共轭梯度法程序源代码
共轭梯度法的C+=语言实现
共轭梯度法的C+=语言实现---------------------基于成都理工大学最优化教材#include <iostream.h>#include "Matrix.h"#include<LIMITS.H>#define MAX_M 2048#include<math.h>#define beta (sqrt(5)-1)/2#define eclipse 0.01CMatrix hesse(){CMatrix temp(2,2);temp.A[0][0] = 2;temp.A[0][1] = 0;temp.A[1][0] = 0;temp.A[1][1] = 8;return temp;}double fun(double t,CMatrix &X1,CMatrix &X2){double x1 = X1.A[0][0] + t*X2.A[0][0];double x2 = X1.A[1][0] + t*X2.A[1][0];return x1*x1 + 4*x2*x2;}double Max_Num(double a,double b){if(a>b){return a;}else{return b;}}double Min_Num(double a,double b){if(a<b){return a;}else{return b;}}void StepAdding_Search(double &a,double &b,CMatrix &mt1,CMatrix &mt2) {double t[MAX_M]={0};double h[MAX_M]={0};double f[MAX_M]={0};double result=0;double p=2.1;t[0]=0;h[0]=1;f[0]=fun(t[0],mt1,mt2);for(int k=0;k<MAX_M-1;k++){t[k+1]=t[k]+h[k];f[k+1]=fun(t[k+1],mt1,mt2);if(f[k+1]<f[k]){h[k+1]=p*h[k];result=t[k];t[k]=t[k+1];f[k]=f[k+1];}else if(k == 0){h[k]=-h[k];result=t[k+1];}else{a=Min_Num(result,t[k+1]);b=Max_Num(result,t[k+1]);}}}double Fibonacci(double &a,double &b,CMatrix mt1,CMatrix mt2){double t2,t1,result_1,result_2;t2 = a + beta*(b-a);result_2 = fun(t2,mt1,mt1);while(true){t1 = a+b-t2;result_1 = fun(t1,mt1,mt2);if(fabs(t1-t2)<eclipse){return (t1+t2)/2;}else if(result_1 < result_2){b = t1;t1 = t2;result_1 = result_2;t2 = a+beta*(b-a);result_2 = fun(t2,mt1,mt2);}else if(result_1 == result_2){a = t1;b = t2;result_2 = fun(a,mt1,mt2);}else{a = t2;t2 = t1;result_2 = result_1;}}}double distance(CMatrix &X1,CMatrix &X2) {double x1 = X1.A[0][0] - X2.A[0][0];double x2 = X1.A[1][0] - X2.A[1][0];return x1*x1 + x2*x2;}CMatrix diff_fun(CMatrix &mt){CMatrix temp(2,1);temp.A[0][0] = 2*mt.A[0][0];temp.A[1][0] = 8*mt.A[1][0];return temp;}double fanshu(CMatrix mt){return sqrt(mt.A[0][0]*mt.A[0][0] + mt.A[1][0]*mt.A[1][0]);}void main(){int i =0;int n = 2000;CMatrix temp_X1;CMatrix X1(2,1);X1.A[0][0] = 1;X1.A[1][0] = 1;CMatrix m_temp = hesse();CMatrix n_temp = diff_fun(X1);CMatrix X2 = (m_temp.Inverse()* n_temp).Matrix_Multiply(-1);double a,b;StepAdding_Search(a,b,X1,X2);double m = Fibonacci(a,b,X1,X2);temp_X1 = X1;CMatrix X3 = X1 + X2.Matrix_Multiply(m);while(distance(X1,X3) > eclipse){X1 = X3;if(i+1 == n){i = 0;X2 = m_temp.Inverse()* diff_fun(X1);}else{m = (fanshu(temp_X1)*fanshu(temp_X1))/(fanshu(X1)*fanshu(X1));X2 = diff_fun(X1).Matrix_Multiply(-1) + X2.Matrix_Multiply(m);}X1 = X3;X2 = m_temp.Inverse()* diff_fun(X1);StepAdding_Search(a,b,X1,X2);m = Fibonacci(a,b,X1,X2);X3 = X1 + X2.Matrix_Multiply(m);i++;}cout<<"求解的结果是:"<<endl;cout<<"("<<X1.A[0][0]<<","<<X1.A[1][0]<<")"<<endl;cout<<"最优解是:"<<endl;cout<<fun(m,X1,X2)<<endl;}（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
共轭梯度法c++程序
