4.1希尔伯特变换
4.1希尔伯特变换
限带基带信号通过理想LPF不失真
限带频带信号通过理想BPF不失真
14
4 Hilbert变换(1)
定义：若 f (t) 为实函数，
ˆ ( t ) H [ f ( t )] f 1
f (τ) d t -τ
1 f (t ) t
f (t ) H
1
ˆ ( t )] [f
4.1.2 希尔伯特变换的性质
ˆ(t )的希尔伯特变换为 x(t ) 1. x 1 x( ) ˆ (t ) H [ x(t )] 证明 : x d t ˆ ( ) 1 x 1 ˆ (t )] x(t ) H [ x d t
0 j t f (t ) cos 0 t z(t ) cos 0 t j sin 0 t e
0
1
F e j t d
f ( t ) m( t )cos 0 t
z ( t ) m t e j0 t
20
注：m t 为低通信号，带宽(角频率)W 0 .
1
ˆ (t )d v(t ) x v( ) x ˆ (t ) v ˆ(t ) x(t )
另一种证明方法
1 1 ˆ (t ) [v(t ) x(t )] v(t ) [ x(t ) ] v(t ) x ˆ (t ) y t t 1 ˆ(t ) x(t ) [v(t ) ] x(t ) v t 23
2
J
2
Hz
单边能量谱密度(针对实信号) 0 2 E( ), G( ) 0 0, 1 E E ( )d E ( f )df 2
希尔伯特变换电路
希尔伯特变换电路导言：希尔伯特变换电路是一种常用的信号处理电路，常用于实现信号的频率调制与解调、滤波、频谱分析等应用。
本文将介绍希尔伯特变换电路的原理、设计和应用。
一、希尔伯特变换的原理希尔伯特变换是一种将信号从时域转换到频域的数学变换方法。
它可以将一个实函数信号转换为一个复函数信号，复函数的虚部表示了原信号的相位信息。
希尔伯特变换常用于对调制信号进行解调，从中提取出原始信号的相位信息。
二、希尔伯特变换电路的设计希尔伯特变换电路的设计主要包括滤波器和相移电路两个部分。
1. 滤波器设计希尔伯特变换电路中的滤波器通常采用带通滤波器，它可以通过选择合适的中心频率和带宽来滤除不需要的频率分量，只保留感兴趣的频率分量。
常用的滤波器有巴特沃斯滤波器和卡兹米尔滤波器等。
2. 相移电路设计相移电路用于给滤波后的信号添加一个90度的相位差，使得输出信号的虚部与实部相差90度，实现希尔伯特变换。
常用的相移电路有RC电路、LC电路和差分电路等。
三、希尔伯特变换电路的应用希尔伯特变换电路在通信领域有着广泛的应用。
1. 频率调制与解调希尔伯特变换电路可以将调制信号转换为基带信号，实现频率调制与解调。
在调制过程中，希尔伯特变换电路可以提取原始信号的相位信息，从而实现解调。
常见的调制方式有频移键控调制（FSK）和相移键控调制（PSK）等。
2. 滤波希尔伯特变换电路可以实现信号的滤波功能，滤除不需要的频率分量。
通过选择合适的滤波器参数，可以实现低通滤波、高通滤波、带通滤波等不同的滤波效果。
3. 频谱分析希尔伯特变换电路可以将信号转换到频域，实现频谱分析。
通过分析信号在频域上的特征，可以了解信号的频率分布情况，从而对信号进行更深入的分析。
结论：希尔伯特变换电路是一种常用的信号处理电路，可以实现信号的频率调制与解调、滤波、频谱分析等多种应用。
通过合理设计滤波器和相移电路，可以实现希尔伯特变换的功能。
在通信领域，希尔伯特变换电路被广泛应用于调制解调、滤波和频谱分析等领域，为信号处理提供了重要的工具。
1希尔伯特变换的基本原理
1希尔伯特变换的基本原理希尔伯特变换（Hilbert transform）是一种非常重要的信号处理技术，它在时间域和频率域之间建立了一种特殊的变换关系，可以通过提取信号的相位信息来分析信号的时频特性。
本文将详细介绍希尔伯特变换的基本原理。
一、定义与表达式希尔伯特变换首先由德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）提出，他建立了一个衍生（Analytic）函数的概念。
对于一个实值信号函数x(t)，它的希尔伯特变换H{x(t)}可以表示为：H{x(t)} = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau} d\tau其中，H{x(t)}是实值信号的希尔伯特变换，x(t)是原始信号，t是时间变量。
希尔伯特变换可以通过对信号的频谱进行处理实现，首先对原始信号进行傅里叶变换得到频谱X(f)，然后将频谱进行处理后再进行逆傅里叶变换得到希尔伯特变换。
具体来说，对于一个实值信号x(t)，它的傅里叶变换为X(f)，那么它的希尔伯特变换H{x(t)}可以表示为：H{x(t)} = IFT \{ -j \cdot sign(f) \cdot X(f) \}其中，IFT 表示逆傅里叶变换，sign(f)是频率变量的符号函数。
二、频谱分析希尔伯特变换的一个重要应用是信号的频谱分析，通过分析信号的相位信息来了解信号的时频特性。
希尔伯特变换可以提取信号的边带频率信息，从而反映信号的局部属性。
对于一个实值信号x(t)，它的频谱X(f)可以分解为实部和虚部：X(f) = X_r(f) + j \cdot X_i(f)其中，X_r(f)和X_i(f)分别是实部和虚部的频谱函数。
希尔伯特变换可以通过将频谱的虚部部分置零来获得信号的解析信号。
解析信号是一种由实信号和其希尔伯特变换构成的复信号表示，它具有可分辨信号的相位信息的特点。
