上海市2018届高三数学复习等差数列与等比数列(1)专题练习
上海市2018届高三数学复习等差数列与等比数列专题练习
等差数列与等比数列二一、填空题1、等比数列a n的公比大于1,a5a115,a4a26,则a32、在各项均为正数的等比数列a n中,若a21,a8a52a2,则a53、等比数列a n的前n项和S n3n1t,则t4、在等差数列a n中,若a m n,a n m,m n,则a mn5、等差数列a n中,公差d1,a1a3a5...a9960,则前100项和S10026、一个各项为正数的等比数列,任何项都等于它后边两项之和,则公比等于7、若某三角形的三边成等比数列,则公比q的取值范围是8、已知数列a n是非零等差数列,又a1,a3,a9是某个等比数列的前三项,则a1a3a9a2a4a109、设数列an是等比数列,公比q1,已知此中连续三项恰为某等差数列的第r项,第2r项,第4r项,则等比数列的公比q10、已知方程x22x m x22x n0的四个根构成一个首项为1的等差数列,则4mn11、等差数列a n的前n项和为S n,已知S100,S1525,则nS n的最小值为12、已知f x x3x1,公差d不为0的等差数列a n知足:fa1f a2...f a2727,则a14二。
选择题13、等比数列a n的公比为q,则“q1”是“关于随意自然数n,都有a n1a n”的()A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足又非必需条件14、设等差数列a n的前n项和S n,且知足S20160,S20170,对随意正整数,都有a n a k,则k的值为()15、设an 是等差数列,以下结论中正确的选项是()A.若a1a20,则a2a30 B.若a1a30,则a1a20C.若0a a,则a 21a3 D.若a10,则a2a1a2a3012a16、已知a n是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a,a成等比数列,则()48A. a1d 0,dS40B. a1d 0,dS40C. a1d 0,dS40D. a1d 0,dS40三、解答题17、已知互不相等的三个数之积为-8,这三个数适合摆列后可成为等比数列,也可成为等差数列,求这三个数摆列成的等差数列18、已知数列a n是首项为2,公比为1的等比数列,前n项和S n2(1)求证:S n,S n1n N 在某向来线上;(2)能否存在正整数c和k,使得Sk1c2建立?S k c19、在数列an中,a12,a n14a n3n 1,n N(1)求证:数列a n n是等比数列;(2)设数列a n的前n项和S n,求证S n14S n,对随意n N皆建立20、已知数列a n知足条件:a11,a2 rr 0,数列a n a n1是公比为qq 0的等比数列,b n a2n1a2n n N(1)若不等式a n a n1a n1a n2a n2a n3建立,务实数q的取值范围;1log2b n1的最大项和最小项的值。
上海市2018届高三数学复习等差数列与等比数列(2)专题练习
等差数列与等比数列二一、填空题1、等比数列{}n a 的公比大于1,514215,6a a a a -=-=,则3a =2、在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若28521,2a a a a ==+,则5a =3、等比数列{}n a 的前n 项和13n n S t -=+,则t =4、在等差数列{}n a 中,若(),,m n a n a m m n ==≠,则m n a -=5、等差数列{}n a 中,公差135991, (602)d a a a a =++++=,则前100项和100S = 6、一个各项为正数的等比数列,任何项都等于它后面两项之和,则公比等于 7、若某三角形的三边成等比数列,则公比q 的取值范围是 8、已知数列{}n a 是非零等差数列,又139,,a a a 是某个等比数列的前三项,则1392410a a a a a a ++=++9、设数列{}n a 是等比数列,公比1q ≠,已知其中连续三项恰为某等差数列的第r 项,第2r 项,第4r 项,则等比数列的公比q = 10、已知方程()()22220x x mxx n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列,则m n -=11、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为 12、已知()31f x x x =++,公差d 不为0的等差数列{}n a 满足:()()()1227...27f a f a f a +++=,则14a =二。
选择题13、等比数列{}n a 的公比为q ,则“1q >”是“对于任意自然数n ,都有1n n a a +>”的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又非必要条件 14、设等差数列{}n a 的前n 项和n S ,且满足201620170,0S S ><,对任意正整数,都有n k a a ≥,则k 的值为( )A.1006B.1007C.1008D.100915、设{}n a 是等差数列,下列结论中正确的是( )A.若120a a +>,则230a a +>B.若130a a +<,则120a a +<C.若120a a <<,则2a >若10a <,则()()21230a a a a -->16、已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S ,若348,,a a a 成等比数列,则( ) A. 140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <> 三、解答题17、已知互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成为等比数列,也可成为等差数列,求这三个数排列成的等差数列18、已知数列{}n a 是首项为2,公比为12的等比数列,前n 项和n S(1)求证:()()1,n n S S n N *+∈在某一直线上; (2)是否存在正整数c 和k ,使得12k k S cS c+->-成立?19、在数列{}n a 中,12a =,1431,n n a a n n N *+=-+∈(1)求证:数列{}n a n -是等比数列;(2)设数列{}n a 的前n 项和n S ,求证14n n S S +≤,对任意n N *∈皆成立20、已知数列{}n a 满足条件:()121,0a a r r ==>,数列{}1n n a a +是公比为()0q q >的等比数列,()212n n n b a a n N *-=+∈(1)若不等式11223n n n n n n a a a a a a +-++-+>成立,求实数q 的取值范围;(2)设19.2121,2r q =-=,求数列212log log n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项和最小项的值。
2018年高考数学二轮复习第一部分专题三数列第一讲等差数列、等比数列习题
第一讲 等差数列、等比数列限时规范训练一、选择题 1.已知数列{a n },若点(n , a n )( n € N )在经过点(8,4)的定直线I 上,则数列{a n }的前15项和S s=( ) A. 12 D. 120解析:T 点(n , a n )在定直线上,数列{a n }是等差数列,且a 8= 4, 答案:C2. 已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4— 2a 2+ 3a *= 0,数列{b n }是等比数列,且b ?= a ,则b 2b 8bn 等于() A. 1 B . 2 C. 4D. 8解析:T a 4 — 2a 7+ 3a 8= 0,「. 2a ?= a 4 + 3a 8,「. 2a ?= a 5+ a ?+ 2a $ = a 5 + a ?+ a ?+ a 9,即卩 2a ?= 4a ?, •- a 7 = 2, • b 7 = 2,又T b 2b 8b1= b 6b 8“= b 7b 7= (b 7) 3= 8,故选 D. 答案:D 3.在等差数列{a n }中,a n >0,且a 1+ a 2+-+ a 10= 30,贝U a 5 • a 6的最大值等于( )A. 3 B . 6 C. 9D. 36解析:T a 1 + a 2+…+ a 10= 30,得 a 5 + a 6 = = 6,又 a n >0,「. a 5 • a 6<5 答案:C 4.设等差数列{a n }满足a 2 = 7, a 4= 3, S 是数列{a n }的前n 项和,则使得 S>0的最大的自然数 n 是()A. 9 B . 10 C. 11D. 123 — 7 、、解析:.{a n }的公差 d =■ = — 2,. • {a n }的通项为 a = 7 — 2(n — 2) = — 2n + 11,. • {a n }是递减4 — 2 数列,B . 32C. 60a 1 + a 152XI52a 8 x 152 =15a 8= 60.a5 + a6且a5>0>a6, a5+ a6= 0,于是S9= 9a5>0, S o= - • 10= 0, S1 = 11 a6< 0,故选 A.答案:A5. 在等比数列{a n}中,a1+ a n= 34, a2 • a n-1 = 64,且前n项和S= 62,则项数n等于()-2 -C. T 5D. T 6B. 5C. 6D. 7解析:设等比数列{a n }的公比为q ,由a 2a n -1 = a©= 64,又a i + a n = 34,解得a i = 2,a n = 32或a ia i 1 — qa i — a n q 2 — 32qn=32, a n = 2.当 a i = 2, a n = 32 时,S = 一-=-= 62,解得 q = 2.又 a n = ag n1 — q 1 — q 1 — q—1所以2x2 1= 2 = 32,解得n = 5.同理,当a 1= 32, a n = 2时,由S= 62,解得q =右=2 4,即n — 1= 4, n = 5.综上,项数n 等于5,故选16 2B.答案:B+ a 10)v 0,S 9a 10v 0,即该等差数列前 9项均是正数项,从第10项开始是负数项,则 一最大,故选C.a 9答案:CA. 4 6.在等差数列{a n}中, a 1= — 2015,其前n 项和为S n ,若誇―S= 2,则S 2016的值等于(A.— 2 015 C. 2 016 B . 2 015 D. 0解析:设数列10X9d , S o = 10a 1+ -2-d ,12X 11S 12所以石=12a + —2d 12- 9=a 1 + -^d . 10= a 1 + 尹S12 S 0 所以 S 2— S 0= d =2,所以 S 2 016 = 2 016 x a 1+2 015 X 2 016d = 0.答案:D7.设等差数列{ a n }的前n 项和为 S, 且满足 S §2S 7>0, S 8V 0,则a ,-,¥中最大的项为( )S A.- a 7sB.-a 8a 9 a 10解析:因为{a n }是等差数列,所以 =17a 9> 0, a 9> 0,S )8=IX a 1 + a 18=9( a 9&正项等比数列{a n}中,a2 = 8,16 a4= a©,则数列{◎}的前n项积T n中的最大值为()A. T3B. T4-4 -C. T 5D. T 621 2 a 4 1解析:设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0),贝U 16a 4 = af 5= a 2a 4= 8a 4, a 4= , q = =花,又q2 a 2 16 >0,贝y q =1a n= aq-2= 8x1 n _2= 2一2n ,贝H T n = aa 2…a n = 25+3+…+(7一2n) = 2n(6 —n),当 n = 3 时,4诒丿n (6 — n )取得最大值9,此时T n 最大,即(T n ) max = T 3,故选A.答案:A 二、填空题a 29. (2017 •咼考北京卷 )若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1 = b 1 = — 1, a 4= S = 8,则匸=b 2解析:设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b }的公比为q ,a 4 — a 1 8— — I则由 a 4= a+ 3d ,得 d =3 — = 3= 3,33b 48由 b 4= b 1q 得 q = = —=— 8,「・ q =— 2.b 1 — 1a 2 a 1 + d — 1 + 3:b 2=両=—ix -? =1.答案:110 .若等比数列{ a n }的各项均为正数,且a 1o an + a 9a 12= 2e 5,则ln a 1+ ln a ?+…+ ln a 2o = _____________55解析:因为 a 1o au + a 9a 12= 2a 1o a“= 2e ,所以 a 1o au = e . 所以 In a 1+ lna 2 + …+ In a 20= ln( aa 2…a 20)= ln[(a 1a 20)•( a 2a 19) ........ ( a 10an)] = ln( aean)5=10ln( aean) = 10ln e = 50ln e = 50.答案:50小值时,S 2 =且仅当 m= n 时取等号,n = 2,「. a 2= 2X 3= 6, — S 2= 2+ 6= 8. 答案:811.等比数列{a n }的首项为2,公比为3,前n 项和为S.若log 3Sm + 1=9,则丄+上取最n m 解析:由题意可得a n = 2X3n —1, S = 2二=3n — 1,所以 log 3 |^aS m + 1n + 4m- 1=log 33 = n+ 4m-1 = 9,所以 n + 4m= 10,所以1+ 4 =n m2m 172=空」当5 10 2'1S k1+n2m 17 2n+?=帀+5m +乔》和+2Xn)等差数列{a n}的前n项和为S n, a3= 3, S= 10,则12. (2017 •高考全国卷nk = 1-6 -C. T 5D. T 6鬥=a i + 2d = 3,解析:设等差数列{a n }的公差为d ,则由4X3S 4= 4a i + —^d = 10,1111 1 11111 1 1S = S 1+ S 2+§+•••+ s n =2 1— 2+ 2-3+3 - 4+^+ n _ 市=2三、解答题13. 已知等差数列{a n }中,a 2= 5,前4项和s= 28. (1)求数列{a n }的通项公式;⑵若b = ( - 1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和Tm[a 2= a 1 + d = 5, 解析:(1)设等差数列{a n}的公差为d,则由已知条件得S 4= 4&+宁X d = 28,a 1= 1, d = 4,• a n = a 1+ (n -1) X d = 4n — 3.⑵ 由(1)可得 b n = ( - 1)n a n = ( - 1)n (4 n -3), T 2n =- 1 + 5-9+ 13-17 +…+ (8 n -3) = 4X n = 4n .14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S,且S = 9, a 1, a 3, a ?成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;⑵ 若金丰a 1(当n 》2时),数列{b n }满足b n = 2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .2 2 1解析:(1) a 3 = a 1a ?,即(a + 2d ) = a(a 1 + 6d ),化简得 d =尹或 d = 0. 1 3X2 1 9当 d = ?a 1 时,S= 3a 1+ ~2~X ?a 1 = ^a 1= 9,得 a 1= 2, d = 1, • a n = a 1+ (n - 1)d = 2 + (n — 1) = n + 1,即卩 a n = n +1 ;当d = 0时,由S= 9,得a 1 = 3,即有a n = 3.⑵ 由题意可知b n = 2a n = 2n +1,b 1= 4, 一b• {b n }是以4为首项,2为公比的等比数列, • T n =养=二=2n + 2- 4.a i = 1,d = 1.n S 1 = n X 1 + n T2S T n n+1 = 21-估.nk = 1答案:2nn +1b n + 1 =2.15. 已知数列{a n}的前n项和为S, a1 = 2, a n M 0, a n a n+ 1= pS + 2,其中p 为常数.-8 -(1) 证明:a n + 2 —a n = p;(2) 是否存在p,使得{a n}为等差数列?并说明理由.解析:(1) 证明:由题设知a n a n+ 1= pS n+ 2,a n+ 1a n+ 2= pS n+ 1+ 2,两式相减得a n + 1 ( a n+ 2—a n) = pa n + 1,由于a n +1 M 0, 所以a n+2 —a n = p. (2)由题设知a i= 2, a i a2= pS+ 2,可得比=p+ 1,由(1)知a3= p+ 2. 令2a2= a1+ a3,解得p= 2,故a n+2—a n= 2,由此可得{a2n—1}是首项为2,公差为2的等差数列,且a2n—1= 2门,{a2n}是首项为3,公差为2的等差数列,且a2n= 2n +1,所以a n= n+ 1 ,a n + 1 —a n = 1 ,因此存在p= 2,使得数列{a n}为等差数列.。
沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第四章 数列与数学归纳法 一、等差数列与等比数列
沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第四章数列与数学归纳法一、等差数列与等比数列一、解答题(★★★) 1. 已知是等差数列,,前项和为是等比数列,公比满足,前项和为,求.(★★★) 2.等差数列的前项和为.(Ⅰ)求数列的通项与前项和;(Ⅱ)设,求证:数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(★★★) 3.设数列的前项和为已知(I)设,证明数列是等比数列.(II)求数列的通项公式.(★★★) 4. 求和(1);(2),求;(3),求.(★★★) 5. 求数列的前项和.(★★★) 6. 据下列关系求通项公式:(1),求;(2),求;(3),求.(★★★) 7. 在数列中,.(1)求;(2)求.(★★★★) 8. 设数列的前项和为,已知,且其中为常数.(1)求与的值;(2)证明数列为等差数列;(3)证明不等式对任何正整数都成立.(★★) 9. 在等差数列中,已知,求的值.(★★) 10. 已知数列的前项和为,求数列的前项和.(★★★) 11. 设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足.(1)求数列的通项公式及前项和;(2)试求所有的正整数,使得为数列中的项.(★★★) 12. 已知数列的前 n项和为,,且( n为正整数).(1)求数列的通项公式;(2)记…若对任意正整数 n,恒成立,求实数 k的最大值.(★★★) 13. 根据下列条件,求的通项公式:(1)已知,求;(2)已知,求.(★★★) 14. 已知前项和满足下列关系,求.(1);(2),且,求;(3),求.(★★★) 15. 解答下列各题:(奇表示奇数项和,偶表示偶数项和)(1)是等比数列,,项数为偶数.奇=85,偶=170,求;(2)是等差数列,共项,为奇数,,偶,,求通项公式.(★★) 16. 求和:;(★★)17. 为公差为的等差数列,且,求的和(用、表示).(★★) 18. 求和:.(★★★) 19. 已知数列,求:(1)前项和;(2)通项公式.(★★★) 20. 已知数列{ a n}的前 n项和为 S n,且 S n= n﹣5 a n﹣85,n∈N *(1)证明:{ a n﹣1}是等比数列;(2)求数列{ S n}的通项公式.请指出 n为何值时, S n取得最小值,并说明理由?(参考数据15=﹣14.85)(★★★) 21. 将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成下表:……记表中的第一列数、、、……构成的数列为,,为数列的前项和,且满足(I)证明数列成等差数列,并求数列的通项公式;(II)上表中,若从第三行起,每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数,当时,求上表中第行所有项的和(★★★★) 22. 在直角坐标平面上的一列点,简记为.若由构成的数列满足,其中为方向与轴正方向相同的单位向量,则称为点列.(1)判断,是否为点列,并说明理由;(2)若为点列,且点在点的右上方.任取其中连续三点,判断的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形),并予以证明;(3)若为点列,正整数,满足,求证:.(★★★)23. (3’+7’+8’)已知以 a 1为首项的数列{ a n}满足: a n+1=.(1)当 a 1=1, c=1, d=3时,求数列{ a n}的通项公式;(2)当0< a 1<1, c=1, d=3时,试用 a 1表示数列{ a n}的前100项的和S 100;(3)当0< a 1<(m是正整数), c=,d≥3m时,求证:数列 a 2-, a 3m+2-, a 6m+2-,a 9m+2-成等比数列当且仅当 d=3m.(★★★★) 24.已知数列{ a n}和{ b n}满足: a 1= λ, a n+1= 其中λ为实数, n为正整数.(Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{ a n}不是等比数列;(Ⅱ)试判断数列{ b n}是否为等比数列,并证明你的结论;(Ⅲ)设0< a< b, S n为数列{ b n}的前 n项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数 n,都有 a< S n< b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.二、填空题(★) 25. 仔细观察数列给出部分的数字,寻找规律,在空白处填上合适的数字.(1)2,3,5,8,__________21;(2)8,_______14,17,20,23;(3)2,4,8,16,_______,64;(4),,,,,_________.(★) 26. 设f(n)=2+2 4+2 7+2 10+⋅⋅⋅+2 3n+1(n∈N*),则f(n)=_____.(★★★) 27. 已知等比数列中,则其前3项的和的取值范围是 ________ .(★★★) 28. ,则____________;(★★★) 29. __________;(★★★) 30. __________;(★★) 31. _____________ .(★★) 32. 在等差数列中,若,则有:(,且)成立.类比上述性质,在等比数列中,若,则有______.(★★) 33. 数列中,且(是正整数),则数列的通项公式.(★★★) 34. 设数列{ }是首项为1的正项数列,且(n+1),则它的通项公式 ______ .(★★★) 35. 一个有限数列、、、的部分和定义为,其中,称为该有限数列的“凯森和”.已知一个有项的数列、、、的“凯森和”为,则有项的数列、、、、的“凯森和”为_______.三、双空题(★★★) 36. 设平面内有条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点,若用表示这条直线交点的个数,则________;当时,______(用表示);(★★★) 37. 已知次多项式.如果在一种算法中,计算的值共需要次乘法,计算的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算的值共需要______次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:.利用该算法,计算的值共需要6次运算,计算的值共需要______次运算;四、单选题(★★)38. 在等比数列中, ,前项和为,若数列也是等比数列,则等于()A.B.C.D.(★★★) 39. 设是以为首项,为公差的等差数列,是为首项,为公比的等比数列,记,则中不超过的项的个数为()A.8B.9C.10D.11(★★★) 40. 已知数列的前项和,其中、是非零常数,则存在数列、使得()A.,其中为等差数列,为等比数列B.,其中和都为等差数列C.,其中为等差数列,为等比数列D.,其中和都为等比数列(★★★) 41. 等比数列的公比为,则与的大小关系是()A.B.C.D.不能确定。
专题11 等差数列与等比数列-2018年上海高考理科数学模拟题分类汇编
专题11 等差数列与等比数列【母题原题1】【2018上海卷,6】记等差数列的前项和为,若,,则____.【答案】14【解析】【分析】【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.【母题原题2】【2017上海卷,15】已知、、为实常数,数列的通项,,则“存在,使得、、成等差数列”的一个必要条件是()【答案】A【解析】存在,使得成等差数列,可得,化简可得,所以使得成等差数列的必要条件是.【母题原题3】【2017上海卷,10】已知数列和,其中,,的项是互不相等的正整数,若对于任意,的第项等于的第项,则________【答案】2【命题意图】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法.【命题规律】从近三年高考情况来看,本讲一直是高考的热点,尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和为考查的重点,常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查,考查内容比较全面,多为解答题的形式呈现,解题时要注意基本运算、基本能力的运用,同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. 【方法总结】1.求数列前n 项和的常用方法 1)分组求和法分组转化法求和的常见类型(1)若a n =b n ±c n ,且{b n },{c n }为等差或等比数列,可采用分组求和法求{a n }的前n 项和. (2)通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧b n ,n 为奇数c n ,n 为偶数的数列,其中数列{b n },{c n }是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.提醒:某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 2)裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如:{}n a 是公差为d 的等差数列,求111nk k k a a =+∑ 解:由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭3)错位相减法若{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,求数列{}n n a b (差比数列)前n 项和,可由n n S qS -,求n S ,其中q 为{}n b 的公比.如:2311234n n S x x x nx -=+++++……① ()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x xnx --=++++-……1x ≠时,()()2111nnnx nx S xx -=---,1x =时,()11232n n n S n +=++++=…… 4)倒序相加法把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……1.【上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控(二模)】已知等比数列的前项和为,则下列判断一定正确的是 ( ). A . 若,则 B . 若,则C . 若,则D . 若,则【答案】D【解析】利用排除法:本题选择D 选项.2.【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试】已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是“4652S S S +>”的( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】()4651112,466152510S S S a d a d a d +>∴+++>+, 2120,0d d d ∴>∴>,充分性成立,若“0d >”则4654620,2S S S d S S S +-=>+>,必要性成立,所以“0d >”是“4652S S S +>”的充分必要条件,故选C.【方法点睛】本题通过等差数列前n 项和的基本量运算,主要考查充分条件与必要条件,属于中档题. 判断充要条件应注意:首先弄清条件p 和结论q 分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.【上海市浦东新区2018届高三5月综合练习(三模)】已知数列满足,其首项,若数列是单调递增数列,则实数的取值范围是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】【分析】【点睛】本题是中档题,考查数列的单调性,注意推出数列的第二项大于第一项,是解题的关键,同时注意分类讨论.4.【上海市2018年5月高考模拟】设正数数列的前项和是,若和都是等差数列,且公差相等,则__________【答案】【解析】【分析】由和都是等差数列,且公差相等,把和都用和表示,联立求解和,即可求得结果. 【详解】设数列的首项为,公差为,数列的前项和是,,又也是公差为的等差数列,则,两边平方得,①,两边平方得,②②-①得:,③把③代入①得,或,当时,,不合题意,当时,代入③解得,,故答案为.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,意在考查学生的计算能力、转化与划归思想的运用,以及综合运用所学知识解决问题的能力,属于中档题.5.【上海市2018年5月高考模拟】等差数列,,记,则当__________时,取得最大值【答案】4【解析】【分析】因此在中,当时,,当时,,故当时,取得最大值,故答案为.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式的计算,属于难题. 求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种:①将前项和表示成关于的二次函数, ,当时有最大值(若不是整数,等于离它较近的一个或两个整数时最大);②可根据且确定最大时的值.本题根据方法①确定的取值范围的.6.【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研(一模)】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,12n n n S a a +=(*n N ∈),若()1211nn n n n b a a ++=-,则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________. 【答案】()111nn --++或2,1{ ,1n n n n n n +-+-+为奇数,为偶数当n 为偶数时, 111n T n =-++ ,当n 为奇数时, 111n T n =--+ ,综上所述()111nnT n -=-++ ,故填()111nn --++或2,1{ ,1n n n n n n +-+-+为奇数,为偶数. 点睛:数列问题是高考中的重要问题,主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和,主要利用解方程得思想处理通项公式问题,利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和.在利用错位相减求和时,要注意提高运算的准确性,防止运算错误.7.【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研(一模)】若数列{}n a 为等比数列,且53a =,则2738a a a a -=__________.【答案】18【解析】数列{}n a 为等比数列,且53a =,所以228375=9a a a a a ⋅=⋅=,故行列式272837389918a a a a a a a a -=⋅+⋅=+=,故填18.8.【上海市十二校2018届高三联考】若等差数列{}n a 的前5项和为25,则3a =________ 【答案】5【解析】由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得:153533255525,522a a aS a a +=⨯=⨯==∴=. 9.【上海市徐汇区2018届高三一模】著名的斐波那契数列{}n a :1,1,2,3,5,8…,满足*12211,,n n n a a a a a n N ++===+∈,那么357920171a a a a a +++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列的第_____项【答案】2018【解析】357920172357920171a a a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅+457920176792017892017a a a a a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ 201620172018a a a =⋅⋅⋅=+=,即为第2018项10.【上海市金山区2018届高三下学期质量监控(二模)】已知数列满足:(1) 证明:数列是等比数列;(2) 求使不等式成立的所有正整数m 、n 的值;(3) 如果常数0 < t < 3,对于任意的正整数k ,都有成立,求t 的取值范围.试题解析:(1) 由an+1=an+2,所以an+1–4 =( an –4 ),且a1–4=–2,故数列{an–4}是以–2为首项,为公比的等比数列;(2) 由(1)题,得an–4=–2,得,于是,当m≥4时,,无解,综上所述,的取值范围是(0,1)∪(2,).11.【上海市黄浦区2018届高三4月模拟(二模)】定义:若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”.已知数列是数列的伴随数列,试解答下列问题:(1)若,,求数列的通项公式;(2)若,为常数,求证:数列是等差数列;(3)若,数列是等比数列,求的数值.【答案】(1);(2)证明见解析;(3).【解析】试题分析:(1)根据题意,由,,代入. 可求得,.(2)由,代入,可得,.即可证明数列是首项为公差为的等差数列.(3).由题意可得). 由是等比数列,且,设公比为,则.可证明当,和时均不成立.故,(). 根据数列是等比数列,有..根据可化为(2) ,,∴,,.∴,.∴数列是首项为、公差为的等差数列.(3) ,,由,得.是等比数列,且,设公比为,则.∴当,即,与矛盾.因此,不成立. 当,即,与矛盾.因此,不成立.,即数列是常数列,于是,(). . ,数列也是等比数列,设公比为,有.可化为由,得.把,代入解得. .【点睛】本题新定义题型,考查的知识是数列的递推式,是数列知识较为综合的应用,,解题时要认真审题,注意数列性质的合理运用.12.【上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研(二模】已知数列{}n a ,其前n 项和为n S ,满足12a =, 1n n n S na a λμ-=+,其中2n ≥, *n N ∈,λ, R μ∈.(1)若0λ=, 4μ=, 12n n n b a a +=-(*n N ∈),求数列{}n b 的前n 项和;(2)若23a =,且32λμ+=,求证:数列{}n a 是等差数列. 【答案】(1) 122n +- (2)见解析【解析】试题分析: ()1根据已知条件得到14n n S a +=,两式相减得1144n n n n S S a a +--=-,得到12n n b b -=求得2a 的值,进而得到12122b a a =-=,即可得到数列{}n b 为以2为首项, 2为公比的等比数列,然后求得数列{}n b 的前n 项和;()2将23a =,且32λμ+=代入,解得12λ=, 1μ=,猜想1n a n =+,用数学归纳法证明 解析:(1)14n n S a -=,所以14n n S a +=.两式相减得1144n n n n S S a a +--=-. 即1144n n n a a a +-=-所以()11222n n n n a a a a +--=-,即12n n b b -=,又2148S a ==,所以2216a S a =-=,得12122b a a =-=则当1n k =+时, ()112222121212k k k k k a a a k k k k k +---⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭猜想成立. 由①、②可知,对任意正整数n , 1n a n =+. 所以11n n a a +-=为常数,所以数列{}n a 是等差数列.。
(完整版)2018年上海高考数学试卷(参考答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中,2x 项的系数为_________.(结果用数值表示) 4.设常数a R ∈,函数2()log ()f x x a =+。
若()f x 的反函数的图像经过点(3,1),则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-(i 是虚数单位),则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若30a =,6714a a +=,则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。
