第一章 数字逻辑基础
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利用了相邻二个小方格代表的最小项只差一个变量的相邻性,它们 可以合并成一项,消去一个变量的性质进行。下面用四变量卡诺图为例 加以说明。
而言，顺拔时的10+9=12+7和反拔时10-3=7是等价的。因此，+9和-3就 称为最大数12的互为补数(或补码)，最大数(12)又称模。从上述可 见，用补码表示可以把一个减法运算变换成加法。
一个n位的二进制补码用下式求得：
。 如：二进制数1010的补码是：
。但实际操作时，有二种直接求法，一是原二进制数的反码加1求 得补码；另一种是：从原二进制数的最低位开始，在遇到1(包括该1) 之前，原数不变，其后数码按位求反，也可得到一个二进制数的补 码。所以正负数的补码表示为：[X]补=符号位+原数值，X为正数；[X] 补=符号位+原数值补码，X为负数。如： X1=+1001010→[X1]补 =01001010；X2= -1001010→[X2]补=10110110。补码的运算规则：补 码+补码=补码，补码再求补=原码。因此，减法运算X1-X2可用[﹢X1] 补码+[-X2]补码的加法运算处理。
因此,变量的逻辑函数，应有8个最小项(
)。 由此可见:对输入变量的任何一种取值，只有一个最小项的值为1；任 何二个最小项相与结果为零(即
)；全部最小项之和，其值恒为1(即
)；只差一个变量不同的二个最小项，逻辑上称相邻，可合并成一 项，并消去一个变量。只差一个变量不同的二个最小项，逻辑上称相 邻，可合并成一项，并消去一个变量。
， 3 .运算规则
对偶规则：“0” →“1”、“1” →“0”、“ ” →“+”、“+” →“ ”变换前后两式为对偶式，并成立。
反演规则： “0” →“1”、“1” →“0”、“ ” →“+”、“+” →“ ”、原变量换反变量、反变量换原变量，变换后的式子是原函数的 反函数。
三、逻辑函数的表示方法及标准表达式 1 . 逻辑问题的五种表示方法 下图是三只开关控制一只电灯电路。 (1) 真值表表示 令开关合上为“1”，不合为“0”，灯亮为“1”，暗为“0”时真 值表。
代数法是利用逻辑代数工具来达到使式子简化的目的。化简依据： 逻辑代数定律、常用公式、和运算规则进行化简。常用方法：有吸收 法、配项法、合并法、消去法、 冗余法等。代数法化简虽然简单，但 必须熟悉逻辑代数运算规则等，且具有一定的试探性，否则达不到最 简的目的。
三、逻辑函数的卡诺图法化简 1. 卡诺图：用方格图来描述逻辑函数，由于该方法由卡诺首先提 出，所以把方格图称为卡诺图。 2. 如何画卡诺图：n个变量的函数，就有 个小方格，一个小方格对应一个最小项，下面是2～5变量卡诺图。 (a) 二变量A、B卡诺图： ，
(2) 函数表达式表示： 。
(3)逻辑图和波形图表示：
2 . 逻辑函数的标准“与—或”表达式 三开关控制一只电灯的逻辑问题的三种表达式：
第一种是由各“与项”之和组成，而每个“与”项是一个最小项， 即是标准“与—或”表达式。
最小项：最小项中的变量个数和函数中的变量数相同，但最小项中 的变量可以是函数的原变量，也可以是反变量。因此，上述例子的标 准“与—或”表达式应该是：
。 只差一个变量不同的二个最大项，逻辑上称相邻，可合并成一项，
并消去一个变量。 上述可见：最小项之和和最大项之积式只是同一个逻辑问题的二种
不同表示方法。是一种互补的表示方法，有：
。
2.1.3逻辑函数化简
一、逻辑函数化简的意义 逻辑函数的化简就是使一个最初的逻辑函数经过化简后得到式中 的“与”项，“或”项项数最少，而每项中的变量数也最少。从而使 组成的逻辑电路最简(逻辑门数和每门的输入端数最少)。 二、逻辑函数的代数法化简
。高位至低位的权值为：
。 (3)八进制数 有0，1，…，6，7等八个数码元素，基数r=8，逢八进一，如：
(356.71)8或(356.71)O，写成通式展开后为：
。 高位至低的权值为： 。
