖析】连结AC、EF，依据菱形的对角线相互垂直均分可得AC⊥BD，依据线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等可得AB=BD，而后判断出△ABD 是等边三角形，再依据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF 与BD 订交于点 H，AB=4x，而后依据三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半求出 EH，再求出 DH，从而获得 GH，利用勾股定理列式求出 EG，最后求出比值即可．【解答】解：如图，连结 AC、 EF，在菱形 ABCD中， AC⊥BD，∵BE⊥AD，AE=DE，∴ AB=BD，又∵菱形的边 AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ ADB=60°，设 EF与 BD 订交于点 H， AB=4x，∵AE=DE，∴由菱形的对称性， CF=DF，∴ EF是△ ACD的中位线，∴DH= DO= BD=x，在 Rt△EDH中， EH= DH= x，∵DG=BD，∴ GH=BD+DH=4x+x=5x，在 Rt△EGH中，由勾股定理得， EG===2x，所以，==．故答案为：．【评论】本题考察了菱形的性质，等边三角形的判断与性质，勾股定理，三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半，难点在于作协助线结构出直角三角形以及三角形的中位线．24．（2016?青岛）如图，在正方形 ABCD中，对角线 AC与 BD 订交于点 O，E 为BC上一点， CE=5，F 为 DE 的中点．若△ CEF的周长为 18，则 OF的长为．【剖析】先依据直角三角形的性质求出 DE 的长，再由勾股定理得出 CD 的长，从而可得出 BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵ CE=5，△ CEF的周长为 18，∴CF+EF=18﹣5=13．∵F为 DE的中点，∴DF=EF．∵∠ BCD=90°，∴CF= DE，∴EF=CF= DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD===12．∵四边形 ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O 为 BD 的中点，∴OF是△ BDE的中位线，∴OF= （BC﹣CE）= （12﹣5）= ．故答案为：．【评论】本题考察的是正方形的性质，波及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．三．解答题（共16 小题）25．（ 2016?北京）如图，四边形 ABCD是平行四边形， AE均分∠ BAD，交 DC 的延伸线于点 E．求证： DA=DE．【剖析】由平行四边形的性质得出 AB∥ CD，得出内错角相等∠ E=∠ BAE，再由角均分线证出∠ E=∠DAE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ E=∠BAE，∵AE均分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠ E=∠DAE，∴DA=DE．【评论】本题考察了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判断；娴熟掌握平行四边形的性质，证出∠ E=∠ DAE是解决问题的重点．26．（ 2016?淄博）如图，已知△ ABC，AD 均分∠ BAC交 BC于点 D， BC的中点为M， ME∥ AD，交 BA 的延伸线于点 E，交 AC于点 F．（1）求证： AE=AF；（2）求证： BE= （AB+AC）．【剖析】（1）欲证明 AE=AF，只需证明∠ AEF=∠ AFE即可．（2）作 CG∥EM，交 BA的延伸线于 G，先证明 AC=AG，再证明 BE=EG即可解决问题．【解答】证明：（1）∵ DA 均分∠ BAC，∴∠ BAD=∠CAD，∵ AD∥EM，∴∠ BAD=∠AEF，∠ CAD=∠AFE，∴∠ AEF=∠AFE，∴ AE=AF．（2）作 CG∥EM，交 BA 的延伸线于 G．∵EF∥CG，∴∠ G=∠ AEF，∠ ACG=∠ AFE，∵∠ AEF=∠AFE，∴∠ G=∠ ACG，∴AG=AC，∵ EM∥ CG，∴= ，∵ BM=CM，∴BE=EG，∴BE= BG= （BA+AG）= （AB+AC）．【评论】本题考察三角形中位线定理、角均分线的性质、等腰三角形的判断和性质等知识，解题的重点是增添协助线，结构等腰三角形，以及三角形中位线，属于中考常考题型．27．（ 2017 春?泉山区校级月考）已知：如图，矩形 ABCD的对角线 AC、BD 订交于点 O，CE∥DB，交 AB的延伸线于点 E．求证： AC=EC．【剖析】先由矩形的对角线相等得出 AC=DB，再证明四边形 CDBE是平行四边形，得出对边相等 DB=CE，即可得出 AC=CE．【解答】证明：∵四边形 ABCD是矩形，∴AC=DB， AB∥DC，∴DC∥BE，又∵ CE∥ DB，∴四边形 CDBE是平行四边形，∴DB=CE，第 36 页（共 56 页）∴AC=CE．【评论】本题考察了矩形的性质以及平行四边形的判断与性质；娴熟掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的重点．28．（ 2016?梅州）如图，平行四边形 ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、 F 分别是AB、CD上的点，且 BE=DF，连结 EF交 BD于 O．（1）求证： BO=DO；（2）若 EF⊥ AB，延伸 EF交 AD 的延伸线于 G，当 FG=1时，求 AE的长．【剖析】（1）由平行四边形的性质和 AAS证明△ OBE≌△ ODF，得出对应边相等即可；（2）证出 AE=GE，再证明 DG=DO，得出 OF=FG=1，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ DC∥AB，∴∠ OBE=∠ODF．在△ OBE与△ ODF中，∴△ OBE≌△ ODF（AAS）．∴BO=DO．（2）解：∵ EF⊥AB，AB∥ DC，∴∠ GEA=∠GFD=90°．∵∠ A=45°，∴∠G=∠ A=45°．∴AE=GE∵BD⊥AD，。
八年级数学下册第十八章平行四边形提高测试3(,精选资料)(新版)新人教版
【名师点睛】八年级数学下册同步提高测试平行四边形三一、选择题(每题2分，共20分)1.下列汽车标志中，不是中心对称图形的是()A B C D2.将如图所示的图形绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是()第2题A B C D3.一个图形无论经过平移还是旋转，有下列说法:①对应线段平行;②对应线段相等;③对应角相等:④图形的形状和大小都没有发生变化.其中，正确的有()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④4.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直5.如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点.若2DE =，则BC 的长为()A.2 B.3 C.4 D.5第5题第6题第7题第8题6.如图，在ABCD 中，用直尺和圆规作BAD ∠的平分线AG 交BC 于点E .若6BF =,5AB =，则AE 的长为()A.4B.6C.8D.107.如图,在矩形纸片ABCD 中,8AD =,折叠纸片使边AB 与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且3EF =，则AB 的长为()A.3B.4C.5D.68.在平面直角坐标系中,正方形1111A B C D 、1122D E E B 、2222A B C D 、2343D E E B 、3333A B C D ……按如图所示的方式放置,其中点1B 在y 轴上,点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C ……在x 轴上，正方形1111A B C D 的边长为1,1160B C O ∠=︒,11B C ∥22B C ∥33B C ……则正方形2015201520152015A B C D 的边长是()A.20141(2 B.20151(2 C.2015(3 D.201439．下列语句中，正确的个数有（）①对角线相互平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。
平行四边形练习题（含特殊平行四边形）[小编推荐]
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平行四边形练习题（含特殊平行四边形）[小编推荐]第一篇：平行四边形练习题(含特殊平行四边形)[小编推荐] 平形四边形练习题一、选择题1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是()A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补D.一组对边相等，一组邻角相等2.过不在同一直线上的三点，可作平行四边形的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个3．下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对边平行4.矩形的两条对角线与各边围边的三角形中，共有多少对全等的三角形（）A.2B.4C.6D.85.矩形的两条对角线与各边围边的三角形中，共有多少对全等的三角形（）A.2B.4C.6D.86．下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角 D．用曲尺测量对角线，是否互相垂直二、填空题7.一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则这个四边形是.8.一平行四边形两条对角线的长度分别是5cm和7cm, 一边长为acm, 则a的取值范围是9.四边形中，任意相邻两个内角都互补，那么这个四边形是10.已知四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件，①AB∥CD，②AB＝DC，③AD＝BC，④∠A＝∠C，⑤∠B＝∠C，能使四边形ABCD成为平行四边表的条件的序号是三、证明题11．如图，已知AC是□ABC D的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，求证：四边形BMDN是平行四边形.1２.四边形ABCD 是平行四边形,E、F分别是AD、CB上的点，且DF = BE，求证：EF、AC互相平分；CA13．如图,G、H是□ABCD对角线上的点，且AG＝CH，E、F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形..14.如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE=CF.15.平行四边形ABCD，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形16.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形17．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AE平分∠BAC交CD于F，EG⊥AB于G，求证：四边形CEGF是菱形。
八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标提高题检测