共轭梯度法c++程序共轭梯度法程序源代码 #include<stdio.h> #include<math.h> #define N 10 #define eps pow(10,-6)double f(double x[],double p[],double t){double s;s=pow(x[0]+t*p[0],2)+25*pow(x[1]+t*p[1],2);return s;}/*以下是进退法搜索区间源程序*/ void sb(double *a,double *b,doublex[],double p[]){double t0,t1,t,h,alpha,f0,f1;int k=0;t0=2.5; /*初始值*/h=1; /*初始步长*/alpha=2; /*加步系数*/f0=f(x,p,t0);t1=t0+h;f1=f(x,p,t1);while(1){if(f1<f0){h=alpha*h; t=t0;t0=t1; f0=f1;k++;}else{if(k==0){h=-h;t=t1;}else{*a=t<t1?t:t1;*b=t>t1?t:t1;break;}}t1=t0+h;f1=f(x,p,t1);}}/*以下是黄金分割法程序源代码*/ double hjfg(double x[],double p[]) {double beta,t1,t2,t; double f1,f2;double a=0,b=0;double *c,*d;c=&a,d=&b;sb(c,d,x,p);/*调用进退法搜索区间*/printf("\nx1=%lf,x2=%lf,p1=%lf,p2=%lf",x[0],x[1],p[0],p[1]); printf("\n[a,b]=[%lf,%lf]",a,b);beta=(sqrt(5)-1.0)/2; t2=a+beta*(b-a); f2=f(x,p,t2);t1=a+b-t2; f1=f(x,p,t1);while(1){if(fabs(t1-t2)<eps)break;else{if(f1<f2){t=(t1+t2)/2;b=t2; t2=t1;f2=f1; t1=a+b-t2;f1=f(x,p,t1);}else{a=t1; t1=t2;f1=f2;t2=a+beta*(b-a);f2=f(x,p,t2);}}}t=(t1+t2)/2;return t;}/*以下是共轭梯度法程序源代码*/void gtd(){double x[N],g[N],p[N],t=0,f0,mod1=0,mod2=0,nanda=0; int i,k,n;printf("请输入函数的元数值n=");scanf("%d",&n);printf("\n请输入初始值:\n");for(i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&x[i]);f0=f(x,g,t);g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];mod1=sqrt(pow(g[0],2)+pow(g[1],2));/*求梯度的长度*/ if(mod1>eps){p[0]=-g[0]; p[1]=-g[1]; k=0;while(1){t=hjfg(x,p);/*调用黄金分割法求t的值*/printf("\np1=%lf,p2=%lf,t=%lf",p[0],p[1],t);x[0]=x[0]+t*p[0]; x[1]=x[1]+t*p[1];g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];/*printf("\nx1=%lf,x2=%lf,g1=%lf,g2=%lf",x[0],x[1],g[0],g[1]);*/ mod2=sqrt(pow(g[0],2)+pow(g[1],2)); /*求梯度的长度*/if(mod2<=eps) break;else{if(k+1==n){g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];p[0]=-g[0]; p[1]=-g[1]; k=0;}else{nanda=pow(mod2,2)/pow(mod1,2);printf("\nnanda=%lf,mod=%lf",nanda,mod2);p[0]=-g[0]+nanda*p[0];p[1]=-g[1]+nanda*p[1];mod1=mod2;k++;}}printf("\n--------------------------");}}printf("\n最优解为x1=%lf,x2=%lf",x[0],x[1]); printf("\n最终的函数值为%lf",f(x,g,t));}main(){gtd();}运行结果如下:请输入函数的元数值n=2请输入初始值:2 2x1=2.000000,x2=2.000000,p1=-4.000000,p2=-100.000000[a,b]=[-4.500000,1.500000]p1=-4.000000,p2=-100.000000,t=0.020030 nanda=0.001474,mod=3.842730 --------------------------x1=1.919879,x2=-0.003022,p1=-3.845655,p2=0.003665[a,b]=[-4.500000,1.500000]p1=-3.845655,p2=0.003665,t=0.499240 --------------------------x1=-0.000026,x2=-0.001192,p1=0.000052,p2=0.059610[a,b]=[-4.500000,1.500000]p1=0.000052,p2=0.059610,t=0.020000 nanda=0.000000,mod=0.000050 --------------------------x1=-0.000025,x2=-0.000000,p1=0.000050,p2=0.000001[a,b]=[-4.500000,1.500000]p1=0.000050,p2=0.000001,t=0.495505 -------------------------- x1=-0.000000,x2=0.000000,p1=0.000000,p2=-0.000023[a,b]=[-4.500000,1.500000]p1=0.000000,p2=-0.000023,t=0.020007 最优解为x1=-0.000000,x2=-0.000000 最终的函数值为0.000000Press any key to continue。
fr共轭梯度法matlab程序
fr共轭梯度法matlab程序简介在优化问题中，求解大型的线性方程组是一项基本的任务。
共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种迭代法，用于求解形如Ax=b的线性方程组，其中A是一个对称正定矩阵，b是一个向量。
fr共轭梯度法是共轭梯度法的一种变形，它引入了Fletcher-Reeves公式，可以更快地收敛到解。
本文将详细介绍fr共轭梯度法的原理，并给出基于Matlab的实现示例，帮助读者更好地理解和应用该算法。
fr共轭梯度法原理共轭梯度法回顾在介绍fr共轭梯度法之前，我们先回顾一下共轭梯度法的原理。
共轭梯度法是一种迭代法，用于求解形如Ax=b的线性方程组。
它的基本思想是通过不断迭代的方式逼近线性方程组的解。
具体步骤如下：1.初始化：令x0为一个初始向量，r0=b-Ax0为初始残差，p0=r0为初始搜索方向。
2.迭代更新：根据一定的更新规则，计算新的搜索方向pk和步长αk，用于更新解向量xk+1。
3.残差更新：计算新的残差rk+1=b-Axk+1。
4.判断终止条件：如果满足终止条件，算法停止；否则返回步骤2。
