学案1 几何证明选讲
一节数学解题课 几何证明 教案教学设计
一、教案基本信息1. 教案名称：一节数学解题课——几何证明2. 学科领域：数学3. 教学年级：八年级4. 课时安排：1课时（45分钟）二、教学目标1. 知识与技能目标：（1）理解几何证明的基本概念和方法；（2）学会运用几何证明解决实际问题。
2. 过程与方法目标：（1）培养学生的观察、分析、推理能力；（2）提高学生的几何证明和解题技巧。
3. 情感态度与价值观目标：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、合作的科学精神。
三、教学重难点1. 教学重点：（1）几何证明的基本概念和方法；（2）运用几何证明解决实际问题。
2. 教学难点：（1）几何证明的推理过程和证明方法；（2）灵活运用几何证明解决复杂问题。
四、教学准备1. 教具准备：黑板、粉笔、几何模型、课件等；2. 学具准备：笔记本、尺子、圆规、三角板等。
五、教学过程1. 导入新课（1）利用几何模型引导学生回顾平面几何的基本概念；（2）通过实例展示几何证明的过程，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解（1）介绍几何证明的基本概念，如证明、定理、公理等；（2）讲解几何证明的方法，如直接证明、反证法、综合法等；（3）举例演示几何证明的过程，让学生理解证明的步骤和技巧。
3. 课堂练习（1）布置几道简单的几何证明题目，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行点评，讲解解题思路和证明方法。
4. 应用拓展（1）让学生运用所学知识解决实际问题；（2）引导学生探讨几何证明在现实生活中的应用。
5. 总结反思（1）对本节课的主要内容进行总结；（2）学生分享学习心得，教师给予评价和鼓励。
6. 布置作业（1）巩固所学知识，完成课后练习；（2）预习下一节课内容。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况、合作交流表现等，了解学生的学习状态和兴趣。
2. 作业评价：检查学生课后作业的完成质量，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 单元测试评价：在单元结束后，进行测试，了解学生对本节课知识的掌握情况，发现问题及时进行反馈和辅导。
人教版数学高二选修4—1《几何证明选讲》导学案
第1题图 第6题图 人教（A ）版选修4-1《几何证明选讲》综合复习一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( )A .15︒B .30︒C .45︒D .60︒【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=︒,又AD l ⊥,故30DAC ∠=︒,故选B .2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( )A .0B .1C .2D .3【解析】2个:ACD ∆和CBD ∆,故选C .3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )A .11cmB .33cmC .66cmD .99cm【解析】设另一弦被分的两段长分别为3,8(0)k k k >,由相交弦定理得381218k k ⋅=⨯,解得3k =,故所求弦长为381133k k k +==cm .故选B .4.如图,在ABC ∆和DBE ∆中,53AB BC AC DB BE DE ===,若ABC ∆与 DBE ∆的周长之差为10cm ,则ABC ∆的周长为( ) A .20cm B .254cm C .503cm D .25cm 【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D .5.O 的割线PAB 交O 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心,已知226,12,3PA PO AB ===,则O 的半径为( ) A .4 B .614 C .614D .8【解析】设O 半径为r ,由割线定理有226(6)(12)(12)3r r ⨯+=-+,解得8r =.故选D .6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2θ＝( ) A .13 B .14 C .423- D .3 【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =⋅得3CD =,从而3πθ=,故21tan 23θ=,选A . 7.在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,A B CD E 第4题图P CA B Q 第11题图PM N CA BQ 第10题图第9题图 梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )A .3B .1:2C .1:3D .1:4【解析】ADE ABC ∆∆,利用面积比等于相似比的平方可得答案B .8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.A .2B .3C .4D .5【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D .9.如图甲,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB CD .由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形ABCD 中A ∠度数为 ( )A .30︒B .45︒C .60︒D .75︒【解析】6360A ∠=︒,从而60A ∠=︒,选A .10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑直径为10mm ,若所用钢珠的直径为26 mm ,则凹坑深度为( )A .1mmB .2 mmC .3mmD .4 mm 【解析】依题意得222OA AM OM =+,从而12OM mm =,故13121CM mm =-=,选A . 11.如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+,AQ ＝23AB ＋14AC ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为( )A . 15B . 45C . 14D . 13【解析】如图,设25AM AB =,15AN AC =,则AP AM AN =+. 由平行四边形法则知//NP AB ,所以ABP AN ABC AC ∆=∆＝15, 同理可得14ABQ ABC ∆=∆．故45ABP ABQ ∆=∆,选B . 12.如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为 ( )A ．12B 3C 3D ．非上述结论 【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭圆所在平面与底面成30︒角,则离心率1sin 302e =︒=.故选A . 第12题图• 第 14 题图 O C D B A 第15题图 ACP D O E F B 第18题图第17题图 A C P D OE F B 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________【解析】圆;圆或椭圆.14.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠C ＝720,⊙O 过A 、B 两点且与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD ,若BC ＝15-,则AC ＝【解析】由已知得BD AD BC ==,2()BC CD AC AC BC AC =⋅=-,解得2AC =.15.如图,AB 为O 的直径,弦AC 、BD 交于点P ,若3,1AB CD ==,则sin APD ∠=【解析】连结AD ,则sin AD APD AP ∠=,又CDP BAP ∆∆, 从而1cos 3PD CD APD PA BA ∠==, 所以2122sin 1()3APD ∠=-=. 16.如图为一物体的轴截面图,则图中R 的值是 【解析】由图可得22230()(180135)2R R =+--,解得25R =. 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图:,EB EC 是O 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是O 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.【解析】连结,,OB OC AC ,根据弦切角定理,可得1(180)6732992A BAC CAD E DCF ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒+︒=︒. 18.(本小题满分12分) 如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P , E 为⊙O 上一点,AE AC =,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB , 求PF 的长度. 【解析】连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件AE AC =可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠, AOC P C ∠=∠+∠,从而PFD C ∠=∠,故PFD ∆PCO ∆,∴PF PD PC PO =, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===. 19.(本小题满分12分)135R 180 30 第16题图第20题图 第21题图 O D G C A E F B P 已知:如右图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ＝DC ,过点D 作AC 的平行线DE ,交BA 的延长线于点E ．求证：(1)△ABC ≌△DCB (2)DE ·DC ＝AE ·BD ．