八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标提高题检测一、解答题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形． 2．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．3．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC . （1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+4．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒． ①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形． ②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．5．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．6．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.7．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ． （1）求EAF ∠的度数；（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：2BD BG DG AF DM =+=+．8．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系； ②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．9．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.10．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒ 【分析】（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论． 【详解】解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下： ∵DE BC ⊥，90DFE ∴∠=︒，∵90ACB ∠=︒，ACB DFB ∴∠=∠， //AC DE ∴，∵//MN AB ，即//CE AD ， ∴四边形ADEC 是平行四边形， CE AD ∴=； D 为AB 中点， AD BD ∴=， BD CE ∴=， ∵//BD CE ，∴四边形BECD 是平行四边形， ∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，12CD AB BD ∴==，∴四边形BECD 是菱形；（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下： ∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，∵四边形BECD 是菱形，12ABC DBE ∴∠=∠，90DBE ∴∠=︒，∴四边形BECD 是正方形． 故答案为：45︒． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键． 2．（1）证明见解析； （2）73． 【分析】（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案． 【详解】解：（1）∵AC ⊥BD ，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++， 222222AB CD AO BO CO DO +=+++，∴2222AD BC AB CD +=+； （2）连接CG 、BE ，如图2，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ， 在△GAB 和△CAE 中，AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△GAB ≌△CAE （SAS ）， ∴∠ABG=∠AEC ， 又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ， 由（1）得，2222CG BE CB GE +=+， ∵AC=4，AB=5，∴BC=3，，， ∴222273GE CG BE CB =+-=， ∴【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键． 3．（1）证明见解析；（2）BE =3）证明见解析． 【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等； （2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得12AE DG CGCD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB//CD ，AD//BC ， ∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ， ∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ， ∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ， ∵//EH AC ，AB//CD ， ∴四边形ACGE 是平行四边形， ∴AE=CG ，∴△AEF ≌△CGH （AAS ）； （2）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB//CD ，AB=CD ， ∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ， ∵F 是AD 的中点，∴△AEF ≌△DGF （AAS ）； 由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）； ∴△DGF ≌△CGH, ∴12AEDG CGCD , ∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =， ∴2422ABCDAD ,∴22AE =， ∴62BE AB BE =+=； （3）如下图，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ， ∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==， 且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=, ∴22222()AC BD AB BC +=+ 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE 是平行四边形证明AE=CG ；（2）得出DG CG =是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键． 4．（1）①证明见详解；②45PAQ ∠=︒，见解析；（2）5． 【分析】（1）①只要证明//PB AC 即可解决问题；②如图2中，连接QC ，作DT DQ ⊥交QC 的延长线于T ，利用全等三角形的性质解决问题即可；（2）如图3中，延长EH 交BC 于点G ，设AE=x ，由题意易得AB=BC=CF=EG=3x ，然后可得CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1，利用勾股定理求解即可．（1）①证明：四边形ABCD 是正方形，∴//B DP C ，45DAC ∠=︒，∴135PAC ∠=︒ 45APB ∠=︒，∴+180APB PAC ∠∠=︒，∴//PB AC∴四边形APBC 是平行四边形；②四边形PADQ 是平行四边形，∴DQ//,//,AP AD PQ AD PQ BC ==，AD//B C ，∴,//PQ BC PQ BC =，∴四边形PQCB 是平行四边形，∴QC//BP ，∴45APQ DQC ∠=∠=︒，90ADC QDT ∠=∠=︒，∴DQ=DT ，45,T DQT ADQ CDT ∠=∠=︒∠=∠，AD=DC ，∴ADQ CDT ≌，∴45AQD T ∠=∠=︒， AP//DQ ，∴45PAQ DQA ∠=∠=︒；（3）CH=5，理由如下：如图3所示：延长EH 交BC 于点G ；四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，90D ∠=︒， 又EH=3，FH=1，EH ⊥AD ，∴EH//CD ，∴90HGC ∠=︒设AE=x ，1,3AE CF BC CF ==，∴AB=BC=CF=EG=3x ， ∴CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1在Rt HGC △中，()()22222243331CG HG CH x x x +=+-=-即，解得121,2x x ==当x=1时，AB=3(不符合题意，舍去)； 当x=2时，AB=6，∴CH=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查正方形的综合问题、三角形全等及勾股定理，关键是利用已知条件及四边形的性质得到它们之间的联系，然后利用勾股定理求解线段的长即可．5．（1）见解析；（2）MN2=ND2+DH2，理由见解析；（3）EG=4，MN=52【分析】（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．（3）设EG=BE=x，根据正方形的边长得出CE，CF，EF，在Rt△CEF中利用勾股定理得到方程，求出EG的长，设MN=a，根据MN2=ND2+BM2解出a值即可．【详解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．∴∠BAE=∠GAE．同理，∠GAF=∠DAF．∴∠EAF＝12∠BAD＝45°；（2）MN2=ND2+DH2．∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN，又∵AM=AH，AN=AN，∴△AMN≌△AHN（SAS）．∴MN=HN，∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，∴NH2=ND2+DH2，∴MN2=ND2+DH2；（3）∵正方形ABCD的边长为12，∴AB=AG=12，由（1）知，BE=EG，DF=FG．设EG=BE=x，则CE=12-x，∵GF=6=DF，∴CF=12-6=6，EF=EG+GF=x+6，在Rt△CEF中，∵CE2+CF2=EF2，∴（12-x）2+62=（x+6）2，解得x=4，即EG=BE=4，在Rt△ABD中，，在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，∴MN2=ND2+BM2．a+，设MN=a，则a2＝()(22a+，即a 2=()(22∴a=MN＝【点睛】本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．6．（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）△DEP为等腰直角三角形，理由见试题解析．【分析】（1）根据正方形性质得出BC＝DC，根据旋转图形的性质得出CP＝CQ以及∠PCB＝∠QCD，从而得出三角形全等来得出结论；（2）由（1）知∠PBC＝∠QBC，BE和CD交点为F，根据对顶角得出∠DFE＝∠BFC，从而说明BE⊥QD；（3）根据等边三角形的性质得出PB＝PC＝BC，∠PBC＝∠BPC＝∠PCB＝60°，则∠PCD＝30°，根据BC＝DC，CP＝CQ得出△PCD为等腰三角形，然后根据△DCQ为等边三角形，从而得出∠DEP＝90°，从而得出答案．