线性代数PPT课件-向量与线性方程组解的结构

T 1
的向量组1T ,2T , mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 2
T m
线性方程组的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
xx x b
11 22
nn
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
证法1 设x有 1,x2,x3使
x1b1x2b2x3b30
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
因 1， 2， 3线性无关， 全故 为系 零数 ，
或r(I)=n，得线性无关。
例２ 已知
1
0
2
1 1，2 2，3 4，
1
5
7
试讨 论 1 ， 2 ， 向 3 及 量 1 ， 2 的 组线.性
解 分析
对矩阵1（ ，2，3），施行初等行变 成行阶梯形,可 矩同 阵时看出矩 1， 阵 2， （3） 及（ 1，2）的秩，利用 2即定可理得出.结论
~ 1 0 2 r12 ( 1 ) 1 0 2
(1,2,3) 1 2 4
0 2 2
1 5 7 r13 ( 1 ) 0 5 5
r 23
(
5 2
)
1 0
0 2
2 2
，
~
0 0 0
可r(见 1,2,3)2，故 向 1,2,量 3线 组 性相 r(1,2)2, 故向 1,量 2线 组 性 . 无关
3 5 3
例3:设向量组1
2,2
1 0 1
即有 (b1,， b2,b3)(a1,a2,a3)1 1 0
可对应B 记 A 作C.
0 1 1
由 1 01
C1 1 0 20 011
知 r(B )r(A )而 . 利2 ， 用 r(A 知 定 )3,进 理而 向量 b1,组 b2,b3线性.无关
接下来，我们的 给线 出性 常相 用关判定 个性质：
类似，A若 经矩 初阵 等列B 变 ，换 A 则 的变 列向量 B的 组列 与向量 . 组等价
且等价的俩矩标 阵号 的的 相列 同向量 相同的线性相关性。
线性相关性的概念
定义３ 给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零 k1,的 k2,数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
而不是 “每一个”
定理 4：向量A组 :1,2,,m线性无 ,向关 量组 B:1,,m,b线 性 相 向 关量 b必 能 由 向 量
A线性表 ,且示 表示式是 . 唯一的
例6
已 知 向量 1， 组 2， 3 线 性 相关 2， ， 3， 4
线 性 无 关 ，1） 问 1可 ：否 （由 2,3线 性 表 示
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个 n维列向量所组 组 1,成 2,的 ,m,向
构成m 一 n个 矩阵
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
说明： 性质 2是对增加一个维 分数 量增 （ 1）加 即 而言的，若增量 加 ,结多 论个 也分 .成即立
“线性无关向 加量 长组 ”的 向“ 量组 关必 。线 或
“线性相关向 截量 短组 ”的 向“ 量组 关必 。线
性质3： m个n维向量组成的当 向维 量 n数 小 组， 于向量m 个 时数 一定线性 . 相关
例１ n 维向量组
e 1 1 , 0 , , 0 T , e 2 0 , 1 , , 0 T , ， e n 0 , 0 , , 1 T
称为 n维单位坐标 ,讨向 论量 其组 线性 . 相
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵 由 E 10，及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
例 5 试判断向量组
1
0
1 0 ,
2
5
0
1
2 0,
7
5
0
0
3 1 ,
2
3
的线性相关性。 解法一： 考察新向量组
1，2，3，1，2，
0
0
1 0,
1
0
0
0
2 0,
0
1
由 1 0 0 00 0 1 0 00
1,2,3, 1, 2 0 0 1 0 010
定义１ 给定向 A:量 1,2, 组 ,m ，对于任
组实 k1， 数 k2， ,km ， 向量
k11k22kmm
称为向量线组 性组的 合， 一 k1， k 个 2， ,km 称为
个线性组 . 合的系数
给定A 向 :1,2 量 ,,m 组 和向 b,如量 果 一组 1 ， 2， 数 ,m ，使
b 11 22 m m
计算： 2α3β
解： 2 α 3 β 2 3 1 , 2 , 4 3 2 , 2 , , 32 ,
6 ,8 , 2 , 4 6 ,9 , 6 ,6 0,1,7 8,2
，
n维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT,bT,T,T等表示，如：
aT(a 1,a 2, ,a n)
向量组的线性相关性质
性质1： 若 向量 A： 组 1,2,,m线性,则 相关 向量 B:组 1,,m,m1也线性 .反相 言 ,若 关 之 向
量B 组 线性,则 无 向关 量 A也 组线性 . 无关
说明： 性质1可推广:为 一个向量组若有线 相关的部分组，量 则组 该线 向性相 . 特 关别地， 含有零向量的向线 量性 组相 必.关反之，若一 向量组线性无关的 ，任 则何 它部分组都关 线. 性
注意:
1若 . 1,2,,n线性无 ,则关 只有
1 n 0时 ,才有
1122nn0成立 .
2对 . 于任一 ,不向 是 性 量 线 无 组 关就
线性.相关
3向 . 量组只包含 时 ,若 一 个 0则 向说 量 线性,相 若 关 0,则说 线性无 . 关
4包 . 含零向量的 组任 是何 线向 性量 .相
n维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b,,等表示，如：
a 1
a
a2
a n
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如 矩 a 1 A 阵 a(2aij)mna有 j n个 m维 a n 列 向 量
a11 a12 a1j a1n
A
a21
x1 x3 0, x1 x2 0,
x 2 x 3 0.