三、希尔伯特变换的性质希尔伯特变换具有许多重要的性质，其中最重要的性质是希尔伯特变换的平移性质和相位信息的提取。
信号的Hilbert变换原理
4）调制信号（s(t)+n(t)）进行频谱分析
figure(3) xt=st+n_1; subplot(2,1,1); plot(t,xt); title('调制信号x(t)=s(t)+n(t)（初始信号+噪声）'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on;
fc=4000;%载波频率
Lt=length(t);%时间序列长度 L=2*min(at); R=2*max(abs(at));
（2）产生高斯白噪声n（t）并进行频谱分析
nt = wgn(1,length(t),0.1); %wgn(m,n,p)产生一个m行n列强度为p的高斯白噪声的矩阵 n_1=nt/max(abs(nt)); %噪声 figure(1); subplot(2,1,1); plot(t,n_1); title('高斯白噪声n(t)信号'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on; n=0:M-1; %t=n/fs; %时间序列 y0=fft(n_1,M); mag0=(abs(y0)); f=n*fs/(1000*M); subplot(2,1,2); plot(f,mag0); title('高斯白噪声频谱分析'); xlabel('f/KHz'); ylabel('幅度/v'); axis([0 10 0 20]);grid on;
信号的Hilbert变换原 理
组长：范荣贵
副组长：杨智东 组员：韦鹏、高世杰
一、Hilbert变换简介
希尔伯特变换公式
希尔伯特变换公式希尔伯特变换（Hilbert Transform）是信号处理领域中的一种重要方法，可以将实部信号变换为虚部信号或者将虚部信号变换为实部信号。
它常用于信号分析、调制解调、信号检测等应用中。
希尔伯特变换在数学上具有许多重要的性质和定理，其中最著名的就是希尔伯特变换的公式。
X(t) = \frac{1}{\pi} P.V. \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau其中，X(t)表示得到的复信号，x(t)表示原始的实部信号，P.V.表示柯西主值，\int_{-\infty}^{\infty}表示对变量\tau从负无穷到正无穷的积分。
这个公式的意义是，通过对原始信号进行积分，并用柯西主值来消除奇点，得到一个复信号。
复信号X(t)的实部就是原始信号x(t)，而虚部则是原始信号在频域上的一个相位信息。
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i \omega t} dt 其中，X(\omega)表示变换后得到的频域信号，e^{-i \omega t}表示傅里叶变换的基函数。
然后，我们通过一些数学技巧，可以将傅里叶变换转换为希尔伯特变换。
具体过程如下：1. 对傅里叶变换的结果X(\omega)进行频域平移，将频率轴平移到正半轴。
X(\omega) \rightarrow X(\omega - \frac{\pi}{2})2.将平移后的结果再进行傅里叶反变换，得到变换后的信号y(t)。
y(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega -\frac{\pi}{2}) e^{i \omega t} d\omega3. 最后，我们通过在变换后的信号上加上一个相位角为-\frac{\pi}{2}的复指数，得到复信号X(t)。
X(t) = y(t) e^{-i \frac{\pi}{2}} = y(t) (-i)将y(t)带入公式中，得到：X(t) = -\frac{i}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega t} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) e^{-i (\omega -\frac{\pi}{2})\tau} d\tau \right] d\omega通过交换积分的顺序，可以得到：X(t) = \frac{1}{\pi} P.V. \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau这就是希尔伯特变换的公式。
北大随机信号分析基础课件 4.1 希尔伯特变换和解析过程
