(整理)函数应用零点二分法知识点和练习.

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《用二分法求函数的零点》讲义

《用二分法求函数的零点》讲义一、什么是函数的零点在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。

简单来说，如果存在一个实数 x₀，使得函数 f(x₀) ＝ 0，那么 x₀就是函数f(x) 的零点。

例如，对于函数 f(x) ＝ x 1，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0，解得 x ＝ 1。

所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。

函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，它在解决方程的根、函数的性质等问题中具有重要的作用。

二、为什么要用二分法求函数的零点在实际问题中，我们经常需要找到函数的零点，但有些函数的零点很难直接通过解方程得到。

这时候，二分法就成为了一种非常有效的方法。

二分法的基本思想是通过不断缩小零点所在的区间，逐步逼近零点的精确值。

它利用了函数的连续性和介值定理，即如果函数在一个区间的两端点取值异号，那么在这个区间内必然存在至少一个零点。

相比于其他复杂的数值方法，二分法简单易懂，计算量相对较小，并且在一定条件下能够保证收敛到零点的近似值。

三、二分法的原理假设函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a) × f(b) ＜0），那么根据零点存在定理，在区间（a, b) 内至少存在一个零点。

我们取区间的中点 c ＝（a ＋ b) ／ 2，计算 f(c) 的值。

如果 f(c) ＝ 0，那么 c 就是函数的零点。

如果 f(c) 与 f(a) 异号，那么零点就在区间 a, c 内，我们就把区间 a,b 缩小为 a, c。

如果 f(c) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 c, b 内，我们就把区间 a,b 缩小为 c, b。

这样不断重复上述步骤，每次都将区间缩小一半，直到区间的长度足够小，或者达到我们所要求的精度，此时区间的中点就可以作为零点的近似值。

四、二分法的具体步骤1、确定初始区间 a, b，使得 f(a) × f(b) ＜ 0。

二分法求函数零点的近似解及零点个数

函数与方程一、目标认知学习目标(1)进一步了解函数的广泛应用；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解.难点对函数零点的性质，二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解.二、知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.3.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.变号零点与不变号零点如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导1．如何求函数的零点？答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标.2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.经典例题透析类型一、求函数的零点1．求下列函数的零点.(1)；(2).思路点拨：根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.解：(1)由得，所以函数的零点是；(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是1，-1.总结升华：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.解：(1)由求根公式解得(2)方程可化为由知所以函数的零点为1，-3；函数的零点为-3，1，2.总结升华：三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.【变式2】（2011 山东理16）已知函数，当时，函数的零点,则___________． .解：用数形结合法作出及的图象，作出及由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．类型二、确定函数零点的个数2．二次函数中，，则函数的零点的个数是( ) A．1 B．2 C．0 D．无法确定思路点拨：可以利用函数图象或方程的判别式.解法1：∴方程有两个不相等的实数根∴函数有两个零点，选B.解法2：，不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B. 类型三、用二分法求函数的零点的近似值3．求函数的一个正数零点(精确到0.1).解：由于，可取区间作为计算的初始区间，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.总结升华：应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.举一反三：【变式1】用二分法求函数的一个正零点（精确到）解：⑴由，可知函数的一个正零点在区间中；⑵取的区间中点；⑶计算；⑷由于，则有零点的新区间为⑸取的区间中点；⑹计算；⑺由于，则有零点的新区间为；⑻取的区间中点；⑼计算；⑽由于，则有零点的新区间为；⑾取的区间中点；⑿计算；⒀由于，则有零点的新区间为；⒁取的区间中点⒂计算；⒃由于，则有零点的新区间为；⒄取的区间中点；⒅计算；⒆由于，⒇由于，则有零点的新区间为；又因为零点要求精确到，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数的一个正零点为：2.24.类型四、用二分法解决实际问题4．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500，1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格.总结升华：此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学，在实际生活中处处有数学，碰到问题多用数学方法去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养.基础达标一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）A. B. C. D.2.有两个互为相反数的零点的函数( )A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3.（2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知，则下列说法中正确的是( )A.在上必有且只有一个零点B.在上必有正奇数个零点C.在上必有正偶数个零点D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点6.函数在区间内的函数值( )A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于07.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )二、填空题1.三次方程在下列连续整数____________之间有根.①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与32.函数的零点是__________.三、解答题1.用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).9总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。

函数应用零点二分法知识点和练习

一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

二分法求函数的零点

零点是一个实数，就是方程f(x)=0的实根
2.方程的根与函数的零点的关系：
方程 f(x)＝0 有实数根函数 y＝f(x) 的图象与x轴有交点函数 y＝f(x) 有零点二、零点存在性定理
定理
如果函数 y f ( x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0 ，那么，函数 y f ( x) 在区间 a , b 内有零点，
数形结合二零点存在性定理上的图象是连续不断的一条曲线并且有内有零点即存在2将yfx变形判断两图象交点个数1求相应方程fx0的根3利用函数的图象性质零点存在性条件去求从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障
一：函数零点的概念：
1.定义：对于函数 y f ( x)
我们把使 f ( x) 0 的实数 x 叫做函数 y f ( x) 的零点思考：1、零点是不是点？
引例
从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？(每50米一根电线杆)
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查. 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段, 3.再到BC段中点D, 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段, 5.再到CD中点E来看. 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,
1、确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ； 2、求区间（a,b）的中点c， 3、计算f(c)

2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件4.4.2计算函数零点的二分法

正常,就选择CA的中点D测试;如果DA段正常,就选择DC的中点E继续测
试……像检修线路所用的这种方法称作二分法.
2.用二分法求函数零点近似值的一般操作方法:
设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上
的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得
次数 a,+
b,-
a+b
m=
2
1
-3
-2
-2.5
1.25
1
2
-2.5
-2
-2.25
0.062 5
0.5
3
-2.25
-2
-2.125
-0.484 4
0.25
4
-2.25
-2.125
-2.187 5
-0.214 8
0.125
f(m)的近似值
区间长 b-a
得出零点的近似值为-2.187 5,误差不超过0.07.
2
解析 ∵f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,f
∴下一个含零点的区间是
3
,2
2
.
3
2
3
=ln2
.
−
1
<0,
2
1 2 3 4 5 6
6.用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点的近似值(误差不
超过0.1).(参考数据:1.3753≈2.600,1.312 53≈2.261)
4
1.375
1.5
1.437 5
-0.029 5
0.125
f(m)的近似值
区间长 b-a
得出零点的近似值为 1.437 5,误差不超过 0.07.