共轭梯度法的关键在于如何选择搜索方向和步长。
在每次更新解向量时，搜索方向选择为残差的线性组合，即pk=rk+βkpk-1，其中βk由Fletcher-Reeves公式确定。
步长选择为使目标函数在搜索方向上取得最小值的约化步长。
fr共轭梯度法改进fr共轭梯度法是对共轭梯度法的一种改进，它引入了Fletcher-Reeves公式。
Fletcher-Reeves公式是通过计算两次迭代时的梯度向量的内积得到的。
具体表达式如下：βk = (rk+1’ * rk+1) / (rk’ * rk)其中rk为残差向量。
通过引入Fletcher-Reeves公式，fr共轭梯度法在选择搜索方向时更加准确，可以更快地收敛到解。
fr共轭梯度法的Matlab实现在Matlab中，我们可以通过编写相应的程序来实现fr共轭梯度法。
共轭梯度法程序
一、共轭梯度法共轭梯度法（Conjugate Gradient）是共轭方向法的一种，因为在该方向法中每一个共轭向量都是依靠赖于迭代点处的负梯度而构造出来的，所以称为共轭梯度法。
由于此法最先由Fletcher和Reeves （1964）提出了解非线性最优化问题的，因而又称为FR 共轭梯度法。
由于共轭梯度法不需要矩阵存储，且有较快的收敛速度和二次终止性等优点，现在共轭梯度法已经广泛地应用于实际问题中。
共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向d仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合，因此，存储量少，计算方便，效果好。
二、共轭梯度法的原理设有目标函数f（X）=1/2X T HX+b T X+c 式1 式中，H作为f（X）的二阶导数矩阵，b为常数矢量，b=[b1,b2,b3,...b n]T 在第k次迭代计算中，从点X（k）出发，沿负梯度方向作一维搜索，得S(K)=-∆f（X（k））式2 X(k+1)=X(k)+ɑ(k)S(k) 式3在式中，ɑ（k）为最优步长。
设与S(k）共轭的下一个方向S(k+1)由点S(k）和点X(k+1)负梯度的线性组合构，即S (k+1)=-∆f （X （k+1））+β(k)S (k) 式4 根据共轭的条件有[S (k)]T ∆2f （X (k)）S (k+1)=0 式5 把式2和式4带入式5，得-[∆f(X (k))]T ∆2f （X (k)）[-∆f （X （k+1））+β(k)S (k) ]=0 式6 对于式1，则在点X (k)和点X (k+1)的梯度可写为∆f(X (k))=HX (k)+b 式7 ∆f （X （k+1）)=HX (k+1)+b 式8 把上面两式相减并将式3代入得ɑ(k)H S (k)=∆f （X （k+1）)-∆f(X (k)) 式9 将式4和式9两边分别相乘，并代入式5得-[∆f （X （k+1）)+β(k)∆f(X (k))]T [∆f （X （k+1）)-∆f(X (k)]=0 式10 将式10展开，并注意到相邻两点梯度间的正交关系，整理后得 β（k ）=22||))((||||))1((||k X f k X f ∆+∆ 式11把式11代入式4和式3，得 S （k+1）=-∆f （X (k)）+β（k ）S （k ）X (k+1)=X （k ）+ɑ（k ）S （k ）由上可见，只要利用相邻两点的梯度就可以构造一个共轭方向。
计算方法——共轭梯度法求解线性方程组的matlab程序
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附录 2 生成系数矩阵、右端项以及阶数的 matlab 程序
附录 2 生成系数矩阵、右端项以及阶数的 matlab 程序
clc;clear; n = input('输入系数矩阵的阶数 n： '); A = zeros(n,n); A(1,1:2) = [-2,1]; A(n,n-1:n) = [1,-2]; for i=2:n-1; A(i,i-1:i+1) = [1,-2,1]; end b = zeros(n,1); b(1) = -1; b(n) = -1; csvwrite('d:\data_A.txt',A); csvwrite('d:\data_b.txt',b); csvwrite('d:\data_n.txt',n);
k1附录2生成系数矩阵右端项以及阶数的matlab程序22附录2生成系数矩阵右端项以及阶数的matlab程序clc
计算方法上机报告
附录 1 共轭梯度法求解线性方程组的 matlab 程序
clear;clc; aa = input('\n 请选择系数矩阵、右端项以及系数矩阵阶数的输 入方式：\n 从文件中输入数据输入 1，\n 从命令窗口输入数据请输 入 2。\n'); if aa==1 A = load('d:\data_A.txt'); b = load('d:\data_b.txt'); n = load('d:\data_n.txt'); end if aa==2 A = input('\n 输入系数矩阵 A(对称正定):\n'); b = input('\n 输入线性方程组的右端项 b:\n'); n = input('\n 输入系数矩阵的阶数 n：\n'); end epsilon = input('\n 输入计算要求的精度 epsilon:\n'); x(:,1) = rand(n,1); alpha = zeros(n,1); %给定初始的向量
共轭梯度法matlab程序
共轭梯度法matlab程序共轭梯度法是一种用于求解无约束优化问题的迭代算法。
以下是一个简单的MATLAB 程序示例，用于实现共轭梯度法：matlab复制代码function[x, fval, iter] = conjugate_gradient(A, b, x0, tol,max_iter)% A: 矩阵% b: 向量% x0: 初始解% tol: 容忍度% max_iter: 最大迭代次数r = b - A*x0;p = r;x = x0;fval = A*x - b;iter = 0;while (norm(r) > tol) && (iter < max_iter)Ap = A*p;alpha = dot(p, r) / dot(p, Ap);x = x + alpha*p;r = r - alpha*Ap;if iter == 0fval_new = dot(r, r);elsebeta = dot(r, r) / dot(p, Ap);p = r + beta*p;fval_new = dot(r, r);endif fval_new < fvalfval = fval_new;enditer = iter + 1;endend该程序接受一个矩阵A、一个向量b、一个初始解x0、一个容忍度tol和一个最大迭代次数max_iter作为输入，并返回最终解x、目标函数值fval和迭代次数iter。
使用该函数时，您需要将要优化的目标函数转换为矩阵形式，并调用该函数来找到最优解。
例如，假设您要最小化一个函数f(x)，可以将该函数转换为矩阵形式A*x - b，其中A是目标函数的雅可比矩阵，b是目标函数的常数项向量。