(4)十六进制数 有0，1，2，…，9，A，B，C，D，E，F等十六个数码元素，基数 r=16，逢十六进一，如：(5A8D.C6) 16或(5A8D.C6) H，写成通式展开 后为： 。 高位至低位的权值为： 。 十进、二进、八进和十六进制数间关系表：
2 . 各种进制数之间的相互转换
数字电路运行在二值的二进制数字信号下，但为书写方便，常用八 进和十六进制数表示，而日常又习惯于十进制数，所以要进行数制间 的转换。
(1)十进制数整数部分—二、八、十六进制 具体方法：将待转换的十进制数整数除以进制数(二、八、十六)取 余数，不断地进行，直至商为零。第一次的余数为转换后进制数的最 低位(LSB：Least Siginificant Bit)，最后的余数为转换后进制数的 最高位(MSB：Most Siginificant Bit)。 十进制转换成二进制为例：
(2) 同或逻辑关系 二个条件相同时，结果成立，二个条件相异时，结果不成立。 函 数式： 。 逻辑符号：
(3)复合逻辑关系 它由“与”、“或”、“非”三种基本逻辑关系组合而成。
二、逻辑运算中的运算定律，常用公式，运算规则 逻辑运算中只有逻辑加、逻辑乘和求反三种运算。 1 . 运算定律 0-1律：
重叠律： 互补律： 否定之否定律： 交换律： 结合律： 分配律： 荻魔根定律： ，其中后四个定律可以用前四个进行证明成立，也可用真值表证明 等式成立。 2 .常用公式 ， ， ， ，
有了二—十进制代码后，任何一个十进制数都可以用它们来代替 了。
2．循环码(格莱码) 是一种可靠性编码。因为这种代码中任何二组相邻代码之间具有只 有一位码不同，其它码相同的特性。
3．字符代码 它是国际标准组织制定的8位二进制代码，它包括英文26个字母， 运算符号等56个特定对象。另一种是ASCII，美国国家信息交换标准代 码。这两种代码都可在有关的计算机书中找到。 三、数字系统中的正负数表示 数字电路只认识二进制数，所以正负数肯定也用二进制数表示。其 方法是在一个数的最高位前设置一位符号位。符号位为“0”时，表示 该数为正数，符号位为“1”时，表示该数为负数。这样规定后的表示 形式有三种： 1 . 正负数的“原码”表示 原码表示规定：符号位加上原数的数值部分组成，即[X]原=符号位 +原数值。 如：X1=+1001010→ [X1]原=01001010；X2=-1001010→ [X2]原 =11001010，这种原码表示方法，适用于两数相乘，因为乘积的符号位 只要将两乘数符号位相异或即可。 2 . 正负数的“反码”表示 反码表示有二种情况：如果原数值为正数，则该数的反码为符号位 加上原数值；如果原数值为负数，则该数的反码为符号位加上原数值 的反码。即[X]反=符号位+原数值，X为正数；[X]反=符号位+原数值反 码，X为负数。 如： X1=+1001010→ [X1]反=01001010；X2=-1001010→ [X2]反 =10110101。 3 . 正负数的“补码”表示 补码(补数)可以从生活中来认识：如早晨7：00起床时，发现时钟 停在10：00，要校到7：00时，有二种方法，一种是顺时针拔9个小 时，另一种是反时针拔3个小时，都可以将时钟校到7：00。由于时钟 走一圈是12小时，12将自动丢失，所以，对走一圈12小时这个最大数
例1：1100-1001=01100+10111=100011，其中，最高位丢失，留下 符号位为0，所以结果是+3。
例2：1001-1100=01001+10100=11101，其中，11101是补码，符号 位不变，数值再求补后得实际数，所以结果是-0011，即-3。
2.1.2逻辑代数及运算
一、逻辑运算 1. “与”逻辑关系及运算
。它表明：进制数为10(即r=10)，高低位之间关系为逢十进一，高 位至低位的权值为：
。因此有通式：
。式中n是该数整数部分的位数，m是小数部分的位数， Ki是i位的 数码，r是表示任意进制时的基数，如二进制数、八进制数和十六进制 数等。
