第五章 线性空间与欧式空间
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1) 零元素是唯一的 ;
( 2) 每个元素的负元素是唯 一 ;
(3) 0 0, ( 1) , k 0 0 ;
( 4)若k 0, 则k 0, 或 0 .
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
三、线性子空间的定义
定义5.1.2（子空间）设W是线性空间V的一个非空子
线性代数与空间解析几何
注意：
( i ) 向量空间的概念是集合 与运算二者的结合 . 一般地 ,同一个集合 , 若定义两种不同的线 性运性算 , 就构成不同的向量空间 ；
(ii) 若定义的运算不是线性 运算, 就不能构成线性 空间.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
二、线性空间的基本性质
线性空间满足以下的基本性质：
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例8：在线性空间 R [ x ]n中, 取一组基
1 1, 2 ( x a ), 3 ( x a ) ,, n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是 (a ) f ''(a ) f ( f (a ), f '(a ), , , ) . 2! ( n 1)!
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
四、基、维数和向量的坐标
定义5.1.3 设1 , 2 ,, n 是向量空间 V中的一组 向量,满足以下条件 : (1) 1 , 2 ,, n线性无关 ;
( 2) V ,都可由 1 , 2 ,, n线性表示 :
x11 x2 2 xn n
有
k1 k 2 , k1 E11 k 2 E12 k 3 E 21 k 4 E 22 k3 k 4
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
有 A a11 E11 a12 E12 a 21 E 21 a 22 E 22
因此
E11 , E12 , E 21 , E 22 为V的一组基.
( 2) 对称性：若 V1与V2同构，则 V2与V1同构；
(3)传递性：若 V1与V2同构， V2与V3同构， 则V1与V3同构.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
定理5.1.3 设f 是线性空间V1到V2的同构映射，则
(1) f ( 01 ) 0 2，其中 01 , 0 2 分别是 V1和 V2的零元素 ;
（ I） : [1 , 2 , n ]; （II） : [ 1 , 2 , n ] 且由基（I）到基（II）的过渡矩阵为A，设V中
向量 在基（ I）中的坐标 x ( x1 , x2 ,, xn ), 在基 （ II）下的坐标为 y ( y1 , y2 , , yn ), 则有坐标变换 公式：
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
第五章 线性空间与欧式空间
1 1 2
线性空间的基本概念 欧式空间的基本概念
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
第一节 线性空间的基本概念
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
一、线性空间的基本概念
定义5.1.1 (线性空间) V是一个非空集合,在V 中定 义了加法和数乘两种运算, V 对加法和数乘是封闭 的，而且加法和数乘运算满足以下8条运算规律,
n
按照多项式的加法与数 与多项式的乘法构成数 域F 上的线性空间.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
齐次线性方程组的解空 间( A 为 m n 矩阵 ) : 例4： S x F n Ax 0构成 F 域上的线性空间 .
例5： C a , b f ( x ) f ( x )在[a , b]上连续 按照函数的加法与实数 与函数的乘法构成一个 实
n
对于通常的有序数组的 加法及如下定义的乘法
( x1 , x2 ,, xn ) (0,0,,0)
不构成向量空间.
1 x 0, 这里, 可以验证 S n 对运算是封闭的, 但因 不满足线性运算规则(5), 即所定义的运算不是 线性运算 , 所以S n不是向量空间 .
西安交通大学
x Ay 或 y A x.
1
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
六、线性空间的同构
定义5.1.5（线性空间的同构）
设 V1和 V2 是数域 F 上的两个线性空间， V1到 V2的 一个映射 f 叫做同构映射，如果 (1) f是 V1到 V2的双射；
（2 ）， V1 ,恒有f ( ) f ( ) f ( );
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
的全部解向量组成一个子空间V . 这是因为：若 x1 , x2 V , 则由齐次线性方程组的 性质知 k1 x1 k2 x2 V , 即V 对加法及数乘运算封 闭，从而V 是Rn 的子空间.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例1：向量空间 F n , R n , C n , 分别是 F , R, C上的线性空间. 例2： F mn，R mn：元素属于 F或R的m n矩阵的全体 ,
按照矩阵的加法和数与 矩阵的乘法，构成数域 F 或R上的线性空间.