(整理版)用二分法求函数零点

用二分法求函数零点二分法是求函数图象连续不间断的函数变号零点的一种算法．使用二分法求零点须满足：①()y f x =在闭区间[]a b ，上的图象连续不间断；②()()0f a f b <．二分法不适合不变号零点的情况．二分法求零点的根本方法是：第一步取初始区间[]a b ，，使()()0f a f b <，且所给区间恰好能找到函数的一个零点；第二步取区间[]a b ，的中点1x ，求1()f x 的值，并作出判断，假设11()0f x x =，就是所求零点，计算结束；假设1()0f x ≠，判定零点是在区间1[]a x ，还是在1[]x b ，上，即判断1()()0f a f x <，1()()0f x f b <哪一个成立，从而进入下一步计算；第三步对已确定的区间，重复第二步，直到到达规定的误差要求，计算结束.实施上述步骤，函数的零点总位于区间[]n n a b ，，当 2n n a b ε-<时，区间[]n n a b ，的中点1()2n n n x a b =+就是函数()y f x =的近似零点，这时函数()y f x =的近似零点与真正零点的误差不超过ε.这也就是说：函数的零点总位于区间[]n n a b ，内，得到一系列的有根区间0011[][][]n n a b a b a b ，，，[]n n a b ，的长度为n d ，那么00122n n n n n n b a d b a x c d -=-=-<，，即0012n n b a x c +--<〔其中c 为函数的真正零点〕.所以当2n n a b ε-<时，1122n n n n x c d b a ε-<=-<.反过来，由n x c ε-<出发，0000111222n n n n b a b a x c d εε++---<=<>，〔ε为精确度要求，00a b ，为初始区间端点值〕，根据该式可以确定n 的最小值0n ，这样我们做题时就可以事先知道需要0n 次取中点就能求出符合精确度要求的近似零点.了解这一点，对解题是非常有益的.例用二分法求函数32()33f x x x x =+--的正零点〔精确到0.01〕.解：3222()33(1)3(1)(1)(3)(1)(0f x x x x x x x x x x x x =+--=+-+=+-=+=∴函数的零点为1-，.23x x ==，，令2()3f x x =-2()3f x x =-的零点， ∵ (1)20(2)10f f =-<=>，，， ∴可取初始区间[12]，用二分法逐次计算.由0012n b a ε+->，知12121000.01n +->=，经验证，n 取最小值为6时，即经过6次取∵区间[1.718751.734375]，的长度小于20.010.02⨯=．于是函数()f x 的正零点为7 1.7265625x =．。

求函数零点的方法二分法

a0=1, b0=2
,
b0]
的中点，那么此中点对应的横坐标为
x0=(1+2)/2=1.
1 1 (3)如果f(a1)f(x1) >0 ，那么零点位于区间[x1 , b1]中，令a2=x1,b2=b1.
xa 点时不变号，这样的零点叫做不变号零点 (ba) (ab).
2 2 变号零点：x1 , x2
0
0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)如果f(a1)f(x1) >0 ，那么零点位于区间[x1 , b1]中，令 a2=x1,b2=b1.
……
继续实施上述步骤，直到区间[an,bn] ，函数的零点总位于区间[an,bn] 上，当an 和 bn 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 y=f(x)的近似零点，计算中止.这时函数y=f(x) 的近似零点满足给定的精确度.
例题分析
求函数f (x) = x3+x2-2x-2 的一个正实数零点〔精确到0.1〕
解：由于f (1)=-2<0,f (2)=6>0可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间. 用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值
定区间
a0=1, b0=2
f (1)=-2， f (2)=6
0
0
0
f (x2)=-0. 计算 f(x)与 f(a)，并判断：
f (1)=-2， f (2)=6
0
0
(1)如果 f (x0)=0 用二分法逐步计算，列表如下：
4375] 的左右端点保
，那么
x0就是f (x)
的零点，计算中止
留两位有效数字所取的近似值都是1.