(2)二进制数 有0,1二个数码元素，基数r=2，逢二进一，如：(110101.101)2或 (110101.101)B，写成通式展开后为：
决定结果成立的所有条件都具备时，结果才成立，这种条件与结果 之间的关系称为“与”逻辑。
以二只串联开关控制一只电灯为例，只有当二只开关都闭合时，电 灯才亮。令开关闭合和灯亮为逻辑“1”，开关断开和灯暗为逻 辑“0”时，有如表所示的真值表。
该“与”逻辑关系也可写成逻辑表达式形式： 。
从逻辑运算上，是逻辑乘关系，0×0=0，0 ×1=0，1 ×0=0，1 ×1=1，“与”逻辑关系用“与”门逻辑符号表示：
组成转换后的二进制数为：
。 (2)十进制数小数部分的转换 方法：待转换的十进制小数乘进制数(二、八、十六)取整，不断地
进行，直至积的小数为零为止。必须注意：若积的小数达不到零时， 根据转换的精度来取位数。另外，第一次的整数为转换后进制数的最 高位(MSB)，即：
。 (3)二、八、十六进制数之间的相互转换 方法：以二进制数为桥梁进行即可。 二、码制(代码或编码) 生活中用一组十进制数来代表一个特定对象的情况是很多的。如电
逻辑关系式为： 。
逻辑运算为逻辑加0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，逻辑符号如下：
真值表：
3. “非”逻辑关系及运算 条件具备时，结果不成立，条件不具备时结果成立，这种条件与结 果之间的关系称为“非”逻辑。逻辑式为： ，是求反运算。 逻辑符号如下：
4.复杂和复合逻辑关系 (1) 异或逻辑关系 二个条件相同时，结果不成立，二个条件相异时，结果成立。 函 数式： 。 逻辑符号：
。
(b) 三变量A、B、C卡诺图 三变量的八个最小项： 。8个最小项在卡诺图小方格上的位置必须以相邻放置→相邻方格
中的最小项只差一个变量不同，其他相同。
(c) 四变量卡诺图和五变量卡诺图
3. 逻辑函数的卡诺图表示 方法：首先将函数化成标准的“与—或”式，(最小项之和表达 式)，将式中最小项相应的小方格填“1”，式中没有的最小项代表的 小方格填“0”。填写好后的图形就是该函数的卡诺图了。 4. 卡诺图化简的依据
第1章பைடு நூலகம்数字逻辑基础
第一章 数字逻辑基础 2.1.1数制、码制及相互间的转换 2.1.2逻辑代数及运算 2.1.3逻辑函数化简 2.1.4逻辑功能的硬件语言描述(HDL)
2.1.1数制、码制及相互间的转换
一、数制及相互间的转换 1. 计数体制 (1)十进制数 有0，1,2，…，9等十个数码元素，任何一个大小的数字都由这十 个元素组成。例如(475.8)10或(475.8)D，这个十进制数可以写成
2. “或”逻辑关系及运算 决定结果成立的所有条件只要有一个具备时，结果就成立，这种条
件与结果之间的关系称为“或”逻辑。这种关系在日常生活中也是非 常普遍的。以二只并联开关控制一只电灯为例，当其中一只开关闭合
时，电灯就亮。 令开关闭合和灯亮为逻辑“1”，开关断开和灯暗为 逻辑“0”时，有如表所示的真值表。
3. 逻辑函数的标准“或—与”表达式 “或—与”表达式由各“或”项之积组成，而每个“或”项是一个 最大项。
最大项：最大项中的变量个数和函数中的变量数相同，最大项中的 变量同样可以是原变量，也可以是反变量。因此，三只开关控制电灯 例子的标准“或—与”表达式应该是：
与最小项时对应，最大项对输入变量的任何一种取值，只有一个最 大项的值为0；任何二个最大项相或，结果为1，即： 。全部最大项之积，其值恒为0，即：
话号码、邮政编码等等。而在数字电路中，用一组二进制数来代替某 一特定的对象，这组二进制数就是代表该对象的代码了。代替的方法 有非常多的种类，数字电路中常用的有：
1 . 二—十进制代码(BCD码) 十进制的十个数码0，1，…，9分别用一组二进制数码代替。由于 三位二进制数只有8种组合，代表不了10个数字，只能用四位二进制数 的16种组合中选出10种，来代替十进制的10个数，所以，二—十进制 代码的表示方法非常之多，我们只介绍主要的几种，其它可用此法方 便地推出。常用的二—十进制代码(BCD码)：