由于此方程组的系数 列行 式
1 01
1 1 0 20
011
故方程组 x1x只 2x3有 0 ， 零 所 向 解 以 量
b1,b2,b3线性 . 无关
证法2 由 b 1 1 2 , b 2 2 3 , b 3 3 1 ,
5.对于含有两个向量 量组 的 ,它向线性相关的 充要条件是两向量 量对 的应 分成比例，义 几何 是两向量共线；量 三相 个关 向的几何意向 义是 量共面 .
向量1， 组 2， ，m到底线性相关 ，还
也即齐次线性方程组
x1
Ax [ 1 , 2 ,
,
m
]
x
2
x
m
x 1 1 x 2 2 x m m 0
0
,
1
显 1 ， 然 2 ， 3 线性 无 1 ， 2 ， 3 关 也， 无故 关
线性表示、线性相关、线性无关三者的关系
定的充理分3 必向要量条组件1是, 2, 1, , 2（,m 当, m m中2至时少）有线一性个相向关
量可由其余 m1个向量线性表示．
a m 1 1 22 m 1 m 1
若记A（1,2,,m)和B（b1,b2,,bs).B
能由A线性表示，即对每 量b个 j ( j 向 1,2, ,s)存 在数k1j ,k2j ,kmj,使
b j k 1 j1 k 2 j2 k m m j
k1 j
（ 1 , 2 ,
, m
)
k2 j
,
kmj
从而
k11 k12
2
1 0
例： 向b 量 3即可由 1 向 0， 量 21 组 ，
0
0 0
0
30线性表示b， 21 且 3为 20 ： 3
1
(因为
1 0 0 2
B[A,b]1,2,3,b0 1 0 3
0 0 1 0
即 r(A)r(B).)
定义２ 设有两个向量组
A: 1,2,,m及B: 1,2,,s.
若B组中的每个向量向 都量 能组 A由 线性表示， 称向量组B能由向量组 A线性表示 .若向量A组 与向 量组B能相互线性表示这 ，两 则向个 称量组等价．
性质2： 设
a1j
j a 2j ,
arj
a1j
a2j
bj ,
arj
ar1,
j
( j 1,2, ,m),
即j添上 一个分量后b得 j.若向向量量 A： 组 1,2, ,m线性无 ,则关 向量 B： b组 1,b2,,bm也线性无
关.反言之，若 B线 向性 量相 ,组 则关 向量 A也组线 性相.关
•向量 •线性方程组解的结构
n维向量的概念
定义 由 n个有次序的数 a1,a2,L ,an 构成的有序数组称为一个 n维向量，简记为α
即 α a 1,a 2, ,a n ．其中 a1,a2,L ,an
称为向量的分量， n称为向量的维数．
也可以写成一列
b1
b
2
b
n
例 已知α 3,4,12 ,β 2,3, 2,2
有无非零解的而 问由 题上 ，章 故关于方 齐次 程组的定理，即有
线性相关性的判定
定理2 向量组 1,2,,m线性相关的充
是 A [ 矩 1 ,2 , ,m 阵 ] 的 r ( A ) m 秩 . 其 m 是 中
的个数。
推论： 对 m 维向1 量 ,2, 组 ,m ，它线性
充要条件是： A0
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4
,3
1,
0 1 t
问t取何值,时 向量组线性无 ;t取关何值,时
向量组线性相 . 关
353
解：因为 1 2 3 2 4 12t3
0 1 t
所以 ,当t 3时,向 2
量组 123线性
无 ;
关
t
3时,向 2
量组 123线性相 . 关
例已 4 知 向 1,2, 量 3线 组 性 ,b1无 1关 2, b223,b331,试b1 证 ,b2,b3线性 . 无
（ b1,b2,,bs) （1,2,,m)
k21
k22
km1 km2
k1s k2s kms
矩阵 Kms (kij)称为这一线性 数表 矩.示 阵的 因此，有结论：
结论 1： 若Cmn AmsBsn，则矩 C的 阵列向量组能
矩阵 A的列向量组线B性 为表 这示 一， 表示的 矩阵：
b11 b12 b1n
为 什 么2？ ）（ 4是 否 可 1， 由 2， 3 线 性 表 示 ？
a22 a2j a2n
am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向
类似 ,矩地 A 阵 (aij)m n又m 有 个 n维行向量
a 11 a 12 a 21 a 22
a 1 n a2n
T 1
T 2
A a i1 a i2
2 7 2 1 0 5 5 3 0 1
即知 1,2,3,1,2线性无关，
再由性1， 质即知
1， 2， 3 线性无关。
解法二： 考察
1
0
0
1
1 0 ,
2
2 0,
7
5
5
的“截短”向量组：
0
0
3 1 ,
2
3
1
1
0
,
0
0
2
1
,
0
0
3
（c1,c2,,cn)（1,2,,s)bb 2s11
b22 bs2
b2n b sn
同时C的 ，行向量B组 的能 行由 向量组,线 A 性 为这一表示的 ：系数矩阵
1T 2T mT
a11
a21
am1
a12 a22 am2
a1s a2s
12TT
a ms sT
设矩阵A经初等行变换变 B，成则B的每个行 向量都是 A的行向量组的线性，组即合B的行向量 组能由A的行向量组线性.表由示初等变换可逆性 可知，A的行向量组能B的 由行向量组线性表示 于是A的行向量组B与 的行向量组等. 价
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组
x11x22xmmb
有.解 也就是方 Ax程 b有 组解，
其 A 中 1 ,2 , n ， .
定理1 向量 b能由向量 A线组性表示的充分
条件是矩 A阵 (1，2， ,m)的秩等于矩阵 B(1，2， ,m,b)的秩 .