第四章 窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换 一． 希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(ˆt x或)]([t x H ，并定义为τττπd t x t x H t x ⎰∞∞--==)(1)]([)(ˆ用'ττ+=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞-+-=也可得'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ⎰∞∞----==)(ˆ1)](ˆ[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ⎰⎰∞∞-∞∞-+=--=)(ˆ1)(ˆ1)(二． 希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和t π1的卷积，即tt x t xπ1*)()(ˆ=于是，可以将)(ˆt x看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即1)(=ωH202)(<≥-=ωπωπωϕ上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(ˆt x的傅立叶变换)(ˆωX 为)()sgn()sgn()()(ˆωωωωωX j j X X-=-⋅= 2. )(ˆt x的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](ˆ[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(ˆ)(ˆ*)()(ˆt x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(ˆt x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞∞-∞∞-==)(ˆ21lim )(21lim )(ˆ)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
1 希尔伯特变换的基本原理
希尔伯特变换在数字信号处理理论和应用中有着十分重要的作用，它维系着对离散序列进行傅里叶变换后的实部和虚部之间或者幅度和相位之间的关系。
1 希尔伯特变换的基本原理Hilbert变换测量法对各次谐波都能有精确的90°移相，给定一连续周期信号x(t)，连续时间信号x(t)的希尔伯特变换定义为：(1)由式（1）可得单位冲击响应h(t)= ,由于jh(t)=的傅里叶变换是符号sgn(w),所以希尔伯特变换器频率特性为：H（）=—jsgn(w)=记H（j=,当=1时：信号x(t)的希尔伯特变换可以看成信号x(t)通过一个幅度为1的全通滤波器输出，信号通过希尔伯特变换后，其负频率成分作+90的相移，而正频率成分作—90的相移。
这类滤波器要求滤波器的零频率响应为0，若滤波器的阶数为偶，则要求归一化频率为零。
即如果滤波器的阶数为偶数，那么增益在频率为0Hz和处必须降为零，希尔伯特必须是一个带通滤波器。
如果滤波器的阶数为奇数，那么增益在频率为0Hz处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个高通滤波器。
随着信息时代的到来和高速发展,数字信号处理已经成为一门极其重要的学科和技术,并且在通信、语音、图像、自动控制等众多领域得到了广泛应用。
在数字信号处理中,数字滤波器占有极其重要的地位,具有精度高、可靠性好、灵活性大等特点。
现代数字滤波器可以用软件和硬件两种方式实现。
软件方式实现的优点是可以通过滤滤器参数的改变去调整滤波器的性能。
本文就是基于MATLAB提出希尔伯特FIR滤波器的设计方法。
MATLAB是matrix与laboratory两个词的组合，意为矩形工厂（矩阵实验室）。
是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
MATLAB 是一款十分优秀的计算和仿真软件，其自带的信号处理工具箱为数字滤波器提供了良好的设计与仿真平台。
它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效的数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
希尔伯特变换的作用
希尔伯特变换的作用希尔伯特变换，是一种能够将时域上的信号，转化为频域上的信号的一种数学工具。
在信号处理中，希尔伯特变换常用于解决许多问题，例如信号分析、通信、信号恢复等等。
在本文中，我们将具体介绍希尔伯特变换的作用及其应用。
首先，希尔伯特变换可以将一个实值信号，转化为一个复值信号。
具体来说，希尔伯特变换将一个实值信号在频域上的正半轴为基础，通过将频率为正数的部分乘上 $-i$ 的方法，构造了一个复信号，其中实部为原信号，虚部为原信号的希尔伯特变换。
这样，我们就可以在频域上进行更加方便的分析。
其次，希尔伯特变换可以实现信号的分析和合成。
在实际工作中，我们往往需要分析信号中包含的各种成分，以确定需要采取的措施，如增强某些成分、压制噪声等。
而希尔伯特变换可以将信号分解成一系列的正弦波或余弦波，在希尔伯特变换后，每个波都对应一个幅度和相位，从而可以方便的对信号中包含的成分进行分析。
这样，我们不仅可以了解信号中的成分，也可以实现对信号的重构，从而实现对信号的控制。
除此之外，希尔伯特变换还有更为广泛的应用。
例如，它可以用于通信系统中的频带扩展，前置滤波器设计，视频信号处理中的运动估计，以及音频信号处理中的相位滤波等领域。
在通信系统中，其功效可以用于改善信号的质量，提高信号的传输速度等，从而实现更高效的通信。
另外，在音频信号处理中，经常需要对相位进行滤波以消除一些不必要的噪声，这种相位滤波方法正是基于希尔伯特变换的。
综上所述，希尔伯特变换作为一种对信号进行频域分析和处理的数学工具，具有很广泛的应用前景。
