上海科学技术出版社初中数学八年级下册 二次根式的乘法-说课一等奖
八年级数学下册课件：16.2 二次根式的乘除(第1课时) 公开课一等奖课件PPT
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分 物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
二、探究新知 3.你能化简下列二次根式吗？
(1) 16 81
36；
(2) 4a b 2ab b.
2 3
三、巩固新知
1.请你计算.
(1) 14 7 ;
1 (3) 3x xy. 3
(2)3 5 2 10;
(1)7 2; (2)30 2; (3) x y .
三、巩固新知
2.做一做：教材第7页练习第1、2、3题.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
(最新)数学八年级下册第16章第2节《二次根式的乘除》省优质课一等奖教案
《二次根式的乘除》教学设计教学课时建议：本小节新授课可分为两课时，其中第一课时主要解决二次根式的乘法运算法则及应用；第二课时着重解决二次根式的除法运算法则及运算．具体的教学设计如下：一、教学目标知识技能：掌握二次根式的乘除运算法则和化简二次根式的常用方法.数学思考：培养学生用由特殊到一般的方法，归纳出二次根式的乘除法法则，体验法则的形成过程，并且完善规范书写,建立符号意识，并提高学生的计算能力.问题解决：通过对不同计算法则的探索，进一步完善化简二次根式的方法，明确二次根式的化简方向，为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫.同时学会具体问题具体分析，能选择恰当的方法进行准确的运算.情感态度：培养学生严谨的思维品质，提高学生解决实际问题的能力 .二、重难点分析教学重点：理解二次根式乘除法法则及利用它们进行计算和化简；最简二次根式的运用.二次根式乘除法法则都是让学生经历了由特殊到一般的方法归纳给出的，学生在新知识的接受上应该没有问题.但是怎样使学生利用它们进行准确的计算则需要以往运算知识的大融合.另外也考察了学生的数感.因此，突出重点知识之后应该以不同形式的训练作为补充，强化学生对法则灵活使用，熟能生巧，达到准确计算的目的.教学难点:发现规律，导出法则，并且利用它们进行计算和化简，最简二次根式的判断和二次根式的化简.二次根式的乘除法的运算实际上就是进行不断地化简的过程，因此突破难点的关键不但是要熟练掌握相关的运算法则还要搞清楚化简的最后方向是最简二次根式的形式.因此判断是否是最简二次根式应是本节教学另一个关注的内容.可以用不同的活动交流方式进行师生互动，使学生掌握计算的内涵，顺利进行新知识的内化.三、学习者学习特征分析九年级学生对实数运算已经有了一定的经验积累，应该让学生尝试不同的方法对同一道题进行计算，达到不仅会而对而且会而巧的计算能力.因此，在选择合适方法计算时，应让学生自主探究，分析比较，满足学生的好奇心和学习热情，完善实数运算.四、教学过程（一）复习引入本节课是在学生学习了二次根式的相关概念及性质之后的一节课，主要内容是二次根式的乘除运算和二次根式的化简.是一节以计算为主的学习课.主要方法是以由特殊到一般地从具体例子出发探究二次根式的乘法法则.因此，首先让学生参与下列探究活动：（设计意图：让学生通过计算发现规律，并且对规律进行验证.）请同学们完成下列各题：（PPT显示）1.填空：（1）=4___________；⨯9⨯94___________，=（2）=⨯2516___________，=⨯2516____________. 2.利用计算器填空：（1）32⨯______6； （2）52⨯________10. 老师点评，纠正学生练习中的错误. （二）探索新知 1.乘法法则的学习可以让学生根据自己的运算结果，大胆发表自己的想法，总结出二次根式的乘法运算规律.老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的相乘等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为结果中二次根式的被开方数.得到)0,0(≥≥=⋅b a ab b a反过来：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab【此处链接多媒体动画《二次根式的乘法》】 教师要强调以下几点：（1） 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. （2） 不能忽略被开方数a,b 均为非负数. （3） 可以推广到多个二次根式进行相乘的运算.（4） 当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 2.乘法法则的例题演练例1.