零点与二分法

第20讲 §3.1.1 方程的根与函数的零点¤知识要点：1. 对于函数()y f x =，能使()0f x =的实数x 叫作函数()y f x =的零点，函数的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标.2. 函数零点存在结论：若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0f a f b <，则函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.¤例题精讲：【例1】函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5)【例4】（1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 .（2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 .第20练 §3.1.1 方程的根与函数的零点※基础达标1．函数2243y x x =--的零点个数（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定2．若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（）.A. 1a >-B. 1a <-C. 1a >D. 1a <3．函数()23x f x =-的零点所在区间为（）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）4．方程lg x ＋x ＝0在下列的哪个区间内有实数解（）.A. [-10，-0.1]B. [0.1,1]C. [1,10]D. (,0]-∞ 5．函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >，则()y f x =在区间[1,2]上（）.A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数偶数个D. 零点个数为k ，k N ∈6．函数2()56f x x x =-+的零点是 .7．函数3()231f x x x =-+零点的个数为 .※能力提高8．已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.2¤知识要点：给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如下：A ．确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε； B. 求区间(,)a b 的中点1x ；C. 计算1()f x ：若1()0f x =，则1x 就是函数的零点；若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）；若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；D. 判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤B~D ．※基础达标1．函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是（）.A. [0，1]B. [1，2]C. [2，3]D. [3，4]2．设()338x f x x =+-, 用二分法求方程3380(1,2)x x x +-=∈在内近似解的过程中, 计算得到(1)0,(1.5)0,(1.25)0,f f f <>< 则方程的根落在区间（）.A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定3．如图所示，每个函数图象都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是（）4．（07年山东卷.文11）设函数3y x =与21()2x y -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（）. A. (01)， B. (12)， C. (23)， D. (34)，5．已知函数()f x 的一个零点0(2,3)x ∈，在用二分法求精确度为0.01的0x 的一个值时，判断各区间中点的函数值的符号最多（）.A. 5次B. 6次C. 7次D. 8次6．用“二分法”求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，取区间中点为0 2.5x =，那么下一个有根的区间是 .7．举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解 .¤学习目标：利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 体验指数函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.¤知识要点：1．比较：幂函数(0)n y x n =>、指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)a y x a =>在区间(0,)+∞上的增长差异.2．平均增长率的问题：可以用公式(1)x y N p =+表示. 人口问题的应用模型，还可探究英国经济学家马尔萨斯提出的自然状态下的人口增长模型0rt y y e =.¤例题精讲：【例1】光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a ,通过x 块玻璃后强度为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈ 解：（1） (110%)().x y a x N *=-∈ （2）111,(110%),0.9,333x x y a a a ≤∴-≤∴≤ 0.91l g 3l o g 10.4,32l g 31x -≥=≈- ∴ 11x =. 【例2】1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？解：设x 年后人口总数超过14亿. 由题意得 12(10.0125)14x ⨯+=，即 71.01256x =. 两边取常用对数，得lg1.0125lg7lg6x =-. ∴ lg 7lg 612.4lg1.0125x -=≈. 所以，13年后，即2008年我们人口总数超过14亿.【例3】某公司拟投资100万元，有两种获利的可能提供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种有利的投资比另一种投资可多得利息多少元？解： 100万元，按单利计算，年利率10%，5年后的本利和为 100(1105)150⨯+%⨯=（万元）.100万元，按复利计算，年利率9%，5年后的本利和为 5100(19153.86⨯+%)≈（万元）.由此可见，按年利率9%的复利计算投资，要比年利率10%的单利计算投资更有利，5年后可多的利息3.86万元.点评：利率问题考察的函数模型是一次函数和幂函数，要理解“单利”和“复利”的实际意义.【例4】某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回. 设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示()S f t =的函数关系的为（ C ）.C. B. A. S S t t o o oS t 解：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，S vt =，图象为一条线段；当环岛两周时，S 两次增至最大，并减少到与环岛前的距离0S ；上岛考察时，0S S =；返回时，'0S S vt =-，图象为一条线段. 所以选C.点评：根据实践问题中变量的实际意义，寻找它们之间的大概函数关系，由函数关系式确定所要选择的图象.此题的关键是分析各段行程，找出汽艇到岛的距离S 与时间t 的简明关系.4※基础达标1．2()f x x =,()2x g x =,2()log h x x =,当(4,)x ∈+∞时,三个函数增长速度比较,下列选项中正确的是（）.A. ()f x >()g x >()h xB. ()g x >()f x >()h xC. ()g x >()h x >()f xD. ()f x >()h x >()g x2．如图,能使不等式22log 2x xx <<成立的自变量x 的取值范围是（）.A. 0x >B. 2x >C. 2x <D. 02x <<3．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20％，则第四年造林（）.A. 14400亩B. 172800亩C. 17280亩D. 20736亩4．某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被面积可增长为原来的y 倍，则函数()y f x =的大致图象为（）5．某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（）.A. a (1+x )5元B. a (1+x )6元C. a (1+x 5)元D. a (1+x 6)元6．老师今年用7200元买一台笔记本. 电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一. 三年后老师这台笔记本还值 .7．某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是 .※能力提高8．某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一番？（下列数据供参考：lg2=0.3010，lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）.9．家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式4000t Q Q e -=，其中0Q 是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？※探究创新10．袁隆平－中国杂交水稻之父.他带领的杂交水稻研究小组经过30多年的不懈研究，于1973年使水稻亩产达到623千克，亩产比一般常规水稻增产20％左右，2000年亩产达到700千克，2004年亩产又达到800千克. （1）根据这样的研究速度，你能猜想中国于2010年杂交水稻的亩产为多少千克？为什么？（2）根据你的推算，2010年我国杂交水稻的亩产比1973年常规水稻的亩产增长率为多少？¤学习目标：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 体验二次函数函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.¤知识要点：1. 模型优选：解答数学建模等应用问题时，往往并不确定所给出的数学模型，需要我们根据所得的数据，分析出其数字特征，选用适合的函数模型来解决实际问题.2. 二次函数：应用二次函数的有关知识，可解决生产、生活实际中的最大（小）值的问题. 解答时需遵循的基本步骤是：（1）反复阅读理解，认真审清题意；（2）依据数量关系，建立数学模型；（3）利用数学方法，求解数学问题；（4）检验所得结果，译成实际答案. 关键之处是第2步正确得到二次函数的模型，然后才能在第3步中利用二次函数的性质解决问题.¤例题精讲：【例1】有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p 万元和q 万元，它们与投入的资金x 万元的关系有经验公式：p =110x ，q 现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？解：设对乙商品投入x 万元，则对甲商品投入9－x 万元.设利润为y 万元，[]0,9x ∈.∴y=1(9)10x -1(9)10x -+=21(2)13)10-+， ∴ 即x =4时，y max =1.3. 所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元.【例2】某商店按每件80元的价格，购进时令商品（卖不出去的商品将成为废品）1000件；市场调研推知：当每件售价为100元时，恰好全部售完；当售价每提高1元时，销售量就减少5件；为获得最大利润，商店决定提高售价x 元，请将获得总利润y 元表示为x 的函数，并确定合理售价，求出最大利润.解：设比100元的售价高x 元，总利润为y 元；则22(100)(10005)8010005500200005(50)32500y x x x x x =+--⨯=-++=--+.显然，当50x =即售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元.【例3】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？解：（1）当0≤t ≤1时，y =4t ；当t ≥1时，1()2t a y -=，此时(1,4)M 在曲线上， ∴114(),32a a -==，这时31()2t y -=. 所以34(01)1()()(1)2t t t y f x t -≤≤⎧⎪==⎨≥⎪⎩. （2）∵ 340.251()0.25,()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩即，解得1165t t ⎧⎪≥⎨≤⎪⎩ ，∴ 1516t ≤≤. ∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为115541616-=个小时. 点评：生活中有许多实际问题，常作为函数模型的应用背景.我们需依据四步曲“读题理解→建模转化→求解问题→检验作答”求解，从冗长的文字语言中精炼出数学语言，选择合适的数学模型来研究.【例4】某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为（024t ≤≤）.从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?解：设t 小时后蓄水池中的水量为y吨，则40060y t =+-x ，则26x t =，即240010120y x x =+-210(6)40,[0,12]x x =-+∈.∴ 当6x =，即6t=时，min 40y =，所以，从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨.点评：运用二次函数的模型，常解决一些最大（小）值的问题，对生产生活等问题进行优化.6※基础达标1．某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（）.A. pB. 12pC. (1+p )12D. (1+p )12－12．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（）. A. 30.5100 克 B. (1－0.5%)3克 C. 0.925克 D. 克3．1980年我国工农业总产值为a 亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（）.A. 1204－1B. 1202－1C. 1214－1D. 1212－14．某商品2002年零售价比2001年上涨25％，欲控制2003年比2001年只上涨10％，则2003年应比2002年降价（）.A. 15％B. 12％C. 10％D. 8％5．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（）.6．计算机成本不断降低,若每隔三年计算机价格降低13，则现在价格为8100元的计算机9年后价格可降为元.7．某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是元.※能力提高8．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x (0<x <1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x ，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x ，已知日利润=（出厂价—成本）×日销售量，且设增加成本后的日利为y . （1）写出y 与x 的关系式；（2）为使日利润最大，问x 应取何值？9．某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？※探究创新10．（2007年上海卷.文理18）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？¤学习目标：收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用. 体会解决实际问题中建立函数模型的过程，进一步加深对这些函数的理解与应用.¤知识要点：1. 分段函数模型：结合分类讨论的数学思想方法，根据实际情况，正确得到分段函数模型，并合理选用某段解析式和数学方法来解决实际问题.2. 常见的指数型函数模型如下：（1）放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰减后的质量为m ，λ为正的常数.