【详解】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，又∵将线段CP绕点C顺时针旋90°得到线段CQ，∴CP＝CQ，∠PCQ＝90°，∴∠PCD＋∠QCD＝90°，又∵∠PCB＋∠PCD＝90°，∴∠PCB＝∠QCD在△BCP和△DCQ中，BC＝DC，CP＝CQ，∠PCB＝∠QCD，∴△BCP≌△DCQ，∴∠CBP ＝∠CDQ ；（2）证明：∵△BCP ≌△DCQ ，∴∠PBC ＝∠QDC ，∴∠DFE ＝∠BFC ，∠FED ＝∠FCB ＝90°，∴BE ⊥QD ；（3）△DEP 为等腰直角三角形，理由如下：∵△BPC 为等边三角形，∴PB ＝PC ＝BC ，∠PBC ＝∠BPC ＝∠PCB ＝60°，∴∠PCD ＝90°－60°＝30°，∴∠DCQ ＝90°－30°＝60°，又∵BC ＝DC ，CP ＝CQ ，∴PC ＝DC ，DC ＝CQ ，∴△PCD 是等腰三角形，△DCQ 是等边三角形，∴∠CPD ＝∠CDP ＝75°，∠CDQ ＝60°，∴∠EPD ＝180°－75°－60°＝45°，∠EDP ＝180°－75°－60°＝45°，∴∠EPD ＝∠EDP ，PE ＝DE ，∴∠DEP ＝180°－45°－45°＝90°，∴△DEP 是等腰直角三形．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质证明三角形全等是解题的关键．7．（1）∠EAF=135°；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质，找到证明三角形全等的条件，只要证明△EBC ≌△FNE （AAS ）即可解决问题；（2）过点F 作FG ∥AB 交BD 于点G ．首先证明四边形ABGF 为平行四边形，再证明△FGM ≌△DMC （AAS ）即可解决问题；【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90B N CEF ∠=∠=∠=︒，∴90NEF CEB ∠+∠=，90CEB BCE ∠+∠=，∴NEF ECB ∠=∠，∵EC EF =，∴EBC ∆≌FNE ∆∴FN BE =，EN BC =，∵BC AB =∴EN AB =∴EN AE AB AE -=-∴AN BE =，∴FN AN =，∵FN AB ⊥，∴45NAF ∠=，∴135EAF =∠（2）证明：过点F 作//FG AB 交BD 于点G .由（1）可知135EAF =∠，∵45ABD ∠=︒∴135180EAF ABD ∠=︒+∠=︒，∴//AF BG ，∵//FG AB ，∴四边形ABGF 为平行四边形，∴AF BG =，FG AB =，∵AB CD =，∴FG CD =，∵//AB CD ，∴//FG CD ，∴FGM CDM ∠=∠，∵FMG CMD ∠=∠∴FGM ∆≌CDM ∆∴GM DM =，∴2DG DM =，∴2BD BG DG AF DM =+=+.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（1）①EAB DAC ∠=∠； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）①根据EAD BAC ∠=∠，两角有公共角BAD ∠，可证EAB DAC ∠=∠；②连接EB ，证明△EAB ≌△DAC ，可得,ABE ACD EB CD ∠=∠=,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC ，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CDEF 为平行四边形．（2）根据60BAC ∠=︒，可证明△AED 和△ABC 为等边三角形，再根据ED ∥FC 结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA ，求证△ABD ≌△CAF ，得出ED=CF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形．【详解】解：（1）①EAB DAC ∠=∠，理由如下：∵EAD BAC ∠=∠，EAD EAB BAD ∠=∠+∠，BAC BAD DAC ∠=∠+∠, ∴EAB BAD BAD DAC ∠+∠=∠+∠，∴EAB DAC ∠=∠；②证明：如下图，连接EB,在△EAB 和△DAC 中∵AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△DAC （SAS ）∴,ABE ACD EB CD ∠=∠=,∵AB AC =，∴ABC ACD ∠=∠,∴ABE ABC ∠=∠，∵//EF DC ，∴EFB ABC ∠=∠,∴ABE EFB ∠=∠,∴EB EF =,∴DC EF =∴四边形CDEF 为平行四边形；（2）成立；理由如下：理由如下：∵60BAC ∠=︒，∴=60EAD BAC ∠=∠︒，∵AE=AD ，AB=AC ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,∵ED ∥FC ，∴∠EDB=∠FCB ，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF ，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ，∴∠AFC=∠BDA ，在△ABD 和△CAF 中，60BDA AFC B BAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAF （AAS ），∴AD=FC ，∵AD=ED ，∴ED=CF ，又∵ED ∥CF ，∴四边形EDCF 是平行四边形．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质．在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等．本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第②问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大．9．（1）12；（2）2S 1=36 +S 2.【分析】(1)根据已知条件证得四边形ABOC 是正方形，在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，利用HL 证得Rt △ABG ≌Rt △ACE ，得到∠GAB=∠EAC,GB=CE ，再利用45DAE ︒∠=证得△GAD ≌△EAD ，得到DE=GB+BD ，由此求得DOE ∆的周长；(2) 在OB 上取点F ，使AF=AE ，根据HL 证明Rt △ABF ≌Rt △ACE ，得到∠FAE=∠ABC=90︒，再证明△ADE ≌△ADF ，利用面积相加关系得到四边形AEDF 的面积=S △ACE +S 四边形ACOF +S △ODE ，根据三角形全等的性质得到2S △ADE =S 正方形ABOC +S △OD E ，即可得到2S △ADE =36 +S △ODE .【详解】(1)∵点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，AC y ⊥轴，∴AB=BO=AC=OC=6,∴四边形ABOC 是菱形，∵∠BOC=90︒，∴四边形ABOC 是正方形，在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，∵四边形ABOC 是正方形，∴AB=AC ，∠ABG=∠ACE=90︒，∴Rt △ABG ≌Rt △ACE ，∴∠GAB=∠EAC,GB=CE ，∵∠BAE+∠EAC=90︒，∴∠GAB+∠BAE=90︒，即∠GAE=90︒，∵45DAE ︒∠=∴∠GAD=45DAE ︒∠=,又∵AD=AD,AG=AE ，∴△GAD ≌△EAD ，∴DE=GD=GB+BD,∴DOE ∆的周长=DE+OD+OE=GB+BD+OD+OE=OB+OC=6+6=12(2) 2S 1=36 +S 2，理由如下：在OB 上取点F ，使AF=AE ，∵AB=AC ，∠ABF=∠ACE=90︒，∴Rt △ABF ≌Rt △ACE ，∴∠BAF=∠CAE,∴∠FAE=∠ABC=90︒，∵∠DAE=45︒，∴∠DAF=∠DAE=45︒，∵AD=AD ，∴△ADE ≌△ADF ，∵四边形AEDF 的面积=S △ACE +S 四边形ACOF +S △ODE ，∴2S △ADE =S 正方形ABOC +S △OD E ，∴2S △ADE =36 +S △ODE.即：2S 1=36 +S 2【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，根据题中的已知条件证得三角形全等，即可利用性质得到边长相等，面积相等的关系，（2）中需根据面积的加减关系进行推导，这是此题的难点.10．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；（3）如图2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，证得∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.【详解】解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠APE=45°②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；故答案为：45°，不变化.(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；故答案为：成立；(3)证明一：如图所示.过点作于点，于点.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴平分.∴.∴.∴.∵，∴.∴.∴.证明二：如图所示.过点作于点，延长交于点，连接.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴，∴.∴，.∴.又∵，∴.又∵，∴.∴.【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点。
数学提高题专题复习平行四边形练习题附解析