计算：（1）75⨯； （2）279⨯；（3）229y x ； （4）54. （PPT 演示）（设计意图：前2题是利用对乘法法则进行具体运算，第（2）小题是让学生感受到两个无理数相乘的结果是有理数的情况，也为后面学习二次根式的化简作了铺垫.后2题是把二次根式的乘法法则反过来，对二次根式进行化简.领会到化简二次根式，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来.此处可以先让学生谈一谈对化简的理解，再组织小组讨论，使他们真正领悟算理，才能熟练应用.）学生在刚才的计算经验的基础上进一步强化计算能力，深化对法则的理解.接下来，做例2.计算：（1）714⨯； （2）10253⨯； （3）xy x 313⋅.（PPT 显示）（设计意图：本例题既要用到二次根式的乘法法则，又要用到积的算术平方根的性质进行化简，因此，是在例1的基础上继续强化训练）教师在本例题的讲解上要进行板演，每一步的计算要讲清楚算理，并且要强化书写的规范性.对于有些例题，可以让学生讨论它们不同的解法，以便比较优劣，选择较好的运算方法.3.除法法则的学习对于二次根式的除法运算，学习方法类似于乘法，也是采用由特殊到一般归纳给出除法法则的方式.因此，先让学生探究如下问题：（PPT 显示）（1）=94____________， =94__________； （2）=2516____________，=2516___________.【此处链接多媒体动画《二次根式的除法》和拓展资源动画《商的算术平方根》】可以让学生以小组为单位交流所发现的规律.(设计意图：因为被开方数都是完全平方数，这样有助于规律的发现)提问：规律适用于无理数的计算吗？请同学们用计算器去体验所发现的规律.计算下面各题.(PPT 显示) （1）43______43； （2）32_______32；（3）52_______52； （4）87_______87. 经过学生的验证，得到：)0,0(〉≥=b a bab a 反过来)0,0(〉≥=b a ba b a 教师在肯定学生总结出规律的同时，应提醒以下几点： （1） 公式中限制被开方数的条件.（2） 利用第二个公式可进行二次根式的化简、计算，化去根号内的分母. （3） 被开方数是带分数，应先化成假分数. 【此处链接多媒体动画《最简二次根式》】学生在接触法则后，一定会产生应用的欲望，而法则的熟练应用也是在做题过程中通过学生的积极内化来达到目的的.因此，下面利用这个法则来计算和化简一些题目.4.除法法则的例题演练 (PPT 显示) 例3.计算： （1）324 ； （2）18123÷. 例4.化简： （1）1003； （2）2925x y. （设计意图：此两道例题都可利用公式达到计算和化简的目的）在法则学习后，很多相应的练习中，学生运算的自由度加大，可以选择不同的方法，进行不同方式的计算. 例5. 计算：（1）53； （2）2723； （3）a28.(PPT 显示)在此道例题的计算中，学生会选择自己的方法进行合理的计算，教师应鼓励学生用多种方法进行运算.要强调最后结果一般要求分母中不含二次根式.同时观察上面例题的计算结果，让学生发现二次根式的共同特点，学生可以小组的形式进行交流和讨论，总结出： （1） 被开方数不含分母.（2） 被开方数中不含能开得尽方得因数或因式. 进而得到最简二次根式的概念. （三）应用新知，体验成功利用多媒体素材中的“典型例题”进行教学. （四)课堂小结，体验收获这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结） 1. )0,0(≥≥=⋅b a ab b a)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2.)0,0(〉≥=b a baba )0,0(〉≥=b a ba b a 3.最简二次根式的概念. （五）拓展延伸，布置作业 （1）必做题习题21.2第1、 4、5题 习题21.2第2、3、6题. （2）选做题: 习题21.2第9、10题 五、学习评价 （一）选择题1．下列各式中，最简二次根式是（ ）(A)a 8. (B)23a . (C)32. (D)22+a .2. 下列根式中属最简二次根式的是（ ）(D))0(3 a a . 3. 下面各组二次根式化简后被开方数相同的是（ ） （A ）12 与31．（B ）7 与14 ． （C ）15 与45 ． （D ） 6 与18 ．（二）填空题4．已知2a =，23-=b ，那么ab = .5≈1.414,≈ . 6，•那么此直角三角形斜边长是___________7．化简8．（x ≥0） 9．_________．（三）解答题 10.计算： （1）)82(2+； （2）)36)(16(3--⋅-； （3）521312321⨯÷；11．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？12．观察下列各式：请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________________________．11111112,23,34, (334455)+=+=+=答案（一）选择题1.D ；2.A ；3.A. （二）填空题4. -1.5. 0.707.6.33cm.7. a --.8. 22y x x +.9. 1a ---.（三）解答题10.（1）6； （2）324-； （3）1. 11.解：设底面正方形铁桶的底面边长为x ，则x 2×10=30×30×20，x 2=30×30×2，．12. 2n 1)1n (2n 1n ++=++.。