【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝DB∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△BCD(2)∵△ABC ≌△BCD ，∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC ∴∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB ∴△ADE ∽△CBD ∴DE:BD ＝AE:CD ， ∴DE ·DC ＝AE ·BD.20.(本小题满分12分)如图,△ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,P 为AD 上一点,CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ,求证: PB 2=PE •PF ．【解析】连结PC ,易证,PC PB ABP ACP =∠=∠∵//CF AB ∴F ABP ∠=∠,从而F ACP ∠=∠又EPC ∠为CPE ∆与FPC ∆的公共角,从而CPE FPC ∆∆,∴CP PE FP PC= ∴2PC PE PF =⋅ 又PC PB =, ∴2PB PE PF =⋅,命题得证. 21.(本小题满分12分)如图,A 是以BC 为直径的O 上一点,AD BC ⊥于点D ,过点B 作O 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F , 延长AF 与CB 的延长线相交于点P . (1)求证:BF EF =；(2)求证:PA 是O 的切线；(3)若FG BF =,且O 的半径长为32,求BD 和FG 的长度. 【解析】(1)证明：BC ∵是O 的直径，BE 是O 的切线， EB BC ⊥∴．又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△．BF CF EF CF DG CG AG CG ==∴，．BF EF DG AG =∴． G ∵是AD 的中点，DG AG =∴．BF EF =∴． (2)证明：连结AO AB ，．BC ∵是O 的直径，90BAC ∠=∴°．在Rt BAE △中，由（1），知F 是斜边BE 的中点，AF FB EF ==∴．FBA FAB ∠=∠∴．又OA =∵BE ∵是O 的切线，90EBO ∠=∴°．90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，PA ∴是O 的切线．(3)解：过点F 作FH AD ⊥于点H ．BD AD FH AD ⊥⊥∵，，FH BC ∴∥． 由(1)，知FBA BAF ∠=∠，BF AF =∴．由已知，有BF FG =，AF FG =∴，即AFG △是等腰三角形． 解答用图 O D GCA E FB ＨFH AD ⊥∵，AH GH =∴．DG AG =∵，2DG HG =∴，即12HG DG =． 90FH BD BF AD FBD ∠=∵∥，∥，°，∴四边形BDHF 是矩形，BD FH =．FH BC ∵∥，易证HFG DCG △∽△．FH FG HG CD CG DG==∴，即12BD FG HG CD CG DG ===． O ∵的半径长为32，62BC =∴．1262BD BD CD BC BD BD ===--∴． 解得22BD =．22BD FH ==∴．12FG HG CG DG ==∵，12FG CG =∴．3CF FG =∴． 在Rt FBC △中，3CF FG =∵，BF FG =，由勾股定理，得222CF BF BC =+． 222(3)(62)FG FG =+∴．解得3FG =（负值舍去）．3FG =∴．［或取CG 的中点H ，连结DH ，则2CG HG =．易证AFC DHC △≌△，FG HG =∴，故2CG FG =，3CF FG =．由GD FB ∥，易知CDG CBF △∽△，2233CD CG FG CB CF FG ===∴． 由622362BD -=，解得22BD =．又在Rt CFB △中，由勾股定理，得 222(3)(62)FG FG =+，3FG =∴（舍去负值）．］22.(本小题满分14分)如图1,点C 将线段AB 分成两．部分,如果AC BC AB AC =,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果121S S S S =,那么称直线l 为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2),则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF CE ∥,交AC 于点F ,连接EF (如图3),则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．(4)如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线.请你画一条ABCD 的黄金分割线,使它不经过ABCD 各边黄金分割点.E A M （第22题答图1）E A M （第22题答图2）【解析】(1)直线CD 是ABC △的黄金分割线.理由如下:设ABC △的边AB 上的高为h ．12ADC S AD h =△,12BDC S BD h =△,12ABC S AB h =△,所以ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD S AD=△△ 又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BD AB AD=．因此ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△． 所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线.(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时1212s s s ==,即121s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. (3)因为DF CE ∥,∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等,所以有DEC FCE S S =△△设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△．所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形． 又因为ADC BDC ABC ADCS S S S =△△△△，所以BEFC AEFABC AEF S S S S =四边形△△△因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． (4)画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ,DC 于M ,N 点,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二:如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．。
高二数学教案：几何证明选讲 教案
几何证明选讲（共计10课时）授课类型：新授课一【教学内容】1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。
2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
二【教学重点、难点】理解相似三角形的定义与性质定理．2.掌握以下定理的证明：（1）直角三角形射影定理；（2）圆周角定理；（3）圆的切线判定定理与性质定理；（4）相交弦定理；（5）圆内接四边形的性质定理与判定定理（6）切割线定理三【教学过程】第一讲相似三角形的判定及有关性质以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等，其中，基本数学思想是比例及其性质的应用；第1课时. 基础知识:平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________. 推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。
推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。
例题选讲：例1已知：线段ＡＢ求作：线段ＡＢ的三等分点作法：1、作射线AC2、在射线AC上顺次截取AD=DE=EF3、连结BF4、过点D、E分别作BF的平行线分别交AB于点L、K点L、K为所求的三等分点作业练习：课本P5 习题1.1第2课时. 基础知识:平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段____________。
例题选讲：例1 如图D在AB上，DE∥BC，DF∥AC，AE=4,EC=2,BC=8. 求BF和CF的长.例2、如图，已知DE//BC，EF//CD，求AD是AB和AF的比例中项。
例3 平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
教学设计几何证明法——教案、学案、教学设计资料文档
教学设计几何证明法——教案、学案、教学设计资料文档一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握几何证明的基本方法，理解几何证明的逻辑结构，能够运用几何证明解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、推理等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对几何证明的兴趣，体会数学的严谨性，培养学生的团队合作意识和解决问题能力。
二、教学内容1. 第一课时：几何证明的基本概念及术语教学重点：了解几何证明的基本概念，如证明、定理、公理等。
2. 第二课时：几何证明的方法与步骤教学重点：掌握几何证明的基本方法，如构造辅助线、相似三角形的应用等。
3. 第三课时：平行线的证明教学重点：学习平行线的证明方法，如同位角相等、内错角相等等。
4. 第四课时：全等三角形的证明教学重点：掌握全等三角形的证明方法，如SSS、SAS、ASA等。
5. 第五课时：三角形的性质及其证明教学重点：了解三角形的基本性质，如三角形的内角和、三角形的两边之和大于第三边等，并学会运用这些性质进行证明。
