苏科版九年级第五章 《二次函数》知识点

第5章 《二次函数》知识点

康 进 成

一、二次函数的概念和一般式

1、概念： ；

2、一般式： ；

3、自变量的取值范围： ；

4、列实际问题的二次函数表达式 ；

二、二次函数y=ax 2

的图象特征和性质

1、特征：开口方向 、顶点坐标 、对称轴 ；

2、性质：

（1）增减性：

当a ＞0时

② ；

③ ；

④ .

当a ＜0时

② ；

② ；

③ .

（2）最值：

当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；

当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .

三、二次函数2()y a x h k =-+的图像画法、平移规律、特征和性质

1、图像画法：列表（取五对数）、描点（描五个点）、连线

2、平移规律：左加右减、上加下减

3、特征：开口方向 、顶点坐标 、对称轴 .

4、性质：

（1）增减性：

当a ＞0时

② ；

③ ；

④ .

当a ＜0时

② ；

② ；

③ .

（2）最值：

当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；

当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .

四、二次函数2

()y a x h k =-+中a 、h 、k 的意义

（1）a 决定 ，

（2）h ① ；② ；③ ，

（3）k ① ；② ；③ . 五、二次函数一般式2

y ax bx c =++对应的顶点式2

24()24b ac b y a x a a -=++、特征、性质 1、转化：2

y ax bx c =++2

24()24b ac b a x a a -=++. 2、特征：开口方向、顶点坐标（2b a -，244ac b a -）、对称轴是直线2b x a

=-. 3、性质

（1）增减性：

当a ＞0时

② ；

③ ；

④ .

当a ＜0时

② ；

② ；

③ .

（2）最值：

当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；

当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .

注：由一般式回答图像特征和性质的思路：

（1）直接通过计算相关代数式（如2b a

-，244ac b a -）的值后解决问题. （2）将一般式转化成顶点式：2

24()24b ac b y a x a a

-=++，结合顶点式来解决问题. 六、二次函数一般式2y ax bx c =++中a 、b 、c 符合和一些重要代数式的符合的确定

1、a 看 而确定符合；b 看 而确定符合；c 看 而确定符合；

2、2a b +看2b a -与 而确定符合，2a b -看2b a

-与 而确定符合， 24b ac -看 而确定符合.

3、a b c ++ 而确定符合，

a b c -+ 而确定符合， 42a b c ++ 而确定符合，42a b c -+ 而确定符合.

七、二次函数的对称规律

1、二次函数一般式2y ax bx c =++的对称规律

（1）关于x 轴对称的表达式为：2y ax bx c -=++，即：2y ax bx c =---

（2）关于y 轴对称的表达式为：()()2

y a x b x c =-+-+ 即：2y ax bx c =-+ （3）关于原点轴对称的表达式为：()()2

y a x b x c -=-+-+即：2y ax bx c =-+- 2、二次函数顶点式2

()y a x h k =-+的对称规律

（1）关于x 轴对称的表达式为：2()y a x h k =---

（2）关于y 轴对称的表达式为：2()y a x h k =++

（3）关于原点轴对称的表达式为：2()y a x h k =-+-

八、二次函数的三种形式和用待定系数法确定函数表达式

1、一般式：2y ax bx c =++，已知条件 ，设为一般式求出待定系数的值确定表达式.

2、顶点式：2()y a x h k =-+，已知条件 ，设为顶点式求出待定系数的值确定表达式.

3、交点式：12()()y a x x x x =--，已知条件 ，设为交点式求出待定系数的值确定表达式.

九、二次函数与一元二次方程

1、二次函数的图像与x 轴的交点情况与相应的一元二次方程的根的情况的关系.

2、由24b ac -的符合确定二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点情况.

3、求二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴、y 轴的交点坐标.

4、确定（求出）二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点坐标，结合图像由y 值的符合确定x 的取值范围.

5、由x 值的取值范围值，结合图像根据x 值的取值范围与抛物线对称轴的位置关系（有三种情况：对称轴在x 值的取值范围右边、之间、左边），而确定y 值的取值范围.

6、利用图像由二次函数值与一次函数值、二次函数值与反比例函数值的大小关系确定x 的取值范围（关键是组成方程组，解出方程组的解而确定交点坐标，然后看图像而确定x 的取值范围）.

7、利用图像（或表格）确定相应的一元二次方程的近似解.