若幂函数()f x x α=为奇函数,且在(0,)+∞上递减,则 α=_________.8.在平面直角坐标系中,已知点(1,0)A -,(2,0)B ,E 、F 是y 轴上的两个动点,且2EF =u u u r,则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个。
从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.(结果用最简分数表示)10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=(*n ∈N ),前n 项和为n S 。
若11lim2n n n S a →+∞+=,则q =_________.11.已知常数0a >,函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
若236p q pq +=,则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足:22111x y +=,22221x y +=,121212x x y y +=,则的最大值为_________.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) (A) (B) (C) (D) 14.已知a ∈R ,则“1a >”是“11a<”的( ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。
等差数列与等比数列-每日一题2018年高考数学(理)二轮复习
等差数列与等比数列高考频度:★★★★☆ 难易程度:★★☆☆☆记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若4524a a +=,648S =,则数列{}n a 的公差为A .1B .2C .4D .8【参考答案】C【解题必备】1.求解等差数列通项公式的方法主要有两种:(1)定义法.(2)前n 项和法,即根据前n 项和n S 与n a 的关系求解.在利用定义法求等差数列通项公式时,常涉及设等差数列项的问题,等差数列中项的常见设法有:(1)通项法;(2)对称项设法.当等差数列{}n a 的项数为奇数时,可设中间一项为a ,再以公差为d 向两边分别设项:,2,,,,2,a d a d a a d a d --++;当等差数列{}n a 的项数为偶数时,可设中间两项分别为,a d a d -+,再以公差为2d 向两边分别设项:,3,,,3,a d a d a d a d --++.2.递推关系式构造等差数列的常见类型:学+(1)转化为211()(n n n a a a +++--)n a -=常数,则{}1n n a a +-是等差数列; (2)转化为111n n a c a c +-=++常数,则1{}n a c+(c 可以为0)是等差数列;(31n n a a +=常数,则{}n a 是等差数列;(4)转化为221n n a a +-=常数,则2{}n a 是等差数列;(5)转化为111nnS c S c+-=++常数,则1{}nS c+(c可以为0)是等差数列.1.已知公差不为零的等差数列{}n a中,有2258220a a a-+=,数列{}n b是等比数列,55b a=,则37b b=A.16 B.8C.4 D.22.若等差数列{}n a和等比数列{}n b满足111a b==-,448a b==,则22ab为A.1B.1-C.2D.2-3.各项为正的等比数列{}n a中,4a与14a的等比中项为22,则27211log loga a+的值为A.4 B.3C.2 D.11.【答案】A【解析】在等差数列中,()282852224a a a a a+=+=,由2258220a a a-+=得2554a a=,所以54a=或5a=,因为等比数列{}n b中,55b a=,所以54b=,又因为237516b b b==,故选A.3.【答案】B【解析】由等比数列{}n a 中,4a 与14a 的等比中项为22,得4148a a =, 又27211271124142log log log ()log ()log 83a a a a a a +====,故选B .。
2018年上海高三二模真题汇编——数列专题(教师版)
2018年一模汇编——数列专题一、知识梳理【知识点1】等差、等比数列的相关公式的应用通项n a前n 项和n S等差()11n a a n d =+- 1n a dn a d =+-()12n n n a a S +=;2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 等比()110n n a a q q -=≠⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(111q q q a q na S n n【例1】设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1 . 【答案】43. 【解析】由于等差数列的前n 项和是n S 是关于n 一元二次表达式,且等差数列都是关于n 的一元一次表达式,那么n S 也是关于n 的一元一次表达式,所以n S 必然是个完全平方式。
根据以上分析,我们可以得到等式()111100241022d a a a d d d d ⎧⎧-==⎪⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或舍,所以134a d +=. 【点评】对于等差、等比数列来说,只需要求出首项1a 与公差d 或者公比q 就可以直接根据公式求出通项n a 和前n 项和n S .【例2】公差为d ,各项均为正整数的等差数列{}n a 中,若11,65n a a ==,则n d +的最小值等于 . 【答案】17.【解析】()()111165n a a n d n d =+-=+-=,所以()164n d -=,由基本不等式22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可知,()2112n d n d -+⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,即182n d -+≥,所以17n d +≥. 【点评】等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差或公比,当觉得不知如何用性质求解时,可以把问题转化成“基本元”解决..【知识点2】等差、等比数列的证明定义法等差、等比中项通项与求和的性质等差1n n a a --为定值 112n n n a a a +-+=n a 为一元一次 n S 为没有常数的一元二次 等比 1nn a a -为定值 211n n na a a +-⋅= n a 为指数函数类似形式【例1】数列}{n a 满足:)(22,111N n a a a a n nn ∈+==+. (1)求证:数列}1{na 是等差数列; (2)求}{n a 的通项公式.【答案】(1)证明见解析;(2)12+=n a n . 【解析】注意是到证明数列}1{n a 是等差数列,则要证明n n a a 111-+是常数.而nn n a a a 2211+=+,所以21111=-+n n a a .即数列}1{n a 是等差数列.又111=a ,则21)1(2111+=-+=n n a n ,所以12+=n a n . 【点评】对于数列的证明题,尤其是证明一个新的数列为等差或者等比,一般采用定义法,偶尔采用等差中项或者等比中项.【知识点3】等差、等比数列的基本性质以及两者间的类比推理等差数列等比数列性质一:),,,(N q p n m q p n m ∈+=+ q p n m a a a a +=+ q p n m a a a a ⋅=⋅ 性质二:每n 项捆绑(等差为前n 项和,等比为前n 项积)n S 、2n n S S -、32n n S S -成等差n T 、2n n T T 、32nnT T 成等比 性质三:等差(比)前n 项和n S (积n T )的最值1100()00n n n n a a a a ++≥≤⎧⎧⎨⎨≥≤⎩⎩ )11(1111⎩⎨⎧>≤⎩⎨⎧<≥++n n n n a a a a【例1】设等差数列{}n a 满足:22223535317cos cos sin sin cos2sin()a a a a a a a --=+,42k a π≠,k Z ∈且公差(1,0)d ∈-,若当且仅当8n =时,数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值,则首项1a 的取值范围是( )A. 错误!未找到引用源。
2017-2018年上海市复旦附中高中专题十一-等差数列与等比数列一
专题复习十一: 等差数列与等比数列一一、填空题1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若1156,0a a a =+=,则6S =2、在等差数列{}n a 中,已知499,6,63n a a S ==-=,则n =3、已知等差数列{}n a 前n 项和23n S n p =+,则p =4、设数列{}n a 是由正数组成的等比数列,公比2q =,且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=,则36930a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=5、实数,,a b c满足b =b 为,a c 等比中项的 条件6、某纯净水制造厂在精华水过程中,每增加一次过滤可减少说中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为7、若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<,则当n = 时,{}n a 的前n 项和最大8、等差数列{}n a 中,10110,0a a <>且1110a a <,使前n 项和0n S >的最小正整数n =9、设(){}{}1220151220152,51,,,...,,,...,n n n a b n n N S a a a b b b *==-∈=⋂,则集合S 中元素的个数为10、等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若223n n S n T n +=+,则77a b 的值为 11、设三个数248log 3,log 3,log 3a a a +++成等比数列,则其公比为12、在正项等比数列{}n a 中,5671,32a a a =+=,则满足1212...n n a a a a a a +++>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为二。
选择题13、123,,a a a 成等差数列,234,,a a a 成等比数列,345,,a a a 的倒数成等差数列,则135,,a a a ( )A. 成等差数列B. 成等比数列C. 倒数成等比数列D. 以上都不对14、等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若246a a a ++的值是一个确定的常数,则数列中也为常数的项是( )A. 7SB. 8SC. 13SD. 15S15、设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和和前3n 项和分别为,,X Y Z ,则下列等式中恒成立的是( )A. 2X Z Y +=B. ()()Y Y X Z Z X -=-C. 2Y XZ =D. ()()Y Y X X Z X -=-16、设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56678,S S S S S <->,则下列结论错误的是( )A. 0d <B. 70a =C. 95S S >D. 6S 与7S 均为n S 的最大值三、解答题17、设{}n a 为等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知7157,75S S ==,n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,求n T18、等差数列{}n a 中,公差0d ≠,由{}n a 中的部分项组成的数列{}n k a 为等比数列,其中1231,5,17k k k ===,求12...n k k k +++的值19、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且1323n n a S ++=(n 为正整数)(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记12......n S a a a =++++,若对任意n N *∈,n kS S ≤恒成立,求实数k 的最大值20、设等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都为整数,前n 项和为n S(1)若11140,98a S ==,求数列{}n a 的通项公式;(2)若111146,0,77a a S ≥>≤,求所有可能的数列{}n a 的通项公式21、已知等差数列{}n a 的公差与等比数列{}n b 的公比都是r (0,1r ≠且r R ∈)且11441010,,a b a b a b ===(1)求1a 与r ,并分别写出这两个数列的通项公式;(2)试写出两数列所有的公共项(用{}n b 中的项来表示)(()202111273042561478821931037112112213161215217940641831219(1)3(2)3201212,132121n n n n n n n n n n n ~BCDCn n T n n n n a a a n a na nb -+-⎧-≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩--==-=-=-=-答案:、-9、、、、既不充分又非必要、、、、、、、、、、、、()=22-2n ;()、(1)。
[推荐学习]新课标2018届高考数学二轮复习专题能力训练9等差数列与等比数列理
专题能力训练9 等差数列与等比数列(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.在等比数列{a n}中,若a12=4,a18=8,则a36为()A.32B.64C.128D.2562.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2a n-4(n∈N*),则a n=()A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-23.(2018届甘肃兰州一中高三8月月考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,则第2天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里4.在正项等比数列{a n}中,a1 008·a1 009=,则lg a1+lg a2+…+lg a2 016=()A.2 015B.2 016C.-2 015D.-2 0165.已知数列{a n}的首项a1=1,前n项和为S n,且满足2a n+1+S n=2,则满足的n的最大值是()A.8B.9C.10D.116.若数列{a n}满足a1=2,a2=1,并且(n≥2),则数列{a n}的第100项为()A. B. C. D.7.已知数列{a n}是等差数列,S n为其前n项和.若正整数i,j,k,l满足i+l=j+k(i≤j≤k≤l),则()A.a i a l≤a j a kB.a i a l≥a j a kC.S i S l≤S j S kD.S i S l≥S j S k8.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),则S2 016=()A.3·21 008-3B.22 016-1C.22 009-3D.22 008-3二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=5,a5=3,则a n=,S7=.10.(2017浙江台州4月调研)已知数列{a n}的前m(m≥4)项是公差为2的等差数列,从第m-1项起,a m-1,a m,a n+1,…成公比为2的等比数列.若a1=-2,则m=,{a n}的前6项和S6=.11.在数列{a n}中,a1=2,a2=10,且a n+2=a n+1-a n(n∈N*),则a4=,数列{a n}的前2 016项和为.12.已知等差数列{a n}满足:a4>0,a5<0,则满足>2的n的集合是.13.等比数列{a n}的前n项和为S n,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N*都有a n+2+a n+1-2a n=0,则S5=.14.已知a,b,c是递减的等差数列,若将其中两个数的位置互换,得到一个等比数列,则=.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(1)求证:数列是等比数列;(2)设S n是数列{a n}的前n项和,求满足S n>0的所有正整数n.16.(本小题满分15分)在数列{a n}中,a1=1,2a n a n+1+a n+1-a n=0(n∈N*).(1)求证:数列为等差数列,并求{a n}的通项公式;(2)若ta n+1(a n-1)+1≥0对任意n≥2的整数恒成立,求实数t的取值范围.参考答案专题能力训练9等差数列与等比数列1.B解析由等比数列的性质可知:a12,a18,a24,a30,a36构成等比数列,且=2.故a36=4×24=64.2.A解析由S n=2a n-4可得S n-1=2a n-1-4(n≥2),两式相减可得a n=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).又a1=2a1-4,a1=4,所以数列{a n}是以4为首项,2为公比的等比数列,则a n=4×2n-1=2n+1.故选A.3.B解析由题意可知,此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,∵S6==378,∴a1=192,a2=192×=96,∴第二天走了96里.4.D解析 lg a1+lg a2+…+lg a2 016=lg a1a2…a2 016=lg(a1 008·a1 009)1 008=lg=lg(10-2)1 008=-2 016.故选D.5.B解析当n=1时,2a2+S1=2,得a2=.当n≥2时,有2a n+S n-1=2,两式相减得a n+1=a n.再考虑到a2=a1,所以数列{a n}是等比数列,故有S n=2-2·.因此原不等式可化为,化简得,得n=4,5,6,7,8,9,所以n的最大值为9,选B.6.D解析条件(n≥2),即,所以数列是等差数列.故+99×+99×=50,a100=.7.A解析可以令i=1,j=2,k=3,l=4,则a i a l-a j a k=a1a4-a2a3=a1(a1+3d)-(a1+d)(a1+2d)=-2d2≤0,故A正确,同理可以验证B,C,D选项均不正确.8.A解析∵数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),∴a2·a1=2,即a2=2.