三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、推理等过程，发现几何证明的规律。
2. 利用多媒体教学资源，为学生提供丰富的视觉、听觉学习材料，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组合作学习，让学生在讨论、交流中共同解决问题，培养团队合作意识。
4. 注重个体差异，针对不同水平的学生给予适当的指导，使他们在原有基础上得到提高。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对几何证明方法的掌握程度。
3. 单元测试：进行单元测试，了解学生对几何证明知识的掌握情况，为下一步教学提供依据。
五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括几何证明的基本概念、方法、实例等内容。
2. 几何证明题库：提供各种类型的几何证明题目，供学生练习使用。
几何证明选讲教案
N BCNF 1.1.1 平行线分线段成比例定理1 平行线等分线段定理【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用 【教学难点】平行线等分线段定理的证明 【教学过程】一、实际问题，导入新课1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？ 2．折法：（学生动手） ·先将矩形（ABCD ）纸对折， 得折痕MN （如图1）；·再把B 点叠在折痕MN 上，得到Rt △BEP （如图2）； ·最后沿EP 折叠，便可得到等边△BEF （如图2）。
（如图1）3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？（如图2）二、复习引导，发现定理1．复习提问（1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？ （2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？ 2．引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？ 猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
三、归纳探究，证明定理1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？已知：直线a // b // c ，AB = BC （如图1） 求证：A'B' = B'C'。
2．探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？（2）四边形ACC'A' 是什么四边形？ （3）在梯形中常作什么样的辅助线？ 3．证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。
证法：（略）参见课本P 2的证法。
cc[注意1]结论与直线A'C' 的位置无关；[注意2]对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明。
教案(几何证明选讲 课时1)
课时1相似三角形的进一步认识1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边．2．平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)判定定理：(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．1．如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD .求证：AB ∥CD . 证明 由△ABC ≌△BAD 得∠ACB ＝∠BDA ， 故A ，B ，C ，D 四点共圆，从而∠CAB ＝∠CDB . 由△ABC ≌△BAD 得∠CAB ＝∠DBA ， 因此∠DBA ＝∠CDB ，所以AB ∥CD .2．如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，求EC 的长度．解 在Rt △ADB 中，DB ＝AB 2－AD 2＝7，依题意得，△ADB ∽△ACE ， ∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·ACAD＝27.3．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC的值．解 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.题型一 平行截割定理的应用例1 如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 作AB 的平行线，与AD ，BC 分别交于点E ，F ，与CD 的延长线交于点K .求证：KO 2＝KE ·KF . 证明 延长CK ，BA ，设它们交于点H ，因为KO ∥HB ， 所以KO HB ＝DK DH ，KE HA ＝DK DH .因此KO HB ＝KE HA ，即KO KE ＝HB HA .因为KF ∥HB ，同理可得KF KO ＝HB HA .故KO KE ＝KF KO ，即KO 2＝KE ·KF .思维升华 当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题．作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等．(1)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的长度．(2)如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，求AB 的长． 解 (1)∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58. ∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15. (2)∵DE ∥BC ， ∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23，EC AC ＝13. 又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝EC AC ＝13.∴AD ＝3.∴AB ＝32AD ＝92.题型二 相似三角形的判定与性质例2 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED 、CB 延长线交于一点F . 求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边上的中点，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ， ∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC，∴FD 2＝FB ·FC . 思维升华 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等．(1)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，求PE 的长．(2)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，求四边形ABCD 的面积．解 (1)∵BC ∥PE ， ∴∠PED ＝∠C ＝∠A ， ∴△PDE ∽△PEA ， ∴PE P A ＝PDPE，则PE 2＝P A ·PD ， 又∵PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝P A ·PD ＝ 6.(2)如图，过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10， 由Rt △DFB ∽Rt △ENB ， 知EN DF ＝BE BD， 所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 题型三 射影定理的应用例3 如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC 的长． 解 在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC . 又FC ＝1，根据射影定理， 得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ， 即AF 2＝x 2－1，∴AF ＝x 2－1.在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DCAC ，∴DE ＝DC ·AFAC＝x 2－1x. 在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，即(x 2－1x )2＋(12x 2)2＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1. 整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.思维升华(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法．(1)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC.(2)已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，求AD的长．解(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AC2∶BC2＝AD∶BD＝9∶4，∴AC∶BC＝3∶2.(2)如图，连结AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．直角三角形中常用的四个结论在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB(如图)：(1)∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD.(2)△ABC ∽△ACD ∽△CBD .(3)a 2＝pc ，b 2＝qc ，h 2＝pq ，ab ＝ch (其中c ＝p ＋q )．(4)在a 、b 、p 、q 、h 五个量中，知道两个量的值，就能求出其他三个量的值．