然后，您可以调用该函数来找到最优解，例如：matlab复制代码A = jacobian(f); % 计算目标函数的雅可比矩阵b = [1, 2, 3]; % 目标函数的常数项向量x0 = [0, 0, 0]; % 初始解向量tol = 1e-6; % 容忍度max_iter = 1000; % 最大迭代次数[x, fval, iter] = conjugate_gradient(A, b, x0, tol, max_iter); % 调用共轭梯度法函数求解最优解。
共轭梯度法fortran代码
共轭梯度法fortran代码共轭梯度法是一种优化算法，用于求解大型线性方程组的解。
它基于最速下降法和最小二乘法，通过迭代找到方程组的极小值点。
下面是共轭梯度法的Fortran实现代码。
代码开头需要定义方程组的系数矩阵A和右端向量b：```parameter(n=1000)double precision a(n,n),b(n),x(n)```接下来定义迭代次数和初始值：```iter=0x=0r=bp=r```然后进行迭代，直到达到指定的最大迭代次数：```do while(iter.lt.1000)iter=iter+1alpha=(dot_product(r,r))/(dot_product(p,matmul(a,p)))x=x+alpha*pr=r-alpha*matmul(a,p)beta=(dot_product(r,r))/(dot_product(p,matmul(a,p)))p=r+beta*pend do```其中dot_product是向量的内积，matmul是矩阵乘法。
这段代码中，alpha和beta是共轭梯度法的重要变量，在每一次迭代中都要重新计算。
最后输出迭代结果：```write(*,*) "Solution after", iter, " iterations:"write(*,*) x```! Define the coefficient matrix and right-hand vectora=0b=0do i=1,na(i,i)=2if(i.ne.1) thena(i,i-1)=-1end ifif(i.ne.n) thena(i,i+1)=-1end ifb(i)=iend do! Set initial valuesiter=0x=0r=bp=rend program conjugate_gradient```这是一个简单的共轭梯度法Fortran实现，可以进行进一步的优化和改进以适应更复杂的问题。
共轭梯度法的C程序代码
(1-x[1])*(1-x[1])+(1-x[4])*(1-x[4])+(x[1]*x[1]-x[2])*(x[1]*x[1]x
[2])+(x[2]*x[2]-x[3])*(x[2]*x[2]-x[3])+(x[3]*x[3]-x[4])*(x[3]*x[ 3]-x[4]);//例二
} double vecFun_Si(vector vx){ //不等式约束函数 double x[SIZE]; for(int i=0;i<vx.dimension;++i) x[i+1]=vx.elem[i]; return x[1]+1;//不等式约束函数 } double vecFun_Hi(vector vx){
double vecMultiply(vector a, vector b){ //行向量与列向量乘法运算 if((a.tag!=b.tag)&&(a.dimension==b.dimension)){//相乘条件 double c=0; for(int i=0;i<a.dimension;++i) c+=a.elem[i]*b.elem[i]; return c; } } vector vecAdd(vector a, vector b){ //向量加法运算 if((a.tag==b.tag)&&(a.dimension==b.dimension)){//相加条件 vector c; c.dimension=a.dimension; c.tag=a.tag; for(int i=0;i<c.dimension;++i) c.elem[i]=a.elem[i]+b.elem[i]; return c; } } vector vecConvert(vector a){ //向量转置 if(a.tag==0)a.tag=1;
FR共轭梯度法实验及其程序代码
实验报告2FR共轭梯度法1 实验目的掌握外法函数法2 实验内容外罚函数法3 算法设计①编写主函数：function [min,answ]=OuterPenaltyFunction(x0,eps)实现外罚函数法②定义function y=PFun(x)用以实现求目标函数的一阶导数；③定义测试函数: function y=Fun(x)。
4 程序代码（一）外罚函数法程序代码function [min,answ]=OuterPenaltyFunction(x0,eps)%% ---- 该程序用以实现外罚函数法%% Input：% x0 ---- 初始点% eps ---- 搜索精度%% output：% min ---- 目标函数最优值% answ ---- 最优搜索点syms x1 x2xk=x0;c=10; %罚因子放大系数33deta=0.1; %罚因子while (1)fun=Fun([x1 x2])+deta*PFun([x1,x2]); %惩罚函数f=inline(fun);[min,answ]=FR_Conjugate_gradient(f, xk,eps);%调用FR迭代法函数求确定罚函数最优解if double(deta*PFun(answ))<epsbreakenddeta=c*deta;xk=answ;endansw=xk;min=double(Fun(xk));function y=PFun(x)%% ---- 该函数用以定义惩罚项函数%% Input：% x ---- 自变量%% output：% y ---- 因变量syms x1 x2syms x1 x2x1=x(1);% x2=x(2);y=(x1+1)^2;function y=Fun(x)%% ---- 该函数用以定义测试函数%% Input：% x ---- 自变量%% output：% y ---- 因变量syms x1 x2x1=x(1);x2=x(2);y=x1^2+x2^2;（二）FR共轭梯度法程序代码：function [min,answ]=FR_Conjugate_gradient(Fun, x0,eps)%% ---- 改程序用以实现FR共轭梯度法%% Input：% x0 ---- 初始点% eps ---- 搜索精度%% output：% min ---- 目标函数最优值% answ ---- 最优搜索点syms beta alphk=1;%迭代次数xk=x0;temp=1;while(norm(DFun(Fun,xk))>eps)if (k==1)pk=-DFun(Fun,xk);elsebeta=DFun(Fun,xk)'*DFun(Fun,xk)/temp;pk=-DFun(Fun,xk)+beta*pk;endtemp=DFun(Fun,xk)'*DFun(Fun,xk);temp2=xk+alph*pk';fun=Fun(temp2(1),temp2(2));fun=inline(fun);[min,answ]=OneDimentionSearch(fun,0,0.08,eps);%调用精确一维搜索求步长xk=xk+answ*pk';%answ即为所求的步长k=k+1 ;endansw=xk;min=double(Fun(xk(1),xk(2)));function y=DFun(Fun,x)%% ---- 改函数用以实现求目标函数的一阶导数%% Input：% x ---- 求导点%% output：% y ---- 目标函数的一阶导数在x点的值syms x1 x2f=Fun(x1,x2);f1=diff(f,x1);f2=diff(f,x2);f1=subs(f1,{x1,x2},x);f2=subs(f2,{x1,x2},x);y=[double(f1),double(f2)]';（三）精确一维搜索程序代码：function [min,answ]=OneDimentionSearch(Fun,x0,step,eps) %% ---- 改程序用以实现一维搜索算法%% Input：% Fun ---- 一维精确搜索函数% x0 ---- 初始点% step ---- 搜索步长% eps ---- 搜索精度%% output：% min ---- 目标函数最优值% answ ---- 最优搜索点%%% 求初始区间[a,b]=AdvanceAndRetreat(Fun,x0,step);%黄金分割法实现一维搜索[min,answ] =GoldSection(Fun,a,b,eps);function [min,answ] =GoldSection(Fun,a,b,eps)%% ---- 改函数用以实现黄金搜索法%% Input：% Fun ---- 一维精确搜索函数% a ---- 搜索区间的左端点% b ---- 搜索间隔的右端点% eps ---- 搜索精度%% output：% min ---- 目标函数最优值% wnsw ---- 最优搜索点%%format longx1=a+.382*(b-a);x2=a+.618*(b-a);while(abs(b-a)>eps)f1=Fun(x1);f2=Fun(x2);% 比较判断两个分割点处的函数值，进而缩短区间长度if(f1>f2)a=x1; x1=x2;x2=a+.618*(b-a);elseif(f1==f2)a=x1; b=x2;x1=a+.382*(b-a);x2=a+.618*(b-a);elseb=x2;x2=x1;x1=a+.382*(b-a);endend% 返回搜索点和搜索值answ=(a+b)/2;min=Fun(answ);function [a,b]=AdvanceAndRetreat(Fun,x0,step)%% ---- 改函数用以实现进退法求初始区间%% Input：% Fun ---- 一维精确搜索函数% x0 ---- 初始点% step ---- 搜索间隔%% output：% a ---- 搜索区间的左端点% b ---- 搜索间隔的右端点x1=x0+step;if Fun(x1)<=Fun(x0)while(1)step=2*step;x2=x1+step;if Fun(x1)<=Fun(x2)break;else x0=x1;x1=x2;endenda=x0;b=x2;elsewhile(1)step=2*step;x2=x0-step;if Fun(x0)<=Fun(x2)break;else x1=x0;x0=x2;endenda=x2;b=x1;end5 运行结果测试函数为：01..)(min 12221=++=x t s x x x f该函数是教材第147页例4.2.2，其结果与书上的结果近似相等（因为存在微小迭代误差）。
最优化问题共轭梯度法法代码
最优化问题共轭梯度法法代码x本文介绍了最优化问题共轭梯度法法的代码实现，以及如何使用代码解决最优化问题。
一、共轭梯度法简介共轭梯度法是一种常用的最优化算法，它是一种经典的迭代方法，用于求解凸函数的极值问题。
其基本思想是：在每一步，沿着梯度下降的方向迭代，直到梯度为零就停止迭代。
共轭梯度法的迭代公式为：$$x_{k+1}=x_k+alpha_k p_k$$其中，$alpha_k$ 是步长参数，$p_k$ 是当前搜索方向，$x_k$ 是当前点的位置。
二、代码实现1.函数定义```python# 共轭梯度法# 入参：函数func，梯度函数grad，初始点x0，步长参数alpha，精度epsilon# 出参：求解的最优点xdef conjugate_gradient_method(func, grad, x0, alpha, epsilon):```2.初始化搜索方向```python# 初始化搜索方向p_k = -grad(x_k)```3.更新迭代点```python# 更新迭代点x_k = x_k + alpha * p_k```4.更新搜索方向```python# 更新搜索方向beta_k = (grad(x_k) * grad(x_k)) / (grad(x_k_prev) * grad(x_k_prev))p_k = -grad(x_k) + beta_k * p_k_prev```5.检查终止条件```python# 检查终止条件if np.linalg.norm(grad(x_k)) < epsilon:break```6.完整代码```python# 共轭梯度法# 入参：函数func，梯度函数grad，初始点x0，步长参数alpha，精度epsilon# 出参：求解的最优点xdef conjugate_gradient_method(func, grad, x0, alpha, epsilon):x_k = x0p_k = -grad(x_k)while np.linalg.norm(grad(x_k)) > epsilon:x_k_prev = x_kp_k_prev = p_kline_search = line_search_method(func, grad, p_k, x_k, alpha)x_k = x_k + line_search * p_kbeta_k = (grad(x_k) * grad(x_k)) / (grad(x_k_prev) * grad(x_k_prev))p_k = -grad(x_k) + beta_k * p_k_prevreturn x_k```三、如何使用代码解决最优化问题1.确定问题首先，我们需要确定最优化问题，即构造一个函数，其中包含我们想要优化的目标函数以及约束条件。
实例共轭梯度法
实例共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代的优化算法，适用于求解无约束优化问题。
这种方法通过不断迭代，逐步逼近最优解。