当n≥2时,=2,∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2.则S2 016=(a1+a3+…+a2 015)+(a2+a4+…+a2 016)==3·21 008-3.9.8-n28解析设等差数列{a n}的公差为d,则2d=a5-a3=-2,d=-1,所以a1=a3-2d=7,a n=a1+(n-1)d=7+(n-1)×(-1)=8-n,S7=7a1+d=7×7+21×(-1)=28.10.428解析a m-1=a1+(m-2)d=2m-6,a m=2m-4,而=2,解得m=4,所以数列{a n}的前6项依次为-2,0,2,4,8,16,所以S6=28.11.-20解析∵a1=2,a2=10,且a n+2=a n+1-a n(n∈N*),∴a3=a2-a1=10-2=8,同理可得a4=8-10=-2,a5=-10,a6=-8,a7=2,a8=10,….∴a n+6=a n.则a4=-2,数列{a n}的前2 016项和=(a1+a2+…+a6)×336=(2+10+8-2-10-8)=0.12.{5}解析已知等差数列{a n}满足a4>0,a5<0,则d<0,前4项为正数,从第5项开始为负数,由>2得>0,即>0,∴<0,∴a1+(n-2)d>0,a1+(n-1)d<0,∴解得n=5.故答案为{5}.13.11解析设等比数列{a n}的公比为q,则a n+2+a n+1-2a n=a1·q n+1+a1·q n-2a1·q n-1=0,即q2+q-2=0,解得q=-2,q=1(舍去),所以q=-2.故S5==11.14.20解析依题意得①或②或③由①得a=b=c,这与a,b,c是递减的等差数列矛盾;由②消去c整理得(a-b)(a+2b)=0.又a>b,因此有a=-2b,c=4b,故=20;由③消去a整理得(c-b)(c+2b)=0.又b>c,因此有c=-2b,a=4b,故=20.15.(1)证明=,所以数列是以a2-=-为首项,为公比的等比数列.(2)解由(1)得a2n-=-=-,则a2n=-,由a2n=a2n-1+(2n-1),得a2n-1=3a2n-3(2n-1)=--6n+,所以a2n-1+a2n=--6n+9=-2×-6n+9,S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=-2-6(1+2+3+…+n)+9n=-2×-6×+9n=-1-3n2+6n=-3(n-1)2+2.显然,当n∈N*时,数列{S2n}单调递减;当n=1时,S2=>0,当n=2时,S4=-<0,则当n≥2时,S2n<0,S2n-1=S2n-a2n=-3n2+6n.同理可得仅当n=1时,S2n-1>0.综上,可得满足条件S n>0的n的值为1和2.16.(1)证明∵2a n a n-1+a n-a n-1=0(n≥2),∴=2(n≥2).又=1,∴数列是首项为1,公差为2的等差数列.∴=1+2(n-1)=2n-1,即a n=.(2)解∵ta n+1(a n-1)+1≥0对任意n≥2的整数恒成立,即t+1≥0恒成立.∴t≤对任意n≥2的整数恒成立.设c n=(n≥2),则=1+>1,∴当n≥2时,数列{c n}为递增数列,∴c n≥c2=.∴t的取值范围为.。
2018年上海市高三数学一轮复习:数列练习题4
2018年上海市高三数学一轮复习:数列练习题一、选择题1.在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q 的值为( ) A .2 B .3 C .4D .8[答案] A[解析] a2010=a2007·q3,故q3=8,∴q =2.已知数列{an}满足a1=4,an =4-4an -1(n≥2),则a5=( )A.125 B.73 C.115D.2411[答案] A[解析] a1=4,a2=4-4a1=3,a3=4-4a2=83,a4=4-4a3=52,a5=4-4a4=125. 2.若“*”表示一种运算,且满足如下关系: (1)1]N*). 则n*1=( ) A .3n -2 B .3n +1 C .3nD .3n -1[答案] A[解析] 设n*1=an ,于是有a1=1,an +1=3+an ,则数列{an}是等差数列,公差d =3,所以n*1=an =a1+(n -1)d =1+3(n -1)=3n -2.故选A.已知等比数列{an}中有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且a7=b7,则b5+b9=( ) A .2 B .4 C .8D .16[答案] C[解析] ∵a3a11=a72=4a7,∴a7=4,∴b7=a7=4,∴b5+b9=2b7=8. 已知函数f(x)=x2+bx 的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列(1)的前n 项和为Sn ,则S2 010的值为( )A. 2 0072 008B. 2 0082 009C.2 0092 010D.2 0102 011[答案] C[解析] 0=f′(x)=2x +b ,∴0=f′(1)=2+b =3,∴b =1, ∴f(n)=n2+n ,∴1=1+=1n -1n +1,∴Sn =(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n +1)=nn +1∴S2010=20102011.3在圆x2+y2=5x 内,过点⎝⎛⎭⎫52,32有n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项a1,最长弦长为an ,若公差d ∈⎝⎛⎦⎤16,13,那么n 的取值集合为( ) A .{4,5,6} B .{6,7,8,9} C .{3,4,5}D .{3,4,5,6}[答案] A[解析] 圆心到点⎝⎛⎭⎫52,32的距离=⎝⎛⎭⎫52-522+⎝⎛⎭⎫32-02=32,圆半径为52,∴a1=2⎝⎛⎭⎫522-⎝⎛⎭⎫322=4,an =5.∴d =an -a1n -1=1n -1,∵16<d≤13,∴16<1n -1≤13,∴3≤n -1<6,∴4≤n<7,∵n ∈N*, ∴n =4,5,6.故选A.4.运行如图的程序框图,则输出的结果是( )A .2009B .2010C.12009D.12010[答案] D[解析] 如果把第n 个a 值记作an ,第1次运行后得到a2=a1a1+1,第2次运行后得到a3=a2a2+1,……,第n 次运行后得到an +1=an an +1,则这个程序框图的功能是计算数列{an}的第2010项.将an +1=an an +1变形为1an +1=1an +1,故数列{1an }是首项为1,公差为1的等差数列,故1an =n ,即an =1n ,故输出结果是12010.5某程序框图如图所示,该程序运行后输出的n 值是8,则S0的值为( )A .0B .1C .2D .3[答案] A[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3nS0+3n -1+3n -2+…+3+1≥20103n -1S0+3n -2+…+3+1<2010, ∵n =8,易验证S0=0,故选A.6数列{an}的前n 项和是Sn ,若数列{an}的各项按如下规律排列: 12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,16,…,若存在正整数k ,使Sk<10,Sk +1≥10,则ak =( ) A.17 B.67 C.57D.37[答案] C[解析] S 20+1=12+1+23+1+2+34+1+2+3+45+1+2+3+4+56+1+2+3+4+5+67=12+1+32+2+52+3=10.5 ∵67>0.5,∴S20<10,S21=10.5>10,即k =20 ∴a20=57.7已知在平面直角坐标系中有一个点列:P1(1,2),P2(x2,y2),…,Pn(xn ,yn),Pn +1(xn +1,yn +1)(n ∈N*),若点Pn(xn ,yn)到点Pn +1(xn +1,yn +1)的变化关系为⎩⎪⎨⎪⎧xn +1=yn -xn yn +1=yn +xn (n∈N*),则|P2 009P2 010|等于( ) A .2 1 004 B .1 0052 C .22 010D .2 0102[答案] A [解析]P1(1,2)→P2(1,3)→P3(2,4)→P4(2,6)→P5(4,8)→P6(4,12)→P7(8,16)→P8(8,24)→P9(16,32)→P10(16,48)→P11(32,64)→P12(32,96)→….由此可归纳出:P2n -1(2n -1,2n),p2n(2n -1,3×2n -1), 所以P2 009(21 004,21 005),P2 010(21 004,3×21 004), 所以|P2 009P2 010|=21 004.8在等差数列{an}中,其前n 项和为Sn.若a2,a10是方程x2+12x -8=0的两个根,那么S11的值为( ) A .44 B .-44 C .66D .-66[答案] D[解析] ∵a2+a10=-12,∴S11=+2=+2=-2=-66.已知公比不为1的正项等比数列{an}的通项公式为an =f(n)(n ∈N*),记f(x)的反函数为y =f -1(x),若f -1(3)+f -1(6)=7,则数列{an}的前6项乘积为( ) A .33B .36C .63D .183[答案] D[解析] ∵f(x)的反函数为f -1(x),设f -1(3)=m ,f -1(6)=-k ,则f(m)=3,f(k)=6,即⎩⎪⎨⎪⎧am =3ak =6,∵{an}为等比数列,m +k =7,∴a1qm -1=3,a1qk -1=a1q6-m =6, 两式相乘得a12q5=18,∴{an}的前6项乘积a1a2a3a4a5a6=a16·q15=(a12q5)3=183,故选D.9已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列,Sn 为{an}的前n 项和,则S3-S2S5-S3的值为( ) A .2 B .3 C.15D .不存在[答案] A[解析] 由条件a32=a1a4,∴(a1+2d)2=a1(a1+3d),∴a1d +4d2=0, ∵d≠0,∴a1=-4d ,∴S3-S2S5-S3=a3a4+a5=a1+2d 2a1+7d =-2d -d=2.10等比数列{an}的前n 项和为Sn ,若S2n =3(a1+a3+…+a2n -1),a1a2a3=8,则a10等于( ) A .-512 B .1024 C .-1024D .512[答案] D[解析] ∵{an}为等比数列,a1a2a3=8,∴a23=8, ∴a2=2,又S2n =a1+a2+…+a2n =3(a1+a3+…+a2n -1), ∴a2+a4+a6+…+a2n =2(a1+a3+a5+…+a2n -1), ∴q =2,∴a10=a2q8=2×28=512.已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ,且S10=⎠⎛03(1+2x)dx ,S20=18,则S30为( )A .36B .27C .24D .21[答案] D[解析] S10=⎠⎛03(1+2x)dx =(x +x2)03=12,又S20=18,且{an}等比数列,∴S10,S20-S10,S30-S20,也成等比数列,即:12,6,S30-18成等比数列,∴S30-18=3,S30=21,故选D.二、填空题11设等差数列{an}、{bn}的前n 项和分别为Sn 、Tn ,若对任意自然数n 都有Sn Tn =2n -34n -3,则a9b5+b7+a3b8+b4的值为________.[答案] 1941 [解析]a9b5+b7+a3b8+b4=a92b6+a32b6=2a62b6=a1+a11b1+b11=S11T11=2×11-34×11-3=1941.12.)数列{an}中,Sn 是前n 项和,若a1=1,3Sn =4Sn -1,则an =________. [答案] ⎩⎪⎨⎪⎧1 n =113·⎝⎛⎭⎫43n -2 n≥2[解析] ∵3Sn =4Sn -1,∴Sn Sn -1=43,又S1=a1=1, ∴{Sn}是以S1=1,公比为43的等比数列,∴Sn =⎝⎛⎭⎫43n -1, ∴当n≥2时,an =Sn -Sn -1=13·⎝⎛⎭⎫43n -2,∴an =⎩⎪⎨⎪⎧1 n =113·⎝⎛⎭⎫43n -2 n≥2.13.已知数列{an}满足:a1=1,如果an 是自然数,则an +1=an -2,否则an +1=an +3,则a6=________. [答案] 1[解析] a1=1∈N ,∴a2=a1-2=-1,a2=-1∉N ,∴a3=a2+3=2; 依次类推有:a4=0,a5=-2,a6=1.[点评] 此题若求a2010=?,则需研究其周期,你知道其周期是几吗?设集合M ={m|m =7n +2n ,n ∈N*,且m<200},则集合M 中所有元素的和为________. [答案] 450[解析] ∵n =6时,m =7×6+26=106,n =7时,m =7×7+27=177,又28=256, ∴由m<200知,n≤7,n ∈N*,故集合M 中所有元素之和为S =7×(1+2+…+7)+(21+22+…+27)=450.14如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.介于1到200之间的所有“神秘数”之和为____. [答案] 2500[解析] 设正整数x =(2n +2)2-(2n)2=8n +4, 由1≤x≤200及n ∈Z 知,0≤n≤24, ∴所有这样的神秘数之和为+2=2500.(理)已知数列{an}满足a1=23,且对任意的正整数m 、n 都有am +n =am·an ,若数列{an}的前n 项和为Sn ,则Sn =________. [答案] 2-2n +13n[解析] 令m =1,得an +1=a1·an ,即an +1an =a1=23,可知数列{an}是首项为a1=23,公比为q =23的等比数列,于是Sn =-1-q=23×[1-231-23=2[1-(23)n]=2-2n +13n . 三、解答题15.(文)已知{an}是由正数组成的数列,a1=1,点(an ,an +1)(n ∈N*)在函数y =x2+2的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=2,bn +1=bn +2an +1,求bn. [解析] (1)由已知得an +1=an +2, 即an +1-an =2,a1=1所以数列{an}是以1为首项,公差为2的等差数列.故an =2n -1.(2)由(1)知:an =2n -1,从而bn +1-bn =22n +1. ∴bn =(bn -bn -1)+(bn -1-bn -2)+…+(b2-b1)+b1 =22n -1+22n -3+…+23+2=-4-1=-3.已知等差数列{an}的首项a1≠0,前n 项和为Sn ,且S4+a2=2S3;等比数列{bn}满足b1=a2,b2=a4.(1)求证:数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项;(2)若a1=2,设cn =2log2bn·log2bn +1,求数列{cn}的前n 项和Tn ;(3)在(2)的条件下,若有f(n)=log3Tn ,求f(1)+f(2)+…+f(n)的最大值.[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d ,由S4+a2=2S3得,4a1+6d +a1+d =6a1+6d , ∴a1=d则an =a1+(n -1)d =na1,∴b1=2a1,b2=4a1 等比数列{bn}的公比q =b2b1=2 则bn =2a1·2n -1=2n·a1 ∵2n ∈N*,∴{bn}中的每一项都是{an}中的项. (2)当a1=2时,bn =2n +1,cn =2++=2⎝⎛⎭⎫1n +1-1n +2 则Tn =c1+c2+…+cn=2⎝⎛⎭⎫12-13+13-14+…+1n +1-1n +2 =2⎝⎛⎭⎫12-1n +2=n n +2(3)f(n)=log3Tn =log3n n +2,∴f(1)+f(2)+…+f(n)=log313+log324+…+log3n n +2=log3⎝⎛⎭⎫13·24·…·n n +2=log32++≤log32++=-1,即f(1)+f(2)+…+f(n)的最大值为-1.16已知数列{an}的前n 项和为Sn =3n ,数列{bn}满足b1=-1,bn +1=bn +(2n -1)(n ∈N*).(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式;(3)若cn =an·bnn ,求数列{cn}的前n 项和Tn. [解析] (1)∵Sn =3n , ∴Sn -1=3n -1,(n≥2)∴an =Sn -Sn -1=3n -3n -1=2·3n -1(n≥2). 当n =1时,a1=S1=3≠2×31-1,∴an =⎩⎪⎨⎪⎧3 =2·3n -.(2)∵bn +1=bn +(2n -1)∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5, ……bn -bn -1=2n -3, 以上各式相加得bn -b1=1+3+5+…+(2n -3) =-+2n -2=(n -1)2∵b1=-1,∴bn =n2-2n(3)由题意得cn =⎩⎪⎨⎪⎧-3 =--当n≥2时Tn =-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n -2)×3n -1, ∴3Tn =-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n -2)×3n , 相减得:-2Tn =6+2×32+2×33+…+2×3n -1-2(n -2)×3n ∴Tn =(n -2)×3n -(3+32+33+…+3n -1) =(n -2)×3n -3n -32=-+32,当n =1时,Tn =-3也满足, ∴Tn =-+32(n ∈N*).(理)各项均为正数的数列{an}的前n 项和为Sn ,函数f(x)=12px2-(p +q)x +qlnx.(其中p ,q均为常数,且p>q>0),当x =a1时,函数f(x)取得极小值,点(an,2Sn)(n ∈N*)均在函数y =2px2-qx +f ′(x)+q 的图象上(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数). (1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)记bn =4Snn +3·qn ,求数列{bn}的前n 项和Tn.[解析] (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞). f ′(x)=px -(p +q)+qx =px2-++qx=-px -x ,令f ′(x)=0得,x =1或x =qp , ∵p>q>0,∴0<qp <1.当x 变化时,f ′(x)、f(x)的变化情况如下表:所以f(x )在x =1处取得极小值,即a1=1. (2)依题意,y =2px2-qx +f ′(x)+q =2px2+px -p , 2Sn =2p·an2+p·an -p(n ∈N*), 所以2a1=2p·a12+p·a1-p. 由a1=1得,p =1. ∴2Sn =2an2+an -1①当n≥2时,2Sn -1=2an -12+an -1-1② ①-②得,2an =2(an2-an -12)+an -an -1. ∴2(an2-an -12)-(an +an -1)=0, ∴(an +an -1)⎝⎛⎭⎫an -an -1-12=0,由于an +an -1>0,∴an -an -1=12(n≥2),所以{an}是以a1=1,公差为12的等差数列,∴an =1+(n -1)×12=n +12.(3)Sn =n +-2·12=n2+3n 4, ∵bn =4Sn n +3·qn =nqn , ∴Tn =q +2q2+3q3+…+(n -1)qn -1+nqn ③由已知p>q>0,而由(2)知p =1,∴q≠1.∴qTn =q2+2q3+3q4+…+(n -1)qn +nqn +1④③-④得:(1-q)Tn =q +q2+q3+…+qn -1+qn -nqn +1 =-1-q-nqn +1, ∴Tn =---nqn +11-q . 17.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项,…,第2n 项,…,按原来顺序组成一个新数列{bn},记该数列的前n 项和为Tn ,求Tn 的表达式.[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a1+3×22d +5a1+4×52d =50+=+, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a1=3d =2, ∴an =a1+(n -1)d =3+2(n -1)=2n +1,即an =2n +1.(2)由已知得,bn =a2n =2×2n +1=2n +1+1∴Tn =b1+b2+…+bn =(22+1)+(23+1)+…+(2n +1+1) =-1-2+n =2n +2-4+n.。