（2）1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus ，1766-1834）提出自然状态下的人口增长模型：0rt y y e =，其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.（教材P 115例4）（3）英国物理学家和数学家牛顿（Issac Newton ，1643-1727年）曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型：010()kt e θθθθ-=+-，其中t 表示经过的时间，1θ表示物体的初始温度，0θ表示环境稳定，k 为正的常数. （教材P 123 实习作业）¤例题精讲：【例1】1650年世界人口为5亿，当时的年增长率为3‟，用指数增长模型计算什么时候世界人口达到10亿（实际上1850年前已超过10亿）. 1970年世界人口为36亿，年增长率为2.1‟，用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番？解：由1650年世界人口数据，把05y =，0.003r =代入马尔萨斯人口模型，得0.0035t y e =.解不等式0.003510t y e =≥，得ln 22310.003t ≥≈ 所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过231年后，即1881年世界人口达到10亿.由1970年世界人口数据，把036y =，0.0021r =代入马尔萨斯人口模型，得0.002136t y e =.解不等式0.00213672t y e =≥，得ln 23300.0021t ≥≈. 所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2300年世界人口达到72亿.【例2】“依法纳税是每个公民应尽的义务”. 国家征收个人所得税是分段计算,总收入不超过800元,免征800元，税率见下表：（（2）某人2005年10月总收入3000元，试求该人此月份应缴纳个人所得税多少元；（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于A .800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元解：（1）依税率表，有：第一段：x ·5%，0＜x ≤500；第二段：（x －500）×10%+500×5%，500＜x ≤2000；第三段：（x －2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000＜x ≤5000，即f （x ）=0.050.1(500)250.15(2000)175x x x ⎧⎪⨯-+⎨-+⎪⎩ (0500)(5002000)(20005000)x x x <≤<≤<≤. （2）这个人10月份应纳税所得额x =3000－800=2200，f （2200）=0.15×（2200－2000）+175=205.所以，这个人10月份应缴纳个人所得税205元.（3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间，故选C.解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×5%=20（元），500×5%+200×10%=45（元）.可排除A 、B 、D ，故选C.点评：关系国民经济发展的纳税问题，与分段函数密切相关，我们需注意各级税率的正确理解，超过部分按此税率，并非一个税率来计算纳税.8※基础达标1．在本埠投寄平信，每封信不超过20g 时付邮资0.80元，超过20g 而不超过40g 付邮资1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮资0.80元（信重在100g 以内）．如果某人所寄一封信的质量为82.5g ，那么他应付邮资（）.A. 2.4元B. 2.8元C. 3.2元D. 4元2．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，已知甲骑自行车比乙骑自行车快，若每人离开甲地的距离s 与所用时间t 的函数用图象表示，则甲、乙两人的图像分别是（）.A. 甲是(1), 乙是(2)B. 甲是(1), 乙是(4)C. 甲是(3), 乙是(2)D. 甲是(3), 乙是(4)3．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线nt y ae =. 假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有8a ，则m 的值为（）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 104．由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（）.A. 5.83元B. 5.25元C. 5.56元D. 5.04元5．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数式是（）.A. x =60tB. x =60t +50tC. x ={60,(0 2.5)15050,( 3.5)t t t t ≤≤-> D. x =60,(0 2.5)150,(2.5 3.5)15050( 3.5),(3.5 6.5)t t t t t ≤≤⎧⎪<≤⎨--<≤⎪⎩ 6．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过节20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重(040)x x <≤克的函数，其表达式为()f x = .7．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24％，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则()y f x =的函数解析式为 .※能力提高8．某冬晨，警局接到报案，在街头发现一位流浪者的尸体，早上六点测量其体温13℃，到早上七点时，其体温下降到11℃. 若假设室外温度约维持在10℃，且人体正常体温为37℃，运用牛顿冷却模型可以判定流浪汉已死亡多久？9．某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为21()52R x x x =-（万元）（0≤x ≤5），其中x 是产品售出的数量（单位：百台）. （1）把利润L (x )表示为年产量x 的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得的利润最大?※探究创新10．通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间. 讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散. 分析结果和实验表明，用()f x 表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出和讲授概念的时间（单位分）可以使用公式：20.1 2.643,(010)()59,(1016)3107,(1630)x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪=<≤⎨-+<≤⎪⎩. （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？（2）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？（3）如果每隔5分钟测量一下学生的接受能力，在计算平均值(5)(10)....(30)6f f f M +++=，它能高于45吗？¤学习目标：收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例，了解函数模型的广泛应用. 体会解决实际问题中建立函数模型的过程，进一步加深对这些函数的理解与应用.¤知识要点：1. 图表分析：从给出的统计数据表中发现数学规律，寻找存在的数学模型，并用之解决实际问题.2. 函数图象：把实际中存在的规律用图象直观形象的表示出来，通过图象来求解函数模型.¤例题精讲：解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.设销售单价定为x 元，则每个利润为（x －40）元，日均销量为[482(50)]x --个.由于400x ->，且482(50)0x -->，得4074x <<.则日均销售利润为2(40)[482(50)]22285920y x x x x =---=-+-，4074x <<. 易知，当228572(2)x =-=⨯-，y 有最大值. 所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.点评：从表格中发现存在的变化规律，是课标教材中对提价后销量减少一类应用问题相比大纲教材的改进. 这种表格背景更符合实际，规律都是从样本数据中发现，而不是直接生硬地得到，同时也提高了读表分析这一数学阅读理解能力.【例2】某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，每一批产品A 上市销售40天内全部售完. 该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）.（1）分别写出国内市场的日销售量()f t 、国外市场的日销售量()g t 与第一批产品A 的上市时间t 的关系式；（2）第一批产品A 上市后，求日销售利润()Q t 的解析式.解：（1）当030t ≤≤时，设()f t kt =，由6030k =解得k =2，则()2f t t =.当3040t <≤时，设()f t at b =+，由{6030040a b a b =+=+解得{6240a b =-=，则()6240f t t =-+.所以，国内市场的日销售量{2(030)()6240(3040)t t f t t t ≤≤=-+<≤. 设()(40)g t at t =-，由6020(2040)a =-解得320a =-. 所以，国外市场的日销售量23()620g t t t =-+（040t ≤≤）. （2）设每件产品A 的销售利润为()q t ，由图易得{3(020)()60(2040)t t q t t ≤≤=<≤，从而这家公司的日销售利润()Q t 的解析式为3222924(020)20()()[()()]9480(2030)914400(3040)t tt Q t q t f t g t t tt t t ⎧-+≤≤⎪⎪=+=-+<≤⎨⎪-+<≤⎪⎩. 点评：销售量由图象分段给出，设立各段图象的解析式，由待定系数法易求解. 单件利润也是分段函数. 解题的关键在于合理分段，正确得到日销售利润的分段函数式.10※基础达标1．某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴表示离开家的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生走法的是（）.2．某工厂八年来某种产品年产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示，下列四种说法：① 前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③三年后，这种产品停止生产了；④第三年后，年产量保持不变. 其中说法正确的是（）.A. ②④B. ①④C. ②③D. ①③3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为（）.A. 13 立方米B. 14 立方米C. 18 立方米D. 26立方米4．有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子. 则盒子的容积V 与x 的函数关系式是（）.A. (202)(122),(0,12)V x x x x =--∈ B. (20)(12),(0,12)V x x x x =--∈C. (202)(122),(0,6)V x x x x =--∈D. (202)(122),(0,10)V x x x x =--∈5．有一块“缺角矩形”地皮ABCD E ，其尺寸如右图，欲用此块地建一座地基为长方形的建筑物，以下四个方案中，哪一种地基面积最大（）.6．1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代扣代缴，某人在1999年11月1日存入人民币1万元，存期1年，年利率为2.25%，则到期可净得本金和利息总计元.7．一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒.※能力提高8．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购价格有关，且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小. 下表列出的是该产品前6个月市场收购价格. 试问7月份该产品的市场收购价格定为多少时较为合理？9．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的200天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条线段表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示.（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t =；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系()Q g t =；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？※探究创新 10．（题目见P 63）¤学习目标：收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例，了解函数模型的广泛应用. 体会解决实际问题中建立函数模型的过程，进一步加深对这些函数的理解与应用.¤知识要点：模型优选：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.¤例题精讲：【例1】有一批影碟机（VCD ），原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？解：设某单位需要购买x 台影碟机，甲、乙两商场的购货款的差价为y ，∵去甲商场购买共花费(80020)x x -，由题意，有80020440x -≥，∴118x ≤≤.∴{(80020)600,118440600,18x x x x y x x x --≤≤=->，即y ={220020,118160,18x x x x x -≤≤->（*x N ∈）. 当110x <<时，0y >；当10x =时，0y =；当10x >时，0y <.所以，若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少．【例2】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用二次函数2()f x px qx r =++（其中,,p q r 为常数，且0p ≠）或指数型函数()x g x a b c =⋅+（其中,,a b c 为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.解：当选用2()f x px qx r =++的模型时，142 1.293 1.3p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩，解得0.050.350.7p q r =-⎧⎪=⎨=⎪⎩， ∴()4 1.3f =.当选用()x g x a b c =⋅+的模型时，2311.21.3a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩ ，解得0.80.51.4a b c =-⎧⎪=⎨=⎪⎩， ∴()4 1.35g =.根据4月份的实际产量可知，选用()0.80.5 1.4xy =-⨯+作模拟函数较好.点评：根据所给出的几种函数模型，用待定系数法确定系数后，再根据所求得的函数解析式检验其余的一些数据，通过比较误差的大小而优选适合的函数模型.测2010年我国的国内生产总值.解：由表中数据作出散点图，如右图所示. 根据散点图，可以看出大致分布在一条直线附近. 选择1990年、2000年的数据代入y ax b =+，得 {18598.41990894042000a b a b =+=+，解得{7080.56-14071716a b ==. 所以，近似的函数模型为7080.5614071716y x =-. 当x =2010时，y =160209.6，即预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元.点评：根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象的特征，选用适合的函数模型，也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式，再通过所得到的函数模型解决相应的问题. 本题由两点近似求得直线，如果由以后的线性回归知识求解，所得模型则更接近实际情况.。