在共轭梯度法中，每次迭代包括以下步骤：1. 计算负梯度方向：根据当前点的梯度计算负梯度方向。
2. 计算共轭方向：根据当前点的梯度和负梯度方向计算共轭方向。
3. 确定搜索方向：根据负梯度方向和共轭方向确定搜索方向。
4. 确定步长：根据搜索方向和目标函数确定步长。
5. 更新当前点：根据搜索方向和步长更新当前点。
6. 判断是否达到收敛条件：如果满足收敛条件，停止迭代；否则，继续迭代。
下面是一个简单的Python代码示例，演示了共轭梯度法的基本实现：```pythonimport numpy as npdef conjugate_gradient(f, df, x0, tol=1e-10, max_iter=1000):初始化x = x0r = -df(x) 负梯度方向p = r 共轭方向rsold = (r) 存储旧残差的平方for i in range(max_iter):计算搜索方向alpha = rsold / ((df(x))) 步长更新当前点x = x + alpha p计算新的残差和旧残差的差值rnew = -df(x)rsnew = (rnew)计算共轭方向和搜索方向的夹角余弦值 cos_theta = rsnew / rsold更新共轭方向和搜索方向p = rnew + cos_theta prsold = rsnew 更新残差的平方检查收敛条件if (rnew) < tol:breakreturn x, i+1, (rnew)```这个代码示例中，`f`是目标函数，`df`是目标函数的梯度函数，`x0`是初始点，`tol`是收敛精度，`max_iter`是最大迭代次数。
在函数内部，首先初始化当前点、负梯度方向和共轭方向，然后进入迭代过程。
在每次迭代中，根据负梯度方向和共轭方向计算搜索方向，并根据目标函数确定步长。
共轭梯度法C语言实现
/*------------更新 r ----------------*/
for(r2=0.0,i=0;i<n;i++){
for(rA[i]=0.0,j=0;j<n;j++)
rA[i]+=A[i][j]*x[j]; r[i]=b[i]-rA[i];
for(j=0;j<n;j++) fin>>A[i][j]; } for(j=0;j<n;j++) fin>>b[j]; fin.close();
/*--------------------------------*/
第1页
共轭梯度法.txt printf("迭代次数 = %d\n",Gong(A,b,x,n)); print(x,n);
for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<n;j++)
printf("%f\t",A[i][j]); printf("\n");
} }
第5页
/*--------------------------------------*/
}
/*-----------计算步长 a ----------------*/
for(r2=0.0,r1=0.0,i=0;i<n;i++){
for(rA[i]=0.0,j=0;j<n;j++) 第3页
共轭梯度法.txt
for(i=0;i<n;i++)x[i]=0.0;
共轭梯度法的matlab源程序
共轭梯度法的matlab源程序functiong=conjugate_grad_2d(x0,t)%please input thisconjugate_grad_2d([2,2],0.05)x=x0;syms xi yiaf=xi^2-xiyi+3yi^2;fx=diff(f,xi);fy=diff(f,yi);fx=subs(fx,{xi,yi },x0);fy=subs(fy,{xi,yi},x0);fi=[fx,fy];count=0;whiledouble(sqrt(fx^2+fy^2))ts=-fi;ifcount=0s=-fi;elses=s1;endx=x+as;f=subs(f,{xi,yi},x);f1=diff(f);f1=solve(f1);iff1~=0ai=double(f1);elsebreakx,f=subs(f,{xi,yi},x),countend x=subs(x,a,ai);f=xi^2-xiyi+3yi^2;fxi=diff(f,xi);fyi=diff(f,yi);f xi=subs(fxi,{xi,yi},x);fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);fii=[fxi,fyi];d=(fxi^ 2+fyi^2)(fx^2+fy^2);s1=-fii+ds;count=count+1;fx=fxi;fy =fyi;endx,f=subs(f,{xi,yi},x),count史锋的共轭梯度法matlab程序以函数f=1-(1/(sqrt(2*pi)))*(exp((-(xi-3)^2+yi^2)/2)+0.6*exp((-(xi+3)^2+yi^2)/2));为例求解最小值function f=conjugate_gradient(x0,eps)x=x0;syms xi yi af=1-(1/(sqrt(2*pi)))*(exp((-(xi-3)^2+yi^2)/2)+0.6*exp((-(xi+3)^2+yi^2)/2));fx=diff(f,xi);fy=diff(f,yi);fx=subs(fx,{xi,yi},x0);fy=subs(fy,{xi,yi},x0);fi=[fx,fy];n=0;while double(sqrt(fx^2+fy^2))>epss=-fi;if n<=0s=-fi;elses=s1;endx=x+a*s;f=subs(f,{xi,yi},x);f1=diff(f);f1=solve(f1);if f1~=0ai=double(f1);elsebreakx,nendx=subs(x,a,ai);f=1-(1/(sqrt(2*pi)))*(exp((-(xi-3)^2+yi^2)/2)+0.6*exp((-(xi+3)^2+yi^2)/2));fxi=diff(f,xi);fyi=diff(f,yi);fxi=subs(fxi,{xi,yi},x);fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);fii=[fxi,fyi];d=(fxi^2+fyi^2)/(fx^2+fy^2);s1=-fii+d*s; %搜索方向n=n+1; %搜索次数fx=fxi;fy=fyi;endx,n%请输入:conjugate_gradient([0,0],10^(-6))后运行中国振动联盟标题: 共轭梯度法的matlab源程序[打印本页]作者: suffer 时间: 2006-10-11 09:15 标题: 共轭梯度法的matlab源程序1.function g=conjugate_grad_2d(x0,t)2.