振动习题

1-4设 、 为同频简谐函数，并且满足 。试计算下列问题
（1）已知 ，求
（2）已知 ，求
1-5简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。
1-6利用“振动计算实用工具”，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。
2_单自由度系统振动
2-1请解释有阻尼衰减振动时的固有圆频率 为什么总比自由振动时的固有圆频率 小？
振动微分方程：
固有频率：
， ，
4-8研究一个无阻尼三自由度系统：
其中{F(t)}为瞬时激振向量。
（a）求固有频率；
（b）确定模态向量和模态矩阵；
（c）证明模态向量相对于矩阵M和K是正交的。
答案：
固有频率： ， ，
模态矩阵：
证明略。
4-9如图所示弹簧质量系统，如 ，
，
求其各阶固有频率及主阵型。
答案：
频率：
答案：因为 ， <1
2-2在欠阻尼自由振动中，把 改成0.9的时候，有人说曲线不过X轴了，这种说法正确么，请说明理由？
答案： <1为小阻尼的衰减振动，当然过X轴
2-3在单自由度自由振动时候，给定自由振动时的固有圆频率 ,阻尼系数 ,初始位移 ,以及初始速度 ,利用本计算工具,请计算有阻尼衰减振动时的固有圆频率 .
图2-10
答案： ，
2-16自由振动时的固有圆频率为1rad/s, 阻尼系数为1, 初始位移和速度均为0, 外界激励频率为0.5rad/s,x"u=0.1,q"°=30,利用所给计算工具画出简谐振动以及受Duhamel积分激励的系统(m=40)的瞬态响应与稳态响应的叠加图
答案：
简谐振动：
受Duhamel积分激励：
图2-2
答案：
2-6如图2-3所示，具有与竖直线成一微小角 的旋转轴的重摆，假设球的重量集中于其质心 处，略去轴承中的摩擦阻力，试确定仅考虑球的重量 时，重摆微小振动的频率。
图2-3
答案：
2-7图2-4所示，竖直杆的顶端带有质量 时，测得振动频率为 。当带有质量 时，测得振动频率为 。略去杆的质量，试求出使该系统成为不稳定平衡状态时顶端质量 为多少？
主阵型：
4-10求如图所示的弹簧质量系统的固有频率及主阵型。设 ， ， 。
答案：
频率： ， ，
主阵型：
4-11如图所示的弹簧质量系统，求系统在 ， ， 作用下的响应。设 ， ， 为单位阶跃函数。
答案：
固有频率： ， ， ，
4-12图示有阻尼弹簧质量系统，如 ， ，各质量上作用外力 （其中 ），各阶正则振型的相对阻尼系数 ，试用叠加法求各质量的强迫振动的稳态响应。
b)机器的振幅。
答案：a) ;
b)
2-23一位移传感器，其固有频率为4.75Hz，阻尼比为0.65，确定测量误差分别小于：
a) 1%；
b) 2%的最低测试频率。
2-24如果加速度计的固有频率是所测试运动频率的4倍，该加速度计的读数误差是多少？
答案：6.66%
3_二自由度系统振动
3-1如图，已知m2＝2×m1=m，k3=2k1=2k2=2k，x10=1.2,x20= ＝ ＝0，试求系统的固有频率，主振型以及相应。
答案：
， ，
， 。
4-6如图所示的三自由度系统，若 ， ，求系统的固有频率及响应。
答案：
4-7一发电机厂的汽轮机及其隔振系统的简化模型如图所示，
（1）导出对x－y－θ坐标的振动微分方程，并求系统的固有频率和主振型。设 ， ， ，o点为重心，m为汽轮机的重量。
（2）计算在 ， ， 条件下的响应。
答案：
图2-4
答案：
2-8确定图2-5所示系统的固有频率。圆盘质量为 。
图2-5
答案：
2-9确定图2-6系统的固有频率，滑轮质量为 。
图6
答案：
2-10确定图2-7系统的固有频率。
图2-7
答案：
2-11 一个粘性阻尼单自由度系统，在振动时测出周期为1.8s，相邻两振幅之比为4.2:1。求此系统的无阻尼固有频率。
图2-12
答案：
2-21在图2-13所示的弹簧-质量系统中，在两弹簧连接处作用一激励力 。试求质量块m的振幅。
图2-13
答案：
2-22一机器重4410N，支承在弹簧隔振器上，弹簧的静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产生偏心激励力 ， 为激励频率， 为重力加速度，不计阻尼。求：
a)机器转速为1200r/min时，传入地基的力；
图3-8
答案： ，
；
， ，
。
3-12一卡车简化成 系统，如图3-9所示。停放在地上时受到后面以等速 驰来的另一辆车 的撞击。设撞击后，车辆 可视为不动，卡车车轮的质量忽略不计，地面视为光滑，试求撞击后卡车的响应。
图3-9
答案： ， ；
， 。
3-13如图3-10所示，一刚性跳板，质量为3 ，长 ，左端以铰链支承于地面，右端通过支架支承于浮船上，支架的弹簧常数为 ，阻尼系数为 ，浮船质量为 。如果水浪引起一 的激励力作用于浮船上。试求跳板的最大摆动角度 。