八年级数学下优质课一等奖《二次根式》精品课件
你能说说依据吗？
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3( 2 )2 _2_来自;( 0 )2 _0__ .
2. 22 _2__;
(2)2 3
2
_3__;
0.12 0__._1;
02 _0__.
性质应用
例1 计算下列各式： （1）（ 1.5）2 ；（2）（2 5）2 ．
性质再探究
问题2 填空，你能说说这样做的依据吗？
22 = __2___； 0.12 = __0_._1_；
（ 2 ）2 = 2 3 __3___；
02 = ___0__．
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根 式表示：
a2 =a（a≥0）．
你能说说依据吗？
巩固新知
例2 计算下列各式： （1） 16 ；（2） （-5）2 ．
t 特征？
（1）含有表示数的字母； （2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得 到的式子叫代数式．
综合运用
练习1 对于性质（ a）2=a（a≥0），逆向思考可得： a=（ a）2（a≥0），请根据这一结论完成填空：
（1） 2=（ ）2 ；（2）3=（ ）2．
巩固新知
例3 化简： （1）（ 18）2 ；（2）（ 0）2 ；（3）（4 7）2 ；
8 （4）（3 5）2 ；（5） 9 ；（6） （-4）2 ；
（7） 25 ； （8） （-3）2 ．
归纳概念
问题3 回顾我们学过的式子，如 5，a，a+2b， ab，s ， x3， 3， a（a≥0），这些式子有哪些共同
上海科学技术出版社初中数学八年级下册 二次根式的乘法-市赛一等奖
二次根式的乘法合肥市第六十二中学 刘勇学情分析：本节课学习的是沪科版八年级下册第16章《二次根式》第二节的第一课时的内容学生在七年级时已初步认识并掌握了一个是数的平方根及算术平方根的求法及它们的性质，在本章第一节也进一步认识了二次根式及其两条性质：)0()(2≥=a a a 和⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a教学目标：1经历二次根式乘法法则的探索过程，理解并掌握运用法则进行二次根式乘法运算； 2 能够利用二次根式的性质2和性质3进行二次根式的化简教学重点：利用二次根式的乘法法则进行乘法运算教学难点：二次根式乘法法则的证明过程及二次根式的化简教学过程：一、问题引入一个长方形的长宽如图所示，求这个长方形的面积学生：=⨯36教师：如何计算（先猜想，学生可能说结果为18，怎么来的再引导学生可以用计算器初步验证猜想）设计意图：从实际问题引入，让学生认识学习本课的必要性及初步了解本课所要学习的内容和要解决的问题，同时让学生了解数学猜想与验证的重要性二、复习回顾1二次根式的定义形如 的式子叫做二次根式2二次根式的两个性质:3计算==-===22222)23()5()43()21()3(4（1）若22b a =，则b a 与之间什么关系（2）若22b a =，且b a 与都是非负数，则b a 与之间什么关系设计意图：1、2两题知识点以填空的形式呈现，只需让学生记住关键点；第3题是复习二次根式的性质1和性质2，为熟练二次根式乘法运算打下基础；第4题是为证明性质3作铺垫三、教授新知（一）观察思考算一算观察有何规律=⨯=⨯=⨯=⨯1000.251000.25）2（254254）1（学生口答，并观察每组前后两个式子有什么关系教师：你能用一个一般的形式来表示你的发现吗学生口答，教师板书：当0,0≥≥b a ,有a ·b =ab设计意图：利用两个能开得尽方的二次根式进行运算，结果一目了然，便于学生发现前后两个式子之间的关系（二）说理证明教师：你能证明这个性质吗回忆证明等式的方法（从左边或右边或两边同时）遇到什么困难（带有根号，不好比较）可否考虑把根号去掉如何去掉（性质1）教师板书：都是非负数与右边左边（右边（左边ab b a abab abb a b a ⋅=∴===⋅=⋅= 22222222))()() ∴a ·b =ab由等式对称性，性质3也可写成ab =a ·b a ≥0,b ≥0设计意图：性质3的证明是本节课的一个难点，如何处理是一个非常值得考虑的问题在复习回顾环节，已经帮助学生回忆了在证明性质3时要用到的相关知识，但是如何想到用“平方”的方法仍然需要进一步研究（三）小露一手1你能快速回答下列问题吗（1） =⨯53 （2） =⨯54设计意图：第（2）小题会引出本节课的重点，教师应充分预设到学生可能会直接依据性质3回答205454=⨯=⨯，此时教师要及时因势利导：还有没有别的想法可能会有学生这样想：525254=⨯=⨯，教师再归纳：5252545420=⨯=⨯=⨯=在二次根式的运算过程中，把被开方数中的“完全平方因式（因数）”，用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外。
