利用matlab软件求解常数e和欧拉常数γ

数学实验报告

利用matlab软件求解常数e和欧拉常数γ实验目的：

利用matlab软件计算常数e和γ，并尝试利用不同的算法计算，比较计算精度和时间，找到较好的算法。

掌握matlab程序求和、求极限的方法，学会寻找更优算法。

实验内容：

1、求e

e可以来源于两个数列的极限和，即

en=lim(1+1/x)^x,(x->+∞)（1式）

sn=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……（2式），

根据1式，可在matlab上设计如下代码：

for n=1:15

n=10^n;

e=(1+1/n)^n %求常数e的循环语句

end

format long %使结果显示16位双精度数

结果：

e的标准值约为：2.71828182845904523536

由上述结果可知，使用1式，有很大的缺陷，不仅精度连10^-7都没有，而且当n>=10^9误差开始变大。

根据2式，可得如下代码：

sum=0;

t=1;

for n=1:18

t=n*t;

sum=sum+(1/t);

end %求常数e的循环语句

e=1+sum

format long %使结果显示16位双精度数

结果：

e的标准值约为：2.71828182845904523536

如上所示，随着n的增大，e的计算值越来越接近e的真实值.但是，当n 的值大于17后，计算的精度不再提高，原因是双精度型数只能精确到16位，所以结果只有个位以及小数点后15位（最后一位是近似取的），而1/18!=1.56*10^-16，所以n超过18再往下计算不会更精确。。

在1式代码中，(1+1/n)和n都只能精确到小数点后16位，两者相乘，结果精度将只能精确到8位。在2式中，,每一项都能精确到小数点后16位，而e是所有项的和，求和后仍然能够精确到小数点后16位。所以，对于某些使用数学软件求解的问题，如果对精度有要求，应该尽量使用加、减运算，少用其他的运算(例如乘、除、乘方、对数等)，这样可以提高运算精度。

2、求γ

如此欧拉常数γ也可以使用matlab求出较为精确的值。

可由公式γ=lim(n→∞)[(1+1/2+1/3+…+1/n )-ln(n)]得出。

for n=1:10

s=0;

for i=1:10^n

s=s+(1/i);

end

y=s-log(10^n) %求常数γ的循环语句

end

format long %使结果显示16位双精度数

结果：

γ的权威数值约等于0.57721566490153286060651209。

上述结果精度约有10^-8，虽然精度还有提高空间，然而matlab上运行时，结果表明，增加n值，精度提高，运算时间也将大大加长（通常n超过10就需要好几分钟）

使用级数来计算：

for n=1:9

s=0;

for i=1:10^n

s=s+(1/i)-log(1+1/i);

end

y=s %求常数γ的循环语句

end

format long %使结果显示16位双精度数

结果：

γ的权威数值约等于0.57721566490153286060651209。

上述结果精度也约有10^-8，n再大就计算时间大大增加了，且可能会出错。

上面两个算法都不能算出更为精确的欧拉常数的值，因为调和级数收敛较慢，因此matlab计算很缓慢。这也表明，这个算法还有待改进，需要更好的算法才能计算出γ更精确的值。

实验总结：

本文探索了使用数学软件求解常见常数的方法，并比较了算法的优劣，而算法不同，计算精度、时间相差很大，这表明，数学不能完全依靠计算机，人所编写的算法也非常重要，计算机只是人的工具，人的思维能力才是最重要的。另外，我们也需要计算机强大计算能力的帮助，学会使用数学软件，才能更加有效地发展数学。