机械振动习题集
同济大学机械设计研究所
2004．9
1_简谐运动及其运算
1-1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅
（1） （2） （3）
1-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。
（1）
（2）
（3）
答案：
（1）
（2）
（3）
1-3试计算题1中 的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。
答案：如 =3rad/s, =0.01, =-1, =0;则 =2.9985rad/s
2-4如图2-1所示，一小车（重 ）自高 处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数 ，斜面倾角为 ，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。
图2-1
答案： ，
2-5两个滑块在光滑的机体槽内滑动（见图2-2），机体在水平面内绕固定轴 以角速度 转动。每个滑块质量为 ，各用弹簧常数为 的弹簧支承。试确定其固有频率。
答案：
4-13一轴盘扭振系统如图所示，给定初始条件为：
（1） ， ， ， ；
（2） ， ， 。求系统的响应。
答案：
固有频率： ， ，
（1）
（2）
4-14证明模态向量相对于矩阵M和K是正交的
4-15说明模态分析法求解自由振动和强迫振动的部骤
答案：0.235cm
2-19一个车轮以速度 等速沿波形面移动，如图2-11所示。确定重为W的质量块在垂直方向运动的振幅。假定在W的作用下弹簧的静位移为 ，波形面可表为 。
图2-11
答案：0.71cm
2-20图2-12系统的上支承，作振幅为1.2cm，频率为系统无阻尼固有频率的简谐运动。假定 ，质量块重量 ，确定弹簧力和阻尼力的最大幅值。
2-17一个有阻尼弹簧-质量系统，受到简谐激励力的作用。试证明：
发生位移共振的频率比 ；
发生速度共振的频率比 ；
发生加速度共振的频率比 。
2-18一个电动机安装在一个工作台的中部。电动机和工作台的总重量为356N，转动部分的重量89N，偏心为1cm。观察到：当电动机装到工作台上时，其变形为3.2cm。在自由振动时，1cm的位移在1s内将减小1/32cm。电动机的转速为900r/min。假定阻尼时粘性的，计算运动的最大幅值。
答案：利用程序，易得
固有频率：
n1=3.162277rad/s，n2=5 rad/s
主振型：
系统相应：
3-2已知: ,[c]= , = , = ,激振力频率=3rad/s,试求系统的稳态响应。
答案：利用给定程序，输入给定数据，即获得系统的稳态响应。
3-3如图所示，已知质量比 ＝0.1,固有频率比 =0.909,放大系数 =1.55,0.1846，m1=11,k1=100,根据程序求动力吸振器弹簧的刚度及其质量
图3-10
答案： 。
3-14试确定图3-11所示系统的稳态响应。
图3-12
答案：
3-15确定图3-13所示系统的稳态响应。假定 。
图3-32
4多自由度系统振动
4-1对指定的广义坐标 ， ， ，求图示三级摆，当第一、二两质量上作用有简谐激振力 时的稳态响应，其中 是常数， 。
答案：
4-2图示一无质量均质简支梁，弯曲刚性常数为EJ，上有集中质量m1＝m2＝m3＝m，在第一个质量上作用有激振力 。假设各阶主阵型阻尼比 (i＝1,2,3)。已知激振频率 ，求各质量的稳态响应。
4-3在图示系统中，各质量只能沿铅垂方向运动。在质量4m上作用有铅垂激振力 ，求系统的无阻尼强迫振动的稳态响应。又若考虑到各弹性元件中的阻尼，假设振型阻尼比 (i＝1,2,3)， ，求系统的稳态响应。
4-5如图所示的汽车在 的情形下的固有频率，设a＝2.3m，b＝0.94m， ，m1＝m2＝650Kg， ，前后轮的轮胎刚度均为K＝1200KN/m。
c)衰减振动的周期为多少？与不安装阻尼器时的振动周期作比较。
答案：a) ；
b) ；
c) 而
2-14一个集中质量为 ，摆长为 的单摆连接了一个阻尼系数为 的阻尼器，如图2-9所示，试确定系统的对数衰减率 。
图2-9
答案：
2-15一质量 ，以匀速 运动与弹簧 和阻尼 相撞后一起作自由振动，如图2-10所示。已知 ， 。问质量 在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振幅是多少？
图3-5
答案：
式中
3-9试确定图3-6系统的固有频率，略去滑轮重量。
图3-6
答案：
3-10如图3-7所示的行车，梁的弯曲截面矩 ， ， 。小车 重11760N，另挂一重物 ，其重量为49000N，钢丝绳弹簧常数 ，试确定系统的固有频率和振型比。