而言，顺拔时的10+9=12+7和反拔时10-3=7是等价的。因此，+9和-3就 称为最大数12的互为补数(或补码)，最大数(12)又称模。从上述可 见，用补码表示可以把一个减法运算变换成加法。
一个n位的二进制补码用下式求得：
。 如：二进制数1010的补码是：
。但实际操作时，有二种直接求法，一是原二进制数的反码加1求 得补码；另一种是：从原二进制数的最低位开始，在遇到1(包括该1) 之前，原数不变，其后数码按位求反，也可得到一个二进制数的补 码。所以正负数的补码表示为：[X]补=符号位+原数值，X为正数；[X] 补=符号位+原数值补码，X为负数。如： X1=+1001010→[X1]补 =01001010；X2= -1001010→[X2]补=10110110。补码的运算规则：补 码+补码=补码，补码再求补=原码。因此，减法运算X1-X2可用[﹢X1] 补码+[-X2]补码的加法运算处理。
因此,变量的逻辑函数，应有8个最小项(
)。 由此可见:对输入变量的任何一种取值，只有一个最小项的值为1；任 何二个最小项相与结果为零(即
)；全部最小项之和，其值恒为1(即
)；只差一个变量不同的二个最小项，逻辑上称相邻，可合并成一 项，并消去一个变量。只差一个变量不同的二个最小项，逻辑上称相 邻，可合并成一项，并消去一个变量。
， 3 .运算规则
对偶规则：“0” →“1”、“1” →“0”、“ ” →“+”、“+” →“ ”变换前后两式为对偶式，并成立。
反演规则： “0” →“1”、“1” →“0”、“ ” →“+”、“+” →“ ”、原变量换反变量、反变量换原变量，变换后的式子是原函数的 反函数。
三、逻辑函数的表示方法及标准表达式 1 . 逻辑问题的五种表示方法 下图是三只开关控制一只电灯电路。 (1) 真值表表示 令开关合上为“1”，不合为“0”，灯亮为“1”，暗为“0”时真 值表。
代数法是利用逻辑代数工具来达到使式子简化的目的。化简依据： 逻辑代数定律、常用公式、和运算规则进行化简。常用方法：有吸收 法、配项法、合并法、消去法、 冗余法等。代数法化简虽然简单，但 必须熟悉逻辑代数运算规则等，且具有一定的试探性，否则达不到最 简的目的。
三、逻辑函数的卡诺图法化简 1. 卡诺图：用方格图来描述逻辑函数，由于该方法由卡诺首先提 出，所以把方格图称为卡诺图。 2. 如何画卡诺图：n个变量的函数，就有 个小方格，一个小方格对应一个最小项，下面是2～5变量卡诺图。 (a) 二变量A、B卡诺图： ，
(2) 函数表达式表示： 。
(3)逻辑图和波形图表示：
2 . 逻辑函数的标准“与—或”表达式 三开关控制一只电灯的逻辑问题的三种表达式：
第一种是由各“与项”之和组成，而每个“与”项是一个最小项， 即是标准“与—或”表达式。
最小项：最小项中的变量个数和函数中的变量数相同，但最小项中 的变量可以是函数的原变量，也可以是反变量。因此，上述例子的标 准“与—或”表达式应该是：
。 只差一个变量不同的二个最大项，逻辑上称相邻，可合并成一项，
并消去一个变量。 上述可见：最小项之和和最大项之积式只是同一个逻辑问题的二种
不同表示方法。是一种互补的表示方法，有：
。
2.1.3逻辑函数化简
一、逻辑函数化简的意义 逻辑函数的化简就是使一个最初的逻辑函数经过化简后得到式中 的“与”项，“或”项项数最少，而每项中的变量数也最少。从而使 组成的逻辑电路最简(逻辑门数和每门的输入端数最少)。 二、逻辑函数的代数法化简
。高位至低位的权值为：
。 (3)八进制数 有0，1，…，6，7等八个数码元素，基数r=8，逢八进一，如：
(356.71)8或(356.71)O，写成通式展开后为：
。 高位至低的权值为： 。