%please input this:conjugate_grad_2d([2,2],0.05)3.x=x0;4.syms xi yi a5.f=xi^2-xi*yi+3*yi^2;6.fx=diff(f,xi);7.fy=diff(f,yi);8.fx=subs(fx,{xi,yi},x0);9.fy=subs(fy,{xi,yi},x0);10.fi=[fx,fy];11.count=0;12.while double(sqrt(fx^2+fy^2))>t13.s=-fi;14.if count<=015.s=-fi;16.else17.s=s1;18.end19.x=x+a*s;20.f=subs(f,{xi,yi},x);21.f1=diff(f);22.f1=solve(f1);23.if f1~=024.ai=double(f1);25.else26.break27.x,f=subs(f,{xi,yi},x),count28.end29.x=subs(x,a,ai);30.f=xi^2-xi*yi+3*yi^2;31.fxi=diff(f,xi);32.fyi=diff(f,yi);33.fxi=subs(fxi,{xi,yi},x);34.fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);35.fii=[fxi,fyi];36.d=(fxi^2+fyi^2)/(fx^2+fy^2);37.s1=-fii+d*s;38.count=count+1;39.fx=fxi;40.fy=fyi;41.end42.x,f=subs(f,{xi,yi},x),count复制代码本程序由tammy友情提供作者: bainhome 时间: 2006-10-15 23:40这段代码是我编的吧，函数名称命名风格一看就是自己...^_^当时刚学没几天，代码里大段大段的都是符号工具箱里的函数，运行慢得要死要活。
共轭梯度法求极小值
应用共轭梯度法求解方程组121242x x x x +=⎧⎨-=⎩的根。
初始值(0)(0,0)T x = 分析：将方程组Ax b =转化为优化问题中的极值问题然后应用共轭梯度法进行求解。
令()R x Ax b =-，只需求得x ，使得()R x 取得最小值。
则有： min ()R x ⇔2min ()R x min T R R ⇔()()()()()()()()2T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T R R Ax b Ax b X A b Ax b X A AX X A b b Ax b bX A AX X A b b Ax b bX A A X b AX b Ax b bX A A X b AX b b=--=--=--+=--+=--+=-+这是一个数 与1()2T T f x x Gx b x c =++比较 则有：2,()22T T T G A A g x A A A b ==- 回到题目问题中，则对应有124124012,,04444x G g b x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭也就是应用共轭梯度法求点使221212()2212420f x x x x x =+--+取得最小值。
程序清单：#include <stdio.h>#include <math.h>double a,b,s[2]; /*全局变量*/double E=1e-6;double F(double x1,double x2){double y;y=2*x1*x1+2*x2*x2-12*x1-4*x2+20;return (y);}void qujian(double x1,double x2) /*用前进后退法求a 的探索区间*/ {double a0=0,h=1,a1,a2,f1,f2,X1,X2,X3,X4;a1=a0;a2=a0+h;X1=x1+a1*s[0];X2=x2+a1*s[1];f1=F(X1,X2);X3=x1+a2*s[0];X4=x2+a2*s[1];f2=F(X3,X4);if (f1>f2){while(1){h=h*2;a2=a2+h;f1=f2;X3=x1+a2*s[0];X4=x2+a2*s[1];f2=F(X3,X4);if (f1>f2) {a1=a2-h;}else{a=a1;b=a2;break;}}}else{h=-h/4;while(1){a1=a1+h;f2=f1;X1=x1+a1*s[0];X2=x2+a1*s[1];f1=F(X1,X2);if(f1<f2) {a2=a1-h;h=2*h;}else{a=a1;b=a2;break;}}}}double MIN(double x1,double x2) /*二次插值法求a的最小值*/ {double x01,x02,x03,x0,xmin;double f1,f2,f3,f;double X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8;double h=(b-a)/2;double k1,k2;x01=a;x02=a+h;x03=b;X1=x1+x01*s[0];X2=x2+x01*s[1];X3=x1+x02*s[0];X4=x2+x02*s[1];X5=x1+x03*s[0];X6=x2+x03*s[1];f1=F(X1,X2);f2=F(X3,X4);f3=F(X5,X6);while (1){k1=(f3-f1)/(x03-x01);k2=((f2-f1)/(x02-x01)-k1)/(x02-x03);x0=(x01+x03-k1/k2)/2;X7=x1+x0*s[0];X8=x2+x0*s[1];f=F(X7,X8);if(fabs(x0-x02)<=E){xmin=x0;break;}else if(x02<x0){if(f2<f){x03=x0;f3=f;}else{x01=x02;f1=f2;x02=x0;f2=f;}}else{if(f2<f){x01=x0;f1=f;}else{x03=x02;f3=f2;x02=x0;f2=f;}}}return(xmin);}void main(){double g[3],m1,m2,b;int n=2,k=0;double x1=0,x2=0; /*起始点*/g[1]=4*x1-12;g[2]=4*x2-4;m1=g[1]*g[1]+g[2]*g[2];s[0]=-g[1];s[1]=-g[2];while(1){qujian(x1,x2);a=MIN(x1,x2); /*求a的探索区间*/x1=x1+a*s[0];x2=x2+a*s[1];g[1]=4*x1-12;m2=g[1]*g[1]+g[2]*g[2];if(sqrt(g[1]*g[1]+g[2]*g[2])<=E)break;if(k+1==n){g[1]=4*x1-12;g[2]=4*x2-4;s[0]=-g[1];s[1]=-g[2];}else{b=m2/m1;s[0]=-g[1]+b*s[0];s[1]=-g[2]+b*s[1];k=k+1;}printf("最优解：\n X1=%f\n X2=%f\n",x1,x2);}}运行结果：最优解：X1=3.000000X2=1.000000。