21-22版：2.4.2　求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（步步高）

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学习目标 1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理.2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．知识点一零点存在的判定及变号零点与不变号零点的概念 (1)零点存在的判定如果函数y ＝f (x )在一个区间[a ，b ]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f (a )·f (b )＜0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x 0∈(a ，b )，使f (x 0)＝0.(2)变号零点与不变号零点如果函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点．知识点二二分法 1．二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．二分法求函数零点的一般步骤已知函数y ＝f (x )定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度．用二分法求函数零点的一般步骤为：第一步在D 内取一个闭区间[a 0，b 0]⊆D ，使f (a 0)与f (b 0)异号，即f (a 0)·f (b 0)＜0，零点位于区间[a 0，b 0]中．第二步取区间[a 0，b 0]的中点，则此中点对应的坐标为x 0＝12(a 0＋b 0)．计算f (x 0)和f (a 0)，并判断：(1)如果f (x 0)＝0，则x 0就是f (x )的零点，计算终止；(2)如果f (a 0)·f (x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； (3)如果f (a 0)·f (x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0. 第三步取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝12(a 1＋b 1)．计算f (x 1)和f (a 1)，并判断：(1)如果f (x 1)＝0，则x 1就是f (x )的零点，计算终止；(2)如果f (a 1)·f (x 1)＜0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1；(3)如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.…继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当区间的长度b n －a n不大于给定的精确度时，这个区间[a n，b n]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．1．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(×)2．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(√) 3．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．(√)4．用二分法最后一定能求出函数零点．(×)题型一判断零点存在区间例1已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：x －2－1012345678f(x)－136－2161913－1－8－242998则下列判断正确的是________．①函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点．②函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点．③函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点．④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．答案①②③解析根据零点存在的条件判断．反思感悟判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得函数值相乘，并进行符号判断．(3)总结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练1(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案 A解析∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a＜b＜c，∴f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．(2)已知函数f(x)＝x3－2x2－x＋2，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在[a，b]内的零点个数为________．答案0或2解析f(x)＝(x－2)(x－1)(x＋1)的图象如图，由图象可知，f(x)在[a，b]内的零点个数为0或2.题型二二分法的概念例2(1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是()(2)下列函数中不能用二分法求零点的是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝(x－1)(x＋2)答案(1)C(2)C解析(1)A中，函数无零点．B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.(2)结合函数f(x)＝|x|的图象可知，该函数在x＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．反思感悟二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练2已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3答案 D解析y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴的公共点，所以有4个．适合用二分法求零点，必须是变号零点，所以有3个．题型三用二分法求函数的近似零点例3求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．解由于f(1)＝－2<0，f(2)＝6>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a＝1，b＝2f(1)＝－2，f(2)＝6[1,2]x0＝1.5f(1.5)＝0.625>0[1,1.5]x1＝1.25f(1.25)＝－0.984<0[1.25,1.5]x2＝1.375f(1.375)＝－0.260<0[1.375,1.5]x3＝1.437 5f(1.437 5)＝0.162>0[1.375,1.437 5]由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的长度不大于0.1，因此可取1.4为所求函数的一个正实数零点的近似值．反思感悟二分法求函数零点的近似值的步骤跟踪训练3(1)用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，f(0.74)>0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.64 B．0.74 C．0.7 D．0.6答案 C(2)用二分法求函数f (x )＝x 3－x －2的一个正实数零点(精确到0.1)．解由f (1)＝－2<0，f (2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间 a 0＝1，b 0＝2 f (1)＝－2，f (2)＝4 [1,2] x 0＝1＋22＝1.5 f (x 0)＝－0.125<0 [1.5,2] x 1＝1.5＋22＝1.75 f (x 1)≈1.609 4>0 [1.5,1.75] x 2＝1.5＋1.752＝1.625 f (x 2)≈0.666 0>0 [1.5,1.625] x 3＝1.5＋1.6252＝1.562 5f (x 3)≈0.252 2>0[1.5,1.562 5]由上表的计算可知，区间[1.5,1.562 5]的长度不大于0.1，因此可取1.5作为所求函数的一个正实数零点的近似值．所以f (x )＝x 3－x －2的一个正实数精确到0.1的近似零点为1.5.二分法思想的应用典例函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)内有无零点？若有，该零点是在⎝⎛⎭⎫0，12内还是在⎝⎛⎭⎫12，1内？考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法判断函数零点所在的区间解 ∵f (x )为R 上的增函数且f (0)＝20＋03－2<0，f (1)＝21＋13－2>0， ∴f (x )在(0,1)内有且仅有1个零点x 0.又f ⎝⎛⎭⎫12＝122＋⎝⎛⎭⎫123－2＝82－158＝128－2258<0， ∴x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1.[素养评析] 二分法思想的应用，一般根据函数y ＝f (x )的函数图象，观察图象与x 轴的交点个数，确定零点个数．依据图象估计零点所在的初始区间[m ，n ]，然后用二分法逐步缩小区间的“长度”，直到符合精确度，二分法的应用突出体现直观想象和数学运算的数学核心素养.1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案 A2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]答案 A3．函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为()A．(－2,0) B．(0,2)C．[－2,0]D．[0,2]答案 B解析由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m＜0，∴0＜m＜2.4．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C．[－2,2.5]D．[－0.5,1]答案 D解析因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中，故选D. 5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________________．答案(0,0.5)x0＝0.25时f(0.25)的值1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.。

函数零点与二分法解析版 (1)