在各种信号处理领域，它都能起到重要的作用，并且它的优秀性能在实践中得到了大量的验证。
我们相信，在未来的科技发展中，希尔伯特变换还将继续发挥着越来越重要的作用，为实际应用中的问题提供更加有效的解决方案。
(完整版)Hilbert希尔伯特环变换
黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary data》中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis)要理解HHSA方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD)、与希尔伯特-黄变换(HHT)。
学术背景：在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。
傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。
因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。
希尔伯特变换：希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。
但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷：(1)希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。
但实际应用中，存在许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。
即便是窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果发生错误。
而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足希尔伯特变换条件的信号无法完全满足；(2)对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；(3)对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大程度上失去了原有的物理意义。
图1 傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率希尔伯特-黄变换：针对上述的三个问题，黄锷院士在1998年提出希尔伯特-黄变换(HHT)。
希尔伯特变换 公式 各字母意义
希尔伯特变换公式各字母意义摘要：希尔伯特变换的基本概念及应用领域概述1.希尔伯特变换的定义及公式2.希尔伯特变换中的各字母意义3.希尔伯特变换的应用领域4.希尔伯特变换在我国的研究与发展5.希尔伯特变换在实际工程中的案例解析6.希尔伯特变换的未来发展趋势与展望正文：希尔伯特变换是一种在无限维希尔伯特空间中进行的线性变换，它在数学、物理、信号处理等领域具有广泛的应用。
下面我们将详细介绍希尔伯特变换的基本概念、公式及其在各领域的应用。
一、希尔伯特变换的定义及公式希尔伯特变换是由希尔伯特空间中的内积推导出来的，它定义为：设函数f(x)和g(x)分别属于希尔伯特空间H1和H2，那么希尔伯特变换可以表示为：<f|g> = ∫[f(x) * g(x)]dx其中，∫表示积分，*表示共轭。
二、希尔伯特变换中的各字母意义1.f(x)和g(x)：分别为希尔伯特空间H1和H2中的函数。
2.<f|g>：表示f(x)和g(x)在希尔伯特空间中的内积，也称为希尔伯特变换。
3.dx：表示积分变量。
三、希尔伯特变换的应用领域1.数学：希尔伯特变换在数学领域中主要用于研究希尔伯特空间、巴拿赫空间等无限维空间的性质。
2.物理：希尔伯特变换在物理领域中应用于量子力学、波动方程等领域，如薛定谔方程、波动方程的求解等。
3.信号处理：希尔伯特变换在信号处理领域具有广泛应用，如希尔伯特-黄变换（HHT）、希尔伯特变换与小波变换等，用于信号的分解、重构、去噪等。
四、希尔伯特变换在我国的研究与发展我国学者在希尔伯特变换领域取得了丰硕的成果，包括理论研究、应用开发等方面。
在数学方面，我国学者对希尔伯特空间、巴拿赫空间等无限维空间的性质进行了深入研究；在物理方面，我国学者利用希尔伯特变换研究了量子力学、波动方程等问题；在信号处理方面，我国学者发展了希尔伯特-黄变换（HHT）等方法，并应用于实际工程中。
五、希尔伯特变换在实际工程中的案例解析1.信号分解：利用希尔伯特变换对信号进行分解，可以将信号分解为多个固有模态函数（IMF），从而更好地分析信号的内在结构。
4.1希尔伯特变换3ppt课件
),
0 0
E 1
E( )d
E( f )df
2
1
G( )d
G( f )df
2 0
0
1
2 确定信号的表示(2)
▪ 能量信号的自相关函数
R
f *(t) f (t )dt
(1) R R 0
(2) E R0
(3) R E
能量信号的互相关函数
R12
f1 * (t) f2 (t )dt
2 确定信号的表示(1)
▪ 能量信号：能量有限(限时或非限时信号)
E f (t) 2 dt 1 F ( ) 2 d
2
能量谱密度：单位带宽中信号能量与角频率的关系
双边能量谱密度
E F 2 或 E f F 2 f 2 J Hz
单边能量谱密度(针对实信号)
G(
)
2E(
T2
f
T 2
t
1
e
