线性代数PPT课件-向量与线性方程组解的结构
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线性代数 第四章 向量.ppt
向量组的极大线性无关组—秩
可知向量组中的极大线性无关组所含向量个 数相等。所含向量个数称为向量组的秩（r）。
向 (可见向量组的秩的求法依赖于矩阵秩的求法)
由此，向量组的极大线性无关组可由向量组中 任意r个线性无关的向量组成。
量
向量组的极大线性无关组—秩
a11 a12
向
A
a21
a22
am1
am 2
线性方程组解的结构
Amn X b
向
A的秩为r，若1 , 2 为方程的解，则 1 2 为齐次方程的解；若 0 为非齐次方程的解，
是齐次方程的解，则 0 为非齐次方程的 量 解。
定理：设 0 是齐次方程的特解， 是非齐次方
程的通解，则 Amn X b 的通解是 0 。
量
向量组的极大线性无关组（例）
1 1, 0, 2,1T , 2 1, 2, 0,1T ,
向 3 2,1, 3, 2T , 4 2, 5, 1, 4T
求其极大线性无关组？当选定后，
k1
量
将其余向量用该极大线性无关组表示？
1 2
s
k2
O
1 1 2 2 1 1 2 2
ks
0
2
1 0 0
0
1
0
向
0
0
0
0 0 0
0 0 0
量
0 c1,r1 0 c2,r1Βιβλιοθήκη c1n x1 c2
n
x2
1 cr ,r1
crn
xr
=O
00
0
xr
1
00
0 xn
x1 c1,r1t1
c1ntnr
x2
c2 ,r 1t1
线性代数课件PPT
线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
线性代数第四章第一节向量组及其线性组合课件
矩阵方程组 AX = B 有解
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~
线性代数-向量空间与线性方程组解的结构
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 37
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 38
01
OPTION
02
OPTION
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 39 例 2 证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关. 证明
目录/Contents
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 101
3.4 线性方程组解的结构 一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、矩阵秩的求法
一、线性方程组有解的判定第定3章理向量空间与线性方程组解的结构 102
ᵃᵆ = ᵯ
ᵃᵆ = 0
一、线性方程组有解的判定第定3章理向量空间与线性方程组解的结构 103
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 97 例9
解
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 98
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 99
目录/Contents
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 100
3.1 向量组及其线性组合 3.2 向量组的线性相关性 3.3 向量组的秩与矩阵的秩 3.4 线性方程组解的结构 3.5 向量空间
一、向量的概念及运算 2. 向量的运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 7
这两种运算 称为向量的 线性运算
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 8
一、向量的概念及运算 例1 设有线性方程组
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 9
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 10
复习专题向量组线性相关性线性方程组解的结构课件
k3 0
2k1 2k 2
0
3k1 5k 2 2k3 0
1 0 1
D 2 2 0 0
3 5 2
齐次线性方程组有非零解, 故1, 2, 3线性相关。
解二: 构造矩阵
1
A
=
(1,
2,
3)
=
2 3
1 0 1
则
A
2
2
0
3 5 2
0 1
2 5
0 2
1 0
0
2
0 0
由 R(A) = 2 < 3
并写出具体的表示。
证明（方法1）设 k11 k22 k33
其中 k1，k2，为k实3 数，则
13 1 1 2 k1 k2 2k3
10
k1
1
k2
1
k3
1
k1 k2 k3
1 2 3 1 2k1 3k2 k3
所以
kk11kk222kk33
13 10
kk21
0
kk12
0 0
k3 0
k3 0
所以向量组 1,1 2,1 2 3 线性无关。
例如
试证向量组 1, 0,3 ,4 是线性相关的。
证明 因为 01 1 0 03 04 0 其中,系数 0，1，0，0 不全为 0。
所以向量组1, 0,3 ,4 线性相关的。
含有零向量的向量组一定线性相关。
解 对 A 施行初等行变换化成阶梯形矩阵
2 1 1 1 1 A 1 2 1 4 2
1 7 4 11 a
1 2 1 4 2
0 5 3
7
3
B
0 0 0 0 a 5
B
1 0
第四章 n维向量与线性方程组ppt课件
( R ) 1 1 2 2 m m i
则称向量 可由向量组 A 线性表示.
2018/11/19
南京邮电大学 邱中华
-7-
: , , , (1) 向量 可由向量组 A 线性表示 1 2 n
, x , , x (按定义) 存在数 x 1 2 n使
T 1 1 3 1 T 3 4 9 2 T 3 5 1 3 T 2 3 6 4 T 3 13 17 5
有如下关系
2018/11/19
T T T 4 2 1
T T T 2 5 2 3
所有表示方法:
( k 1 ) ( k 2 ) k
1 2 3
即
0 2 1 1 3 ( k 1 ) 1 ( k 2 ) 2 k 1 3 1 1 2
最简阶形一样(不计零行), 故等价.