函数与方程[知识梳理]1．函数的零点,（1）零点的定义：对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的,实数x叫做函数y＝f（x）的零点．函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点，而是y=f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.（2）零点的几个等价关系：方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c 也就是方程f（x）＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．3.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[常用结论]有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．考点一: 函数零点所在区间判断1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：选B∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数， ∴f (x )的零点所在的区间是(1，2)．2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)解析：选A ∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.3．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 解析：选C 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝x 13，则g (0)＝1＞f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＜f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1213，g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213＞f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313，结合图象可得13＜x 0＜12.4．已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3 4 5 f (x )－4－2147在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)解析：选B 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.[解题技法]确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．考点二:判断函数零点个数[例1] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0[解析] 法一：(直接法)由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：(图象法)函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．[答案] B[解题技法]函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f (x )在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．[跟踪训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.2．(2019·南宁模拟)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B 令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x (x ＞0)，h (x )＝2x －6(x ＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2，故选B.考点三:函数零点的应用考向(一) 根据函数零点个数求参数[例2] (2019·安徽合肥二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1][解析] 令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得e x (x ＋2)＜0，即x ＜－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )＞0得e x (x ＋2)＞0，即－2＜x ＜0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1，故选D.[答案] D考向(二) 根据函数零点的范围求参数范围[例3] 若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是____________．[解析] 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）<0，f （1）·f （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0，解得14<m <12.[答案] ⎝⎛⎭⎫14，12考向(三) 求函数多个零点(方程根)的和[例4] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x ，x ＜0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是________．解析：由f (x )＝0，得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2，得x ＝1＋3，由g (x )＝－2，得x ＝－12，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋ 3.答案：12＋ 3[规律探求]看个性考向(一)是根据函数零点的个数求参数范围，解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解.考向(二)是根据函数零点所在区间求参数，解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围. 考向(三)是求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程的根以及直线y ＝m 与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等). 找共性根据函数零点求参数范围的一般步骤为：(1)转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况. (2)列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式.(3)结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.[跟踪训练]1．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 解析：选D 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103，∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 2．若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2，3)内有零点，则k ＝________．解析：因函数f (x )在区间(2，3)内递增，则f (2)f (3)<0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )<0，整理得(3－k )·(log 23＋3－k )<0，解得3<k <3＋log 23，而4<3＋log 23<5.因为k ∈Z ，所以k ＝4.[课时过关检测] __A 级——夯基保分练1．(2019·十堰调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.2．函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0，∴f (1)·f (2)<0，∴根据零点存在性定理知f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为(1，2)．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.4．(2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点．当x >0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0，则e x ＝－x ＋3，分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．根据对称性知，当x <0时，函数f (x )也有1个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.6．(多选)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x ，0＜a ＜b ＜c ，f (a )f (b )f (c )＜0，实数d 是函数f (x )的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是( )A ．d ＜aB ．d ＞bC ．d ＞cD ．d ＜c解析：选ABD 由y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x 在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，当0＜a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (b )＞f (c )，又因为f (a )f (b )f (c )＜0，f (d )＝0，所以①f (a )，f (b )，f (c )都为负值，则a ，b ，c 都大于d ，②f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，则a ，b 都小于d ，c 大于d .综合①②可得d ＞c 不可能成立．7．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则f (x )的零点为________．解析：当x ＞0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2. 因为x ≤0，所以x ＝－1. 综上，函数f (x )的零点为1，－1. 答案：1，－19．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ，则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时，f (1)·f (2)<0，即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5，10)．答案：[5，10)10．(一题两空)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x 3，x ＜1，若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程f (x 0)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，1x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 30＝－1，解得x 0＝－1.关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k ＜1时y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点．即k ∈(0，1)．答案：－1 (0，1)11．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x . 又因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(－1，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则有t ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1＜1，而原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. B 级——提能综合练13．(2019·宣城二模)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >d >bB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选A 根据题意，设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )＝g (x )＋2 019，若g (x )＝0，则x ＝a 或x ＝b ，即函数g (x )的图象与x 轴的交点为(a ，0)和(b ，0)．f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )＝0即g (x )＝－2 019，若f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则g (x )的图象与直线y ＝－2 019的交点坐标为(c ，－2 019)和(d ，－2 019)，由图象知a >c >d >b ，故选A.14．(2019·湖南娄底二模)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于________．解析：考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x 、函数y ＝ln x 分别与函数y ＝1x的图象的公共点A ，B 的横坐标，而A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于直线y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1. 答案：115．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b . (1)求证：a >0且－3<b a <－34； (2)求证：函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点．证明：(1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2， ∴c ＝－32a －b .∵3a >2c ＝－3a －2b ， ∴3a >－b .∵2c >2b ，∴－3a >4b .若a >0，则－3<b a <－34；若a ＝0，则0>－b ，0>b ，不成立；若a <0，则b a <－3，b a >－34，不成立． (2)f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ，f (1)＝－a 2，Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4ab ＋6a 2>0. 当c >0时，f (0)>0，f (1)<0，∴f (x )在(0，1)内至少有一个零点．当c ＝0时，f (0)＝0，f (1)<0，f (2)＝4a ＋2b ＝a >0，∴f (x )在(0，2)内有一个零点．当c <0时，f (0)<0，f (1)<0，b ＝－32a －c ，f (2)＝4a －3a －2c ＋c ＝a －c >0， ∴f (x )在(0，2)内有一个零点．综上，f (x )在(0，2)内至少有一个零点．C 级——拔高创新练16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x )＋f (2－x )＝0；②f (x －2)＝f (－x )；③当x ∈[－1，1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos ⎝⎛⎭⎫π2x ，x ∈（0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝⎛⎭⎫12|x |在区间[－3，3]上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选A 由①f (x )＋f (2－x )＝0可得f (x )的图象关于点(1，0)对称；由②f (x －2)＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．如图，作出f (x )在[－1，1]上的图象，再由对称性，作出f (x )在[－3，3]上的图象，作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |在[－3，3]上的图象，由图象观察可得它们共有5个交点，即函数y ＝f (x )－⎝⎛⎭⎫12|x |在区间[－3，3]上的零点个数为5.故选A.。

函数的零点求法(二分法)经典练习及答案

[基础巩固]
1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()
解析根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a，b)一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
∴f(1.1875)·f(1.25)＜0，
∴x0∈(1.1875,1.25)．
∵|1.25－1.1875|＝0.0625＜0.1，
∴1.2可作为这个方程的实数解．
[能力提升]
7．(多选)若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题不正确的是()
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；
用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
答案BCD
4．用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝________.
∴x0∈(1,1.5)；
取x2＝1.25，∵f(1.25)≈0.128＞0，
∴f(1)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1,1.25)；
取x3＝1.125，∵f(1.125)≈－0.444＜0，
∴f(1.125)·f(1.25)＜0，
∴x0∈(1.125,1.25)；
取x4＝1.1875，∵f(1.1875)≈－0.16＜0，
解析(1)盒子的体积y是以x为自变量的函数．

函数零点与二分法

y x2 x 6
函数零点的定义：
一般地，若函数y=f(x)在实数a处的值等于0,即f(a)=0,则a叫做函数y=f(x)的零点。
注意：零点指的是一个实数；
方程f(x)=0有实数根 x0
零点是一个点吗?
函数y=f(x)的图象与x轴有交点(x0 ,0)
函数y=f(x)有零点 x0
二次函数零点的个数 (a≠0)
如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,
1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定
故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半
A
C ED
B
二、方法探究
(1)不解方程,如何求方程 x2 2x 1 0 的一个
并且在它的两个端点处的函数值异号，即f (a) f (b) 0,
则这个函数在这个区间上至少有一个变号零点，
即存在一点x 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

(a,
b),
使f
(
x0
)

0.
已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？
x
-2 -1
0
12
f(x)
-1 1
-1
1 -1
思考1：零点唯一吗？
5)>0
0
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1、确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0；
2、求区间（a,b）的中点c， 3、计算f(c)
（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；
（2）若f(a).f(c)<0，此时零点x0∈(a, c) ; （3）若f(c).f(b)<0，此时零点x0∈( c,,b).