jn0t
dt
T
FT
n0
6
2 确定信号的表示(6)
▪ 周期信号(续)
(1) F 2 Fn ( n0 ) n
(2) P 2 Fn 2 ( n0 ) n
(3) R
F e2 jn0 n
n
周期函数(周期为T)
7
2 确定信号的表示(7)
▪ 信号带宽：信号能量或功率主要部分集中的频率范围
12
3 确定信号通过线性系统(4)
▪ 系统的带宽
➢ 3dB带宽B(Hz)：
H ( f ) 保持在其最大值的1 2以内的频率区间
H f
1
0.71
-f0
B
0
f0
B
希尔伯特变换将信号解调到基带
希尔伯特变换将信号解调到基带希尔伯特变换将信号解调到基带一、引言在通信和信号处理领域，希尔伯特变换是一种重要的数学工具，它在信号解调到基带方面起着至关重要的作用。
本文将深入探讨希尔伯特变换的相关概念和原理，以及其在信号处理中的应用。
通过对希尔伯特变换的全面评估，我们将能更好地理解这一重要的信号处理技术。
二、希尔伯特变换的基本概念希尔伯特变换是一种线性、因果、时变、非定常、正交变换，其重要性在于它可以将复信号解调至其包络线。
在信号处理中，复信号通常由实部和虚部组成，而希尔伯特变换可以将这样的信号转换为解调后的基带信号，从而简化信号处理的复杂度。
三、希尔伯特变换的数学原理希尔伯特变换通过Hilbert变换器对信号进行处理，其数学表达式为H(f(t))=1/πt∫f(τ)/(t-τ)dτ，其中f(t)为要处理的信号，H(f(t))为变换后的信号。
希尔伯特变换主要通过将信号和其希尔伯特变换进行卷积来实现信号的解调到基带。
四、希尔伯特变换在通信中的应用希尔伯特变换在通信领域起着至关重要的作用，它广泛应用于调制解调、信号调理、频谱分析等方面。
通过希尔伯特变换，可以将复杂的信号转换为基带信号，便于进一步的处理和分析。
在调制解调中，希尔伯特变换可以将调制后的信号解调至基带，使其更容易进行解码和分析。
五、希尔伯特变换的个人观点和理解从个人角度看，希尔伯特变换是一种十分强大的数学工具，它为信号处理和通信领域提供了重要的支持。
通过希尔伯特变换，我们可以更好地理解信号的特性，提取信号中的关键信息，从而实现对信号的高效处理和分析。
希尔伯特变换的应用将进一步推动通信和信号处理技术的发展，为人类社会的信息交流和传输提供更高效、更可靠的支持。
六、总结希尔伯特变换是一种重要的信号处理技术，它在通信和信号处理领域发挥着重要作用。
通过本文的全面探讨，我们更深入地理解了希尔伯特变换的基本概念、数学原理和在通信中的应用。
希望本文能够帮助读者更好地掌握希尔伯特变换的相关知识，并促进其在实际应用中的进一步发展和应用。
hilbert transform 原理
hilbert transform 原理Hilbert变换是一种在信号处理领域中常用的数学工具，它具有广泛的应用和重要的理论意义。
本文将以Hilbert变换的原理为中心，介绍其基本概念、数学表达和应用场景。
Hilbert变换是由德国数学家Hilbert于20世纪初提出的，它是一种线性、时不变的变换，可以将一个实值信号转换为一个复值信号。
具体而言，对于一个实值信号x(t)，Hilbert变换将其转换为一个复值信号H(x(t))，其实部为原信号x(t)，虚部为原信号x(t)的Hilbert 变换。
Hilbert变换的数学表达可以通过傅里叶变换来实现。
假设x(t)的傅里叶变换为X(f)，那么Hilbert变换可以表示为：H(x(t)) = \frac{1}{\pi}P.V. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{X(f)}{f}e^{j2\pi ft}df其中，P.V.表示柯西主值，即对于奇点f=0，取该点的极限值。
上式可以看出，Hilbert变换实际上是对信号的频域进行了处理，通过除以频率f来实现相位的变换。
Hilbert变换具有许多重要的性质和应用。
首先，它是线性的，即对于信号的加法和乘法运算，Hilbert变换可以分别对应为其结果的加法和乘法运算。
其次，Hilbert变换是时不变的，即对于信号的时间平移，Hilbert变换的结果也会相应地进行时间平移。
Hilbert变换在信号处理领域中有广泛的应用。
其中最常见的应用是信号的分析和合成。
通过对信号进行Hilbert变换，可以得到信号的相位信息，从而实现对信号的分析。
同时，通过对信号的Hilbert 变换结果进行逆变换，可以合成出与原信号具有相同相位但不同振幅的信号，用于信号处理和通信系统中的调制和解调等应用。
除了信号处理领域，Hilbert变换还在其他领域中得到了广泛的应用。
例如，在图像处理中，Hilbert变换可以用于图像边缘检测和纹理分析。
希尔伯特变换
基于希尔伯特变换的改良加速研究CT图像重建算法GUIQIN YANG, HUANYU NING, HUI WU and ZHAN JUN JIANG摘要在本文中，扇束滤波反投影算法（FBP）提高了利用希尔伯特变换来代替原来的一。
同时，技术计算统一设备架构（CUDA）的图形处理单元（GPU）是通过加速和缩短并行处理所需的时间，它可以大大提高效率。
该算法利用MATLAB模拟。
结果表明，重建图像的质量得到改善，重建速度可以提高3.8倍，CUDA技术。
景区简介CT技术在许多领域如近几年发展迅速工业，航空航天，医疗和安全检查[ 1 ] [ 2 ]。
目前，计算机断层扫描（CT）已发展到256排扇束扫描模式商业。