数学提高题专题复习平行四边形练习题附解析一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，30, 6, 63,BCD BC CD E ︒∠===是AD 边上的中点，F 是AB 边上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆,连接A C '，则A C '的最小值为( )A ．319B ．313C ．3193-D ．632．如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DF 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连解FG ，下列结论：（1）∠AGD ＝112.5°；（2）E 为AB 中点；（3）S △AGD ＝S △OCD ；（4）正边形AEFG 是菱形；（5）BE ＝2OG ，其中正确结论的个是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，90MON ∠=︒边长为2的等边三角形ABC 的顶点A B 、分别在边OM ，ON 上当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）A ．2.4B 5C 31D ．524．如图，在矩形ABCD 中，把矩形ABCD 绕点C 旋转，得到矩形FECG ，且点E 落在AD 上，连接BE ，BG ，BG 交CE 于点H ，连接FH ，若FH 平分EFG ，则下列结论：①AE CH EH +=；②2DEC ABE ∠=∠；③BH HG =；④2CH AB =，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠CBF 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45° 6．如图，在ABCD 中，AD=2AB ，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，F 、G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点H ，则下列结论：①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S =；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(8,0)，点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度沿y 轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿x 轴负半轴方向运动，设点P 、Q 运动的时间为(08)t t <<秒.以PQ 为斜边，向第一象限内作等腰Rt PBQ ∆，连接OB .下列四个说法：①8OP OQ +=；②B 点坐标为(4,4)；③四边形PBQO 的面积为16；④PQ OB >.其中正确的说法个数有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AG BC ⊥于G ，作AH CD ⊥于H ，且45GAH ∠=︒，2AG =，3AH =，则平行四边形的面积是（ ）A ．62B ．122C ．6D ．129．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN , EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，若MN ∥AB ∥DC ，EF ∥DA ∥CB ，则有（ ）A ．S 1= S 4B ．S 1 + S 4 = S 2 + S 3C ．S 1 + S 3 = S 2 + S 4D ．S 1·S 4 = S 2·S 3二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．12．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．13．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．14．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．15．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．16．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．17．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，18．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．19．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．22．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．23．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．24．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .（1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+25．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．26．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD是平行四边形；（2）线段BE和线段CD有什么数量关系，请说明理由；BC=求EF的长度(结果用含根号的式子表示)．（3）已知2,27．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直、重合)，另一直角边与角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A B∠的平分线BF相交于点F．CBM(1)求证: ADE FEM∠=∠;(2)如图(1)，当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E在AB边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．28．已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点,点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF，EF 平分∠AEC．(1)如图1，求证：CF⊥EF;(2)如图2，延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.29．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）猜想：如图（1）线段OE 与线段OF 的数量关系为 ；（2）拓展：如图（2），若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，AM 、DB 的延长线相交于点F ，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．30．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。
word完整版)平行四边形综合提高练习题
word完整版)平行四边形综合提高练习题利用平行四边形的性质进行角度、线段的计算在平行四边形ABCD中，___于E，AF⊥CD于F，若∠EAF＝60，则∠B＝___。
若BC＝4cm，AB＝3cm，则AF＝___________，ABCD的面积为_________．在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．那么OE与OF是否相等？为什么？直接利用平行四边形的判定和性质在ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于点G，CE与DF交于点H，试说明四边形EGFH的形状。
在ABCD中，BD是对角线，___于E，CF⊥BD于点F，求证：四边形AECF为平行四边形。
构造平行四边形解题在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且AE=FE，求证：BF=AC能力提高在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF 与___互相平分．在ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠___．在矩形ABCD中，___于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．创新思维以△ABC的三条边为边在BC的同侧作等边△ABP、等边△ACQ、等边△BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。
在等边△ABC内一点P，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC．求证：PD+PE+PF为定值．在ABCD中，___，CF⊥BD，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形MENF是平行四边形．5.在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点，DE与AC平行交AB于点E，DF与AB平行交AC于点F。
解答以下问题：1) 当点D在线段BC上时，有DE+DF=AB的关系，原因是因为三角形ABC中，AE=AF，且DE与AF平行，所以ADE和ADF是全等三角形，因此DE=DF，又因为AB=AC，所以DE+DF=AB。
(完整版)平行四边形提高题练习
平行四边形练习一、选择题1，一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（ ）A.三角形的三条角平分线的交点B.三角形的三条高线的交点C.三角形的三条中线的交点D.三角形的三条边的垂直平分线的交点2，如图1，如果□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么图中的全等三角形共有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对3，平行四边形的一边长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）A.4cm 和6cmB.6cm 和8cmC.8cm 和10cmD.10cm 和12cm4，在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A.AC ＝BD ，AB ＝CD ，AB ∥CDB.AD //BC ，∠A ＝∠CC.AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD.AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC5，如图2，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH 为（ ）A.平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D. 正方形6，如图3，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）A.S 1 > S 2B.S 1 = S 2C.S 1<S 2D.S 1、S 2 的大小关系不确定7，矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为（ ）A.3cm 2B. 4cm 2C. 12cm 2D. 4cm 2或12cm 28，如图4，菱形花坛 ABCD 的边长为 6m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）A.123mB.20mC.22mD.24m9，如图5，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是( )A ．3B ．23C ．5D ．