A 组 专项基础训练(时间：50分钟)1．如图，△OAB 是等腰三角形，P 是底边AB 延长线上一点，且PO ＝3，P A ·PB ＝4，求腰长OA 的长度．解 如图，作OD ⊥AP ，垂足为D ， 则PO 2－PD 2＝OB 2－BD 2， 所以PO 2－OB 2＝PD 2－BD 2，因为AD ＝BD ，所以PD 2－BD 2＝PD 2－AD 2＝(PD ＋AD )(PD －AD )＝P A ·PB ＝4， 所以PO 2－OB 2＝4， 所以OB 2＝9－4＝5， 所以OB ＝5，所以OA ＝ 5.2．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，求AE 的长．解 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°， ∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝AEAC.又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6， ∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2.3.如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，求AD ∶BC .解 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ，∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5.4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，求△ACD 与△CBD 的相似比．解 如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得： CD 2＝AD ·BD ， 又∵AD ∶BD ＝2∶3， 令AD ＝2x .则BD ＝3x (x >0)， ∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD . 易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63. 即相似比为6∶3.5．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AE EC .证明 ∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AF ＝BDAB，① AE EC ＝ABBC.② 在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC.③由①③得DF AF ＝ABBC ，④由②④得DF AF ＝AEEC.6.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ，求证：AB ·BM ＝AM ·BN . 证明 ∵CM 2＝MN ·AM ， 又∵M 是BC 的中点，∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AMBM，∴AB ·BM ＝AM ·BN . B 组 专项能力提升(时间：30分钟)7.如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． (1)证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD .∴∠ABF ＝∠CEB . ∴△ABF ∽△CEB .(2)解 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE)2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14.∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8. ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16.∴S 四边形ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.8.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C . (1)求证：△ABF ∽△EAD .(2)若∠BAE ＝30°，AD ＝3，求BF 的长． (1)证明 ∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED .又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BF A ＝∠C ＋∠ADE ， ∴∠BF A ＝∠ADE .∴△ABF ∽△EAD . (2)解 ∵∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝60°， ∴AB AE ＝sin 60°＝32， 又△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB AE ，∴BF ＝AB AE ·AD ＝332.9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M . (1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM .(1)证明 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB . 又∵AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形． ∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM .(2)解 ∵△EDM ∽△FBM ，∴DM BM ＝DE BF .∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM ，∴BM ＝13DB ＝3.10．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ； (2)若AE EB ＝23，试判断EF 与BC ，AD 之间的关系，并说明理由； (3)请你探究一般结论，即若AE EB ＝m n，那么你可以得到什么结论？ (1)证明 过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H .因为AE EB ＝12，所以AE AB ＝13， 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH . 又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ，从而EF ＝13(BC －HC )＋AD ， 所以EF ＝13BC ＋23AD ， 即3EF ＝BC ＋2AD .(2)解 EF 与BC ，AD 的关系式为5EF ＝2BC ＋3AD ，理由和(1)类似．(3)解 因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m n ＋m. 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝m m ＋nBH . 所以EF ＝EG ＋GF ＝EG ＋AD＝mm ＋n (BC －AD )＋AD ， 所以EF ＝m m ＋n BC ＋n m ＋nAD ， 即(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .。
本章小结-人教B版选修4-1几何证明选讲教案
本章小结-人教B版选修4-1 几何证明选讲教案引言在初中数学的学习中，几何证明是一项重要的内容。
通过几何证明的学习和实践，不仅可以帮助学生更好地理解数学中的某些概念和问题，而且培养了学生的逻辑思维能力、认识能力、解决问题的能力等多方面的素质。
本文档旨在回顾人教B版选修4-1 几何证明选讲教案，总结教案中的知识重点和教学方法，为初中数学教学工作者提供参考。
教学重点几何证明作为初中数学的重要内容，需要具体的知识与技能，以下为教学重点：1.熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质、特点以及面积的计算方法；2.熟练掌握各种直角三角形的性质和特点，包括勾股定理、边角关系等；3.掌握三角形的相似性质，能利用相似关系进行证明；4.熟练掌握各种平行四边形、矩形、正方形的性质，同时还要掌握长方形、菱形、梯形等概念的定义和特点；5.熟练掌握圆的性质，包括周长和面积的计算公式，同时还要掌握切线定理、弦长定理等；6.掌握三角形和圆的关系，能够运用勾股定理、相似性质、正弦定理、余弦定理、切线定理等进行相关的证明。
教学方法在教学过程中，我们应该采取多种方法与学生进行互动，以提高学习质量和效果，以下为教学方法：1.采用讲授法和示范法相结合。
即在给出相关的定理和公式的同时，注重通过图形演示的方法来进行直观的说明和解释，让学生更好地理解和掌握其中的知识和技能；2.创设不同形式的学习环境和情境，如小组讨论、问题探究、应用案例分析等，创设一种轻松愉快、富有挑战的学习氛围和体验，激发学生的学习兴趣和信心；3.通过思维导图、概念图、知识框架等形式，将教学内容进行整合和体系化的呈现和总结，让学生更清晰有序地理解和把握各个知识点之间的内在联系和逻辑关系；4.通过探究式学习、课堂体验、任务驱动、问题导向等多种形式的教学活动来激发学生的自主学习和创新意识，提高学习者的自主探究和解决问题能力；5.在授课过程中，充分利用多媒体教学手段，如演示文稿、教学视频等，以丰富多彩的形式来呈现教学内容，但也不宜过度依赖于这些教学工具和手段，更要注重师生的互动与交流。
几何证明选讲教案(整理)