2018/11/19 南京邮电大学 邱中华
-14-
例3
[ , , ] 2 , r [ , , ] 3 已知 r 1 2 3 2 3 4
证明(1) 1 能 2, 3 线性表示;
, , (2) 4 不能由 线性表示. 1 2 3
学会这种转换就可以了!
2018/11/19 南京邮电大学 邱中华
-8-
: , , , (2) 如果向量组 B 中的每个向量都可由向量组 1 2 q
A : , , , 线性表示, 则称向量组 B可由向量组 A 线性 1 2 p
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第四节 线性方程组的解的结构
础解系.
在上面的讨论中，我们先求出齐次线性方程 组的通解，再从通解求得基础解系. 其实我们也
r xn ,可先求基础解系，再写出通解. 这只需在得到方
程组 (3) 以后，令自由未知量 xr+1 , xr+2 , ···,
r xn x, n 取下列 n – r 组数：
xr1 1 0 0
xr2
x = 1 + 2 也是 (2) 的解.
证 只要验证 x = 1 + 2 满足方程 (2) :
A( 1 + 2) = A1 + A2 = 0 + 0 = 0.
性质 2 若 x = 1 为 (2) 的解, k 为实数, 则
x = k1 也是 (2) 的解.
证 A( k1) = k(A1) = k 0 = 0.
1 1 ,2 0 ,,nr 0 .
0
1
0
0
0
1
依据以上的讨论，还可推得
定理 7 设 m×n 矩阵 A 的秩 R(A) = r , 则
n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n – r .
当 R( A ) = n 时,方程组 ( 1 ) 只有零解,因为没 有基础解系 (此时解空间 S 只含一个零向量, 为 0 维向量空间 ). 而当R( A ) = r < n 时,方程组 ( 1 )必 有含 n – r 个向量的基础解系. 因此，由最大无 关组的性质可知，方程组 (1) 的任何 n – r 个线 性无关的解都可构成它的基础解系. 并由此可知 齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的 通解的形式也不是唯一的.
第四节 线性方程组的解的结构
主要内容
方程组有解的条件与解法 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
在上面的讨论中，我们先求出齐次线性方程 组的通解，再从通解求得基础解系. 其实我们也
r xn ,可先求基础解系，再写出通解. 这只需在得到方
程组 (3) 以后，令自由未知量 xr+1 , xr+2 , ···,
r xn x, n 取下列 n – r 组数：
xr1 1 0 0
xr2
x = 1 + 2 也是 (2) 的解.
证 只要验证 x = 1 + 2 满足方程 (2) :
A( 1 + 2) = A1 + A2 = 0 + 0 = 0.
性质 2 若 x = 1 为 (2) 的解, k 为实数, 则
x = k1 也是 (2) 的解.
证 A( k1) = k(A1) = k 0 = 0.
1 1 ,2 0 ,,nr 0 .
0
1
0
0
0
1
依据以上的讨论，还可推得
定理 7 设 m×n 矩阵 A 的秩 R(A) = r , 则
n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n – r .
当 R( A ) = n 时,方程组 ( 1 ) 只有零解,因为没 有基础解系 (此时解空间 S 只含一个零向量, 为 0 维向量空间 ). 而当R( A ) = r < n 时,方程组 ( 1 )必 有含 n – r 个向量的基础解系. 因此，由最大无 关组的性质可知，方程组 (1) 的任何 n – r 个线 性无关的解都可构成它的基础解系. 并由此可知 齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的 通解的形式也不是唯一的.
第四节 线性方程组的解的结构
主要内容
方程组有解的条件与解法 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
《线性代数》第四章：线性方程组-PPT课件
三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于未知量的个数且第个方程第个变量的系数三角形线性方程组是一类特殊的情形解法也简单由克莱姆法则可以判断其解惟一一般只需要从最后一个方程开始求解逐步回代就可求出方程组的全部解11定义416线性方程组中自上而下的各方程所含未知量个数依次减少这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方程组
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
线性代数—线性方程组解的结构25页PPT
线性代数—线性方程组解的结构
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
ห้องสมุดไป่ตู้ 谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
ห้องสมุดไป่ตู้ 谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
线性代数线性方程组解的结构ppt课件
k1
k2
设
ξ
=
kr kr +1
是方程组的任一解.
kr+2
则
kn
y1 = c1,(r+1) yr+1 + + c1n yn
y2
=
c y 2,(r+1) r+1
+
+ c2n yn
(*)
yr = cr,(r+1) yr+1 + + crn yn
k1 = c k 1,(r+1) r+1 + k2 = c k 2,(r+1) r+1 + kr = c k r,(r+1) r+1 +
定义3 设x1, x2, , xs 都是AX=o的解,并且 (1) x1, x2, , xs线性无关； (2) AX=o的任一个解向量都能由x1, x2, , xs线性表示，
则称x1, x2, , xs为线性方程组AX=o的一个基础解系.