(4)十六进制数 有0，1，2，…，9，A，B，C，D，E，F等十六个数码元素，基数 r=16，逢十六进一，如：(5A8D.C6) 16或(5A8D.C6) H，写成通式展开 后为： 。 高位至低位的权值为： 。 十进、二进、八进和十六进制数间关系表：
2 . 各种进制数之间的相互转换
数字电路运行在二值的二进制数字信号下，但为书写方便，常用八 进和十六进制数表示，而日常又习惯于十进制数，所以要进行数制间 的转换。
(1)十进制数整数部分—二、八、十六进制 具体方法：将待转换的十进制数整数除以进制数(二、八、十六)取 余数，不断地进行，直至商为零。第一次的余数为转换后进制数的最 低位(LSB：Least Siginificant Bit)，最后的余数为转换后进制数的 最高位(MSB：Most Siginificant Bit)。 十进制转换成二进制为例：
(2) 同或逻辑关系 二个条件相同时，结果成立，二个条件相异时，结果不成立。 函 数式： 。 逻辑符号：
(3)复合逻辑关系 它由“与”、“或”、“非”三种基本逻辑关系组合而成。
二、逻辑运算中的运算定律，常用公式，运算规则 逻辑运算中只有逻辑加、逻辑乘和求反三种运算。 1 . 运算定律 0-1律：
重叠律： 互补律： 否定之否定律： 交换律： 结合律： 分配律： 荻魔根定律： ，其中后四个定律可以用前四个进行证明成立，也可用真值表证明 等式成立。 2 .常用公式 ， ， ， ，
有了二—十进制代码后，任何一个十进制数都可以用它们来代替 了。
2．循环码(格莱码) 是一种可靠性编码。因为这种代码中任何二组相邻代码之间具有只 有一位码不同，其它码相同的特性。
3．字符代码 它是国际标准组织制定的8位二进制代码，它包括英文26个字母， 运算符号等56个特定对象。另一种是ASCII，美国国家信息交换标准代 码。这两种代码都可在有关的计算机书中找到。 三、数字系统中的正负数表示 数字电路只认识二进制数，所以正负数肯定也用二进制数表示。其 方法是在一个数的最高位前设置一位符号位。符号位为“0”时，表示 该数为正数，符号位为“1”时，表示该数为负数。这样规定后的表示 形式有三种： 1 . 正负数的“原码”表示 原码表示规定：符号位加上原数的数值部分组成，即[X]原=符号位 +原数值。 如：X1=+1001010→ [X1]原=01001010；X2=-1001010→ [X2]原 =11001010，这种原码表示方法，适用于两数相乘，因为乘积的符号位 只要将两乘数符号位相异或即可。 2 . 正负数的“反码”表示 反码表示有二种情况：如果原数值为正数，则该数的反码为符号位 加上原数值；如果原数值为负数，则该数的反码为符号位加上原数值 的反码。即[X]反=符号位+原数值，X为正数；[X]反=符号位+原数值反 码，X为负数。 如： X1=+1001010→ [X1]反=01001010；X2=-1001010→ [X2]反 =10110101。 3 . 正负数的“补码”表示 补码(补数)可以从生活中来认识：如早晨7：00起床时，发现时钟 停在10：00，要校到7：00时，有二种方法，一种是顺时针拔9个小 时，另一种是反时针拔3个小时，都可以将时钟校到7：00。由于时钟 走一圈是12小时，12将自动丢失，所以，对走一圈12小时这个最大数
例1：1100-1001=01100+10111=100011，其中，最高位丢失，留下 符号位为0，所以结果是+3。
例2：1001-1100=01001+10100=11101，其中，11101是补码，符号 位不变，数值再求补后得实际数，所以结果是-0011，即-3。
2.1.2逻辑代数及运算
一、逻辑运算 1. “与”逻辑关系及运算
。它表明：进制数为10(即r=10)，高低位之间关系为逢十进一，高 位至低位的权值为：
。因此有通式：
。式中n是该数整数部分的位数，m是小数部分的位数， Ki是i位的 数码，r是表示任意进制时的基数，如二进制数、八进制数和十六进制 数等。
(2)二进制数 有0,1二个数码元素，基数r=2，逢二进一，如：(110101.101)2或 (110101.101)B，写成通式展开后为：