(最新)数学八年级下册第16章第2节《二次根式的乘除》省优质课一等奖教案
16．2 二次根式的乘除（2）教学内容： b ab a =反之ba b a =（a ≥0,b >0），利用它就可以进行二次 教学目标1.知识技能：（1）.会进行简单的二次根式的除法运算．（2）.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．2. 数学思考：在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.3. 解决问题：引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题．4. 情感态度：通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.教学重难点关键重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用． 教学方法 1. 讨论分析法. 2. 类比法.3. 逆向思维法.4. 练习法. 教学过程 二、课前复习1.请同学们回忆ab b a =⋅ (a ≥0，b ≥0)是如何得到的?2.计算：()()0,04912.12>>⨯y x x xy ()322112.2⨯⨯()()()6416.3-⨯- ()()0,0,09.4432>>>c b a c b a三、探索新知1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律? （1=_________；（2=________；32____32(3)52___522.例题讲评()()18123232414÷，：计算例()61521123÷3.请你动手试一试计算下列各式：a38a3413÷）（xyaby x b a 205)2(32÷xyx 33218)3(3÷a b ab 363)4(÷例5：化简1003)1( 2775)2( ()29253y x4.最简二次根式: （1）.被开方数不含分母;（2）.被开方数不含能开得尽方的因数或因式.例：指出下列各式中的最简二次根式xb )1(32)2(ab3.0)3(ab 5.0)4(()525a 23)6(22)7(b a +x x x 96)8(23++5.相信自己，你能行！化简下列各式：)0x 94.12>（x nm 389.2755.3a b 24918.4xy a6.大显身手应用拓展，且x为偶数，求（1+x分析：，只有a≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．四、归纳小结1.a≥0，b>0（a≥0，b>0）及其运用．2.最简二次根式:=（1）被开方数不含分母;（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 五、布置作业 计算: （1）218； （2）102175÷；(3) a b a 2112532÷； (4) 31501000mm.。
(最新)数学八年级下册第16章第2节《二次根式的乘除》省优质课一等奖教案
二次根式的乘除（乘法）教学目标：（一）知识与技能：理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简（二）过程与方法：由具体数据，发现规律，导出（a≥0，b≥0）并运用它进行a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．（三）情感态度与价值观：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点：a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．教学难点：（a≥0，b≥0）．教学方法：引导发现法类比推理法练习法教具准备：PPT课件，黑板教学时数：1课时教学过程：第一课时一、复习引入（学生活动）请同学完成下列各题．1．填空参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．