主要重建技术被称为滤波反投影（FBP）这是基于经典的傅立叶切片定理算法。
作为一个CT技术的重要组成部分，影响了图像重建算法质量直接。
计算统一设备架构（CUDA）是一种新的计算机技术可以提高程序效率几乎没有影响原算法[ 3 ]。
所以在本文中，希尔伯特变换是用来改善重建算法和CUDA技术应用于加速程序运行。
仿真结果表明，提出的算法和技术本文是能够提高图像的信噪比和降低图像重建时间。
图像重建算法的改进平行束重建算法的改进扇束、平行束FBP重建的步骤是相同的，即加权投影，坡度滤波反投影，[ 4 ]。
扫描采用相同的斜率滤波器的设计，所以本文中的平行束重建提高首先，和那扇束滤波反投影重建进行了改进。
平行束FBP重建公式显示为：在公式（1），表示探测器的位置，ϕ表示探测器的旋转角度，是变领域。
因此式（1）是重写在式（2）中：根据傅里叶变换的定义和性质，确定公式（3）显示：F [ ]表明，傅里叶变换表明逆傅里叶变换。
所以，投影数据可写为（4）：是平行束投影数据，是希尔伯特滤波器脉冲响应，所以，公式（2）可以改善（5）：希尔伯特[ ]代表希尔伯特变换（5）。
积分作用可以改写为两步叫派生法和希尔伯特变换在重建算法。
扇束重建算法的改进扇束扫描分为两个种类等角度等间距扫描。
希尔伯特变换的基本原理
希尔伯特变换在数字信号处理理论和应用中有着十分重要的作用，它维系着对离散序列进行傅里叶变换后的实部和虚部之间或者幅度和相位之间的关系。
1 希尔伯特变换的基本原理Hilbert 变换测量法对各次谐波都能有精确的90°移相，给定一连续周期信号x(t)， 连续时间信号x(t)的希尔伯特变换定义为：t t x t x t x d d πττπττπττ1)(1)(1)(⊗==⎰⎰+∞∞--+∞∞-- (1)由式（1）可得单位冲击响应h(t)=)(1t x ,由于jh(t)=)(t j 的傅里叶变换是符号sgn(w),所以希尔伯特变换器频率特性为：H （e jw ）=—jsgn(w)= ⎩⎨⎧-j j 00<>x x 记H （j )ω=)(ωj H e j )(ωϕ,当)(ωj H =1时： ⎩⎨⎧-=22)(ππωϕ,, 00<>ωω 信号x(t)的希尔伯特变换可以看成信号x(t)通过一个幅度为1的全通滤波器输出，信号通过希尔伯特变换后，其负频率成分作+90的相移，而正频率成分作—90的相移。
这类滤波器要求滤波器的零频率响应为0，若滤波器的阶数为偶，则要求归一化频率为零。
即如果滤波器的阶数为偶数，那么增益在频率为0Hz 和2fs 处必须降为零，希尔伯特必须是一个带通滤波器。
如果滤波器的阶数为奇数，那么增益在频率为0Hz 处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个高通滤波器。
随着信息时代的到来和高速发展,数字信号处理已经成为一门极其重要的学科和技术,并且在通信、语音、图像、自动控制等众多领域得到了广泛应用。
在数字信号处理中,数字滤波器占有极其重要的地位,具有精度高、可靠性好、灵活性大等特点。
现代数字滤波器可以用软件和硬件两种方式实现。
软件方式实现的优点是可以通过滤滤器参数的改变去调整滤波器的性能。
本文就是基于MATLAB提出希尔伯特FIR滤波器的设计方法。
MATLAB是matrix与laboratory两个词的组合，意为矩形工厂（矩阵实验室）。
希尔伯特变换 时域做法
希尔伯特变换时域做法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：希尔伯特变换是一种在信号处理领域中常用的数学技术，它可以将一个实函数转换为其希尔伯特变换，该变换在时域上的做法可以帮助我们更好地理解信号的频率特性和相位信息。
在本文中，我们将重点介绍希尔伯特变换的时域做法，包括其定义、性质和应用。
一、希尔伯特变换的定义希尔伯特变换是一种线性、无失真的正交变换，它将一个实函数f(t)映射到其希尔伯特变换H[f(t)]，其定义如下：H[f(t)](t)=\frac{1}{\pi}P.V.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(\tau)}{t-\tau} d\tau其中P.V.表示柯西主值积分，实际上是在傅里叶变换的基础上引入一个负号，从而得到希尔伯特变换。
希尔伯特变换的本质是在频域上对信号进行一个90度相移，从而得到信号的解析信号。
1. 相位特性：希尔伯特变换能够将信号的相位进行90度的正交旋转，因此在频域上它实质上是一个高通滤波器，用于提取信号的高频信息。
2. 频率特性：希尔伯特变换在频域上是一个理想低通滤波器，其截止频率为0，可以保留信号的低频信息。
3. 平移不变性：希尔伯特变换对信号的平移具有不变性，即对信号进行时间平移，其希尔伯特变换也进行相应的时间平移。
4. 线性性质：希尔伯特变换是线性的，即对信号进行线性组合后的希尔伯特变换等于各部分的希尔伯特变换的线性组合。
5. 能量守恒：希尔伯特变换不改变信号的总能量，能量守恒在时域和频域上都成立。
希尔伯特变换在信号处理领域中有着广泛的应用，其中一些重要的应用包括：1. 医学图像处理：希尔伯特变换可以用于医学图像的处理和分析，例如用于图像的边缘检测、分割和特征提取等方面。
2. 通信系统：希尔伯特变换可以帮助设计和优化通信系统中的调制、解调、信道估计和误码纠正等算法。
3. 语音信号处理：希尔伯特变换可以用于语音信号的分析、合成和增强，有助于提高语音识别和合成的效果。