通解（方程组的全部解）可以表示为：k1x1 + k2x2 + + ksxs
0 0
c1nkn
c2
n
kn
+
crn kn 0
0
kn
c1r+1
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
下页
消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
《线性代数》第3章向量空间与线性方程组解的结构
k11+k22 +L +knn
称为该向量组的一个线性组合.
定义 4
n 给定 维向量组1,2,L ,n 和一个n 维向量 ，如果存在一组数 k1, k2,L , kn ，使得
k11+k22 +L
+kn
，
n
则称向量 可由向量组1,2,L ,n 线性表示，
或者说向量 是向量组1,2,L ,n 的一个线性组合.
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 7
例1 设有线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21x1 LL
a22 x2 LLL
L a2n xn b2 LLLLLL
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
a1i
将第 i
个未知量
维向量组
1T
,
T 2
,L
， ,
T m
则得到一个以
1T
,
T 2
,L
,
T m
为行的
m
n
矩阵
A
1T
T 2
M
.
T m
因此，一个所含向量个数有限的向量组总可与一个矩阵建立一一对应关系.
二、向量组及其线性组合
定义 3
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 11
给定 n 维向量组1,2,L ,n ，对于任意一组数 k1, k2,L , kn ，表达式
2 矩阵方程 AX B 与 BY A同时有解 X Kms ，Y = Msm .
三、向量组的等价
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 22
例6
1 2
3 3 1
已知向量组
称为该向量组的一个线性组合.
定义 4
n 给定 维向量组1,2,L ,n 和一个n 维向量 ，如果存在一组数 k1, k2,L , kn ，使得
k11+k22 +L
+kn
，
n
则称向量 可由向量组1,2,L ,n 线性表示，
或者说向量 是向量组1,2,L ,n 的一个线性组合.
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 7
例1 设有线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21x1 LL
a22 x2 LLL
L a2n xn b2 LLLLLL
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
a1i
将第 i
个未知量
维向量组
1T
,
T 2
,L
， ,
T m
则得到一个以
1T
,
T 2
,L
,
T m
为行的
m
n
矩阵
A
1T
T 2
M
.
T m
因此，一个所含向量个数有限的向量组总可与一个矩阵建立一一对应关系.
二、向量组及其线性组合
定义 3
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 11
给定 n 维向量组1,2,L ,n ，对于任意一组数 k1, k2,L , kn ，表达式
2 矩阵方程 AX B 与 BY A同时有解 X Kms ，Y = Msm .
三、向量组的等价
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 22
例6
1 2
3 3 1
已知向量组
线性代数-向量与线性方程组
1 2 3 1 1 r 3r 解 A 3 1 5 3 2 2 1 2 1 2 2 3 r3 2r1
r3 r2
1
0 0
1 0
5 4 5 4
3
0 0
2 3 1 5 4 0
0
0
0
0
R( A) 2 R( B ) 3
1 2 1 2 B 3 1 2 1 ( A b) 1 1 1 0
x1 2 x 2 3 x 3 1 2 x1 3 x 2 5 x 3 5 4 x 7 x x 7 2 3 1
1 2 3 1 B 2 3 5 5 ( A b) 4 7 1 7
线性方程组
(1) 如果右端常数项b1 , b2 ,bn 不全为零，
则称为非齐次线性方程 组
如果右端常数项b1 , b2 ,bn 全为零，
( 2)
则称为齐次方程组
(平凡解) x1 x2 xn 0为齐次方程组的解 这组解称为零解 对于( 2)来说：
若不全为零： 这组解称为非零解(非平凡解)
c12 c 22 0 0 0 0