2510，如图6，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心O 1，再从中心O 1走到正方形O 1GFH 的中心O 2，又从中心O 2走到正方形O 2IHJ 的中心O 3，再从中心O 3走2走到正方形O 3KJP 的中心O 4，一共走了31 2 m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）图6 图4 F EDC B A 图5 图3 AD C B HE FG 图2O A B D C 图1A.36 mB.48 mC.96 mD.60 m二、填空题（每题3分，共30分）11，如图7, 若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于＿＿＿.12，如图8，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）.13，如图9，四边形ABCD 是正方形，P 在CD 上，△ADP 旋转后能够与△ABP ′重合，若AB ＝3，DP ＝1，则PP ′＝＿＿＿.14，已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为6cm ，则其面积为＿＿＿cm 2.15，如图10，在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,点E 为BC 的中点, 设△DEA 的面积为S 1,梯形ABCD 的面积为S 2,则S 1与S 2的关系为＿＿＿.16，如图11，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，A 1B 1C 1D 1四边形ABCD 的中点四边形.如果AC ＝8，BD ＝10，那么四边形A 1B 1C 1D 1的面积为＿＿＿.17，如图12，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为＿＿＿.18，将一张长方形的纸对折,如图13所示，可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕.三、解答题（共40分）19，如图1,4，等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠DBC =45°,翻折梯形ABCD ,使点B 重合于D ,折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ,若AD =2,BC =8.求BE 的长.…… 第一次对折 第二次对折 第三次对折图13图11A 1B 1C 1D 1 D A B C D A B C EF 图12 D C BA 图7 图9 图8K NM Q C BF E D C B A 图14图10 E D C B A20，在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有＿＿＿组；（2）请在图15的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的饿两条直线有什么规律？21，如图16，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G .（1）线段AF 与GB 相等吗？（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形,并说明理由.1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图是一副七巧板，若已知S △BIC =1,请你根据七巧板制作过程的认识，解决下列问题： A B C D A B C D D CB A 图15 A BCDEF 图17图16 O F D B E C A· 图18(1)求一只蚂蚁从点A 沿A →B →C →H →E 所走的路线的总长。
八年级初二数学下学期平行四边形单元达标提高题检测试题
八年级初二数学下学期平行四边形单元达标提高题检测试题一、选择题1．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG＝12AB；②图中与△EGD 全等的三角形共有5个；③以点A、B、D、E为项点的四边形是菱形；④ S四边形ODGF＝ S△ABF．其中正确的结论是（）A．①③B．①③④C．①②③D．②②④2．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13n=．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的22倍时就可移转过去；结果取13n=．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对3．□ABCD中，∠A=60°，点E、F分别在边AD、DC上，DE=DF，且∠EBF=60°．若AE=2，FC=3，则EF的长度为（）A21B．5C．26D．54．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，2BD AD =，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：①BE AC ⊥；②EG GF =；③EFG GBE ∆∆≌；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．其中正确的是( )A ．①②③B ．①③④C ．①②⑤D ．②③⑤ 5． 如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O 的直线交AD 于点E ，交BC 于点F 当点E 从点A 向点D 移动过程中（点E 与点A 、点D 不重合），四边形AFCE 的形状变化依次是（ ）A ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形6．如图，在ABC 中，AB =AC =6，∠B =45°，D 是BC 上一个动点，连接AD ，以AD 为边向右侧作等腰ADE ，其中AD =AE ，∠ADE =45°，连接CE ．在点D 从点B 向点C 运动过程中，CDE △周长的最小值是（ ）A ．62B ．626C ．92D ．9267．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO.若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB ⊥OC ，OM ＝CM ；②△EOB ≌△CMB ；③四边形EBFD 是菱形；④MB ∶OE ＝3∶2.其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，点,,A B E 在同一条直线上，正方形ABCD 、正方形BEFC 的边长分别为23,、H 为线段DF 的中点，则BH 的长为（ ）A ．212B ．262C ．33D ．29 9．如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN , EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，若MN ∥AB ∥DC ，EF ∥DA ∥CB ，则有（ ）A ．S 1= S 4B ．S 1 + S 4 = S 2 + S 3C ．S 1 + S 3 = S 2 + S 4D ．S 1·S 4 = S 2·S 310．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E 且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线相交于点F ，连接AC 、CF .下列结论：①ABC EAD △≌△；②ABE △是等边三角形；③BF AD =；④BEF ABC S S =△△；⑤CEF ABE S S =△△；其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．12．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．13．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.14．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．15．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．16．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．17．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．18．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF=20°，则∠AED 等于__度．19．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度； （2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MNCF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌；②ENG ∆是等边三角形．22．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .23．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B 点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：（1）线段AD =_________cm ；（2）求证：PB PQ =；（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？24．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．25．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE是∠BAD 的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．26．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按逆时针排列），连接BF.（1）如图1,当点E与点D重合时，BF的长为；（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE=1，求BF的长；（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N.）（3）当点E在直线AD上时，若AE=4，请直接写出BF的长.27．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE =3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.28．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ； （3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．29．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．30．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=1 2CD=12AB，①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；证出OG是△ABD的中位线，得出OG//AB，OG=12AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；④不正确；即可得出结果.【详解】解：四边形ABCD 是菱形，,//,,,,AB BC CD DA AB CD OA OC OB OD AC BDBAG EDG ABO BCO CDO AOD CD DEAB DE∴=====⊥∴∠=∠∆≅∆≅∆=∴= 在△ABG 和△DEG 中，BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴.AG=DG ，∴OG 是△ACD 的中位线，∴OG=12CD=12AB ，①正确； ∵AB//CE ，AB=DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴∠BCD=∠BAD=60°， ∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，∴AB=BD=AD ，∠ODC=60°，∴OD=AG ，四边形ABDE 是菱形，③正确；∴AD ⊥BE ，由菱形的性质得：△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，在△ABG 和△DCO 中，60OD AG ODC BAG AB DC ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△DCO∴△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，则②不正确。