2018年上海市高三数学一轮复习:数列练习题1
2018年上海市高三数学一轮复习:数列练习题1.一、选择题1 已知数列{an}的通项an =nanb +c (a ,b ,c ∈(0,+∞)),则an 与an +1的大小关系是( ) A .an>an +1B .an<an +1C .an =an +1D .不能确定[答案] B [解析] an =na nb +c=ab +c n, ∵y =cn 是单调减函数, ∴an =ab +c n 为递增数列,因此an<an +1,故选B.2.设an =-3n2+8n -1,则数列{an}中的最大项的值是( ) A.133 B .4 C .3D.163[答案] B[解析] ∵an =-3(n -43)2+133,且n ∈Z ,∴当n =1时,an 取最大值,即最大值为a1=4. 3.数列{an}的前n 项和Sn =n2+2n +1,则{an}的通项公式为( ) A .an =2n -1 B .an =2n +1C .an =⎩⎪⎨⎪⎧4 n =12n -1 n≥2D .an =⎩⎪⎨⎪⎧4 n =12n +1 n≥2[答案] D[解析] a1=S1=4,n≥2时,an =Sn -Sn -1=2n +1,∴an =⎩⎪⎨⎪⎧4 n =12n +1 n≥2.4.如果f(a +b)=f(a)·f(b)(a ,b ∈R)且f (1)=2,则+++…+等于( ) A .2007 B .2009 C .2008D .2010[答案] D[解析] 令a =n ,b =1,f(n +1)=f(n)·f(1), ∴+=f(1)=2,∴+…+=2×1005=2010.5设数列{an}满足:a1=2,an +1=1-1an ,记数列{an}的前n 项之积为Πn ,则Π2010的值为( ) A .-12 B .-1 C.12D .1[答案] D[解析] ∵an +2=1-1an +1=1-11-1an=1-an an -1=11-an ,an +3=1-1an +2=1-111-an=1-(1-an)=an ,∴{an}是周期为3的周期数列,又a1=2,a2=1-12=12,a3=11-a1=-1,从而Π3=-1,∴Π2010=(-1)670=1,故选D.6设x ∈R ,记不超过x 的最大整数为[x],令{x}=x -[x],则⎩⎨⎧⎭⎬⎫5+12,⎣⎢⎡⎦⎥⎤5+12,5+12( ) A .是等差数列但不是等比数列 B .是等比数列但不是等差数列 C .既是等差数列又是等比数列 D .既不是等差数列也不是等比数列 [答案] B [解析] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤5+12=1,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫5+12=5+12-1=5-12.一方面:5-12+5+12=5≠1×2, ∴不成等差数列. 另一方面:5+12×5-12=5-14=1=12,∴三者成等比数列. 故选B.7.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为( ) A .5 B .6 C .8D .10[答案] A[解析] 由等差中项知2a5=a1+a9=10,所以a5=5,故选A. 8.(文)若数列{an}的前n 项和公式为Sn =log3(n +1),则a5等于( ) A .log56 B .log365 C .log36D .log35[答案] B[解析] a5=S5-S4=log36-log35=log365.(理)8已知数列{an}的前n 项的和Sn 满足Sn =2n -1(n ∈N*),则数列{an2}的前n 项的和为( ) A .4n -1 B.13(4n -1) C.43(4n -1)D .(2n -1)2 [答案] B[解析] n≥2时,an =Sn -Sn -1=(2n -1)-(2n -1-1)=2n -1, 又a1=S1=21-1=1也满足,∴an =2n -1(n ∈N*). 设bn =an2,则bn =(2n -1)2=4n -1,∴数列{bn}是首项b1=1,公比为4的等比数列,故{bn}的前n 项和Tn =-4-1=13(4n-1).9.(文)将数列{3n -1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是( ) A .34950 B .35000 C .35010 D .35050[答案] A[解析] 在按“第n 组有n 个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以1为首项,公差为1的等差数列,前99组数的个数共有+2=4950个,故第100组中的第1个数是34950,选A.(理)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,…,则第10行第4个数(从左往右数)为( ) 11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 …A.11260B.1840C.1504D.1360 [答案] B[解析] 设第n 行第m 个数为a(n ,m),则由题意知a(7,1)=17,a(8,1)=18,a(9,1)=19,a(10,1)=110,故a(10,2)=a(9,1)-a(10,1)=19-110=190; a(8,2)=a(7,1)-a(8,1)=17-18=156; a(9,2)=a(8,1)-a(9,1)=172;a(10,3)=a(9,2)-a(10,2)=1360; a(9,3)=a(8,2)-a(9,2)=1252; a(10,4)=a(9,3)-a(10,3)=1840.[点评] 依据“莱布尼兹调和三角形”的规则可知a(n ,m)=a(n +1,m)+a(n +1,m +1). 10.函数f(x)满足:当x1≠x2时,f(x1)≠f(x2),且对任意正数x ,y 都有f(xy)=f(x)+f(y),若数列{an}满足f(an +1)-f(a n)=f(3),n ∈N +,a3=27,则a1的值为( ) A .1 B .3 C .6D .9[答案] B[解析] 当x =y =1时,f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0, ∴f(x·1x )=f(x)+f(1x ) (x>0), 即f(1x )=-f(x),∴对任意正数x 、y 都有f(x)-f(y)=f(x)+f(1y )=f(xy ),∴由f(an +1)-f(an)=f(3)得f(an +1an )=f(3), ∵函数f(x)满足,当x1≠x2时,f(x1)≠f(x2), ∴an +1an =3, ∵a3=27,∴a1=3. 二、填空题11.数列{an}满足:log2an +1=1+log2an ,若a3=10,则a8=________. [答案] 320[解析] 由log2an +1=1+log2an 得,an +1an =2,∴{an}是等比数列,∴a8=a3×25=320. 12. 观察下图: 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于20092. [答案] 1005[解析] 通过观察题图可发现规律:第n 行的第一个数为n ,且第n 行共有2n -1个连续的正整数,故有(2n -1)n +--2×1=(2n -1)2=20092,∴n =1005.13.已知an =n 的各项排列成如图的三角形状:记A(m ,n)表示第m 行的第n 个数,则A(21,12)=________. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … … … … … … … … … … [答案] 412[解析] 由题意知第1行有1个数,第2行有3个数,……第n 行有2n -1个数,故前n 行有Sn =n[1+-2=n2个数,因此前20行共有S20=400个数,故第21行的第一个数为401,第12个数为412,即A(21,12)=412.14.已知数列{an}中,a1=20,an +1=an +2n -1,n ∈N*,则数列{an}的通项公式an =________.[答案] n2-2n +21[解析] ∵an +1-an =2n -1, ∴a2-a1=1,a3-a2=3,…, an -an -1=2n -3,n≥2. ∴an -a1=1+3+5+…+(2n -3) =--2=(n -1)2.∴an =20+(n -1)2=n2-2n +21. 三、解答题15.(文)已知等差数列{an}中,d>0,a3a7=-16,a2+a8=0,设Tn =|a1|+|a2|+…+|an|.求:(1){an}的通项公式an ; (2)求Tn.[解析] (1)设{an}的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧++=-16a1+d +a1+7d =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a1+8da1+12d2=-16a1=-4d, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1=-8d =2或⎩⎪⎨⎪⎧a1=8d =-2(舍去)∴an =2n -10. (2)当1≤n≤5时,Tn =|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an) =--8+2n -102·n =9n -n2. 当n≥6时,Tn =|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+a5)+a6+a7+…+an =-2(a1+a2+…+a5)+a1+a2+…+an =-2×-+2+-8+-2·n=n2-9n +40.综上,Tn =⎩⎪⎨⎪⎧9n -n2n2-9n +.(理)已知数列{an}中,a1=1,an =an -1·3n -1(n≥2,n ∈N*),数列{bn}的前n 项和Sn =log3⎝⎛⎭⎫an 9n(n ∈N*).(1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{|bn|}的前n 项和. [解析] (1)log3an =log3(an -1·3n -1) =log3an -1+(n -1),∴log3an -log3a1=(log3a2-log3a1)+(log3a3-log3a2)+…+(log3an -log3an -1) =1+2+…+(n -1)=-2,∴log3an =-2,∴Sn =log3⎝⎛⎭⎫an 9n =n2-5n2(n ∈N)*∴b1=S1=-2,当n≥2时,bn =Sn -Sn -1=n -3, ∴数列{bn}的通项公式bn =n -3(n ∈N*). (2)设数列{|bn|}的前n 项和为Tn ,当bn =n -3≤0即n≤3时,Tn =-Sn =5n -n22; 当n>3时,Tn =Sn -2S3=n2-5n +122. ∴Tn =⎩⎪⎨⎪⎧5n -n22 n≤3n2-5n +122 n>3.16. (2010·北京东城区)设数列{an}的前n 项和为Sn ,已知a1=1,Sn =nan -n(n -1) (n=1,2,3,…).(1)求证:数列{an}为等差数列,并写出an 关于n 的表达式;(2)若数列{1anan +1}前n 项和为Tn ,问满足Tn>100209的最小正整数n 是多少?[解析] (1)当n≥2时,an =Sn -Sn -1 =nan -(n -1)an -1-2(n -1), 得an -an -1=2(n =2,3,4,…).∴数列{an}是以a1=1为首项,2为公差的等差数列 。
2018年高考文数二轮复习精品资料-专题09 等差数列、等比数列(解析版)
高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n ,前n 项和S n 的基本运算,另外等差、等比数列的性质也是高考的热点.备考时应切实文解等差、等比数列的概念,加强五个量的基本运算,强化性质的应用意识.1.等差数列(1)定义式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数); (2)通项公式:a n =a 1+(n -1)d ;(3)前n 项和公式:S n =n a 1+a n 2=na 1+n n -1 d2; (4)性质:①a n =a m +(n -m )d (n 、m ∈N *);②若m +n =p +q (m 、n 、p 、q ∈N *),则a m +a n =a p +a q . 2.等比数列(1)定义式:a n +1a n =q (n ∈N *,q 为非零常数);(2)通项公式:a n =a 1q n -1;(3)前n 项和公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1q =1,a 1 1-q n1-q q ≠1. (4)性质:①a n =a m q n-m(n ,m ∈N *);②若m +n =p +q ,则a m a n =a p a q (p 、q 、m 、n ∈N *).3.复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义,牢记通项、前n 项和四组公式,活用等差、等比数列的性质,明确数列与函数的关系,巧妙利用a n 与S n 的关系进行转化,细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n 项和,集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1.应用a n 与S n 的关系,等比数列前n 项和公式时,注意分类讨论. 2.等差、等比数列的性质可类比掌握.注意不要用混.3.讨论等差数列前n 项和的最值时,不要忽视n 为整数的条件和a n =0的情形.4.等比数列{a n }中,公比q ≠0,a n ≠0.考点一 等差数列的运算例、(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( )A .1B .2C .4D .8【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A .100B .99C .98D .97【答案】C【解析】通解:∵{a n }是等差数列,设其公差为d , 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 9=9a 1+9×82d =27a 10=a 1+9d =8,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-1,d =1.∴a 100=a 1+99d =-1+99×1=98,选C.优解:设等差数列{a n }的公差为d ,因为{a n }为等差数列,且S 9=9a 5=27,所以a 5=3.又a 10=8,解得5d =a 10-a 5=5,所以d =1,所以a 100=a 5+95d =98,选C.(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( ) A .5 B .7 C .9 D .11【答案】A【解析】通解:∵a 1+a 3+a 5=a 1+(a 1+2d )+(a 1+4d )=3a 1+6d =3, ∴a 1+2d =1,∴S 5=5a 1+5×42d =5(a 1+2d )=5,故选A.优解:∵a 1+a 5=2a 3,∴a 1+a 3+a 5=3a 3=3, ∴a 3=1,∴S 5=5 a 1+a 5 2=5a 3=5,故选A.【方法规律】1.通解是寻求a 1与d 的关系,然后用公式求和.优解法是利用等差中项性质转化求和公式.2.在等差数列中,当已知a 1和d 时,用S n =na 1+n n -12d 求和.当已知a 1和a n或者a 1+a n =a 2+a n -1形式时,常用S n = a 1+a n n 2= a 2+a n -1 n2求解.【变式探究】若数列{a n }满足1a n +1-1a n =d (n ∈N *,d 为常数),则称数列{a n }为调和数列,已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列,且x 1+x 2+…+x 20=200,则x 5+x 16=( )A .10B .20C .30D .40考点二 等比数列的运算例2、【2017江苏,9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ . 【答案】32【解析】当1q =时,显然不符合题意;当1q ≠时,3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩,解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩,则7812324a =⨯=. 【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为________.【答案】64【解析】通解:求a 1a 2…a n 关于n 的表达式 a 2+a 4a 1+a 3= a 1+a 3 ·q a 1+a 3=510,∴q =12∴a 1+a 1⎝⎛⎭⎫122=10,∴a 1=8 ∴a 1·a 2·a 3…a n =a n 1·q n n -1 2=8n ×⎝⎛⎭⎫12n n -1 2=2-n 2+7n 2当n =3或n =4时,-n 2+7n2最大为6.