4×9_____49⨯，16×25_____1625⨯，100×36________10036⨯2．利用计算器计算填空老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为： ·＝ab ．（a ≥0，b ≥0）a b（2（4例2 化简分析：利用ab=a·b（a≥0，b≥0）直接化简即可．⨯=9×16=3×4=12解：（1）916三、巩固练习四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（2=4解：（1）不正确．=×3=6=（a≥0，b≥0）五、归纳小结：本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业：一、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．．cm C．9cm D．27cm2）．．．31x-=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．．C．．二、填空题：1．2．自由落体的公式为S=1gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体2下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题：1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10c m铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）3同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D；二、1．136 2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，2．验证：==板书设计：16．2 二次根式的乘除（1）情境引入例2 学生板演a·b＝ab（a≥0，b≥0），例3反之ab=a·b（a≥0，b≥0）．例1 练习小结教学反思：。
二次根式的乘除的说课稿范文
二次根式的乘除的说课稿范文二次根式的乘除的说课稿范文作为一名无私奉献的老师，就难以避免地要准备说课稿，借助说课稿可以更好地组织教学活动。
我们该怎么去写说课稿呢？下面是小编为大家收集的二次根式的乘除的说课稿范文，仅供参考，大家一起来看看吧。
各位评委大家下午好：今天我说课的内容是八年级下册第十二章第二节的第一课时《12.2二次根式的乘除》。
通过对教材及学生实际情况的分析，我将从检查预习，自主学习，合作交流，展示质疑，拓展提高、总结检测六个方面展开教学。
（一）检查预习1、在上课前一天将学案发给学生，引导学习预习。
上课最初5分钟检查学生的预习情况。
课程标准要求学生“学会自己预习”，因此要求学生课前通过教材自主预习掌握新知识，掌握知识之间的联系，上课以自检，小组互检和课堂检查相结合的方式督促。
在检查预习部分我设计了两个自学内容，自学一重点是特殊的二次根式相乘，让学生自己发现规律；自学二是一般的二次根式相乘，学生可以利用正方形面积减去其他三角形的面积求出矩形的面积，而矩形的面积还等于长乘以宽，进而得到x=4，同样得到规律，进而总结出二次根式乘法公式。
2、检查预习的过程中已经进入了新课，这样避免了情景导入后因检查预习造成的情感脱节。
3、出示学习目标，让学生明确学习目标，上课才有了学习的方向，也便于学生课后自我评价。
（二）自主学习：学讲开放课堂也是在培养学生学会自学，因此我设计这个环节，让学生自己打开教材，自主学习，多媒体出示学习要求，方法指导，学生在自主设计的基础上小组合作推选出代表发言，然后用小黑板展示各组成果。
老师最后归纳总结，在保证正确的前提下，对学生积极发言，勇于回答问题提出表扬，并给予一定的分值，在这一过程中既训练了学生主动学习的能力，自主学习的意识，又培养了学生的数学表达能力，同时还督促了学生整洁、规范的书写。
知者加速环节是考虑到每个学生学习能力的不同，各小组完成速度的不同，让学有余力的同学有事可干，在学案中设计这一环节，也便于更好的过渡到下一个环节。
沪科版八年级下册数学精品教学课件 第16章 二次根式 第1课时 二次根式的概念
∴ m＞2． (2) 无论 x 取任何实数，代数式 x2 6x m 都有意义， 求 m 的取值范围． 解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立，
即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立. ∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.
解：由题意得 x (x - 1)≥0，
由乘法法则得
x
x≥1≥0，0，或
x
x≤0， 1≤0，
解得 x≥1 或 x≤0.