(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》提高卷(答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．4C 解析：C【分析】首先根据AD AC =可得△ACD 为等腰三角形，再由AE CD ⊥结合“三线合一”性质可得E 为CD 的中点，从而得到EF 为△CBD 的中位线，最终根据中位线定理求解即可． 【详解】∵AD AC =，∴△ACD 为等腰三角形，∵AE CD ⊥，∴E 为CD 的中点，（三线合一）又∵点F 是BC 的中点，∴EF 为△CBD 的中位线， ∴152EF BD ==， 故选：C ．【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键． 2．已知正方形ABCD 中，对角线4AC =，这个正方形的面积是（ ）A ．8B ．16C ．82D ．162解析：A【分析】根据勾股定理，可得正方形的边长，进而可得正方形的面积．【详解】∵正方形ABCD 中，对角线4AC =，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴2AB 2＝42，∴AB 2＝8．故选：A ．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．下列命题中，错误的是（）A．一组对边平行的四边形是梯形；B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；C．对角线相等的平行四边形是矩形；D．一组邻边相等的平行四边形是菱形．A解析：A【分析】根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可．【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；故选：A．【点睛】主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑．4．下列命题中，正确的命题是（）A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．5．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC（）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75ºC解析：C【分析】 由翻折可知：△BDF ≌△BCD ，所以∠EBD=∠CBD ，∠E=∠C=90°，由于△EDF 是等腰三角形，易证∠ABF=45°，所以∠CBD=12∠CBE=22.5°，从而可求出∠BDC=67.5°． 【详解】解：由翻折的性质得，∠DBC=∠EBD ，∵矩形的对边AD ∥BC ，∠E=∠C=90°，∴∠DBC=∠ADB ，∴∠EBD=∠ADB ，∵△EDF 是等腰三角形，∠E=90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DFE=45°，∵∠EBD+∠ADB=∠DFE ，∴∠DBF=12∠DFE=22.5°， ∴∠CBD =22.5°，∴∠BDC=67.5°，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．6．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，∵DA=DF ，DG=DG ，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =12（∠ADF+∠CDF ） =45°， ∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC ，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.7．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF ，则两个正方形重合部分的面积为（ ）A ．212aB ．214aC ．218a D ．2116a B 解析：B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可． 【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF =，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214a ． 故选择：B ．【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．8．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（ ）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα=A解析：A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠M 是AB 的中点，11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ，Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，M ，N 分别在边AB ，BC ，AD 上，将纸片分别沿EN ，EM 对折，使点A 落在点'A 处，点B 落在点'B 处，若''30A EB ∠=︒，则NEM ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒B解析：B【分析】 先由翻折的性质得到'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图可得''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，然后根据180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，得到2''180NEM A EB ∠+∠=︒，进而可求出NEM ∠的度数．【详解】由翻折的性质可知：'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图知：''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，又∵180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，∴''180A EN B EM NEM ∠+∠+∠=︒，∴2''180NEM A EB ∠+∠=︒，又∵''30A EB ∠=︒，∴75NEM ∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是翻折的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．10．矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．是轴对称图形C ．对角线相等D ．对角线互相垂直参考答案D解析：D【分析】根据矩形的性质即可判断．【详解】解：∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，∴选项A 、B 、C 正确，故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质．二、填空题11．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD CD =，F 是AD 的中点，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上．下列结论①DCF ECF ∠=∠；②EF CF =；③3DFE AEF ∠=∠；④2BEC CEF S S <中，一定成立的是_________．（请填序号）②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥BC 交CD 于NFK ∥AB 交BC 于K 利用平行四边形的性质全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题【详解】解：如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥解析：②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．【详解】解：如图，延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CH ，∴∠A=∠FDH ，在△AFE 和△DFH 中，A FDH AFE HFD AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DFH ，∴EF=FH ，∵CE ⊥AB ，AB ∥CH ，∴CE ⊥CD ，∴∠ECH=90°，∴CF=EF=FH ，故②正确，∵DF=CD=AF ，∴∠DFC=∠DCF=∠FCB ，∵∠FCB ＞∠ECF ，∴∠DCF ＞∠ECF ，故①错误，∵FK ∥AB ，FD ∥CK ，∴四边形DFKC 是平行四边形，∵AD=2CD ，F 是AD 中点，∴DF=CD ，∴四边形DFKC 是菱形，∴∠DFC=∠KFC ，∵AE ∥FK ，∴∠AEF=∠EFK ，∵FE=FC ，FK ⊥EC ，∴∠EFK=∠KFC ，∴∠DFE=3∠AEF ，故③正确，∵四边形EBCN 是平行四边形，∴S △BEC =S △ENC ，∵S △EHC =2S △EFC ，S △EHC ＞S △ENC ，∴S △BEC ＜2S △CEF ，故④正确，故正确的有②③④．故答案为②③④．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB ，CD 之间任意一点，连接AE ，BE ，DE ，CE ，则EAB 和ECD 的面积之和是______．12【分析】连接BD 根据菱形对角线的性质利用勾股定理计算BD 的长根据两平行线的距离相等所以△EAB 和△ECD 的面积和等于菱形ABCD 面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如图解析：12【分析】连接BD ，根据菱形对角线的性质，利用勾股定理计算BD 的长，根据两平行线的距离相等，所以△EAB 和△ECD 的面积和等于菱形ABCD 面积的一半，再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论．【详解】如图，连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA=12AC=12×6=3， ∵AB ＝5，由勾股定理得：224AB OA -=，∴BD=2OB=8，∵AB ∥CD ， ∴△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离，∴△EAB 和△ECD 的面积和=12×ABCD S 菱形＝12×12×AC×BD=168=124⨯⨯． 