希尔伯特变换条件
希尔伯特变换是一种在信号处理中常用的数学工具，它将一个实值函数转换为具有虚部的复值函数。
希尔伯特变换的条件如下：
1. 变换对象必须是一个因果、周期或有界信号。
这意味着在变换对象之前和之后的时间上，信号必须为零。
2. 变换对象必须存在有限的平均值。
这是为了确保变换后的信号是收敛的。
3. 变换对象的幅度频谱必须衰减得足够快，以确保变换后的信号的幅度谱是有界的。
4. 变换对象不能有任何奇点。
奇点指的是在变换对象的频谱中出现的无界或不连续的点。
需要注意的是，希尔伯特变换并不适用于所有类型的信号，而只适用于满足上述条件的特定类型的信号。
1。
希尔伯特变换的定义和性质
1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分设实值函数)(t f ,其中),(+∞-∞∈t ，它的希尔伯特变换为ττπτd t f t f ⎰+∞∞-∧-=)()()(， (1) 常记为)]([)(t f H t f =∧(2)由于)(t f ∧是函数)(t f 与πt 1的卷积积分，故可写成 )(t f ∧=)(t f *πt 1(3)2) 2π相位设])([)(∧∧=t f F f F ，根据(3)式和傅里叶变换性质可知，)(f F ∧是)(t f ∧的傅里叶变换)(f F 和πt 1的傅里叶变换的乘积。
由⎩⎨⎧<>-=-=.0,,0,)sgn(]1[f j f j f j t F π (4)得).()]sgn([)(f F f j f F -=∧)sgn(f j -可表达为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-=--.0,0,)sgn()(22f f f j f B e e jj ππ或者ef jf B )sgn(2)(π-=所以)(f B 是一个2π相移系统，即希尔伯特变换等效于2π±的相移，对正频率产生2π-的相移，对负频率产生2π相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位41波长。
因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。
3) 解析信号的虚部为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数)(t Z :∧+=)()()(t f j t f t Z (5)也可以写成)()()(t j e t A t Z φ-= (6)其中，)(t A 称为希尔伯特变换的包络；)(t φ称为瞬时响应信号。
希尔伯特变换包络)(t A 定义为)()()(22t f t f t A ∧+=(7)相位定义为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∧)()(arctan )(t f t f t φ (8)瞬时频率定义为dtf d f )(210φπ=(9)根据傅里叶变换式)]([)(1f Z F t Z -=)()(t f j t f ∧+=⎩⎨⎧==∧)](Im[)()](Re[)(t Z t f t Z t f (10) 为计算)(f Z ，由).()]sgn([)(f F f j f F -=∧知)()]sgn(1[)(f F f f Z +=)()(1f F f B = (11)其中⎩⎨⎧<>=0,00,2)(1f f f B因此，可以简单地从)(f F 得到)(t Z ，而)(t Z 的虚部即)(t f ∧。
希尔伯特变换
Definition of Hilbert Transform
~ ~ s(t ) Re s(t ) j Im s(t )
~ defined as
s(t ) j s (t )
^
S ( ) 2S ( )U ( )
~
FT [S ( )] FT 1[2S ( )U ( )]
This is defined as Hilbert Transform
Properties of Hilbert Transform
1 2 3
Hilbert变换等价于对信号进行正交滤波
两次Hilbert变换等价于倒相器
Hilbert逆变换等于负的Hilbert正变换
s(t ) j s (t )
^
defined as ~ jwt 1 s(t ) Re S ( )e dw Re s(t ) 2 0
S ( ) 2S ( )U ( )
~
Conclusion：实信号可以用仅含有其正频率分量的解析信号的实部来表示
1
^ 1 1 defined as s(t ) s(t )*[ (t ) ] s(t ) j[ s(t )* ] s(t ) jH [ s(t )] s(t ) j s(t ) j t t ~
~
s(t )
^
defined as
1 H [ s(t )] s(t )* t
Preliminary knowledge of Hilbert Transform
实信号的频谱是具有正负频率的双边谱，且关于0 点偶对称，故分析其单边谱信号形式即可满足分析问题、 恢复原信号的要求。 单边谱信号在时域是复信号。 那么如何从实信号中分解出单边谱信号呢？ 基于右边推导可以定义解析信号的表示方法：
4.1希尔伯特变换ppt课件
21
例4.1.1 试求cos(0t)的希尔伯特变换。
22
T 2T T
T 2T T
2 T 2T T
16
17
