3-6理想流体模型-定常流动-伯努利方程

p v2 h 常量
g 2g
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p
g
、v 2 2g
、h
三项都相当于长度，分别
叫做压力头、速度头、水头。
所以伯努利方程表明在同一管道的任一处，压 力头、速度头、水头之和是一常量，对作稳定 流动的理想流体，用这个方程对确定流体内部 压力和流速有很大的实际意义，在水利、造船、 航空等工程部门有广泛的应用。
流管：在流体中任何一束流线都可形成流管[图 (b)]．
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三、伯努利方程
伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明了
理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的压 强p、流速v和高度h三个量之间的关系.
下面用功能原理导出伯努利方程。
如图所示，我们研 究管道中一段流体的运 动。设在某一时刻，这 段流体在a1a2位置，经 过极短时间t后，这段 流体达到b1b2位置
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a1 b1
p2 S2
v
1
h1
a2 b2
v h2p2 S2 2
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现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。 假设流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁 对这段流体的作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。 所以流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体 对它作功。在它后面的流体推它前进，这个作用力作正 功；在它前面的流体阻碍它前进，这个作用力作负功。
例题3-11 水电站常用水库出水管道处水流的动 能来发电．出水管道的直径与管道到水库水面高 度h相比为很小，管道截面积为S．试求出水处水 流的流速和流量。
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解：把水看作理想流体．在水库中出水管道很小，
水流作定常流动．如图所示，在出水管中取一条流 线ab.在水面和管口这两点处的流速分别为va和vb.在 大水库小管道的情况下，水面的流速va远比管口的 的小，可以忽略不计， 即va=0.取管口处高度为
*§3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程
一、理想流体模型
流体：液体和气体都具有流动性，统称为流体。
流体特点：流体各部分很容易发生相对运动，因而没 有固定的形状，其形状随容器的形状而异．液体不易 被压缩，具有一定的体积，能形成自由表面；气体易 被压缩，没有固定的体积，不存在自由表面，可弥漫 于整个容器内的空间．
0，则水面高度为h.在a、
b两点的压强都是大气 压pa=pb=p0．由伯努利 方程，得
1 2
vb2
p0
gh
p0
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式中ρ是水的密度，由此求出
vb 2gh
即管口流速和物体从高度h处自由落下的速度相等． 流量是单位时间内从管口流出的流体体积，常用Q 表示，根据这个定义，可得
Q Svb S 2gh
量是
E2
E1
(
1 2
mv
2
2
mgh2
)
(
1 2
m
v2 1
mgh1)
V [( 1
2
v2 2
gh2
)
(1 2
v12
gh1 )]
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从功能原理得
( p1
p2 )V
V
[(
1 2
百度文库
v
2
2
gh2
)
(
1 2
v12
gh1 )]
整理后得
p1
1 2
v12
gh1
p2
1 2
v
2
2
gh2
这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处， 流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个 常量。在工程上，上式常写成
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A P1S1V1 P2 S2V2 t
因为流体被认为不可压缩。所以a1b1和a2b2两小段流体
的体积S1v1t和S2v2t必然相等，用V表示，则上式可
写成
A P1 P2 V
其次，计算这段流体在流动中能量的变化对于稳定
流动来说，在b1a2间的流体的动能和势能是不改变的。 由此，就能量的变化来说，可以看成是原先在a1b1处的 流体，在时间t内移到了a2b2处，由此而引起的能量增
例题3-12 测流量的文特利 流量计如图所示．若已知 截面S1和S2的大小以及流 体密度ρ，由两根竖直向 上的玻璃管内流体的高度 差h，即可求出流量Q．
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解：设管道中为理想流体作定常流动，由伯努利方程，
得
1 2
v12
p1
1 2
v22
P2
因p1-p2=ρgh，又根据连续性方程，有
二、定常流动
定常流动：流体流动时，其中任一质元流过不同地 点的流速不尽相同，而且流经同一地点，其流速也 会随时间而变．但在某些常见的情况下，尽管流体 内各处的流速不同，而各处的流速却不随时间而变 化，这种流动称为定常流动．
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流线：为了描述流体的运动，可在流体中作一系列曲 线，使曲线上任一点的切线方向都与该点处流体质元 的速度方向一致．这种曲线称为流线[图 (a)]
由此解得
S1v1 S2v2
v1
S2 S1
v2
S2
2gh S12 S22
于是求出流量为
Q S1v1 S1S2
2gh S12 S22
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选择进入下一节 §3-0 教学基本要求 §3-1 刚体模型及其运动 §3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 §3-7 牛顿力学的内在随机性 混沌
在一些实际问题中，当可压缩性和黏滞性只是 影响运动的次要因素时，可把流体看作绝对不可压 缩，且完全没有黏性的理想流体．
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当理想流体流动时，由于忽略了黏性力，所以 流体各部分之间也不存在这种切向力，流动流体仍 然具有静止流体内的压强的特点，即压力总是垂直 于作用面的．
流体动压强：流体在流动时内部的压强称为流体动 压强．
因为时间t极短，所以a1b1和a2b2是两段极短的位移， 在每段极短的位移中，压强p、截面积S和流速v都可看 作不变。设p1、S1、v1和p2、S2、v2分别是a1b1与a2b2处 流体的压强、截面积和流速，则后面流体的作用力是 p1S1，位移是v1 t，所作的正功是p1S1v1 t ，而前面 流体作用力作的负功是-p2S2v2 t ，由此，外力的总 功是：