函数的零点(二分法)

计算函数零点的二分法一. 求黄金数与查找线路故障许多人都知道黄金分割和黄金数0.618，但对怎么得到的这个黄金数并不十分清楚，至于谈到黄金数与查找线路故障的关系更觉得莫名其妙。

下面我们就来探讨这个问题. 其实所谓黄金分割是指线段上一点把这条线段分成这样两部分，使其中一部分是另外一部分和整条线段的比例中项。

在下图中，点C 为线段AB 的黄金分割点,即有ACCB ABAC =.设线段AB=1,AC=x,CB=1-x,则有x x -=12,012=-+x x .换句话说我们要求的黄金数就是方程012=-+x x 的解,就是函数1)(2-+=x x x f 的零点.通过计算知1)0(-=f ,1)1(=f ,可见函数1)(2-+=x x x f 图象上的点))0(,0(f 在x 轴下方,点))1(,1(f 在x 轴上方,因此函数1)(2-+=x x x f 图象在0和1之间穿过x 轴.1)(2-+=x x x f 的零点是0与1之间的一个数.对于这样的答案我们显然不满意,太粗糙了!能否提高一些精确度?这就需要缩小搜索区间.借助计算机我们可以计算)1.0(f ,)2.0(f ,)3.0(f 等等的值,看什么时候函数值由负值变为正值,这样就可以缩小搜索区间提高函数零点的精度了.这样我们可以确定函数的零点在0.6和0.7之间,但是说黄金数是0.6或0.7还是显得粗糙,这就需要继续缩小搜索区间,提高函数零点的精确度.怎么办?依次计算)61.0(f ,)62.0(f ,⋯⋯,吗?我们相信如此继续下去总可以继续提高函数零点的精确度.但这样搜素下去工作量很大,能否减少搜索的工作量呢?现在换个话题:如何查找线路故障? “ 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。

这是一条10km 长的线路，在这条线路上大约有200多根电线干。

想一想：维修工人怎样查找最合理？象我们上面搜素函数的零点那样从水库闸房出发逐段地查找吗？维修工人不是这样工作的，他首先从线路的中点C 查起，如果CB 段正常，就选择CA 的中点D 测试，如果DA 段正常，就选择DC 的中点E 继续测试,⋯⋯。

函数的零点与二分法

函数的零点与二分法1、掌握函数的零点和二分法的定义．2、会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。

特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。

函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。

类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点：解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点．答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72 D ．－7答案：C类型二零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________．答案：12类型四二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．答案：B练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点答案：C练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案：B类型五用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案: C4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( )A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案： (7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，1 2.∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为。

二分法求函数-零点

二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，，验证·＜0，给定精确度；(2)求区间，的中点；(3)计算：1若=，则就是函数的零点；2若·＜0，则令=（此时零点）；3若·＜0，则令=（此时零点）；(4)判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4．结论:由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.思考：为什么由＜，便可判断零点的近似值为(或)？一、能用二分法求零点的条件例1下列函数中能用二分法求零点的是()判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．变式迁移1下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()二、求函数的零点例2判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．分析由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点，可用根的存在性定理判断；②精确度0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解．解因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5) 1.25－0.3(1.25,1.5) 1.3750.22(1.25,1.375) 1.3125－0.05(1.3125,1.375) 1.343750.08由于|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，所以函数的一个近似零点为1.3125.点评由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．变式迁移2求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．解由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2) 1.5－2.625(1.5,2) 1.750.2344(1.5,1.75) 1.625－1.3027(1.625,1.75) 1.6875－0.5618(1.6875,1.75) 1.71875－0.1707由于|1.75－1.6875|＝0.0625<0.1，所以可将1.6875作为函数零点的近似值．三、二分法的综合运用例3证明方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．分析由题目可获取以下主要信息：①证明方程在[1,2]内有唯一实数解；②求出方程的解．解答本题可借助函数f (x )＝2x ＋3x －6的单调性及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解．证明设函数f (x )＝2x ＋3x －6，∵f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，又∵f (x )是增函数，所以函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x 0，则x 0∈[1,2]，取x 1＝1.5，f (1.5)＝1.33>0，f (1)·f (1.5)<0，∴x 0∈(1,1.5)，取x 2＝1.25，f (1.25)＝0.128>0，f (1)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1,1.25)，取x 3＝1.125，f (1.125)＝－0.445<0，f (1.125)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1.125,1.25)，取x 4＝1.1875，f (1.1875)＝－0.16<0，f (1.1875)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1.1875,1.25)．∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，∴1.1875可以作为这个方程的实数解．点评用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．变式迁移3求32的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)．解设x ＝32，则x 3－2＝0.令f (x )＝x 3－2，则函数f (x )的零点的近似值就是32的近似值，以下用二分法求其零点的近似值．由于f (1)＝－1<0，f (2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值[1,2] 1.5 1.375[1,1.5] 1.25－0.0469[1.25,1.5] 1.3750.5996[1.25,1.375] 1.31250.2610[1.25,1.3125] 1.281250.1033[1.25,1.28125]1.2656250.0273[1.25,1.265625] 1.2578125－0.01[1.2578125,1.265625]1.261718750.0086由于|1.265625－1.2578125|＝0.00781<0.01，所以函数f (x )零点的近似值是1.26，即32的近似值是1.26.四、总结1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n 次后，精确度为12n .3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a ，b )后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a －b |<ε为止．练习1．下列函数中不能用二分法求零点的是()A ．f (x )＝2x ＋3B ．f (x )＝ln x ＋2x －6C ．f (x )＝x 2－2x ＋1D ．f (x )＝2x －12．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1，2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间()A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定3．函数f (x )＝x 2－5的正零点的近似值(精确到0.1)是()A ．2.0B ．2.1C ．2.2D ．2.34．方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为()A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)6．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．7．用二分法求方程x 2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.8．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ](n ∈N )上，当|a n －b n |<m 时，函数的零点近似值x 0＝a n ＋b n2与真实零点a 的误差最大不超过______．答案m 2。

二分法求函数零点教案(最新整理)

值的方法叫二分法。
２、用二分法求函数 f (x) 的零点的近似值的步骤：
（１）确定区间[a, b], 验证： f (a) · f (b) < 0，确定精确度
（２）求区间(a , b)的中点 x1
（３）计算 f (x1 ) 若 f (x1 ) =0, 则就 x1 是函数的零点若 f (a) · f (x1 ) <０，则令 b = x1 （此时零点 x0∈(a, x1 )）若 f (x1 ) · f (b) <０，则令 a = x1 （此时零点 x0∈( x1 , b)）
( )1
个零点．方法二：作出 y＝ x 与 y＝ln x 的图象观察可知只有一个交点．故选 B. 2
5、方程 2x－1＋x＝5 的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3)
D．(3,4)
【解析】令 f(x)＝2x－1＋x－5，则 f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从
解：应选 B，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
例 2、
1
利用二分法求方程
3
x 的一个近似解（精确到 0.1）。
x
解：设 f x 1 x 3 ，则求方程 1 3 x 的一个近似解，即求函数 f x 的一个近似零
x
x
点。∵ f 2 1 0 ， f 3 1 0 ，∴取区间 2,3作为计算的初始区间。
f 2
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0

计算函数零点的二分法(2知识点+4题型+强化训练)(学生版) 24-25学年高一数学上学期必修第一册

4.4.2 计算函数零点的二分法课程标准学习目标（1）结合具体连续函数及其图象的特点, 了解函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图, 能借助计算工具用二分法求方程近似解, 了解用二分法求方程近似解具有一般性。

