10(7[1].8)傅里叶级数,正弦,余弦级数

用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角 级数时的系数, 级数时的系数, 也就是现今教科书中傅里叶级数 的系数. 的系数.
3
n =1
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
在历史上, 在历史上,三角级数的出现和发展 与求解 微分方程是分不开的. 微分方程是分不开的. 1753年, 丹贝努利首先提出将弦振动方程 年 的解表示为三角级数的形式, 的解表示为三角级数的形式,这为函数的傅里叶 展开这个纯数学问题奠定了物理基础,促进了分 展开这个纯数学问题奠定了物理基础, 析学的发展. 析学的发展. 1822年,傅里叶在《热的解析理论》一书中 年 傅里叶在《热的解析理论》 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的， 特殊的情 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的， 形所采用的三角级数方法进行加工处理, 形所采用的三角级数方法进行加工处理, 发展成 一般理论. 一般理论.
第七~ 傅里叶( 第七~八节 傅里叶(Fourier)级数 )
(傅氏级数Fourier series) 傅氏级数
问题的提出 三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 正弦级数或余弦级数 小结 思考题 作业
第十一章 无穷级数
1
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
上一节详细研究了一种重要的函数项级数: 上一节详细研究了一种重要的函数项级数: 幂级数. 幂级数. 下面研究另一种重要的函数项级数: 下面研究另一种重要的函数项级数: 傅里叶 级数. 这种级数是由于研究周期现象的需要而 级数. 这种级数是由于研究周期现象的需要而 产生的 它在电工、 产生的. 它在电工、力学和许多学科中都有很 重要的应用. 重要的应用 傅里叶(Fourier,1768-1830) 法国数学家和 傅里叶 物理学家. 物理学家 法国科学院院士,英国皇家学会会员 英国皇家学会会员. 法国科学院院士 英国皇家学会会员
u
1
2π
3π 2
π
π
2
O
1
π
2
π
3π 2
2π
t
9
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
4 1 1 1 u = (sint + sin3t + sin5t + sin7t ) 3 5 7 π
u
1
2π
3π 2
π
π
2
O
1
π
2
π
3π 2
2π
t
10
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
4 1 1 1 1 u = (sint + sin3t + sin5t + sin7t + sin9t ) 3 5 7 9 π
20
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
诱导出)的 称为函数 f(x)(诱导出 的傅里叶级数 记为 诱导出 傅里叶级数,
a0 ∞ + ∑(an cos nx + bn sinnx) f(x) 2 n=1 注 f(x)的傅里叶级数不见得收敛； 的傅里叶级数不见得收敛； 即使收敛， 的傅里叶级数不见得收敛 即使收敛， 级数的和也不一定是 f(x). 所以 不能无条件的 所以, 把符号 f(x)满足什么条件时 满足什么条件时， 当 f(x)满足什么条件时， 换为 “” “=”. 它的傅里叶级数收敛， 它的傅里叶级数收敛， 并收敛于f(x)本身 本身. 并收敛于 本身
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , L cos nx , sin nx , L
的正交性是指 其中任何两个不同的函数的乘积 正交性是指:其中任何两个 是指 其中任何两个不同的函数的乘积
上的积分为零， 而任 在一个周期长的区间 [π , π ]上的积分为零，
一个函数的自乘(平方 在 一个函数的自乘 平方)在[π , π ]上的积分为 π或 平方
2
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
历史朔源
1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引 年 起的摄动时, 起的摄动时,大胆地采用了三角级数表示函数: 三角级数表示函数 表示函数:
f ( x ) = A0 +2∑ An cos nx
∞
1 2π 其中 An = ∫0 f ( x ) cos nxdx 2π 1759年,拉格朗日在对声学的研究中也使用 年 三角级数. 了三角级数.1777年,欧拉在研究天文学的时候, 年 欧拉在研究天文学的时候,
=0 π
π
π
π
17
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
a0 ∞ ( 3) 求bn . f ( x ) = + ∑ (a k cos kx + bk sin kx ) 2 k =1
+ ∑ [ak ∫ cos kx sin nxdx + bk ∫ sin kx sin nxdx ]
k =1 π
利用三角函数系的正交性 两边同乘 sin nx , 再从 π到π逐项积分 π a0 π ∫π f ( x ) sin nxdx = 2 ∫πsin nxdx =0 π ∞ π
为简谐振动的迭加. 会给分析问题带来方便. 为简谐振动的迭加 会给分析问题带来方便 反映在数学上,是把一个复杂的周期函数 反映在数学上 是把一个复杂的周期函数 f(t) 的迭加, 表示为各类正弦函数 表示为各类正弦函数 Ansin( nωt + n )的迭加 即
A0 + ∑ An sin( nωt + n )
为2π . 即有
∫π
π 2
1 dx = 2π
∫π
π
1 cos nxdx = ∫ 1sinnxdx = 0
π
14
π
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
∫
0, cos mx cos nxdx = π π,
π
m≠n
m=n
m≠n
∫
0, sin mx sin nxdx = π π ,
π
m=n
(其中m , n = 1,2,L)
4
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
一、问题的提出
在自然界和人类的生产实践中, 在自然界和人类的生产实践中 周而复始 的现象, 周期运动是常见的. 的现象 周期运动是常见的 如行星的飞转,飞轮的旋转, 如行星的飞转 飞轮的旋转 蒸气机活塞的 往复运动,物体的振动 声、光、电的波动等 往复运动 物体的振动, 电的波动等. 数学上,用周期函数来描述它们 数学上 用周期函数来描述它们. 最简单最基本 用周期函数来描述它们 的周期函数是正弦型函数 谐函数 简谐波 简谐振动 角频率
∫πsin mx cos nxdx = 0
∫π
π
π
π
cos 2 nxdx = π
∫π
sin 2 nxdx = π
15