决定结果成立的所有条件都具备时，结果才成立，这种条件与结果 之间的关系称为“与”逻辑。
以二只串联开关控制一只电灯为例，只有当二只开关都闭合时，电 灯才亮。令开关闭合和灯亮为逻辑“1”，开关断开和灯暗为逻 辑“0”时，有如表所示的真值表。
该“与”逻辑关系也可写成逻辑表达式形式： 。
从逻辑运算上，是逻辑乘关系，0×0=0，0 ×1=0，1 ×0=0，1 ×1=1，“与”逻辑关系用“与”门逻辑符号表示：
组成转换后的二进制数为：
。 (2)十进制数小数部分的转换 方法：待转换的十进制小数乘进制数(二、八、十六)取整，不断地
进行，直至积的小数为零为止。必须注意：若积的小数达不到零时， 根据转换的精度来取位数。另外，第一次的整数为转换后进制数的最 高位(MSB)，即：
。 (3)二、八、十六进制数之间的相互转换 方法：以二进制数为桥梁进行即可。 二、码制(代码或编码) 生活中用一组十进制数来代表一个特定对象的情况是很多的。如电
逻辑关系式为： 。
逻辑运算为逻辑加0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，逻辑符号如下：
真值表：
3. “非”逻辑关系及运算 条件具备时，结果不成立，条件不具备时结果成立，这种条件与结 果之间的关系称为“非”逻辑。逻辑式为： ，是求反运算。 逻辑符号如下：
4.复杂和复合逻辑关系 (1) 异或逻辑关系 二个条件相同时，结果不成立，二个条件相异时，结果成立。 函 数式： 。 逻辑符号：
。
(b) 三变量A、B、C卡诺图 三变量的八个最小项： 。8个最小项在卡诺图小方格上的位置必须以相邻放置→相邻方格
中的最小项只差一个变量不同，其他相同。
(c) 四变量卡诺图和五变量卡诺图
3. 逻辑函数的卡诺图表示 方法：首先将函数化成标准的“与—或”式，(最小项之和表达 式)，将式中最小项相应的小方格填“1”，式中没有的最小项代表的 小方格填“0”。填写好后的图形就是该函数的卡诺图了。 4. 卡诺图化简的依据
第1章பைடு நூலகம்数字逻辑基础
第一章 数字逻辑基础 2.1.1数制、码制及相互间的转换 2.1.2逻辑代数及运算 2.1.3逻辑函数化简 2.1.4逻辑功能的硬件语言描述(HDL)
2.1.1数制、码制及相互间的转换
一、数制及相互间的转换 1. 计数体制 (1)十进制数 有0，1,2，…，9等十个数码元素，任何一个大小的数字都由这十 个元素组成。例如(475.8)10或(475.8)D，这个十进制数可以写成
2. “或”逻辑关系及运算 决定结果成立的所有条件只要有一个具备时，结果就成立，这种条
件与结果之间的关系称为“或”逻辑。这种关系在日常生活中也是非 常普遍的。以二只并联开关控制一只电灯为例，当其中一只开关闭合
时，电灯就亮。 令开关闭合和灯亮为逻辑“1”，开关断开和灯暗为 逻辑“0”时，有如表所示的真值表。
3. 逻辑函数的标准“或—与”表达式 “或—与”表达式由各“或”项之积组成，而每个“或”项是一个 最大项。
最大项：最大项中的变量个数和函数中的变量数相同，最大项中的 变量同样可以是原变量，也可以是反变量。因此，三只开关控制电灯 例子的标准“或—与”表达式应该是：
与最小项时对应，最大项对输入变量的任何一种取值，只有一个最 大项的值为0；任何二个最大项相或，结果为1，即： 。全部最大项之积，其值恒为0，即：
话号码、邮政编码等等。而在数字电路中，用一组二进制数来代替某 一特定的对象，这组二进制数就是代表该对象的代码了。代替的方法 有非常多的种类，数字电路中常用的有：
1 . 二—十进制代码(BCD码) 十进制的十个数码0，1，…，9分别用一组二进制数码代替。由于 三位二进制数只有8种组合，代表不了10个数字，只能用四位二进制数 的16种组合中选出10种，来代替十进制的10个数，所以，二—十进制 代码的表示方法非常之多，我们只介绍主要的几种，其它可用此法方 便地推出。常用的二—十进制代码(BCD码)：