(5) 平稳随机过程X(t)希尔伯特变换的统计自相关函数和
时间自相关函数分别等于X(t)的自相关函数和时间自相
关函数
R ( ) RX ( ) X
R
XT
(
)
RXT
(
)
平稳随机过程经过希尔伯特变换后，平均功率不变。
R ( ) RX ( ) 令 0 X
xˆ t
H
x t
1
x d
t
xt
1
t
—— 正变换
xt
H 1
xˆ t
1
xˆ
d t
xˆ t
1
t
——
反变换
5
6
3.实信号的复数表示
典型的窄带信号可表示为：
x(t) A(t) cos[0t (t)]
如果由x(t)作为实部，它的希尔伯特变换作为虚
部，构成解析信号
z(t) x(t) jxˆ(t)
12
13
例4.1.1 试求cos(0t)的希尔伯特xt
则: yˆ t vˆ t xt v t xˆ t
（线性系统可以交换）
15
（4）希尔伯特变换只改变相位，不改变能量或功率
能量:
x2 t d xˆ 2 t dt
功率:
lim 1 T x2 (t)dt lim 1 T xˆ2 (t)dt 1 lim 1 T z(t) 2 dt
1
xˆ
d t
xt
两次移相90°，相当于180°
2）希尔伯特反变换
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xˆ t
H
x t
1
x d
t
xt
1
t
—— 正变换
xt
H 1
xˆ t
1
xˆ
d t
xˆ t
信号的复数表示
典型的窄带信号可表示为：
x(t) A(t) cos[0t (t)]
如果由x(t)作为实部，它的希尔伯特变换作为虚
部，构成解析信号
z(t) x(t) jxˆ(t)
R ( ) R X ( )
XX
R ( ) R XT ( ) XXT
(7)低频带限 at， 带宽 ，当
时0
2
H a t cos0t a t sin0t
H a t sin0t a t cos0t
，
特殊情况:
xt cost xˆ t sint
yt sint yˆ t cost
xˆ
d t
xt
两次移相90°，相当于180°
2）希尔伯特反变换
xt
H 1
xˆ t
1
xˆ d
t
xˆ t 1
t
x(t)的频谱为X (),它的希尔伯特变换x(t)的傅里叶变换为
X (w)
F(x(t))
F (x(t )
1
)
j sgn()
X ()
t
(1)由于傅氏变换和希尔伯特变换都是线性变换，可以互换顺 序:F(H(x(t)))=H(F(x(t))). (2)对许多信号进行希尔伯特变换时，不是直接应用希尔伯特表达式 进行计算，而是利用卷积定理，将信号变换到频域，在频域进行希尔 伯特变换，再变换到时域。
4.1.1希尔伯特变换及解析信号的构成
1.实信号的频谱复共轭对称性
实信号x(t)的频谱X ()有如下性质，即 X () X *()
幅度谱满足偶对称性： 相位谱满足奇对称性：
X () X ()
arg X () arg X ()
2.希尔伯特变换和解析信号
定义：设有实信号 xt 它的希尔伯特变换记做 xˆ t 或 H x t
例4.1.1 试求cos(0t)的希尔伯特变换。
(3) 若: yt v t xt
则: yˆ t vˆ t xt v t xˆ t
（线性系统可以交换）
（4）希尔伯特变换只改变相位，不改变能量或功率
能量:
x2 t d xˆ 2 t dt
功率:
lim 1 T x2 (t)dt lim 1 T xˆ2 (t)dt 1 lim 1 T z(t) 2 dt
第四章 窄带随机过程
窄带随机过程:
频带宽度<<中心频率 一个随机信号的功率谱集中在某一中心频率附 近，一个很小的频带内
S()
0
0
0
4.1 希尔伯特变换
希尔伯特变换是通信和信号检测 理论研究中的重要工具；
用希尔伯特变换可以把实信号表 示成复信号；
用希尔伯特变换可以研究实信号 的瞬时包络、瞬时相位和瞬时频率。
T 2T T
T 2T T
2 T 2T T
(5) 平稳随机过程X(t)希尔伯特变换的统计自相关函数和
时间自相关函数分别等于X(t)的自相关函数和时间自相
关函数
R ( ) RX ( ) X
R
XT
(
)
RXT
(
)
平稳随机过程经过希尔伯特变换后，平均功率不变。
R ( ) RX ( ) 令 0 X
解析信号的谱记为Z ().
Z
X
sgn
X
2X (
0
)
0 0
4.1.2 希尔伯特变化的性质
(1) 希尔伯特变换的频率特性
h(t
)
1
t
F
H
(
)
j
sgn
j
j
, 0 , 0
希尔伯特变换实际上是一个90°的理想移相器
H ()
+j
H ()的幅频特性
H ()
1
0
-j
0
图2 图1
H ()的相位特性
90
0
例4.1.1 试求cos(0t)的希尔伯特变换。
90
图3
希尔伯特变换是线性变换
X (t)
h(t) 1
Y (t)
t
H() j sgn
Y (t) X (t) 1
t
Hilbert变换器是一个90度移相器。 信号的希尔伯特变换相当于原信号的幅度不变， 各频率分量平移90度。
(2) 高阶希尔伯特变换和反变换
1）两次希尔伯特变换
H
xˆ t
1
例4.1.2 已知X(t)是一个均值为零的平稳高斯过程，其单边功 率谱密度为窄带形式：
G
（X ）=
A， -0
0， 其他
2
求其希尔伯特变换 X (t)的一维概率密度。
(6) 平稳随机过程X(t)与其希尔伯特变换的统计互相关函 数和时间互相关函数分别等于
X(t)统计自相关函数的希尔伯特变换和时间自相关函数的 希尔伯特变换