F [ x ]n a0 a1 x an x ai F , i 1,2,, n 例3：
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
七、子空间的交与和
定理5.1.6 如果 V1，V2都是线性空间 V的子空间
则它们的交集 V1 V2也是 V的子空间.
证明： 0 V1 V2，故V1 V非空；
集，如果W 按照V 所定义的线性运算也构成一个线性 空间，则称W为V 的子空间. 线性空间的V一个非空子集W满足什么条件才能构成V 的一个子空间呢？
定理5.1.1 设W是线性空间V 的非空子集，则
W为V的子空间的充要条件是 W对V中的线性运算封闭.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例8：在n 维向量空间Rn中，齐次线性方程组
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
(5)1 ； (6) k ( l ) ( kl ) ; (7 ) k ( ) k k ； (8) ( k l ) k l .
其中, , , 是V 中任意的元素，k, l 是 F 中任 意常数,那么，我们称V为线性空间(向量空间）.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
定理5.1.4 数域F上两个有限维线性空间同构的充
要条件是它们的维数相同.
, r 是 n维线性空间 V中 扩充定理5.1.5 设 1 , 2， 一个线性无关向量组， 且r n, 则由1 , 2， , r 扩充
必能得到 V的基，也就是说，必能 找到 V中的向量 r 1 ,, n , 使得 ,, r , r 1 ,, n成为 V的基 .
与 n 维数组向量空间 R n同构. 解：因为 (1) V n中的元素 与 R n中的元素( x , x , , x ) 形成一一对应关系；
1 2 n T
Vn R
n
x1 1 x2 2 xn n
x ( x1 , x2 , , xn )
T
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
西安交通大学
线性代பைடு நூலகம்与空间解析几何
其中 ij为常数 ( i , j 1,2,, n), 则称矩阵 A (aij )nn
为由基 1 , 2， , n到基1 , 2， , n的过渡矩阵 . a11 a12 a a22 21 [ 1 , 2 , n ] [1 , 2 , n ] a31 a32 a 41 a42
线性空间. 非齐次线性方程组 Ax b的解集合不构成向量 例6： 空间. 因为, Ax 0 b, A( 2 x0 ) 2 Ax 0 2b b，对数乘运 算不封闭 , 因此不是线性空间 .
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
n个有序实数组成的数组 的全体 例7： S { x ( x1 , x2 ,, xn ) | x1 , x2 ,, xn R}
（2 ） V1有f ( ) f ( );
（ 3 ） i Vi , ki F ( i 1,2, m ), 有 f ( ki i ) ki f ( );
i 1 i 1 m m
（4 , m线性相关 ）V1中的向量组 1 , 2， 它们的像线性相关 .
从而矩阵 A在这组基下的坐标是
(a11, a12 , a21, a 22)
T
.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
五、基变换与坐标变换
定义 5.1.4（过渡矩阵）设1, , n 和1, , n
是n 维线性空间的两个基，第二个基可以由第一 个基线性表示为：
1 a111 a21 2 an1 n a a a 2 12 1 22 2 n2 n n a1n1 a2 n 2 ann n
( xi F , i 1,2,, n)
n
则称 1 , 2 , , n为 V的一个基 , 称基中所含向量个数 n 为 V的维数 , 记为 dim( V ) n .称 F 中向量 x ( x1 , x 2 , , x n )T 为 在基 1 , 2 , , n下的坐标 .
( n 1) T
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例9：所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间．对于 V 中的矩阵
1 E 11 0 0 E 21 1 0 0 1 , , E 12 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
（ 3 ） V1 , k F ,恒有f ( k ) kf ( ).
如果两个线性空间V1与V2之间能够建立一个同构映 射，那么就称V1与V2同构.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例10： n维线性空间 Vn x11 x2 2 xn n x1 , x2 ,, xn R
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x 2 ,, x n ) ( y1 , y2 ,, yn )
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
同构具有下列简单的性质：
T
(1) 自反性：V1与V1同构；
a13 a23 a33 a43 a14 a24 (5.1.1) a34 a44
即
[ 1 , 2 , n ] [1 , 2 , n ] A
(5.1.2).
称5.1.1或5.1.2式为基变换公式.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
定理5.1.2 设n 维向量空间V 有两组基
(1) ；
( 2)( ) ( ); (3)在V中存在一个元素 , 称为零元素 , 使得 0 ;
( 4 ) V , V , 使得 ( ) 0; （这里 称为 的负元素）
( 2) 每个元素的负元素是唯 一 ;
(3) 0 0, ( 1) , k 0 0 ;
( 4)若k 0, 则k 0, 或 0 .