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
三、函数展开成傅里叶级数
1.傅里叶系数 1.傅里叶系数 (Fourier coefficient)
∫
a0 ∞ 若有 f ( x ) = + ∑ (a k cos kx + bk sin kx ) 2 k =1 (1) 求a0 . 两边积分 利用三角函数系的正交性 π ∞ πa π 0 f ( x ) dx= dx+ π∑ (ak cos kx + bk sin kx )dx π 2 π k =1
∫
∫
π π a0 dx + ∑ ak ∫ cos kxdx + bk ∫ sin kxdx =∫ π π π 2 k =1 =0 =0 1 π a0 f ( x)dx = 2π a0 = 2 π π
π
∞
(
)
∫
16
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
a0 ∞ ( 2 ) 求a n . f ( x ) = + ∑ (a k cos kx + bk sin kx ) 2 k =1
下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们. 傅里叶级数收敛定理回答了我们 下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们
21
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
狄利克雷(德 狄利克雷 德)1805-1859 2. 狄利克雷 狄利克雷(Dirichlet)充分条件 (收敛定理 收敛定理) 充分条件 收敛定理 定义 若 f ( x)在区间[ a, b ] 上 只有有限个单调区间, 则称 f ( x)在区间[ a, b ] 上 逐段单调. 即,只有有限个极值点.
2
π
π
2
O
1
π
2
π
3π 2
2π
t
7
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
4 1 u = (sint + sin3t ) 3 π
u
1
2π
3π 2
Biblioteka Baidu
π
π
2
O
1
π
2
π
3π 2
2π
t
8
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
4 1 1 u = (sint + sin3t + sin5t ) 3 5 π
利用三角函数系的正交性 两边同乘 cos nx , 再从 π到π逐项积分
∫π
∞
π
a0 π f ( x ) cos nxdx = ∫ cos nxdx 2 π
π
+ ∑ [ak ∫ cos kx cos nxdx + bk ∫ sin kx cos nxdx ] π π k =1 k =n =0 π = an ∫ cos 2 nxdx = anπ π 1 π an = ∫ f ( x)cos nxdx ( n = 1,2,3,L)
n =1
∞
谐波分析
或再利用三角恒等式, 或再利用三角恒等式 变形为
A0 + ∑ ( An sin n cos nωt + An cos n sin nωt )
n =1
12
∞
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
A0 + ∑ ( An sinn cos nωt + An cos nnsin nωt ) A sin ω t An cos A 0
为简便计,先来讨论以 为简便计 先来讨论以 2π 为周期的函数 f(x), 解决上述问题起着关键作用的是: 解决上述问题起着关键作用的是 三角函数系的正交性(orthogonality). 三角函数系的正交性
13
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
二、三角函数系的正交性
三角函数系
orthogonality
1
较复杂的 周期现象
π
O
1
π
t
分解 不同频率正弦波 逐个叠加
π
4 sin t ,
π 1
sin 3t , sin 5t , sin 7t , sin 9t , L 4 9 4 5 4 3 4 7
6
π 1
π 1
π 1
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
4 u = sint π
u
1
2π 3π
n =1
∞
a0 令 = A0 , an = An sinn , bn = An cosn , ωt = x. 2 a0 ∞ 三角级数 + ∑(an cos nx + bn sinnx) 2 n=1 三角级数? 满足什么条件, 函数 f (t) 满足什么条件 才能展为 三角级数 ω =1 如何确定? 系数a0 , a n , bn 如何确定
u
1
2π
3π 2
π
π
2
O
1
π
2
π
3π 2
2π
t
1 1 1 1 u(t ) = (sin t + sin 3t + sin5t + sin7t + sin9t +L ) π 3 5 7 9
4
(π < t < π , t ≠ 0)
11
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
设想
一个较复杂的周期运动(如矩形波 分解 一个较复杂的周期运动 如矩形波)分解 如矩形波
1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 1 2π bn = ∫0 f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π
由这些系数作成的三角级数 这些系数作成的三角级数
a0 ∞ + ∑(an cos nx + bn sinnx) 2 n=1
= bnπ
=0
π
π
k =n
bn =
∫π f ( x)sinnxdx(n = 1,2,3,L) π
18
1
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
设f ( x )是以2π为周期的函数 , 且在[π ,π ]或
[0,2π ]上可积, 则
an =
∫π f ( x)cos nxdx = π ∫0 π
1
π
1
2π
f ( x)cos nxdx
( n = 0,1,2,L)
bn =
∫π f ( x)sinnxdx = π ∫0 π
1
π
1
2π
f ( x)sin nxdx
希望自己证明
( n = 1,2,L)
19
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
傅里叶系数 1 π an = ∫ f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L ) π π 1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π
2π
5
A sin( ω t + )
振幅
时间 初相 周期 ω
傅里叶(Fourier)级数 级数 傅里叶
除了正弦函数外, 常遇到的是非正弦周期函数 非正弦周期函数, 除了正弦函数外 常遇到的是非正弦周期函数
1, 当 π ≤ t < 0 如矩形波 u( t ) = 1, 当0 ≤ t < π u