c1r c2r cr r 0 0 0
c1n c 21 cr n 0 0 0
d0 r 1 0 0 d1 d2 dr
cr r x r cr n xn d r
R( A) n Ax 0有非零解 又 R( A) min( m, n) 若m n, 则R( A) n Ax 0有非零解
9
B (A 0 )
R( B)＝R( A)
【考研数学】线性代数PPT课件-向量与线性方程组解的结构
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 ,,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
证法1 设有x1, x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, 因 1， 2， 3线性无关，故系数必需 全为零，即有
b11 b12 b1n
（
c1
,
c2
,,
cn
)
（
1
,
2
,,
s
)
b21
bs1
b22
bs 2
b2n
bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵：
T 1
T 2
m
T
Ax
[
1
,
2
,
,
m
]
x2
xm
x11 x22 xmm 0
有无非零解的问题，故而由上章关于齐次线性方 程组的定理，即有
线性相关性的判定
定理 2
向量组1
,
2
,,
aT (a1 ,a2 ,,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
证法1 设有x1, x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, 因 1， 2， 3线性无关，故系数必需 全为零，即有
b11 b12 b1n
（
c1
,
c2
,,
cn
)
（
1
,
2
,,
s
)
b21
bs1
b22
bs 2
b2n
bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵：
T 1
T 2
m
T
Ax
[
1
,
2
,
,
m
]
x2
xm
x11 x22 xmm 0
有无非零解的问题，故而由上章关于齐次线性方 程组的定理，即有
线性相关性的判定
定理 2
向量组1
,
2
,,
线性代数课件PPT 第3章.线性方程组
2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT
a2
M
an
3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。
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说明： 性质 2是对增加一个维 分数 量增 （ 1）加 即 而言的，若增量 加 ,结多 论个 也分 .成即立
“线性无关向 加量 长组 ”的 向“ 量组 关必 。线 或
“线性相关向 截量 短组 ”的 向“ 量组 关必 。线
性质3： m个n维向量组成的当 向维 量 n数 小 组， 于向量m 个 时数 一定线性 . 相关
x1 x3 0, x1 x2 0,
x 2 x 3 0.
由于此方程组的系数 列行 式
1 01
1 1 0 20
011
故方程组 x1x只 2x3有 0 ， 零 所 向 解 以 量
b1,b2,b3线性 . 无关
证法2 由 b 1 1 2 , b 2 2 3 , b 3 3 1 ,
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组
x11x22xmmb
有.解 也就是方 Ax程 b有 组解，
其 A 中 1 ,2 , n ， .
定理1 向量 b能由向量 A线组性表示的充分
条件是矩 A阵 (1，2， ,m)的秩等于矩阵 B(1，2， ,m,b)的秩 .
0
,
1
显 1 ， 然 2 ， 3 线性 无 1 ， 2 ， 3 关 也， 无故 关
线性表示、线性相关、线性无关三者的关系
定的充理分3 必向要量条组件1是, 2, 1, , 2（,m 当, m m中2至时少）有线一性个相向关
量可由其余 m1个向量线性表示．
a m 1 1 22 m 1 m 1
4
,3
1,
0 1 t
问t取何值,时 向量组线性无 ;t取关何值,时
向量组线性相 . 关
353
解：因为 1 2 3 2 4 12t3
0 1 t
所以 ,当t 3时,向 2
量组 123线性
无 ;
关
t
3时,向 2
量组 123线性相 . 关
例已 4 知 向 1,2, 量 3线 组 性 ,b1无 1关 2, b223,b331,试b1 证 ,b2,b3线性 . 无
注意:
1若 . 1,2,,n线性无 ,则关 只有
1 n 0时 ,才有
1122nn0成立 .