（1）理解二分法的概念;（2）会用二分法求方程近似解.（难点)知识点01 二分法的概念对于在区间[a , b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y =f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.解释求f (x )=x 2―x ―2，g (x )=2x ―1的零点很容易，因为我们会求其方程的解，而函数f (x )=x 3+x 2―1或g (x )=e x +x ―2的零点怎么求呢？我们求不出来会退而求其次，能否能知道零点的近似值呢？应该会想到函数零点存在性定理，没错这它就是二分法的理论基础.【即学即练1】下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A ．y =2xB ．y =(x ―2)2C ．y =x +1x ―3D ．y =ln x知识点02 用二分法求方程近似解的步骤(1)确定区间[a , b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a , b)的中点c;(3)计算f(c)，(i)若f(c)=0 , 则c就是函数的零点；(ii)若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a , c))(iii)若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c , b))(4)判断是否达到精确度ε：即若|a―b|<ε，则得到零点近似值为a(或b)；否则重复(2)~(4)解释（1）使用二分法的前提是函数在所选定的区间[a , b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0；（2）所选的区间[a , b]的范围尽量小，且f(a),f(b)比较容易求;(3)利用二分法时，满足精确度便可停止计算.【即学即练2】用二分法求函数f(x)=5x+7x―2的一个零点的近似值，其参考数据如下：x0.06250.093750.1250.156250.1875f(x)-0.4567-0.18090.09780.37970.6647根据上述数据，可得f(x)=5x+7x―2的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（）A．0.09375B．0.109375C．0.125D．0.078125【题型一：用二分法求近似解的条件】例1．下列方程中不能用二分法求近似解的为（）A．ln x+x=0B．e x―3x=0C．x3―3x+1=0D．4x2―+5=0变式1-1．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（）A．B．C．D．变式1-2．下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A．f(x)=2x B．f(x)=x2+2C．f(x)=x+1―3D．f(x)=ln x+3x【方法技巧与总结】1 对于在区间[a , b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2 不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号.【题型二：用二分法求近似解的过程】例2．用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x―1,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A．5B．6C．7D．8变式2-1．用“二分法”求方程x3―2x―5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是（）A．[2,2.5]B．[2.5,3]C．[2,2.25]D．[2.75,3]变式2-2．用二分法求方程x+lg x―3=0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（）A．[1,2]B．[2,3]C．[3,4]D．[4,5]变式2-3．若f(x)=x3+x2―2x―2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：f(1)=―2f(1.5)=0.625f(1.25)=―0.984f(1.375)=―0.260f(1.438)=0.165f(1.4065)=―0.052那么方程x3+x2―2x―2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5变式2-4．用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时，令f(x)=ln(2x+6)+2―3x，并用计算器得到下表：x 1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.07940.1918-0.3604-0.9989则由表中的数据，可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解（误差不超过0.05）为（）A．1.125B．1.3125C．1.4375D．1.46875变式2-5．在使用二分法计算函数f(x)=2x―2+x―2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（）次区间中点的函数值．A．2B．3C．4D．5【方法技巧与总结】1 用二分法求方程近似解的步骤(1)确定区间[a , b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a , b)的中点c;(3)计算f(c)，(i)若f(c)=0 , 则c就是函数的零点；(ii)若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a , c))(iii)若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c , b))【题型三：用二分法求方程的近似解】例3．求曲线y=ln x和直线x+y=2的交点的横坐标（误差不超过0.01）．变式3-1．判断方程x3―x―1=0在区间[1,1.5]内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）―3．变式3-2．已知函数f(x)=x+1x(1)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性，并用定义证明；(2)用二分法求方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的一个近似解（精确度为0.1）．变式3-3．利用计算器，求方程lg x=3―x的近似解（精确到0.1）.变式3-4．已知函数f(x)=2x2―8x+m+3为R上的连续函数．(1)若函数f(x)在区间[―1,1]上存在零点，求实数m的取值范围．(2)若m=―4，判断f(x)在(―1,1)上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．【方法技巧与总结】，并确定f(x3)符号，若f(x1)f(x3)<0在(x1,x3 1 二分法求零点区间：(x1,x2)中f(x1)f(x2)<0取x3=x1+x22)继续上一步骤；若f(x3)f(x2)<0在(x3,x2)继续上一步骤，直到得到合适区间;2 所选的区间[a , b]的范围尽量小，且f(a),f(b)比较容易求;3 利用二分法时，满足精确度便可停止计算.【题型四：二分法思想的其他应用】例4．在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到某指挥部(设为B)的电话线路有一处发生了故障.这是一条10km长的线路,想要尽快地查出故障所在.如果沿着线路一小段小段地查找,困难很多,每查一小段需要很长时间.(1)维修线路的工人师傅随身带着话机,他应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半?(2)要把故障可能发生的范围缩小到50m―100m,最多要查多少次?变式4-1．在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称次就可以发现假币.变式4-2．一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（）A．4次B．6次C．7次D．50次变式4-3．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同．用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？变式4-4．0.1，参考数据：1.3753≈2.5996，1.43753≈2.9705）．一、单选题1．关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（）A．用二分法求方程的近似解一定可以得到f(x)=0在[a,b]内的所有根B．用二分法求方程的近似解有可能得到f(x)=0在[a,b]内的重根C．用二分法求方程的近似解有可能得出f(x)=0在[a,b]内没有根D．用二分法求方程的近似解有可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解2.下列方程中，不能用二分法求近似解的为（）A．logx+x=0B．e x+x=0C．x2―2x+1=0D ln x=03.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是（）A．[―2,1]B．[―1,0]C．[0,1]D．[1,2]4.用二分法求方程x3―2x―5=0在区间[2,3]内的实根，下一个有根区间是（）A．[2,2.5]B．[2.5,3]C．[2,2.25]D．[2.75,3]5.利用二分法求方程log3x=3―x的近似解，可以取的一个区间是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)6.已知函数y=f(x)为[0,1]上的连续函数，且f(0)⋅f(1)<0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（）A．2B．3C．4D．57.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（）A．0.68B．0.72C．0.7D．0.68.一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（）A．4次B．6次C．8次D．30次二、多选题9．在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时，若第一次所取区间为[―2,4]，则第二次所取区间可能是（）A．[―2,―1]B．[―2,1]C．[2,4]D．[1,4]10.某同学用二分法求函数f(x)=2x+3x―7的零点时，计算出如下结果：f(1.5)=0.33，f(1.25)=―0.87，f(1.375)=―0.26，f(1.4375)=0.02，f(1.4065)=―0.13，f(1.422)=―0.05，下列说法正确的有（）A．精确到0.1的近似值为1.375B．精确到0.01的近似值为1.4065C．精确到0.1的近似值为1.4375D．精确到0.1的近似值为1.2511.教材中用二分法求方程2x+3x―7=0的近似解时，设函数f(x)=2x+3x―7来研究，通过计算列出了它的对应值表x 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5f(x)―0.87―0.26ℎ―0.050.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（）A．ℎ>0B．方程2x+3x―7=0有实数解C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375三、填空题12．某同学在借助计算器求“方程lg x=2―x的近似解（精确度为0.1）”时，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8．那么他在取的x的4个值依次是．13.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0，即可得出方程的一个近似解为（精确度为0.2）.14.已知函数f(x)=3x2―1在区间(0,1)上有唯一零点x0，如果用“二分法”求这个零点(精确度ε=0.05)的近似值，那么将区间(0,1)等分的次数至少是.此时规定只要零点的存在区间(a,b)满足|a―b|<ε，则可用a+b作为零点的近似值，由此求得x0=.2四、解答题15．若函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点，但不能用二分法求其零点，求实数a的值.16.已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.（1）证明f(x)有且只有一个零点；.（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于1417.用二分法求方程0.9x―2x=0的近似解．（精确度为0.1，可以使用计算器）2118．现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？(1)当a=12时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？(2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当a=26时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？19.阅读材料求方程x2―2=0的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：第一步：令f(x)=x2―2．因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2．第二步：令m=x1+x2，判断f(m)是否为0．若是，则m为所求；2若否，则继续判断f(x1)⋅f(m)大于0还是小于0．第三步：若f(x1)⋅f(m)>0，则x1=m；否则，令x2=m．第四步：判断|x1―x2|<0.005是否成立？若是，则x1,x2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．方法二：考虑x2―2=0的一种等价形式，∴x+x=x∴x=变形如下：x=2x这就可以形成一个迭代算法：给定x0根据x k+1k+k=0，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值(1)4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；0.001）．(2)。