∴a 1a 2…a n 的最大值为26=64 优解:利用数列的单调变化设{a n }的公比为q ,由a 1+a 3=10,a 2+a 4=5得a 1=8,q =12,则a 2=4,a 3=2,a 4=1,a 5=12,所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4=64.(2)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( )A .2B .1 C.12 D.18【答案】C【方法规律】1.解题关键:抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.运用函数性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题.【变式探究】等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A .6 B .5 C .4D .3【解析】选C.由题意知a 1·a 8=a 2·a 7=a 3·a 6=a 4·a 5=10,∴数列{lg a n }的前8项和等于lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg(a 1·a 2·…·a 8)=lg(a 4·a 5)4=4lg(a 4·a 5)=4lg 10=4.故选C.考点三 数列递推关系的应用例3、(2016·高考全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n +1+b n +1=nb n .(1)求{a n }的通项公式. (2)求{b n }的前n 项和.【方法规律】判断和证明数列是等差(比)数列的方法1.定义法:对于n ≥1的任意自然数,验证a n +1-a n ⎝⎛⎭⎫或a n +1a n 为与正整数n 无关的一常数.2.中项公式法:(1)若2a n =a n -1+a n +1(n ∈N *,n ≥2),则{a n }为等差数列; (2)若a 2n =a n -1·a n +1(n ∈N *,n ≥2),则{a n }为等比数列. 【变式探究】已知等差数列{a n }的公差d ≠0,{a n }的部分项ak 1,ak 2,…,ak n 构成等比数列,若k 1=1,k 2=5,k 3=17,求k n .解:设等比数列ak 1,ak 2,…,ak n 的公比为q , 因为k 1=1,k 2=5,k 3=17, 所以a 1a 17=a 25,即a 1(a 1+16d )=(a 1+4d )2,化简得a 1d =2d 2.又d ≠0,得a 1=2d ,所以q =a 5a 1=a 1+4d a 1=2d +4d2d=3.一方面,ak n 作为等差数列{a n }的第k n 项,有ak n =a 1+(k n -1)d =2d +(k n -1)d =(k n +1)d , 另一方面,ak n 作为等比数列的第n 项,有ak n =ak 1·q n -1=a 1·3n -1=2d ·3n -1,所以(k n +1)d =2d ·3n -1.又d ≠0,所以k n =2×3n -1-1.1.(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( )A .1B .2C .4D .8【解析】通解:选C.设{a n }的公差为d ,则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 5=24,S 6=48,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+3d + a 1+4d =24,6a 1+6×52d =48,解得d =4.故选C.优解:由S 6=48得a 4+a 3=16, (a 4+a 5)-(a 4+a 3)=8, ∴d =4,故选C.2.(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( )A .-24B .-3C .3D .8【解析】选A.由已知条件可得a 1=1,d ≠0,由a 23=a 2a 6可得(1+2d )2=(1+d )(1+5d ),解得d =-2.所以S 6=6×1+6×5× -2 2=-24.故选A.3.(2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4=________. 【答案】-84.(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列.1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = ( ) (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 【答案】C 【解析】由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.2【2016高考浙江文数】如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ,1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合).若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则( )A .{}n S 是等差数列B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列【答案】A3.【2016年高考北京文数】已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则6=S _______..【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列,∴35420a a a +==,40a =,4136a a d -==-,2d =-,∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=,故填:6.4.【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列,{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-,则9a 的值是 ▲ .【答案】20.【解析】由510S =得32a =,因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯= 5、【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 .【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠,由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n n n a a a a q--++++-==⨯= ,于是当3n =或4n =时,12n a a a 取得最大值6264=.6.【2016高考江苏卷】(本小题满分16分)记{}1,2,100U =…,.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ,若T =∅,定义0TS=;若{}12,,k T t t t =…,,定义12+k T t t t S a a a =++….例如:{}=1,3,66T 时,1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N∈是公比为3的等比数列,且当{}=2,4T 时,=30TS.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)对任意正整数()1100k k ≤≤,若{}1,2,k T ⊆…,,求证:1T k S a +<; (3)设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证:2C C D D S S S +≥ . 【答案】(1)13n n a -=(2)详见解析(3)详见解析②若C 是D 的子集,则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥ . ③若D 不是C 的子集,且C 不是D 的子集.令U E C D = ð,U F D C = ð则E ≠∅,F ≠∅,E F =∅ . 于是C E C D S S S =+ ,D F C D S S S =+ ,进而由C D S S ≥,得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数,为F 中的最大数,则1,1,k l k l ≥≥≠.由(2)知,1E k S a +<,于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=,所以1l k -<,即l k ≤. 又k l ≠,故1l k ≤-,从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤ ,故21E F S S ≥+,所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+ , 即21C C D D S S S +≥+ .综合①②③得,2C C D D S S S +≥ .1.【2015高考重庆,文2】在等差数列{}n a 中,若2a =4,4a =2,则6a = ( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=,选B .2.【2015高考福建,文8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q + 的值等于( )A .6B .7C .8D .9 【答案】D3.【2015高考北京,文6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A .若120a a +>,则230a a +> B .若130a a +<,则120a a +<C .若120a a <<,则2a >D .若10a <,则()()21230a a a a --> 【答案】C【解析】先分析四个答案支,A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-,120a a +>而230+<a a ,A 错误,B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-,130a a +<,而120+>a a ,B 错误,下面针对C 进行研究,{}n a 是等差数列,若120a a <<,则10,a >设公差为d ,则0d >,数列各项均为正,由于22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>,则2113a a a >1a ⇒>C.【2015高考新课标2,文16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则n S =________.【答案】1n-【2015高考广东,文10】在等差数列中,若,则= .【答案】10. 【解析】因为是等差数列,所以,即,所以,故应填入.【2015高考陕西,文13】中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 .【答案】5【解析】设数列的首项为1a ,则12015210102020a +=⨯=,所以15a =,故该数列的首项为5,所以答案应填:5.【2015高考浙江,文3】已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S ,若3a ,4a ,8a 成等比数列,则( )A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ,3a ,4a ,8a成等比数列,∴da d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+,∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=,∴03521<-=d d a ,03224<-=d dS ,故选B.{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a +{}n a 37462852a a a a a a a +=+=+=345675525a a a a a a ++++==55a =285210a a a +==10【2015高考安徽,文14】已知数列{}n a 是递增的等比数列,14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n -1. 【2014高考北京版文第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】对等比数列}{n a ,若1>q ,则当01<a 时数列}{n a 是递减数列;若数列}{n a 是递增数列,则}{n a 满足01<a 且10<<q ,故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.【考点定位】等比数列的性质,充分条件与必要条件的判定2. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若132,12a S ==,则6a =( ).8A .10B .12C .14D【答案】C【解析】假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C.【考点定位】等差数列的性质.3. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若21a =,8642a a a =+,则6a 的值是 .【答案】4【解析】设公比为q ,因为21a =,则由8642a a a =+得6422q q a =+,4220q q --=,解得22q =,所以4624a a q ==.【考点定位】等比数列的通项公式.4. 【2014辽宁高考文第8题】设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}na a 为递减数列,则( )A .0d <B .0d >C .10a d <D .10a d > 【答案】C【考点定位】等差数列的概念、递减数列.5. 【2014重庆高考文第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】因为数列{}n a 为等比数列,设其公比为q ,则()22852391116a a a q a q a q a ⋅=⋅⋅⋅=⋅= 所以,369,,a a a 一定成等比数列,故选D.【考点定位】等比数列的概念与通项公式、等比中项.6. 【2014天津高考文第11题】设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a 的值为__________.【答案】12-.【解析】依题意得2214S S S =,∴()()21112146a a a -=-,解得112a =-. 【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式.7. 【2014大纲高考文第10题】等比数列{}n a 中,452,5a a ==,则数列{lg }n a 的前8项和等于 ( )A .6B .5C .4D .3 【答案】C .【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式. 8. 【2014高考广东卷文第13题】若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .【答案】50【解析】由题意知51011912101122a a a a a a e +==,所以51011a a e =, 因此()()()()()101055012201202191011101110a a a a a a a a a a a ee ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅===对,因此()1250122020ln ln ln ln ln 50a a a a a a e ⋅⋅⋅+=++== .【考点定位】等比数列的基本性质与对数的基本运算9. 【2014高考安徽卷文第12题】数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q =________.【答案】1【解析】∵1351,3,5a a a +++成等比,∴2111(1)[14(1)][12(1)]a a d a d ++++=+++,令11,1a x d y +=+=,则2(4)(2)x x y x y +=+,即222444x xy x xy y +=++,∴0y =,即10d +=,∴1q =.【考点定位】等差、等比数列的性质.10. 【2014高考北京版文第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<,则当n = 时,{}n a 的前n 项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质,89873a a a a =++,08>a ,又因为0107<+a a ,所以098<+a a所以09<a ,所以78S S >,98S S >,故数列}{n a 的前8项最大. 【考点定位】等差数列的性质,前n 项和的最值 11. 【2014高考大纲文第18题】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知110a =,2a 为整数,且4n S S ≤. (I )求{}n a 的通项公式; (II )设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)133n a n =-;(2)()10103n nT n =-.【解析】(1)由已知可得等差数列{}n a 的公差d 为整数.由4n S S ≤可得450,0,a a ≥≤列出不等式组解得d 的范围,从而可确定整数d 的值,最后由等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式;1030,1040d d +≥+≤,解得10532d -#-,因此3d =-,故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-.(2)()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【考点定位】等差数列通项公式、裂项法求数列的前n 项和. 12. 【2014高考广东文第19题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21234n n S na n n +=--,n N *∈,且315S =.(1)求1a 、2a 、3a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)13a =,25a =,37a =;(2)21n a n =+.