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
三、线性子空间的定义
定义5.1.2（子空间）设W是线性空间V的一个非空子
线性代数与空间解析几何
注意：
( i ) 向量空间的概念是集合 与运算二者的结合 . 一般地 ,同一个集合 , 若定义两种不同的线 性运性算 , 就构成不同的向量空间 ；
(ii) 若定义的运算不是线性 运算, 就不能构成线性 空间.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
二、线性空间的基本性质
线性空间满足以下的基本性质：
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例8：在线性空间 R [ x ]n中, 取一组基
1 1, 2 ( x a ), 3 ( x a ) ,, n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是 (a ) f ''(a ) f ( f (a ), f '(a ), , , ) . 2! ( n 1)!
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
四、基、维数和向量的坐标
定义5.1.3 设1 , 2 ,, n 是向量空间 V中的一组 向量,满足以下条件 : (1) 1 , 2 ,, n线性无关 ;
( 2) V ,都可由 1 , 2 ,, n线性表示 :
x11 x2 2 xn n
有
k1 k 2 , k1 E11 k 2 E12 k 3 E 21 k 4 E 22 k3 k 4
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
有 A a11 E11 a12 E12 a 21 E 21 a 22 E 22
因此
E11 , E12 , E 21 , E 22 为V的一组基.
( 2) 对称性：若 V1与V2同构，则 V2与V1同构；
(3)传递性：若 V1与V2同构， V2与V3同构， 则V1与V3同构.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
定理5.1.3 设f 是线性空间V1到V2的同构映射，则
(1) f ( 01 ) 0 2，其中 01 , 0 2 分别是 V1和 V2的零元素 ;
（ I） : [1 , 2 , n ]; （II） : [ 1 , 2 , n ] 且由基（I）到基（II）的过渡矩阵为A，设V中
向量 在基（ I）中的坐标 x ( x1 , x2 ,, xn ), 在基 （ II）下的坐标为 y ( y1 , y2 , , yn ), 则有坐标变换 公式：
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
第五章 线性空间与欧式空间
1 1 2
线性空间的基本概念 欧式空间的基本概念
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
第一节 线性空间的基本概念
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
一、线性空间的基本概念
定义5.1.1 (线性空间) V是一个非空集合,在V 中定 义了加法和数乘两种运算, V 对加法和数乘是封闭 的，而且加法和数乘运算满足以下8条运算规律,
n
按照多项式的加法与数 与多项式的乘法构成数 域F 上的线性空间.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
齐次线性方程组的解空 间( A 为 m n 矩阵 ) : 例4： S x F n Ax 0构成 F 域上的线性空间 .
例5： C a , b f ( x ) f ( x )在[a , b]上连续 按照函数的加法与实数 与函数的乘法构成一个 实
n
对于通常的有序数组的 加法及如下定义的乘法
( x1 , x2 ,, xn ) (0,0,,0)
不构成向量空间.
1 x 0, 这里, 可以验证 S n 对运算是封闭的, 但因 不满足线性运算规则(5), 即所定义的运算不是 线性运算 , 所以S n不是向量空间 .
西安交通大学
x Ay 或 y A x.
1
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
六、线性空间的同构
定义5.1.5（线性空间的同构）
设 V1和 V2 是数域 F 上的两个线性空间， V1到 V2的 一个映射 f 叫做同构映射，如果 (1) f是 V1到 V2的双射；
（2 ）， V1 ,恒有f ( ) f ( ) f ( );
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
的全部解向量组成一个子空间V . 这是因为：若 x1 , x2 V , 则由齐次线性方程组的 性质知 k1 x1 k2 x2 V , 即V 对加法及数乘运算封 闭，从而V 是Rn 的子空间.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例1：向量空间 F n , R n , C n , 分别是 F , R, C上的线性空间. 例2： F mn，R mn：元素属于 F或R的m n矩阵的全体 ,
按照矩阵的加法和数与 矩阵的乘法，构成数域 F 或R上的线性空间.
F [ x ]n a0 a1 x an x ai F , i 1,2,, n 例3：
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
七、子空间的交与和
定理5.1.6 如果 V1，V2都是线性空间 V的子空间
则它们的交集 V1 V2也是 V的子空间.