即当 x≥1 或 x≤0 时， x x 1 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当 x 为何值时， x 2
2x 1
有意义？
解：由题意得 x 2 ≥0，
2x 1
则 2xx21≥＞00，，或2xx21≤＜00，，
∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，
b 满足 b 3 a 2a 6 4 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
归纳 若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为 零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式 及二次根式.
例4 已知 y = x 3 3 x 8，求 3x + 2y 的算术平
方根.
解：由题意得
x 3≥0， 3 x≥0，
∴ x = 3．∴ y = 8．
∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．
上海科学技术出版社初中数学八年级下册 二次根式的乘法-“十市联赛”一等奖
× 49 ， ×___ 16 25 ，
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学习 目标
1 掌握二次根式乘法法则，能熟练的应用它进行二次根式乘 法运算． 2 会逆用二次根式乘法法则，熟练地将二次根式化简．
1 学生计算后观察上式及其运算结果，看看其中有什么规律
2 概括： a b ab(a 0,b 0) ．
b≥0）及其运用．
作业
1 课内练习 2 预习下节要讲内容
板书 设计
教学 反思
探究 学习
（二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不 变） 将上面的公式逆向运用可得：
（积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积）
3.计算
（1）×
（2）
1× 3
（3） 3 15 ( 2 3
5)
4 化简
（1） 9 16 （2） 9x2 y2
（3）
交流 展示
先让学生在小组中讨论发现规律，再让 3、4 个同学上台总 结规律． 先分小组（根据法则）完成计算然后展示．
（2） 4 12 ×=4× 12 ×=4 12 ×=4=8
25
25
25
当堂 2 计算：
检测
1） 2 3
2） 1 8 2
3） 2a 8a (a 0)
3 化简：
1） 12
2） 4a2b3 3） (16) (144)
小结
本节课应掌握： a · b ＝ ab =（a≥0，b≥0）， ab = a · b （a≥0，
二次根式的运算—二次根式的乘法
学习 1 掌握二次根式乘法法则，能熟练的应用它进行二次根式乘法运算． 目标 2 会逆用二次根式乘法法则，熟练地将二次根式化简．
重点 重点: 运用 a b ab(a 0,b 0)，=·（a≥0，b≥0）进行计算
上海科学技术出版社初中数学八年级下册 二次根式-全国一等奖
2、（3） （4）
根据计算结果，你能得出结论： ——二次根式的性质2
例3：计算下列各式：
1 2 （3）
解：
练一练：计算
例4：已知 ，求a，b的值
解：
归纳：如果几个非负数 的和为0，那么每一个非负数都是0
师生互动，反思小结
本节课你学到了什么知识你有什么认识
作业：同步练习（一）
二次根式的概念和性质
教学目标
1了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2掌握二次根式有意义的条件。
3掌握二次根式的基本性质： 、 。
重点、难点
重点：二次根式有意义的条件及二次根式的性质．
难点：综合运用性质 和 进行化简和计算。
教学内容
一、 知识回顾，复习反馈
（1）什么叫做一个数的平方根如何表示
（2）什么是一个数的算术平方根如何表示
二、创设问题，导入新课
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为5的正方形的边长为；
（2）要修建一个面积为m2的圆形喷水池，它的半径为m（ 取）；
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时的高度h（单位：m）满足关系h=5t2．如果用含有h的式子表示t，则t=．
拓展、探究、思考
1．已知△ABC的三边长a、b、c均为整数，且a和b满足 试求△ABC的c边的长．
2．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简： 的结果是：______．
思考：（1）所填的结果有什么特点
（2）如果把上面所填式子叫做二次根式，那么你能用数学符号表示二次根式吗
三、合作交流，探究新知
