4.1希尔伯特变换

4.1.1希尔伯特变换及解析信号的构成
1.实信号的频谱复共轭对称性
实信号x(t)的频谱X ()有如下性质，即 X () X *()
幅度谱满足偶对称性： 相位谱满足奇对称性：
X () X ()
arg X () arg X ()
2.希尔伯特变换和解析信号
定义：设有实信号 xt 它的希尔伯特变换记做 xˆ t 或 H x t
第四章 窄带随机过程
窄带随机过程:
频带宽度<<中心频率 一个随机信号的功率谱集中在某一中心频率附 近，一个很小的频带内
S()
0
0
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0
4.1 希尔伯特变换
希尔伯特变换是通信和信号检测 理论研究中的重要工具；
用希尔伯特变换可以把实信号表 示成复信号；
用希尔伯特变换可以研究实信号 的瞬时包络、瞬时相位和瞬时频率。
xˆ t
H
x t
1
x d
t
xt
1
t
—— 正变换
xt
H 1
xˆ t
1
xˆ
d t
xˆ t
1
t
——
反变换
3.实信号的复数表示
典型的窄带信号可表示为：
x(t) A(t) cos[0t (t)]
如果由x(t)作为实部，它的希尔伯特变换作为虚
部，构成解析信号
z(t) x(t) jxˆ(t)
R ( ) R X ( )
XX
R ( ) R XT ( ) XXT
(7)低频带限 at， 带宽 ，当
时0
2
H a t cos0t a t sin0t
H a t sin0t a t cos0t
，
特殊情况:
xt cost xˆ t sint
yt sint yˆ t cost
T 2T T
T 2T T
2 T 2T T
(5) 平稳随机过程X(t)希尔伯特变换的统计自相关函数和
时间自相关函数分别等于X(t)的自相关函数和时间自相
关函数
R ( ) RX ( ) X
R
XT
(
)
RXT
(
)
平稳随机过程经过希尔伯特变换后，平均功率不变。
R ( ) RX ( ) 令 0 X
例4.1.2 已知X(t)是一个均值为零的平稳高斯过程，其单边功 率谱密度为窄带形式：
G
（X ）=
A， -0
0， 其他
2
求其希尔伯特变换 X (t)的一维概率密度。
(6) 平稳随机过程X(t)与其希尔伯特变换的统计互相关函 数和时间互相关函数分别等于
X(t)统计自相关函数的希尔伯特变换和时间自相关函数的 希尔伯特变换
例4.1.1 试求cos(0t)的希尔伯特变换。
xˆ
d t
xt
两次移相90°，相当于180°
2）希尔伯特反变换
xt
H 1
xˆ t
1
xˆ d
t
xˆ t 1
t
x(t)的频谱为X (),它的希尔伯特变换x(t)的傅里叶变换为
X (w)
F(x(t))
F (x(t )
1
)
j sgn()
X ()
t
(1)由于傅氏变换和希尔伯特变换都是线性变换，可以互换顺 序:F(H(x(t)))=H(F(x(t))). (2)对许多信号进行希尔伯特变换时，不是直接应用希尔伯特表达式 进行计算，而是利用卷积定理，将信号变换到频域，在频域进行希尔 伯特变换，再变换到时域。
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图3
希尔伯特变换是线性变换
X (t)
h(t) 1
Y (t)
t
H() j sgn
Y (t) X (t) 1
t
Hilbert变换器是一个90度移相器。 信号的希尔伯特变换相当于原信号的幅度不变， 各频率分量平移90度。
(2) 高阶希尔伯特变换和反变换
1）两次希尔伯特变换
H
xˆ t
1
例4.1.1 试求cos(0t)的希尔伯特变换。
(3) 若: yt v t xt
则: yˆ t vˆ t xt v t xˆ t
（线性系统可以交换）
（4）希尔伯特变换只改变相位，不改变能量或功率
能量:
x2 t d xˆ 2 t dt
功率:
lim 1 T x2 (t)dt lim 1 T xˆ2 (t)dt 1 lim 1 T z(t) 2 dt
解析信号的谱记为Z ().
Z
X
sgn
X
2X (
0
)
0 0
4.1.2 希尔伯特变化的性质
(1) 希尔伯特变换的频率特性
h(t
)
1
t
F
H
(
)
j
sgn
j
j
, 0 , 0
希尔伯特变换实际上是一个90°的理想移相器
H ()
+j
H ()的幅频特性
H ()
1
0
-j
0
图2 图1
H ()的相位特性
90
0