基于希尔伯特变换法的数字下变频

基于希尔伯特变换法的数字下变频

唐雷雷 1000030028

引言

本文主要讲述了数字下变频DDC 的基本原理，分别用低通滤波法和希尔伯特变换法实现数字下变频DDC ，同时用MATLAB 做了仿真和对比。

ABSTRACT

This paper describes the Digital Down Conversion （DDC ）of the basic principles. The Digital Down Conversion （DDC ）is implemented by a low-pass filtering and Hilbert transform method , also is simulated by MATLAB and compared.

关键词： DDC 希尔伯特变换 MATLAB

一、中频正交采样的基本原理

在信号处理领域，对接收到的信号进行正交相干检波，可以保留信号复包络的所有信息，获得良好的正交特性，因而在雷达、声纳、通信等电子系统中得到广泛的应用[2]。

一个系统所接收到的中频信号可以表示为：

00(2())

2'()() ()j f t t j f t x t a t e x t e πϕπ+== （1）

式中, 0f 为中频频率，()a t 和()t ϕ分别表示信号的幅度和相位，'()()exp(())()()x t a t j t I t jQ t ϕ==+，称为()x t 的复包络（基带信号），它包含了带通信号的所有信息。其中

()()()cos ()

()()()sin ()I Q I t x t a t t Q t x t a t t ϕϕ==== （2）

则

()()()()arctan arctan ()()I Q a t x t I t t x t Q t ϕ==== （3）

()I x t 和()Q x t 分别是同相分量和正交分量，分别可用()I t 和()Q t 表示。在雷达信号处理中，()x t 的同相分量和正交分量应保持以上公式所表示的严格的幅度和相位关系。通过上列公式可以看出，通过正交采样所得到的I/Q 两路信号，就可以很方便的从中得到原信号的幅度和相位信息。

对于中频实信号而言，它的特点是正负频谱分量是共轭对称的，其单边带频谱就包含了原始信号中的所有信息。将实信号的频谱搬移到零中频，就得到了复包络的频谱[1]。

传统的正交下变频是通过对模拟I 、Q 输出直接采样数字化来实现的，如图1所示。

I(n)

Q(n)

图1 模拟正交下变频

由于I 、Q 两路模拟乘法器、低通模拟器件本身的不一致性、不稳定性，使I 、Q 通道很难达到一致，并且零漂比较大，长期稳定性不好，不能满足高性能电子战设备的要求。为此，人们提出了对中频信号直接采样，经过混频来实现正交数字下变频的方案，这种下变频的方法可以实现很高精度的正交混频，能满足高镜频抑制的要求。采用可编程器件FPGA 对该算法流程进行实现，能满足在高采样率下的信号实时处理要求，在电子战领域中有着重要的意义。

二、低通滤波法实现数字下变频

低通滤波法就是先对模拟信号x(t)通过A/D 采样后形成数字化序列x(n)，然后与2个正交本振序列0cos()n t ω和0sin()n t ω相乘，再通过数字低通滤波来实现，如图2所示。

根据带通采样定理 1

240+=n f f S （n=0，1，2，3…） （4） 2

0L H f f f +=，n 取能满足B f S 2≥（B 为信号带宽，L f f B H -=）的正整数，以避免采样引起频谱混叠。

X （0n 图2 低通滤波法实现数字下变频原理框图

在图2中由于两个正交本振序列的形成和相乘都是数学运算的结果，所以其正交性是完全可以得到保证的，只要确保运算精度即可。这种方法的主要缺点是对A/D 采样的要求比较高，需在高频（0f ）进行采样数字化。但目前在采样精度要求不是非常高时（≤14b ），对100MHZ 左右的信号进行直接采样还是可以做到的，这已基本能满足现阶段的实际要求。

图2所示的数字正交变换，虽然可以实现精度足够高的正交混频，但在采样速率很高时，后续的数字低通滤波器很可能就会成为瓶颈，特别是当阻带衰减要求比较大，而导致滤波器阶数很高时，实现起来就会更加困难。

以下对这种算法用matlab 进行了仿真。输入信号的中频为40MHz ，带宽为30MHz ，采样率为160MHz 。输入为两个线性调频信号，带宽分别为10MHz 和15MHZ ，采用的低通滤波器为31阶，通带截止频率为0.25。

频率（MHZ ）幅度

DDC 后信号的频谱频率（MHZ ）幅度

图3 原始信号的频谱 图4 DDC 后信号的频谱

DDC 后I 路信号的频

谱

DDC 后Q 路信号的频谱

图5 DDC 后的I 、Q 两路信号输出

三、希尔伯特变换法实现数字下变频

希尔伯特变换法是为了滤除复频谱分量得到解析信号而提出来的，解析信号

是一个复信号，即： ^()()()r r x n x n jx n =+ （5） 其实部()r x n 是原信号，虚部^()r x n 是原信号的希尔伯特变换。所以希尔伯特变换是一种正交变换，由该变换可以产生实信号的解析信号。

理想希尔伯特变换滤波器（又称90︒移相器）的频率响应函数为：

, -0(),0d j H j πωωωπ≤<⎧=⎨-≤<⎩

（6） 经过希尔伯特变换后，解析信号()x n 的频谱为：

(), 0()()(),-02(), 0 =0 , -0

r r r r

X X X X X ωωπωωωπωωωππω≤<⎧=+⎨-≤<⎩≤<⎧⎨≤<⎩ （7） 式（7）说明，()X ω只保留了()r X ω中 0ω>的频谱，使频带宽度减小了一半。（5）式就是从实信号()r x n 产生其解析信号的数学模型。但理想的希尔伯特变换滤波器是一个非因果的IIR 系统，物理上是不可实现的。所以实际中一般用N-1阶FIR 滤波器逼近理想的希尔伯特变换滤波器。

））

图6 希尔伯特变换法实现数字下变频原理框图

用希尔伯特变换法实现数字下变频的原理框图如图6所示。图中的时延是为了配合希尔伯特变换滤波器对信号的延时，实际的FIR 希尔伯特变换滤波器的长度N 只取奇数，阶数N-1为偶数，可以设计成广义线性相位的FIR 滤波器。

图6所示的希尔伯特变换法，对中频信号的采样不但要满足中频采样定理，而且，由于它只有一路滤波，而另一路仅作时间上的延迟，故实际滤波器与理想滤波器的任何差异都将导致I 、Q 两路的不匹配，产生较大的误差。

Matlab 仿真条件与低通滤波法相同，仿真结果如图所示。

频率（MHZ ）幅度

DDC 后信号的频谱频率（MHZ ）幅度

图7 原始信号的频谱 图8 DDC 后信号的频谱