【考点定位】数列的通项13. 【2014高考湖北文第18题】已知等差数列}{n a 满足:21=a ,且1a 、2a 、5a 成等比数列.(1)求数列}{n a 的通项公式.(2)记n S 为数列}{n a 的前n 项和,是否存在正整数n ,使得?80060+>n S n 若存在,求n 的最小值;若不存在,说明文由.【答案】(1)2=n a 或24-=n a n . 【解析】【考点定位】等差数列、等比数列的性质、等差数列的求和公式.1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 5=8,则S 7=( ) A . 28 B .32 C .56 D .24 【答案】A【解析】S 7=7×(a 1+a 7)2=7×(a 3+a 5)2=28.故选A. 2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若2S 4=S 5+S 6,则数列{a n }的公比q 的值为( ) A .-2或1 B .-1或2 C .-2 D .1【答案】C3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1>0且a 6a 5=911,则当S n 取最大值时,n 的值为( )A .9B .10C .11D .12【解析】由题意,不妨设a 6=9t ,a 5=11t ,则公差d =-2t ,其中t >0,因此a 10=t ,a 11=-t ,即当n =10时,S n 取得最大值.【答案】B4.在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a m +1·a m -1=2a m (m ≥2),数列{a n }的前n 项积为T n ,若T 2m -1=512,则m 的值为( )A .4B .5C .6D .7 【答案】B【解析】由等比数列的性质可知a m +1·a m -1=a 2m =2a m (m ≥2),∴a m =2,即数列{a n }为常数列,a n =2,∴T 2m -1=22m -1=512=29,即2m -1=9,所以m =5.5.已知等比数列{a n }的各项都是正数,且3a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 8+a 9a 6+a 7=( )A .6B .7C .8D .9 【答案】D【解析】∴3a 1,12a 3,2a 2成等差数列, ∴a 3=3a 1+2a 2,∴q 2-2q -3=0,∴q =3或q =-1(舍去). ∴a 8+a 9a 6+a 7=a 1q 7+a 1q 8a 1q 5+a 1q 6=q 2+q 31+q=q 2=32=9. 6.各项均不为零的等差数列{a n }中,a 1=2,若a 2n -a n -1-a n +1=0(n ∈N *,n ≥2),则S 2 016=________.【答案】4 032【解析】由于a 2n -a n -1-a n +1=0(n ∈N *,n ≥2),即a 2n -2a n =0,∴a n =2,n ≥2,又a 1=2,∴a n =2,n ∈N *,故S 2 016=4 032.7.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1=________,S 5=________.【答案】1 1218.已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且对任意n ∈N *,均有a n ,S n ,a 2n 成等差数列,则a n =________.【答案】n【解析】∵a n ,S n ,a 2n 成等差数列,∴2S n =a n +a 2n .当n =1时,2a 1=2S 1=a 1+a 21.又a 1>0,∴a 1=1.当n ≥2时,2a n =2(S n -S n -1)=a n +a 2n -a n -1-a 2n -1,∴(a 2n -a 2n -1)-(a n +a n -1)=0,∴(a n +a n -1)(a n -a n -1)-(a n +a n -1)=0,又a n +a n -1>0,∴a n -a n -1=1,∴{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,∴a n =n (n ∈N *).9.已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92.(1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n .10.设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1.(1)求a 4的值;(2)证明:⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 为等比数列; (3)求数列{a n }的通项公式.(1)解:当n =2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1, 即4(a 1+a 2+a 3+a 4)+5(a 1+a 2)=8(a 1+a 2+a 3)+a 1,整理得a 4=4a 3-a 24,又a 2=32,a 3=54,11.已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且S n =a n (a n +1)2(n ∈N *). (1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)设b n =1S n,T n =b 1+b 2+…+b n ,求T n . (1)证明: S n =a n (a n +1)2(n ∈N *),① S n -1=a n -1(a n -1+1)2(n ≥2).② ①-②得:a n =a 2n +a n -a 2n -1-a n -12(n ≥2), 整理得:(a n +a n -1)(a n -a n -1)=(a n +a n -1)(n ≥2). ∵数列{a n }的各项均为正数,∴a n +a n -1≠0,。
2018年高考数学二轮复习专题能力训练11等差数列与等比数列文
专题能力训练11 等差数列与等比数列一、能力突破训练1.已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.3a5=4(a4-1),∴=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=,∴q=2,∴a2=a1q=.2.在等差数列{a n}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于()A.290B.300C.580D.600a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,得a1+a20=30,故S20==300.3.设{a n}是等比数列,S n是{a n}的前n项和.对任意正整数n,有a n+2a n+1+a n+2=0,又a1=2,则S101的值为()A.2B.200C.-2D.0q,∵a n+2a n+1+a n+2=0,∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q2=0,∴q2+2q+1=0,∴q=-1.又a1=2,∴S101===2.4.已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0{a n}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.∵d≠0,∴a1d=-d2<0,且a1=-d.∵dS4==2d(2a1+3d)=-d2<0,故选B.5.在等比数列{a n}中,满足a1+a2+a3+a4+a5=3,++++=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是()A.3B.C.-D.5=5,故a1-a2+a3-a4+a5===5.6.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n= .n+1=2a n,即=2,{a n}是以2为公比的等比数列.又a1=2,∴S n==126.∴2n=64,∴n=6.7.已知等比数列{a n}为递增数列,且=a10,2(a n+a n+2)=5a n+1,则数列的通项公式(a1q4)2=a1q9,∴a1=q,∴a n=q.∵2(a n+a n+2)=5a n+1,∴2a n(1+q2)=5a n q,∴2(1+q2)=5q,解得q=2或q=(舍去),∴a n=2n.8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且,,成等差数列,则+= .解得xz=y2=y2,x+z=y,从而+===-2=-2=.9.(2017北京,文15)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.设等差数列{a n}的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以a n=2n-1.(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=.10.(2017全国Ⅲ,文17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.因为a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)a n=2.所以a n=(n≥2).又由题设可得a1=2,从而{a n}的通项公式为a n=.(2)记的前n项和为S n.由(1)知==-,则S n=-+-+…+-=.11.(2017山东,文19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列的前n项和T n.设{a n}的公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,q=a1q2,又a n>0,解得a1=2,q=2,所以a n=2n.(2)由题意知:S2n+1==(2n+1)b n+1,又S2n+1=b n b n+1,b n+1≠0,所以b n=2n+1.令c n=,则c n=,因此T n=c1+c2+…+c n=+++…++.又T n=+++…++,两式相减得T n=+-,所以T n=5-.二、思维提升训练12.已知数列{a n},{b n}满足a1=b1=1,a n+1-a n==2,n∈N*,则数列{}的前10项的和为()A.(49-1)B.(410-1)C.(49-1)D.(410-1)答案:D解析:由a1=1,a n+1-a n=2,得a n=2n-1.由=2,b1=1得b n=2n-1.则==22(n-1)=4n-1,故数列{}前10项和为=(410-1).13.若数列{a n}为等比数列,且a1=1,q=2,则T n=++…+等于()A.1-B.C.1-D.答案:B解析:因为a n=1×2n-1=2n-1,所以a n a n+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1,所以=×.所以是等比数列.故T n=++…+=×=.14.如图,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+2,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{}是等差数列答案:A解析:如图,延长A n A1,B n B1交于P,过A n作对边B n B n+1的垂线,其长度记为h1,过A n+1作对边B n+1B n+2的垂线,其长度记为h2,则S n=|B n B n+1|×h1,S n+1=|B n+1B n+2|×h2.∴S n+1-S n=|B n+1B n+2|h2-|B n B n+1|h1.∵|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,∴S n+1-S n=|B n B n+1|(h2-h1).设此锐角为θ,则h2=|PA n+1|sin θ,h1=|PA n|sin θ,∴h2-h1=sin θ(|PA n+1|-|PA n|)=|A n A n+1|sin θ.∴S n+1-S n=|B n B n+1||A n A n+1|sin θ.∵|B n B n+1|,|A n A n+1|,sin θ均为定值,∴S n+1-S n为定值.∴{S n}是等差数列.故选A.15.已知等比数列{a n}的首项为,公比为-,其前n项和为S n,若A≤S n-≤B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为.答案:解析:易得S n=1-∈∪,因为y=S n-在区间上单调递增(y≠0),所以y∈⊆[A,B],因此B-A的最小值为-=.16.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=2,求++…+.由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3.所以a3=2a2,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n==.由e2==2,解得q=.所以++…+=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)]=n+[1+q2+…+q2(n-1)]=n+=n+(3n-1).17.若数列{a n}是公差为正数的等差数列,且对任意n∈N*有a n·S n=2n3-n2.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)是否存在数列{b n},使得数列{a n b n}的前n项和为A n=5+(2n-3)2n-1(n∈N*)?若存在,求出数列{b n}的通项公式及其前n项和T n;若不存在,请说明理由.设等差数列{a n}的公差为d,则d>0,a n=dn+(a1-d),S n=dn2+n.对任意n∈N*,恒有a n·S n=2n3-n2,则[dn+(a1-d)]·=2n3-n2,即[dn+(a1-d)]·=2n2-n.∴∵d>0,∴∴a n=2n-1.(2)∵数列{a n b n}的前n项和为A n=5+(2n-3)·2n-1(n∈N*),∴当n=1时,a1b1=A1=4,∴b1=4,当n≥2时,a n b n=A n-A n-1=5+(2n-3)2n-1-[5+(2n-5)·2n-2]=(2n-1)2n-2.∴b n=2n-2.假设存在数列{b n}满足题设,且数列{b n}的通项公式b n=∴T1=4,当n≥2时,T n=4+=2n-1+3,当n=1时也适合,∴数列{b n}的前n项和为T n=2n-1+3.。
2018年上海数学·高一数学 期末复习试卷3 数列2
2018年上海高考·高一数学 期末复习试卷[3] 数列2一、填空题:1、已知数列}{n a 是公差为2的等差数列,且521,,a a a 成等比数列,则2a 为2、已知等差数列{}n a 满足:0,221=-=a a .若将541,,a a a 都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为3、数列{n a }是公差不为0的等差数列,且a 1,a 3,a 7是等比数列{n b }的连续三项,若b 1=1,则b 2010=4、已知1,,,721--a a 四个实数成等差数列,1,,,,4321--b b b 五个实数成等比数列,则212b a a -= . 5、已知各项均为正数的等比数列{n a }的首项为21=a ,且23+a 是42,a a 的等差中项,则数列{n a }的通项公式n a =6、已知{a n }是公比为q 的等比数列,且a 2,a 4,a 3成等差数列,则q =________7、在公差不为零的等差数列}{n a 中,02211273=+-a a a ,数列}{n b 是等比数列,且77a b =,则86b b 等于8、等比数列}{n a 的前n 项和为321,2,4,a a a S n 且成等差数列,若11=a ,则4S 等于9、设等差数列{}n a 的公差0d ≠,14a d =,若k a 是1a 与2k a 的等比中项,则k 的值为10、已知等差数列{}n a 的公差为2,且134,,a a a 成等比数列,则2a =11、已知数列{}n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=,且4a 与27a 的等差中项为54,则5S = 12、已知{}n a 是公比为实数q 的等比数列,若4576,,a a a a +成等差数列,则q 等于_____13、已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,它的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是_________14、已知数列}{n a 是各项都是正数的等比数列,若2311,,22a a a 成等差数列,则5443a a a a ++的值为 15、设}{n a 是公差不为0的等差数列,21=a 且531,a a a 成等比数列,则}{n a 的前n 项和n S =16、已知等比数列{}n a 中234,,,a a a 分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且11a =公比1q ≠则n a 等 于17、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若396,,S S S 成等差数列,则{}n a 的公比q 为_________18、在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于二、解答题:19、等比数列{}n a 中,已知142,16a a ==(I )求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项,试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。
【高三数学试题精选】2018高考数学二轮等差数列、等比数列专题复习题(附答案)
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
解(1)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1
两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ
(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1
A.16 B.18
c.9 D.8
解析已知数阵a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数也依次成等差数列,若a22=2,由等差数列的性质得a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33=9 a22=18
答案B