1一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。读作“根号 ”，其中 是被开方数。只有当a是一个非负数时， 才有意义
上海科学技术出版社初中数学八年级下册 二次根式-说课一等奖
二次根式玉珠学校：张淑芳内容分析本节课是在学生学习了平方根,立方根的概念,会用根号表示数的平方根,立方根,知道开方与乘方互为逆运算的基础上,来学习二次根式的概念它不仅是对前面所学知识的综合应用,也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础教学目标一、知识与技能1了解二次根式的概念。
2会求出二次根式中被开方数的取值范围。
二、过程与方法经历在具体问题情境中发现二次根式的过程，体会二次根式的重要意义。
三、情感态度与价值观经历二次根式概念的形成，鼓励学生探究合作交流，发展学数学，用数学的意识，了解有特殊到一般到具体的哲学思想。
教学重难点1二次根式概念的形成过程。
√a取值范围。
教与学互动设计一、复习引入思考1、16的平方根是什么16的算术平方根是什么2、0的平方根是什么0的算术平方根是什么3、－7有没有平方根有没有算术平方根1、平方根的性质：正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是它0；负数没有平方根。
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
2、√a 表示什么表示非负数a 的算术平方根试一试 ：说出下列各式的意义；观察：上面几个式子中，被开方数的特点被开方数是非负数二、新课讲授√a a ≥0表示非负数a 的算术平方根，形如√a a ≥0的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点：1根指数为2；2被开方数必须是非负数。
想一想：√10、√5、√83、5√3、√（−2）2、√a （a <0）、√a 2+0.1、√−a （a <0）是不是二次根式 三、讲解例题例1． 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义（1）√x −3 （2）√23−4x 3√−5x 4√︱x ︱+1注意：不等式两边都除以同一个负数时，不等号的方向要改变。
例2．要使√x −1有意义,字母的取值必须满足什么条件解：由-1≥0，得≥1。
问：将式子√x −1改为√1−x ，则字母的取值必须满足什么条件呢例3．要使√x−2x−3有意义，字母的取值必须满足什么条件解：由-2≥0，且-3≠0, 得≥2且≠3。
上海科学技术出版社初中数学八年级下册 二次根式【区一等奖】
《二次根式》教学设计内容和内容解析：1．内容二次根式的概念和二次根式的“双重非负性”2．内容解析本节课是沪科版八年级下册的第一章第一节内容，本节课分两个课时，这是第一课时的新授课，也是八年级下学期的开学第一课。
本节课的知识点与七年级下册的第6章《实数》内容关系紧密，开学第一章与前面学习过的知识点有重叠，对学生快速进入新学期的学习，对教师对课程的引入都有很好的作用。
沪科版七年级下册的第6章《实数》中的平方根就是引入八年级下册《二次根式》的必要前提，有了平方根，才会有二次根号的出现，进而才会有二次根式，有了平方根，才能被开方数从“特殊到一般”替换成字母，才能完成二次根式的概念形成过程。
a＞；有了算术平有了平方根中“负数没有平方根”的这条性质，00。
教学过程中，首先从现实生活中的热点问题“二孩”，从一个父母有两个孩子，类比回忆得出平方根的概念和相关性质。
同时还能渗透情感教育，教育每个人都要爱护自己的家人。
再通过由特殊的“根号下是数字”，发展到“根号下是字母”，也通过前后知识的类比，让学生体会平方根与二次根式之间特殊与一般的关系，再通过平方根的相关性质得出二次根式的“双重非负性”，让知识点自然由旧知生成，让学生在探索中自主得出二次根式的“双重非负性”，也是本节课的重难点。
目标和目标解析1．目标1 了解引入二次根式的必要性；2 经历二次根式概念的形成过程，了解二次根式是开平方运算出来的结果；3 理解二次根式的“双重非负性”；4 经历二次根式的概念形成和探索的过程，发展学生类比、由特殊到一般处理数学问题的思想；2．目标解析1 通过学生回忆分析，生活中或者数学学习中，知道正方形的面积，求正方形的边长，这样的例子开始，从知道正方形的面积是已知数字，到正方形的面积是字母的情况，引入二次根式，体会二次根式在实际问题情境中的应用，以及学习二次根式的必要性。
2 二次根式的概念在课本上只有简单的一句话：“形如√a a≥0的式子叫做二次根式”。
上海科学技术出版社初中数学八年级下册 二次根式-市赛一等奖