几何证明选讲教学设计考试要求1、了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理；2、理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；3、掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理． 教材分析这是新课程选修课程的一个新的内容，本专题的内容包括相似三角形的进一步认识、圆的进一步认识．平行线等分线段定理是在“一组平行线”只取三条这种最简单的情况下证明的，证明的方法是借助梯形常用的辅助线把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形和三角形的知识进行证明．平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理论，其证明体现了化归的思想，把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础．圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，将圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时，就得到弦切角，圆周角定理和弦切角定理的证明都体现了分类讨论的思想，体现了从特殊到一般的思维过程．相交弦定理、割线定理、切割线定理合称“圆幂定理”，在有关的计算和证明中起着重要的作用． 本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解，这里不仅是对初中知识的深化，更侧重于逻辑推理与抽象思维．在几何证明的过程中，不仅包含了逻辑演绎的程序，还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程，因此本章是考查推理能力和逻辑思维能力的好资料，在平时的训练中要熟悉基本图形和基本结论，善于归纳总结，提高运用几何方法解决问题的能力．第一讲 平行线等分线段定理和平行截割定理教学目标知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。
情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
2020届一轮复习苏教版几何证明选讲学案
选修4－1几何证明选讲A第1讲相似三角形的判定及有关性质[最新考纲]了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.诊断自测1. 如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝32，则B′C′＝________.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案3 22.如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC 等于________．解析∵△ABC∽△AFE，∴BC EF ＝3 2.又EF＝8，∴BC＝12.答案123. (2018·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC ＝________.解析 在Rt △ADB 中， DB ＝AB 2－AD 2＝7，依题意得，△ADB ∽△ACE ，∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·ACAD ＝27. 答案 274.如图，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ，又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13.故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3.答案 1∶ 35. (2018·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BFFC ＝________.解析 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BFFC ＝12.答案 12考点一 平行截割定理的应用【例1】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧DE ∥BC ，EF ∥CD ，BC ＝3，DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23，又DF ＝1，故可解得AF ＝2，∴AD ＝3， 又AD AB ＝23，∴AB ＝92.答案 92规律方法 利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．【训练1】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2.E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析 如图，延长AD ，BC 交于一点O ，作OH ⊥AB 于点H . ∴x x ＋h 1＝23，得x ＝2h 1，x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34，得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 2， S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1， ∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 答案 7∶5考点二 相似三角形的判定及性质【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点， ED 、CB 延长线交于一点F . 求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边中点， ∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ，∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC ，∴FD 2＝FB ·FC .规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等． 【训练2】 (2018·陕西卷)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.解析∵PE∥BC，∴∠C＝∠PED，又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠为公共角，所以△PDE∽△PEA，PD PE＝PEP A，即PE2＝PD·P A＝2×3＝6，故PE＝ 6.答案 6考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD 交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.证明∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，∴△AFH∽△GFB.∴HFBF＝AFGF，∴AF·BF＝GF·HF.因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.规律方法(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．【训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝45，则CD＝______，BC＝______.解析 在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得AC ＝5，CD ＝AC 2－AD 2＝3，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154.答案 3 154三角形相似与圆的交汇问题【典例】 如图所示，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .[审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB ，△DAB 中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明△EAD ∽△ABD ，再结合第(1)问结论得证． 证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB . 从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD .又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB . 综合(1)的结论知，AC ＝AE .[反思感悟] 1.易失分点：(1)证明本题第(2)问时，想不到证明△EAD ∽△ABD ，从而无法解答．(2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立． 2．防范措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用． 【自主体验】(2018·江苏卷)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD证明 连接OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以AD AC ＝OD BC . 又BC ＝2OC ＝2OD ， 故AC ＝2AD .第2讲直线与圆[最新考纲]1．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．2．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.知识梳理1．圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．②推论：(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．2．弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．3．圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)推论：①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．4．与圆有关的比例线段基本图形条件结论应用P AB、PCD是⊙O的割线(1)P A·PB＝PC·PD(2)△P AC∽△PDB(1)求线段P A、PB、PC(2)应用相似求AC、BDP A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)P A2＝PB·PC(2)△P AB∽△PCA(1)已知P A、PB、PC知一(2)求解AB、ACP A、PB是⊙O的切线(1)P A＝PB(2)∠OP A＝∠OPB(1)证线段相等，已知P(2)求角(1)圆内接四边形的性质定理①定理1：圆内接四边形的对角互补．