证明： 0 V1 V2，故V1 V非空；
集，如果W 按照V 所定义的线性运算也构成一个线性 空间，则称W为V 的子空间. 线性空间的V一个非空子集W满足什么条件才能构成V 的一个子空间呢？
定理5.1.1 设W是线性空间V 的非空子集，则
W为V的子空间的充要条件是 W对V中的线性运算封闭.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例8：在n 维向量空间Rn中，齐次线性方程组
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
(5)1 ； (6) k ( l ) ( kl ) ; (7 ) k ( ) k k ； (8) ( k l ) k l .
其中, , , 是V 中任意的元素，k, l 是 F 中任 意常数,那么，我们称V为线性空间(向量空间）.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
定理5.1.4 数域F上两个有限维线性空间同构的充
要条件是它们的维数相同.
, r 是 n维线性空间 V中 扩充定理5.1.5 设 1 , 2， 一个线性无关向量组， 且r n, 则由1 , 2， , r 扩充
必能得到 V的基，也就是说，必能 找到 V中的向量 r 1 ,, n , 使得 ,, r , r 1 ,, n成为 V的基 .
与 n 维数组向量空间 R n同构. 解：因为 (1) V n中的元素 与 R n中的元素( x , x , , x ) 形成一一对应关系；
1 2 n T
Vn R
n
x1 1 x2 2 xn n
x ( x1 , x2 , , xn )
T
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
西安交通大学
线性代பைடு நூலகம்与空间解析几何
其中 ij为常数 ( i , j 1,2,, n), 则称矩阵 A (aij )nn
为由基 1 , 2， , n到基1 , 2， , n的过渡矩阵 . a11 a12 a a22 21 [ 1 , 2 , n ] [1 , 2 , n ] a31 a32 a 41 a42
线性空间. 非齐次线性方程组 Ax b的解集合不构成向量 例6： 空间. 因为, Ax 0 b, A( 2 x0 ) 2 Ax 0 2b b，对数乘运 算不封闭 , 因此不是线性空间 .
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
n个有序实数组成的数组 的全体 例7： S { x ( x1 , x2 ,, xn ) | x1 , x2 ,, xn R}
（2 ） V1有f ( ) f ( );
（ 3 ） i Vi , ki F ( i 1,2, m ), 有 f ( ki i ) ki f ( );
i 1 i 1 m m
（4 , m线性相关 ）V1中的向量组 1 , 2， 它们的像线性相关 .
从而矩阵 A在这组基下的坐标是
(a11, a12 , a21, a 22)
T
.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
五、基变换与坐标变换
定义 5.1.4（过渡矩阵）设1, , n 和1, , n
是n 维线性空间的两个基，第二个基可以由第一 个基线性表示为：
1 a111 a21 2 an1 n a a a 2 12 1 22 2 n2 n n a1n1 a2 n 2 ann n
( xi F , i 1,2,, n)
n
则称 1 , 2 , , n为 V的一个基 , 称基中所含向量个数 n 为 V的维数 , 记为 dim( V ) n .称 F 中向量 x ( x1 , x 2 , , x n )T 为 在基 1 , 2 , , n下的坐标 .
( n 1) T
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例9：所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间．对于 V 中的矩阵
1 E 11 0 0 E 21 1 0 0 1 , , E 12 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
（ 3 ） V1 , k F ,恒有f ( k ) kf ( ).
如果两个线性空间V1与V2之间能够建立一个同构映 射，那么就称V1与V2同构.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例10： n维线性空间 Vn x11 x2 2 xn n x1 , x2 ,, xn R
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x 2 ,, x n ) ( y1 , y2 ,, yn )
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
同构具有下列简单的性质：
T
(1) 自反性：V1与V1同构；
a13 a23 a33 a43 a14 a24 (5.1.1) a34 a44
即
[ 1 , 2 , n ] [1 , 2 , n ] A
(5.1.2).
称5.1.1或5.1.2式为基变换公式.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
定理5.1.2 设n 维向量空间V 有两组基
(1) ；
( 2)( ) ( ); (3)在V中存在一个元素 , 称为零元素 , 使得 0 ;
( 4 ) V , V , 使得 ( ) 0; （这里 称为 的负元素）