二次根式教案大庙中学陈开之教学内容：1．（a≥0）的双重非负性2．（）2=a（a≥0）3．a2a=教学目标：1、理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．3、通过学生的讨论交流，探讨得出a2，并会用它进行计算和化简a=教学重难点关键：1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用；a2及其应用a=2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）；用归纳思想推出a2a=教学过程：一、复习引入（学生活动）口答，课件展示1．什么叫二次根式2．当a≥0时，叫什么当a<0时，有意义吗课件展示练习题，学生思考讨论，老师点评．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a≥0）是一个什么数呢老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出（a≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：（）2=_______；()201.0=_______2=______；（）2=_______．老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=32=2=，（）2=0，所以（）2=a （a ≥0）三、课堂练习计算下列各式的值：（1）、（3）2 （2）、2213⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）、()25- （4）、2232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （5）、在实数范围内因式分解：342-x 1、做一做 利用算术平方根的意义填空（1）=24 2、=201.0 3、=⎪⎭⎫ ⎝⎛231 4、=20 由此你们有何启示：师生探讨得出)0(2≥=a a a2、再来算一算（1）=-2)1( （2）=-2)5( 3、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2312 由此你们有何启示：师生共同探讨得出)0(2<-=a a a综合以上1、2你们能得出什么结论：a a =2讨论与思考：将下列各式化简（1）、()=-221 2、=--2)1(x （>0） 3、=+-222y xy x （<y ）提高与升华，超越自我1、 若的值为一个整数，求自然数n n -122、 已知a 、b 、c 为⊿ABC 的三边长，化简22)()(c a b c b a +----四、归纳小结13721．（a≥0）是一个非负数2．（）2=a（a≥0）；反之a=（）2（a≥0）．3．a2（a为任意实数）a五、布置作业1．课堂作业：教材P4第题2、家庭作业：同步训练P2-3。
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本节课你有哪些收获感受最深的是什么
猜想：当a≥0,b≥0,有
（二）师生探究
性质3：如果a≥0,b≥0,有
由等式对称性，性质3也可写成
（三）例题讲解
例1 计算：
解：
例2：化简：
注意：
成立吗为什么
三、巩固练习
1、计算：
2．化简： 和 cm，求这个矩形的面积。
四、应用与拓展
如图，在ABC中，∠C=90°,AC=10cm, BC=20cm
求：AB
学情分析
我所任教的两个班的学生基础不够扎实，能力也较差，尤其对整式中字母的广泛含义感到非常抽象，学生已学过的数学公式都记得牢，对二次根式乘法公式的推导得到积的算术平方根的性质不会感到太困难，但要灵活运用二次根式乘法公式和积的算术平方根的性质进行对二次根式的化简有一定难度。
教学目标
1、知识技能 ： 认识和掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，并熟练地运用公式进行有关计算。
2、数学思想：了解化归的数学思想。
3．情感态度：发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣，创设研究式与合作交流的学习气氛。
教学重点和难点
教学重点：理解并运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行有关运算。
教学难点：灵活运用二次根式的乘法法则和积的ຫໍສະໝຸດ 术平方根的性质进行二次根式的化简。
一、学前准备
1算术平方根的定义:__________________________________________________
2二次根式的两个基本性质：___________________________________________
二、探究活动
（一）独立思考
1、观察：计算下列各题，观察有何规律
，
，
2、用你发现的规律填空
课题：二次根式的乘法
教材分析
本节的学习目标主要是使学生熟练二次根式的乘法运算和化简二次根式的常用方法。在教学中，采取从具体例子出发，由特殊到一般地归纳出二次根式乘法法则。在探究中，第一让学生通过计算发现规律，第二是让学生对发现的规律进行总结、验证。如果将二次根式的乘法法则反过来，就得到积的算术平方根的性质，利用这条性质可以对二次根式进行化简。