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printf("\n[a,b]=[%lf,%lf]",a,b);
beta=(sqrt(5)-1.0)/2;
t2=a+beta*(b-a); f2=f(x,p,t2);
t1=a+b-t2; f1=f(x,p,t1);
printf("\n请输入初始值:\n");
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%lf",&x[i]);
f0=f(x,g,t);
g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];
mod1=sqrt(pow(g[0],2)+pow(g[1],2));/*求梯度的长度*/
if(mod1>eps)
return s;
}
/*以下是进退法搜索区间源程序*/
void sb(double *a,double *b,double x[],double p[])
{
double t0,t1,t,h,alpha,f0,f1;
int k=0;
t0=2.5; /*初始值*/
h=1; /*初始步长*/
alpha=2; /*加步系数*/
k++;
}
}
printf("\n--------------------------");
}
}
printf("\n最优解为x1=%lf,x2=%lf",x[0],x[1]);
printf("\n最终的函数值为%lf",f(x,g,t));
}
main()
{
gtd();
}
运行结果如下：
请输入函数的元数值n=2
x1=-0.000025,x2=-0.000000,p1=0.000050,p2=0.000001
[a,b]=[-4.500000,1.500000]
p1=0.000050,p2=0.000001,t=0.495505
--------------------------
x1=-0.000000,x2=0.000000,p1=0.000000,p2=-0.000023
x1=-0.000026,x2=-0.001192,p1=0.000052,p2=0.059610
[a,b]=[-4.500000,1.500000]
p1=0.000052,p2=0.059610,t=0.020000
nanda=0.000000,mod=0.000050
--------------------------
请输入初始值:
2 2
x1=2.000000,x2=2.000000,p1=-4.000000,p2=-100.000000
[a,b]=[-4.500000,1.500000]
p1=-4.000000,p2=-100.000000,t=0.020030
nanda=0.001474,mod=3.842730
f0=f(x,p,t0);
t1=t0+h;
f1=f(x,p,t1);
while(1)
{
if(f1<f0)
{
h=alpha*h; t=t0;
t0=t1; f0=f1;
k++;
}
else
{
if(k==0)
{h=-h;t=t1;}
else
{
*a=t<t1?t:t1;
*b=t>t1?t:t1;
break;
}
共轭梯度法程序源代码
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 10
#define eps pow(10,-6)
double f(double x[],double p[],double t)
{
double s;
s=pow(x[0]+t*p[0],2)+25*pow(x[1]+t*p[1],2);
while(1)
{
if(fabs(t1-t2)<eps)
break;
else
{
if(f1<f2)
{
t=(t1+t2)/2;
b=t2; t2=t1;
f2=f1; t1=a+b-t2;
f1=f(x,p,t1);
}
else
{
a=t1; t1=t2;
f1=f2;
t2=a+beta*(b-a);
f2=f(x,p,t2);
/*printf("\nx1=%lf,x2=%lf,g1=%lf,g2=%lf",x[0],x[1],g[0],g[1]);*/
mod2=sqrt(pow(g[0],2)+pow(g[1],2)); /*求梯度的长度*/
if(mod2<=eps) break;
else
{
if(k+1==n)
{
g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];
[a,b]=[-4.500000,1.500000]
p1=0.000000,p2=-0.000023,t=0.020007
最优解为x1=-0.000000,x2=-0.000000
最终的函数值为0.000000
Press any key to continue
p[0]=-g[0]; p[1]=-g[1]; k=0;
}
else
{
nanda=pow(mod2,2)/pow(mod1,2);
printf("\nnanda=%lf,mod=%lf",nanda,mod2);
p[0]=-g[0]+nanda*p[0];
p[1]=-g[1]+nanda*p[1];
mod1=mod2;
}
}
}ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t=(t1+t2)/2;
return t;
}
/*以下是共轭梯度法程序源代码*/
void gtd()
{
double x[N],g[N],p[N],t=0,f0,mod1=0,mod2=0,nanda=0;
int i,k,n;
printf("请输入函数的元数值n=");
scanf("%d",&n);
}
t1=t0+h;
f1=f(x,p,t1);
}
}
/*以下是黄金分割法程序源代码*/
double hjfg(double x[],double p[])
{
double beta,t1,t2,t;
double f1,f2;
double a=0,b=0;
double *c,*d;
c=&a,d=&b;
sb(c,d,x,p);/*调用进退法搜索区间*/
--------------------------
x1=1.919879,x2=-0.003022,p1=-3.845655,p2=0.003665
[a,b]=[-4.500000,1.500000]
p1=-3.845655,p2=0.003665,t=0.499240
--------------------------
{
p[0]=-g[0]; p[1]=-g[1]; k=0;
while(1)
{
t=hjfg(x,p);/*调用黄金分割法求t的值*/
printf("\np1=%lf,p2=%lf,t=%lf",p[0],p[1],t);
x[0]=x[0]+t*p[0]; x[1]=x[1]+t*p[1];
g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];