故答案为：12．【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的面积，平行线的性质，熟知平行线的距离相等，得△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离是解题的关键．13．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边的中点，若AB ＝8，则CD ＝______．4【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得【详解】∵D 是AB 的中点∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质熟记性质是解题的关键解析：4．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得2AB CD =．【详解】∵90C ∠=︒，D 是AB 的中点，∴2AB CD =， ∴118422CD AB ==⨯=． 故答案为：4．【点睛】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．14．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是______________．30°【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC∠DCB＝90°根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°于是得到结论【详解】解解析：30°【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°，根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠F＝∠ECB∵∠ECB＝20°，∴∠F＝∠ECB＝20°，∵∠GAF＝∠F，∴∠GAF＝∠F＝20°，∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15．正三角形ABC中，已知AB=6，D是直线AC上的动点，CE⊥BD于点E，连接AE，则AE长的取值范围是_______________．≤AE≤【分析】取BC中点O利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO和OE再利用三角形三边关系即可求解【详解】解：取BC中点O连接OAOE∵△ABC正三角形且AB=6∴AO⊥BCBO=OC=BC解析：333≤AE≤333【分析】取BC 中点O ，利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO 和OE ，再利用三角形三边关系即可求解．【详解】解：取BC 中点O ，连接OA 、OE ，∵△ABC 正三角形，且AB=6，∴AO ⊥BC ，BO=OC=12BC=12AB=3， ∴22226333AB BO -=-=，在△OAE 中，OA-OE<AE< OA+OE ，当O 、A 、E 在同一直线上时，取等号，∴OA-OE ≤AE ≤OA+OE ， ∴333≤AE 333≤， 故答案为：333≤AE 333≤．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形三边的关系，注意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．16．如图，在四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，且AC BD ⊥顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D …如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ，下列结论正确的有__________．①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b +．②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形是矩形四边形是菱形四边形是矩形四边形是菱形从而可得到规律序号n 是奇数时四边形是矩形当序号n 是偶数时四边形是菱形再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题【解析：②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，从而可得到规律，序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题．【详解】解： 1111,,,A B C D 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，1111111111//,,//,,22A B AC A B AC C D AC C D AC ∴== 11//,A D BD 11111111//,,A B C D A B C D ∴=∴ 四边形1111D C B A 是平行四边形，,AC BD ⊥ 11//,A B AC 11//,A D BD1111,A B A D ∴⊥∴ 四边形1111D C B A 是矩形，1111,AC B D ∴=如图，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，∴ 2211221111,,22A B AC A D B D == 四边形2222A B C D 是平行四边形， 2222,A B A D ∴=∴ 四边形2222A B C D 是菱形，故①不符合题意，2222,A C B D ∴⊥同理可得：四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，故②符合题意，······总结规律：四边形n n n n A B C D ， 当序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，111111111111,,2222A B C D AC a A D B C BD b ====== ∴ 四边形1111D C B A 的周长为,a b +如图， 四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，222222112211,,,A C B D A C A D B D A B ∴⊥==由中位线的性质同理可得：33332233332211111111,,22242224A DBC BD a a D C A B A C b b ===⨯====⨯= 所以四边形3333A B C D 的周长为()1,2a b + 由规律可得：四边形5555A B C D 是矩形， 同理可得：四边形5555A B C D 的周长是()11.224a b a b +⨯+=故③符合题意． 故答案为②③．【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．17．已知：如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使D C 、分别落在D C ''、的位置，若65EFB ︒∠=，则AED '∠的度数为_________．【分析】由长方形纸片可得再求解由折叠的性质求解结合平角的定义可得答案【详解】解：长方形纸片由折叠可得：故答案为：【点睛】本题考查的是矩形与折叠平行线的性质简单题解题的关键是理解折叠的性质 解析：50︒【分析】由长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒可得//,AD BC 再求解,DEF ∠ 由折叠的性质求解,D EF '∠ 结合平角的定义可得答案．【详解】 解： 长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒，//,AD BC ∴65DEF EFB ∴∠=∠=︒，由折叠可得：65D EF DEF '∠=∠=︒，180180656550.AED D EF DEF ''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：50.︒【点睛】本题考查的是矩形与折叠，平行线的性质，简单题，解题的关键是理解折叠的性质． 18．如图，在正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN 、点E F P Q 、、、分别在边AB BC CD AD 、、、上，点M N 、在边HG 上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD 的面积为__________．【分析】连接交于交于交于依据轴对称图形的性质即可得到的长进而得到正方形的面积【详解】解：如图连接交于交于交于正方形中有面积为4的正方形和面积为2的正方形又组成的图形为轴对称图形为对称轴为等腰直角三角 解析：279242【分析】连接BD ，交PQ 于R ，交HG 于S ，交EF 于K ，依据轴对称图形的性质，即可得到BD 的长，进而得到正方形ABCD 的面积．【详解】解：如图，连接BD ，交PQ 于R ，交HG 于S ，交EF 于K ，正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN ， 2EH EF ∴==，2MQ QP ==， 又组成的图形为轴对称图形， BD ∴为对称轴， BEF ∴∆、DPQ ∆为等腰直角三角形，四边形EKSH 、四边形MSRQ 为矩形， 112EK BK EF ∴===，11222DR QR PQ ===，2KN EH ==，2RS MQ ==， 1312223222BD ∴=+++=+， ∴正方形ABCD 的面积22113279(32)222242BD ==⨯+=+， 故答案为：279242+．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．19．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝8，EF ＝1，则BC 长为__________．15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB 得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF 的长即可求出BC 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BCDC=AB=8A解析：15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB ，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF 的长，即可求出BC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，DC=AB=8，AD=BC ，∴∠AFB=∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．20．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE=2，AF=2，BF=4，将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为______．