2对 . 于任一 ,不向 是 性 量 线 无 组 关就
线性.相关
3向 . 量组只包含 时 ,若 一 个 0则 向说 量 线性,相 若 关 0,则说 线性无 . 关
4包 . 含零向量的 组任 是何 线向 性量 .相
•向量 •线性方程组解的结构
n维向量的概念
定义 由 n个有次序的数 a1,a2,L ,an 构成的有序数组称为一个 n维向量，简记为α
即 α a 1,a 2, ,a n ．其中 a1,a2,L ,an
称为向量的分量， n称为向量的维数．
也可以写成一列
b1
b
2
b
n
例 已知α 3,4,12 ,β 2,3, 2,2
T 1
的向量组1T ,2T , mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 2
T m
线性方程组的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
xx x b
11 22
nn
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个 n维列向量所组 组 1,成 2,的 ,m,向
构成m 一 n个 矩阵
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
向量组的线性相关性质
性质1： 若 向量 A： 组 1,2,,m线性,则 相关 向量 B:组 1,,m,m1也线性 .反相 言 ,若 关 之 向
量B 组 线性,则 无 向关 量 A也 组线性 . 无关
说明： 性质1可推广:为 一个向量组若有线 相关的部分组，量 则组 该线 向性相 . 特 关别地， 含有零向量的向线 量性 组相 必.关反之，若一 向量组线性无关的 ，任 则何 它部分组都关 线. 性
而不是 “每一个”
定理 4：向量A组 :1,2,,m线性无 ,向关 量组 B:1,,m,b线 性 相 向 关量 b必 能 由 向 量
A线性表 ,且示 表示式是 . 唯一的
例6
已 知 向量 1， 组 2， 3 线 性 相关 2， ， 3， 4
线 性 无 关 ，1） 问 1可 ：否 （由 2,3线 性 表 示
类似，A若 经矩 初阵 等列B 变 ，换 A 则 的变 列向量 B的 组列 与向量 . 组等价
且等价的俩矩标 阵号 的的 相列 同向量 相同的线性相关性。
线性相关性的概念
定义３ 给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零 k1,的 k2,数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
证法1 设x有 1,x2,x3使
x1b1x2b2x3b30
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
因 1， 2， 3线性无关， 全故 为系 零数 ，
为 什 么2？ ）（ 4是 否 可 1， 由 2， 3 线 性 表 示 ？
(1,2,3) 1 2 4
0 2 2
1 5 7 r13 ( 1 ) 0 5 5
r 23
(
5 2
)
1 0
0 2
2 2
，
~
0 0 0
可r(见 1,2,3)2，故 向 1,2,量 3线 组 性相 r(1,2)2, 故向 1,量 2线 组 性 . 无关
3 5 3
例3:设向量组1
2,2
5.对于含有两个向量 量组 的 ,它向线性相关的 充要条件是两向量 量对 的应 分成比例，义 几何 是两向量共线；量 三相 个关 向的几何意向 义是 量共面 .
向量1， 组 2， ，m到底线性相关 ，还
也即齐次线性方程组
x1
Ax [ 1 , 2 ,
,
m
]
x
2
x
m
x 1 1 x 2 2 x m m 0
性质2： 设
a1j
j a 2j ,
arj
a1j
a2j
bj ,
arj
ar1,
j
( j 1,2, ,m),
即j添上 一个分量后b得 j.若向向量量 A： 组 1,2, ,m线性无 ,则关 向量 B： b组 1,b2,,bm也线性无
关.反言之，若 B线 向性 量相 ,组 则关 向量 A也组线 性相.关
若记A（1,2,,m)和B（b1,b2,,bs).B
能由A线性表示，即对每 量b个 j ( j 向 1,2, ,s)存 在数k1j ,k2j ,kmj,使
b j k 1 j1 k 2 j2 k m m j
k1 j
（ 1 , 2 ,
, m
)
k2 j
,
kmj
从而
k11 k12
（ b1,b2,,bs) （1,2,,m)
k21
k22
km1 km2
k1s k2s kms
矩阵 Kms (kij)称为这一线性 数表 矩.示 阵的 因此，有结论：
结论 1： 若Cmn AmsBsn，则矩 C的 阵列向量组能
矩阵 A的列向量组线B性 为表 这示 一， 表示的 矩阵：
b11 b12 b1n
例１ n 维向量组
e 1 1 , 0 , , 0 T , e 2 0 , 1 , , 0 T , ， e n 0 , 0 , , 1 T
称为 n维单位坐标 ,讨向 论量 其组 线性 . 相
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵 由 E 10，及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
a22 a2j a2n
am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向
类似 ,矩地 A 阵 (aij)m n又m 有 个 n维行向量
a 11 a 12 a 21 a 22
a 1 n a2n
T 1
T 2
A a i1 a i2
或r(I)=n，得线性无关。
例２ 已知
1
0
2
1 1，2 2，3 4，
1
5
7
试讨 论 1 ， 2 ， 向 3 及 量 1 ， 2 的 组线.性
解 分析
对矩阵1（ ，2，3），施行初等行变 成行阶梯形,可 矩同 阵时看出矩 1， 阵 2， （3） 及（ 1，2）的秩，利用 2即定可理得出.结论
~ 1 0 2 r12 ( 1 ) 1 0 2
1 0 1
即有 (b1,， b2,b3)(a1,a2,a3)1 1 0
可对应B 记 A 作C.
0 1 1
由 1 01
C1 1 0 20 011
知 r(B )r(A )而 . 利2 ， 用 r(A 知 定 )3,进 理而 向量 b1,组 b2,b3线性.无关
接下来，我们的 给线 出性 常相 用关判定 个性质：
计算： 2α3β
解： 2 α 3 β 2 3 1 , 2 , 4 3 2 , 2 , , 32 ,
6 ,8 , 2 , 4 6 ,9 , 6 ,6 0,1,7 8,2