②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)圆内接四边形的判定定理及推论①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．诊断自测1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．解析连接CP.由推论2知∠CP A＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42.如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧上的点，已知∠BAC ＝80°， 那么∠BDC ＝______.解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°， ∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3.如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交 于点P .若PB ＝1，PD ＝3，则BCAD 的值为________．解析 ∵ABCD 为圆内接四边形，∴∠PBC ＝∠ADP ，又∠P ＝∠P ，∴△BCP ∽△DAP ，∴BC AD ＝PB PD ＝13. 答案 134. (2018·广州调研)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.解析 连接BD ，由题意知，∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°. 答案 125°5．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径r＝________.解析设⊙O的半径为r(r＞0)，∵P A＝1，AB＝2，∴PB＝P A＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，P A·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，则r＝ 6.答案 6考点一圆周角、弦切角及圆的切线问题【例1】如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC ＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E.(1)求∠DAC的度数；(2)求线段AE的长．解(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°，知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.(1)(2)法一连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.法二连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，(2)又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.规律方法(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练1】如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝12AD·AE，求∠BAC的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角．所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD ＝AEAC ，即AB ·AC ＝AD ·AE 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ， 故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.考点二 与圆有关的比例线段【例2】 如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，求证：(1)AD ＝AE ； (2)AD 2＝DB ·EC .证明 (1)∠AED ＝∠EPC ＋∠C ， ∠ADE ＝∠APD ＋∠P AB .因PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC ＝∠APD . 又P A 是⊙O 的切线，故∠C ＝∠P AB . 所以∠AED ＝∠ADE .故AD ＝AE .(2)⎭⎬⎫∠PCE ＝∠P AD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△P AD ⇒EC AD ＝PCP A ；⎭⎬⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△P AE ∽△PBD ⇒AE DB ＝P APB .又P A 是切线，PBC 是割线⇒P A 2＝PB ·PC ⇒P A PB ＝PCP A . 故EC AD ＝AEDB ，又AD ＝AE ，故AD 2＝DB ·EC .规律方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．【训练2】(2018·天津卷)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB ＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．解析由切割线定理得AE2＝EB·ED，解得EB＝4.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，所以∠EAB＝∠ABC，则AE∥BC，因为AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形．所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4，又由题意可得△CAF∽△CBA，所以CACB＝CF CA，CF＝CA2CB＝83.答案83考点三圆内接四边形的判定及应用【例3】(2018·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OP A＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠P AC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．(2)解由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠P AC的内部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.规律方法(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【训练3】如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分∠DEF.证明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH＝30°.∴∠HED＝∠HDE＝30°.∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.又∠EHA＝∠HDE＋∠CED＝60°，∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.关于圆的综合应用【典例】如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC 相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且P A＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．[审题视点](1)连接AB，在⊙O1中使用弦切角定理，在⊙O2中使用圆周角定理，即可证明∠D＝∠E；(2)根据切割线定理，只要求出BE的长度即可，在⊙O2中根据相交弦定理可得BP·PE，根据(1)中△ADP∽△CEP，又可得BP，PE的一个方程，解方程组求出BP ，PE 的长度即可． (1)证明 连接AB ，如图所示．∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D . 又∵∠BAC ＝∠E .∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC . (2)解 设BP ＝x ，PE ＝y ， ∵P A ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12.① ∵根据(1)，可得△ADP ∽△CEP ， ∴DP EP ＝APCP ，即9＋x y ＝62，②由①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1.(负值舍去)∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16. ∴AD ＝12.[反思感悟] 在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似，本题中使用三角形的相似把⊙O 2中两条待求的线段联系起来，发挥了相似三角形的桥梁作用．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【自主体验】如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC ；(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． (1)证明 ∵BE 切⊙O 于B ， ∴∠ABE ＝∠ACB .又AD ∥BC ，∴∠EAB ＝∠ABC ， ∴△EAB ∽△ABC ， ∴AE AB ＝AB BC . ∴AB 2＝AE ·BC .(2)解 由(1)△EAB ∽△ABC ，∴BE AC ＝AB BC . 又AE ∥BC ，∴EF AF ＝BE AC ，∴AB BC ＝EF AF. 又AD ∥BC ，∴，∴AB ＝CD ，∴CD BC ＝EF AF ，∴58＝EF6， ∴EF ＝308＝154.。