3.(2018河北唐一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,则Snan=( )
A.4n-1 B.4n-1
c.2n-1 D.2n-1
解析∵a1+a3=52,a2+a4=54,
∴a1+a1q2=52,①a1q+a1q3=54,②
由①除以②可得1+q2q+q3=2,解得q=12,
所以1+4n=+n61+4n
=161+4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn+4n
≥165+2 n 4n=32
答案D
二、填空题
7.(20 14安徽卷)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成比为q的等比数列,则q=________
解析设等差数列的差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,
∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1
由(1)知,a3=λ+1
令2a2=a1+a3,解得λ=4
故an+2-an=4,由此可得
2018年高考数学二轮复习 专题09 等差数列、等比数列押题专练 理
专题09 等差数列、等比数列1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 5=8,则S 7=( ) A .28 B .32 C .56 D .24解析:S 7=7×(a 1+a 7)2=7×(a 3+a 5)2=28.故选A.答案:A2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若2S 4=S 5+S 6,则数列{a n }的公比q 的值为( ) A .-2或1 B .-1或2 C .-2D .1答案:C3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1>0且a 6a 5=911,则当S n 取最大值时,n 的值为( )A .9B .10C .11D .12解析:由题意,不妨设a 6=9t ,a 5=11t ,则公差d =-2t ,其中t >0,因此a 10=t ,a 11=-t ,即当n =10时,S n 取得最大值.答案:B4.在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a m +1·a m -1=2a m (m ≥2),数列{a n }的前n 项积为T n ,若T 2m -1=512,则m 的值为( )A .4B .5C .6D .7解析:由等比数列的性质可知a m +1·a m -1=a 2m =2a m (m ≥2),∴a m =2,即数列{a n }为常数列,a n =2,∴T 2m -1=22m -1=512=29,即2m -1=9,所以m =5.答案:B5.已知等比数列{a n }的各项都是正数,且3a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 8+a 9a 6+a 7=( )A .6B .7C .8D .9解析:∴3a 1,12a 3,2a 2成等差数列,∴a 3=3a 1+2a 2,∴q 2-2q -3=0,∴q =3或q =-1(舍去).∴a 8+a 9a 6+a 7=a 1q 7+a 1q 8a 1q 5+a 1q 6=q 2+q 31+q=q 2=32=9. 答案:D6.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1+a 2+a 3+a 4=1,a 5+a 6+a 7+a 8=2,S n =15,则项数n 为( )A .12B .14C .15D .16 答案:D7.已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=( ) A .5 2 B .7 C .6 D .4 2 答案:A解析:由题意知a 1a 2a 3,a 4a 5a 6,a 7a 8a 9三数成等比数列,所以(a 4a 5a 6)2=(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)=50.又a n >0,∴a 4a 5a 6=52,故选A.8.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若存在m ∈N *,满足S 2m S m =9,a 2m a m =5m +1m -1,则数列{a n }的公比为( )A .-2B .2C .-3D .3 答案:B解析:设公比为q ,若q =1,则S 2m S m =2,与题中条件矛盾,故q ≠1.∵S 2mS m =a 1(1-q 2m )1-q a 1(1-q m )1-q=q m+1=9,∴q m=8.∴a 2m a m =a 1q 2m -1a 1q m -1=q m =8=5m +1m -1, ∴m =3,∴q 3=8, ∴q =2.9.已知等比数列{a n }中,a 2=1,则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A .(-∞,-1]B .(-∞,0)∪(1,+∞)C .[3,+∞)D .(-∞,-1]∪[3,+∞) 答案:D10.数列{a n }满足a 1=2且对任意的m ,n ∈N *,都有a n +ma m=a n ,则a 3=________;{a n }的前n 项和S n =________.【解析】 ∵a n +ma m=a n , ∴a n +m =a n ·a m ,∴a 3=a 1+2=a 1·a 2=a 1·a 1·a 1=23=8. 令m =1,则有a n +1=a n ·a 1=2a n ,∴数列{a n }是首项为a 1=2,公比为q =2的等比数列, ∴S n =2(1-2n)1-2=2n +1-2.【答案】 8 2n +1-211.已知数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n +2=a n +1+a n (n ∈N *).若存在正实数λ使得数列{a n+1+λa n }为等比数列,则λ=________. 【解析】 由题意可知,a n +2+λa n +1=(1+λ)a n +1+a n =(1+λ)⎝⎛⎭⎪⎫a n +1+11+λa n , ∴11+λ=λ,解得λ=-1+52或λ=-1-52(舍), ∵a 1=a 2=1,∴a 3=2,易验证当n =1时满足题意.故λ=-1+52.【答案】-1+5212.各项均不为零的等差数列{a n }中,a 1=2,若a 2n -a n -1-a n +1=0(n ∈N *,n ≥2),则S 2 016=________.解析:由于a 2n -a n -1-a n +1=0(n ∈N *,n ≥2),即a 2n -2a n =0,∴a n =2,n ≥2,又a 1=2,∴a n =2,n ∈N *,故S 2 016=4 032.答案:4 03213.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1=________,S 5=________.答案:1 12114.已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且对任意n ∈N *,均有a n ,S n ,a 2n成等差数列,则a n =________.解析:∵a n ,S n ,a 2n 成等差数列,∴2S n =a n +a 2n . 当n =1时,2a 1=2S 1=a 1+a 21. 又a 1>0,∴a 1=1.当n ≥2时,2a n =2(S n -S n -1)=a n +a 2n -a n -1-a 2n -1,∴(a 2n -a 2n -1)-(a n +a n -1)=0,∴(a n +a n -1)(a n -a n -1)-(a n +a n -1)=0, 又a n +a n -1>0,∴a n -a n -1=1,∴{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列, ∴a n =n (n ∈N *). 答案:n15.已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92.(1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n .16.设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n+2+5S n =8S n +1+S n -1. (1)求a 4的值;(2)证明:⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 为等比数列;(3)求数列{a n }的通项公式.(1)解:当n =2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,即4(a 1+a 2+a 3+a 4)+5(a 1+a 2)=8(a 1+a 2+a 3)+a 1,整理得a 4=4a 3-a 24,又a 2=32,a 3=54,所以a 4=78.(2)证明:当n ≥2时,有4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1, 即4S n +2+4S n +S n =4S n +1+4S n +1+S n -1, ∴4(S n +2-S n +1)=4(S n +1-S n )-(S n -S n -1), 即a n +2=a n +1-14a n (n ≥2).经检验,当n =1时,上式成立. ∵a n +2-12a n +1a n +1-12a n=⎝⎛⎭⎪⎫a n +1-14a n -12a n +1a n +1-12a n=12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n +1-12a n a n +1-12a n=12为常数,且a 2-12a 1=1,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 是以1为首项,12为公比的等比数列.17.已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且S n =a n (a n +1)2(n ∈N *).(1)求证:数列{a n }是等差数列; (2)设b n =1S n,T n =b 1+b 2+…+b n ,求T n .(1)证明: S n =a n (a n +1)2(n ∈N *),①S n -1=a n -1(a n -1+1)2(n ≥2).②①-②得:a n =a 2n +a n -a 2n -1-a n -12(n ≥2),整理得:(a n +a n -1)(a n -a n -1)=(a n +a n -1)(n ≥2). ∵数列{a n }的各项均为正数, ∴a n +a n -1≠0, ∴a n -a n -1=1(n ≥2). 当n =1时,a 1=1,∴数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列. (2)解:由(1)得S n =n 2+n2,∴b n =2n 2+n =2n (n +1)=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1, ∴T n =2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-14+…+⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1=2n n +1. 18.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且数列{S n }是以2为公比的等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 3+…+a 2n +1.19.已知在正项数列{a n }中,a 1=2,点A n (a n ,a n +1)在双曲线y 2-x 2=1上.在数列{b n }中,点(b n ,T n )在直线y =-12x +1上,其中T n 是数列{b n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求证:数列{b n }是等比数列; (3)若c n =a n b n ,求证:c n +1<c n .解:(1)由已知点A n 在y 2-x 2=1上知,a n +1-a n =1. ∴数列{a n }是一个以2为首项,公差为1的等差数列. ∴a n =a 1+(n -1)d =2+n -1=n +1.(3)证明:由(2)可知b n =23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1=23n .∴c n =a n ·b n =(n +1)·23n .∴c n +1-c n =(n +2)·23n +1-(n +1)·23n =23n +1[(n +2)-3(n +1)] =23n +1(-2n -1)<0.∴c n +1<c n .20.在等比数列{a n }中,a 1>0,n ∈N *,且a 3-a 2=8,a 1,a 5的等比中项为16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 4a n ,数列{b n }的前n 项和为S n ,是否存在正整数k ,使得1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n<k对任意n∈N*恒成立?若存在,求出正整数k的最小值;若不存在,请说明理由.解:(1)设数列{a n}的公比为q,由题意可得a3=16,因为a3-a2=8,则a2=8,所以q=2,a1=4,所以a n=2n+1.故存在k=3时,对任意的n∈N*都有1 S1+1S2+1S3+…+1S n<3.。
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等差数列与等比数列一
一、填空题
1、已知an 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 a1 6, a1 a5 0 ,则 S6 2、在等差数列an 中,已知 a4 9, a9 6, Sn 63 ,则 n 3、已知等差数列an 前 n 项和 Sn 3n2 p ,则 p 4 、 设 数 列 an 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , 公 比 q 2 , 且 a1 a2 a3 a30 230 , 则
时,an 的
前 n 项和最大
8、等差数列an 中, a10 0, a11 0 且 a11 a10 ,使前 n 项和 Sn 0 的最小正整数 n
9、设 an 2n , bn 5n 1 n N , S a1, a2 ,..., a2015 b1, b2 ,..., b2015 ,则集合 S 中元素
A. X Z 2Y B. Y Y X Z Z X C. Y 2 XZ D. Y Y X X Z X
16、设an 是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5 S6 , S6 S7 S8 ,则下列结论错误的
是( )
A. d 0 B. a7 0 C. S9 S5 D. S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
为常数的项是( )
1
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A. S7 B. S8 C. S13 D. S15
15、设an 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和和前 3n 项和分别为 X ,Y , Z ,则下
列等式中恒成立的是( )
20、设等差数列 an 的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn (1)若 a11 0, S14 98,求数列an 的通项公式; (2)若 a1 6, a11 0, S14 77 ,求所有可能的数列an 的通项公式
21 、 已 知 等 差 数 列 an 的 公 差 与 等 比 数 列 bn 的 公 比 都 是 r ( r 0,1 且 r R ) 且
的个数为
10、等差数列an,bn 的前 n 项和分别为 Sn ,Tn ,若
Sn Tn
2n 2 n3
,则
a7 b7
的值为
11、设三个数 a log2 3, a log4 3, a log8 3 成等比数列,则其公比为
12、在正项等比数列 an 中, a5
1 2
,
a6Leabharlann a73 ,则满足 a1
a2
19、已知数列an 的前 n 项和为 Sn , a1 1,且 3an1 2Sn 3 ( n 为正整数)
2
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(1)求数列an 的通项公式;
(2)记 S a1 a2 ... an ...,若对任意 n N , kS Sn 恒成立,求实数 k 的最大值
a3 a6 a9 a30
5、实数 a, b, c 满足 b ac 是 b 为 a, c 等比中项的
条件
6、某纯净水制造厂在精华水过程中,每增加一次过滤可减少说中杂质 20% ,要使水中杂质 减少到原来的 5% 以下,则至少需过滤的次数为
7、若等差数列an 满足 a7 a8 a9 0, a7 a10 0 ,则当 n
4、220
5、既不充分又非必要
6、14
7、8
8、21
9、3
10、3
11、7 2
12、1 2
13~16、BCDC
17、Tn
n
2 n 1 2
2 9n 40
4
18、3n n 1
1n 5 n6
19、(1)an
31n (2)
2 3
20、(1)an =22-2n;(2)an 12 n, an 13 n
a1 b1, a4 b4, a10 b10 (1)求 a1 与 r ,并分别写出这两个数列的通项公式;
(2)试写出两数列所有的公共项(用bn 中的项来表示)
3
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答案:
1、-9
2、7
3、0
21、(1)an 2 n 3 2,bn 1n1
n
32
4
... an
a1a2
an
的
最大正整数 n 的值为
二。选择题
13、a1, a2 , a3 成等差数列,a2, a3, a4 成等比数列,a3, a4, a5 的倒数成等差数列,则 a1, a3, a5
() A. 成等差数列 B. 成等比数列 C. 倒数成等比数列 D. 以上都不对
14、等差数列an 的前 n 项和记为 Sn ,若 a2 a4 a6 的值是一个确定的常数,则数列中也
三、解答题
17、设 an 为等差数列, Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 S7 7, S15 75 , Tn 为数列
Sn n
的前
n
项和,求
Tn
18、等差数列an 中,公差 d 0 ,由an 中的部分项组成的数列 akn 为等比数列,其中
k1 1, k2 5, k3 17 ,求 k1 k2 ... kn 的值