【分析】根据旋转的可证明△BEF≌△CHE作FM⊥CD于M分别求出FMMH的长利用勾股定理即可求解【详解】∵将△BEF绕点E顺时针旋转得到△GEH点H落在CD边上∵BE=2AF=2BF=4∴GH=B解析：10【分析】根据旋转的可证明△BEF≌△CHE，作FM⊥CD于M，分别求出FM,MH的长，利用勾股定理即可求解．【详解】∵将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，点H落在CD边上，∵BE=2，AF=2，BF=4∴GH=BF=EC=4，222425+=∴在Rt△HEC中，()22-=2542∴BE=CH又∵∠B=∠C=90°，BF=CE=4∴△BEF≌△CHE作FM⊥CD于M，故四边形AFMD是矩形，∴DM=AF=2，MH=CM-CH=2，FM=AD=6∴FH=22+=26210故答案为：210．【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、正方形的性质、矩形的性质及全等三角形的判定定理．三、解答题21．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的长度．解析：4【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到OA的长，从而可以求得AC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵∠AOD＝60°，AD＝2，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4，即AC的长度为4．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．22．如图，过ABCD 对角线AC 与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边AB 、BC ．CD 、DA 于点P 、M 、Q 、N ．（1）求证：PBE QDE ≅△△；（2）顺次连接点P 、M 、Q 、N ，求证：四边形PMQN 是菱形．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由ASA 证PBE QDE ≅△△即可；（2）由全等三角形的性质得出EP EQ =，同理可得EM EN =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形PMQN 是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，EB ED ∴=，//AB CD ，EBP EDQ ∴∠=∠，在PBE △和QDE △中，EBP EDQ EB ED BEP DEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()PBE QDE ASA ∴≅△△；（2）证明：如图所示：PBE QDE ≅△△，EP EQ ∴=，同理可得EM EN =，∴四边形PMQN 是平行四边形，PQ MN ⊥，∴四边形PMQN 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．23．如图，已知点E 是ABCD 的边CD 延长线上的一点；连接AE ，BD ，且//AE BD ；过点E 作EF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接DF ；求证：DF DE =解析：见解析【分析】根据平行四边形的性质可得AB CD =，//AB CD ，然后结合题意利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABDE 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半证明求解．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，又∵//AE BD∴四边形ABDE 是平行四边形；∴AB DE =，即CD DE =；又EF BC ⊥于点F ；∴∠EFC=90°∴在Rt CEF △中，点D 是斜边CE 的中点∴DF DE =．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．24．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．（1）求线段AB 的长．（2）若3BP =，求ABP △的面积．解析：（1）5；（2）6【分析】（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．【详解】解：（1）∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP=∠PAB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ∥CD ，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP 是等腰三角形，∴AD=DP=2.5，同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA ）=90°， 在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，∴，∴△APB 的面积=4×3÷2=6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．25．如图，BD 为ABC 的角平分线，E 为AB 上一点，BE BC =，连结DE ． （1）求证：BDC BDE ≅△△；（2）若7AB =，2CD =，90︒∠=C ，求ABD △的面积．解析：（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）根据角平分线的性质可得DBC DBE ∠=∠，再根据已知条件BE BC =，BD BD =，即可证明；（2）根据（1）中结果，得2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒，即可求得ABD △的面积．【详解】（1）∵BD 平分ABC ∠，∴DBC DBE ∠=∠，∴在BDC 和BDE 中，BD BD =，DBC DBE ∠=∠，BE BC =，∴BDC ≌BDE ；（2）∵BDC ≌BDE ，∴2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒， ∴1172722ABD S AB DE =⋅=⨯⨯=△． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握运用以上知识点．26．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；②作边AC 的中点E ，连接DE ；（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．解析：（1）①见解析；②见解析；（2）6.5（1）①以A 为圆心，小于AB 的长度为半径画圆，交AB 、AC 于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A ，即可得到BAC ∠的平分线，再画出它与BC 的交点D ；②作线段AC 的垂直平分线，即可找到线段AC 的中点E ，连接DE ；（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得152BD BC ==，AD BC ⊥，用勾股定理求出AB 的长，再根据中位线的性质得到DE 的长．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴152BD BC ==，AD BC ⊥， 在Rt ABD △中，2213AB AD BD =+=， ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点，∴1 6.52DE AB ==， 故答案是：6.5．【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．27．（问题提出）小颖发现某座房屋的侧面是一种特殊的五边形，她决定好好研究一下它的特点，并计算它（问题探究）定义：如图()1，我们把满足,,90AB AE CB DE C D ︒==∠=∠=的五边形ABCDE 叫做屋形．其中,AB AE 叫做脊，,BC DE 叫做腰，CD 叫做底．性质：边：屋形的腰相等，脊相等；角：①屋形腰与底的夹角相等；②脊与腰的夹角相等；对角线：①②屋形有两组对角线分别相等，且其中一组互相平分．对称性：屋形是以底的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；（1）请直接填写屋形对角线的性质①；（2）请你根据定义证明“屋形的脊与腰的夹角相等”；己知：如图，五边形ABCDE 是屋形．求证：证明：（问题解决）（3）如图，在屋形ABCDE 中，若5,8,6AB BC CD ===，试求出屋形ABCDE 的面积．解析：（1）屋形有一条对角线与底平行且相等；（2）见解析；（3）60【分析】（1）根据屋形的特点可得结论；（2）连接BE ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据+CBE ABE DEB AEB ∠=∠+得出结论；（3）连接BE ，过A 作AH BE ⊥，先利用勾股定理得出AH 的值，再利用三角形和矩形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）屋形有一条对角线与底平行且相等（2）求证：屋形的脊与腰夹角相等证明：连接BEAB AE =，ABE AEB ∴∠=∠，C D ∠=∠，//BC DE ∴，又BC DE =，∴四边形BCDE 为平行四边形，90CBE DEB ︒∴∠=∠=∵ABE AEB ∠=∠，∴+CBE ABE DEB AEB ∠=∠+，ABC AED ∴∠=∠．【问题解决】连接BE ，过A 作AH BE ⊥，5AB =，5AE ∴=，,AH BE AB AE ⊥=，142BH EH BE ∴===， 2222543AH AB BH ∴=--=，∴BE=2BH=6，183122ABE S ∆∴=⨯⨯=， BCDE 8648S =⨯=矩，481260+=，∴屋形ABCDE 的面积为60．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 28．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，E 是AB 延长线上一点且BE AB =，连接CE ，BD ．（1）求证：四边形BECD 是平行四边形（2）连接DE ，若4AB BD ==，22DE =，求BECD 的面积．解析：（1）见解析；（2）47BECD S =菱形 【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，得到AB CD =，//AB CD ，再根据BE AB =，得到BE CD =，利用一组对边平行且相等的四边形BECD 是平行四边形去判定．（2）先利用已知条件证四边形BECD 是菱形，再在Rt BOE △中，利用勾股定理求BO ，进而求BC ，则可求菱形面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，又∵BE AB =，∴BE CD =，//BE CD ，∴四边形BECD 是平行四边形．（2）如图，连接DE ，交BC 于点O ，∵4AB BD ==，BE AB =，∴4BD BE ==，由（1）得四边形BECD 是平行四边形，∴BECD 是菱形，∴DE BC ⊥，∵DE =∴12OE DE ==，在Rt BOE △中，BO === ∴2BC BO ==∴1122BECD S BC DE =⋅=⨯=菱形 【点睛】 本题考查了平行四边形、菱形性质和判定的综合应用，熟练掌握相关知识是解答此题的关键．。