数学几何证明选讲教案
数学几何证明选讲教案数学几何证明选讲教案数学几何证明选讲教案考试要求重难点击命题展望1.了解平行线截割定理.2.会证明并应用直角三角形射影定理.3.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行计算与证明.4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何计算与证明.5.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).6.了解下面的定理.定理：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.7.会利用丹迪林(Dandelin)双球(如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F，E)证明上述定理①的情形：当β＞α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.(图中，上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A)8.会证明以下结果：①在7.中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行.记这个圆所在的平面为π′.②如果平面π与平面π′的交线为m，在6.①中椭圆上任取点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率).9.了解定理6.③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果. 本章重点：相似三角形的判定与性质，与圆有关的若干定理及其运用，并将其运用到立体几何中.本章难点：对平面截圆柱、圆锥所得的曲线为圆、椭圆、双曲线、抛物线的.证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何知识的综合运用，应较好地把握.本专题强调利用演绎推理证明结论，通过推理证明进一步发展学生的逻辑推理能力，进一步提高空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.第一讲与第二讲是传统内容，高考中主要考查平行线截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力.第三讲内容是新增内容，在新课程高考下，要求很低，只作了解.知识网络16.1 相似三角形的判定及有关性质典例精析题型一相似三角形的判定与性质【例1】如图，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长.【解析】(1)因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以∠B＝∠1.又因为AD＝AC，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC＝2CD，所以S△ABCS△FCD＝(BCCD)2＝4，又因为S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.因为S△ABC＝12BC?AM，BC＝10，所以20＝12×10×AM，所以AM＝4.又因为DE∥AM，所以DEAM＝BDBM，因为DM＝12DC＝52，BM＝BD＋DM，BD＝12BC＝5，所以DE4＝55＋52，所以DE＝83.【变式训练1】如右图，在△ABC中，AB＝14 cm，ADBD＝59，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12 cm.求△ADE的面积和周长.【解析】由AB＝14 cm，CD＝12 cm，CD⊥AB，得S△ABC＝84 cm2.再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE.由S△ADES△ABC＝(ADAB)2可求得S△ADE＝757 c m2.利用勾股定理求出BC，AC，再由相似三角形性质可得△ADE的周长为15 cm.题型二探求几何结论【例2】如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动.(1)若AEEB＝12，求证：3EF＝BC＋2AD；(2)若AEEB＝23，试判断EF与BC，AD之间的关系，并说明理由；(3)请你探究一般结论，即若AEEB＝mn，那么你可以得到什么结论？【解析】过点A作AH∥CD分别交EF，BC于点G、H.(1)因为AEEB＝12，所以AEAB＝13，又EG∥BH，所以EGBH＝AEAB＝13，即3EG＝BH，又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，从而EF＝13(BC－HC)＋AD，所以EF＝13BC＋23AD，即3EF＝BC＋2AD.(2)EF与BC，AD的关系式为5EF＝2BC＋3AD，理由和(1)类似.(3)因为AEEB＝mn，所以AEAB＝mm＋n，又EG∥BH，所以EGBH＝AEAB，即EG＝mm＋nBH.EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝mm＋n(BC－AD)＋AD，所以EF＝mm＋nBC＋nm＋nAD，即(m＋n)EF＝mBC＋nAD.【点拨】在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一；探求几何结论可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪.【变式训练2】如右图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边上中点，点Q在线段BC上，设BQ＝k，是否存在这样的实数k，使得以Q，C，P为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【解析】设存在满足条件的实数k，则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得ADQC＝DPCP或ADPC＝DPCQ，由此解得CQ＝1或CQ＝14.从而k＝0或k＝34.题型三解决线的位置或数量关系【例3】(2009江苏)如图，在四边形ABCD中，△ABC △BAD，求证：AB∥CD.【证明】由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，所以A、B、C、D四点共圆，所以∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，所以∠DBA＝∠CDB，即AB∥CD.【变式训练3】如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB ＝12A1B1，△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为 .【解析】因为AB∥A1B1且AB＝12A1B1，所以△AOB∽△A1OB1因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比.所以△A1OB1的外接圆直径为2.总结提高1.相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分，是解题的工具，同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数学思想与方法，在学习时应以它们为指导.相似三角形的证法有：定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.相似三角形的性质主要有对应线的比值相等(边长、高线、中线、周长、内切圆半径等)，对应角相等，面积的比等于相似比的平方.2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行辅助线是常作的辅助线之一，遇到困难时应常考虑此类辅助线.。
人教版数学高二《几何证明选讲》 精品导学案
1.平移、旋转、反射、位似编写人：刘瑞华审核：高二数学组寄语：认认真真学习，踏踏实实做人.一、学习目标1A 理解平移、旋转、反射、相似与位似的概念。
2B 能通过图形的这些变换感受图形变化的不变性。
3C 能分析出给出的图形是通过哪种变换得到的。
二、学习重难点重点：对平移、旋转、反射、相似与位似的概念的理解难点：相似与位似的区别三、学习过程（A）（一）平移1.概念：如果一个图形沿某个方向平移一定的距离，这样的图形运动称为。
图形的平移过程称为。
2.性质：①平移不改变图形的形状和大小(即平移前后的两个图形全等).②对应线段平行且相等,对应角相等.③经过平移,两个对应点所连的线段平行且相等.3.平移两要点:平移的①方向,②距离（二）旋转：1.概念：如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为。
这个定点称为，转动的角度称为，图形的旋转过程称为。
2.性质：①旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等).②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角).③经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等.3.旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度（三）反射1.概念：一个图形F绕一条直线l翻转180 得到另外一个图形F'，则F与F'关于l对称，这种图形的变化过程称为，直线l称为。
反射变换也称为轴对称变换。
2.性质：对应线段的长度不变、对应角的大小不变，但图形的位置发生了改变（四）相似与位似1.概念：①，这种图形的变化过程称为相似变换②如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.③，这种图形的变化过程称为位似变换。
位似变换是一种特殊的2.位似图形性质位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比。
通过位似变换，形状不变，对应角的大小不变，但位置发生变化3.位似的作用——利用位似可以将一个图形放大或缩小。
《几何证明例题选讲》教学设计
谈谈这节课你有什么收获、体会或想法?
师：
1.在解决几何证明问题时，我们可以从问题出发，逐步逆推到已知条件.
2.在证明的过程中如果能够分解出一些基本图形，将会帮助我们快速、简洁的找到证明途径.
学生交流：
学生观看视频，对上述基本图形进行归纳总结.
.
△ACQ∽△ABC∽△CBQ
答：△ ∽△ .
答：公共角:
答：要么再找一对角相等，要么证明夹 的两边对应成比例.
答：再证△ ∽△ .
学生讨论：有六对.
答：有八对.
答： .
答：△DFC∽△BFD.
答：还需要证明一对角相等:
或 .
就是要证 .
答：在 的基础上，再证 .
答： .
答：不可以，因为一个是直角三角形，一个是钝角三角形.
答：由（1）可得： .
1.交流回顾
（1）如图，△ 中， ，点 为边 上一点，直线 经过点 且与 交于点 ，使△ 与△ 相似，请画出草图.
（2）上题中，若点 为 所在直线上一点，直线 经过点 且与 所在直线交于点 ，使△ 与△ 相似，请画出其他符合条件的草ห้องสมุดไป่ตู้.
2.视频归纳
3.几种特殊情况下的基本图形
(1)
(2)
二、基础例题选讲
例1:如图， 、 分别是△ 的边 、 上的高， 与 相交于点 .求证：△ ∽△ .
(1)分析讲解：
问1：要证什么？
问2：观察图中是否有直接条件?
问3：还需要证明哪些条件？
问4：接下来如何考虑？
(2)完成证明过程.
(3)分解图形：
讨论：上图中有几对相似三角形？
如果联结EF和BC，则有几对三角形相似？
高三数学公开课教案：几何证明选讲
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本学案是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的 好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明 和用多个定理证明一个问题的题目，我们更应注意. 1.射影定理的内容及其证明； 2.圆周角与弦切角定理的内容及其证明；
3.圆心距及其所在直线的性质；
4.圆内接四边形的性质与判定；
5.线段的数量关系与三角形相似的转化.
小结
求圆的直径，先考虑圆周角是否是直角；找圆心， 一般利用弦的垂直平分线一定过圆心这个结论。如2 ，3，4题。求线段长度，找相关直线，找相似，如1 题；求线段之间的数量关系，找相似三角形，如5题 ；暂时没有，可进行适当的变换如6，7题，或根据 线段之间的数量关系，找中间量，搭桥，如8题（比 较难）。这些过程中都要用到我们所学过的与圆有 关的知识。
＊对应演练＊
如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的 割线，与⊙O交于B，C两点 ， 圆心O在∠PAC的内部， 点M是BC的中点. （1）证明：A，P，O，M
四点共圆；
（2）求∠OAM+∠APM的
大小.
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(1)证明：如图，连结OP，OM. 因为AP与⊙O相切于点P，
所以OP⊥AP.
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5.相似三角形的性质定理 性质定理1： 性质定理2： 结论： 射影定理：
直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边 的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项
相似三角形对应边上的高、中线 和它们周长的比都等于相似比
相似三角形的面积比等于相似比的平方
. . .
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相 似比，外接圆的面积比等于相似比的平方
接圆的半径
．
5. 如图，已经圆上的弧 ，过C点的圆切线与BA的延长线交 于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）BC2=BF×CD 。
最新2021-2022年高考数学(理)教学案： 几何证明选讲 Word版含解析
第十六章几何证明选讲考纲展示命题探究考点一平行线截割定理与相似三角形1平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3相似三角形的判定及性质(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比．(2)一般三角形相似的判定定理预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理1两角对应相等，两三角形相似．判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．判定定理3三边对应成比例，两三角形相似．(3)直角三角形相似的判定定理定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(4)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.注意点相似三角形性质的作用(1)可用来证明线段成比例、角相等．(2)可间接证明线段相等．(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件．(4)可计算周长、特征线段长等.1．思维辨析(1)如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们相似．()(2)在△ABC 和△A ′B ′C ′中，若有AB A ′B ′＝AC A ′C ′，则△ABC ∽△A ′B ′C ′.( )(3)直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，则有△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD .( )答案 (1)√ (2)× (3)√2．如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为( )A.154 B ．7C.152D.245答案 C解析 由已知条件∠AED ＝∠B ，∠A 为公共角，所以△ADE ∽△ACB ，则有DE BC ＝AE AB ，从而BC ＝6×108＝152.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶3，则∠BCD ＝________.答案 π6解析 由射影定理得，CD 2＝AD ·BD ， 又∵BD ∶AD ＝1∶3，令BD ＝x ，AD ＝3x ，∴CD 2＝AD ·BD ＝3x 2，∴CD ＝3x ，在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝33，∴∠BCD＝π6.[考法综述]考查三角形相似，利用平行线等分线段定理，三角形相似的性质，直角三角形射影定理证明两个三角形相似，通常与圆交错考查．命题法1平行线分线段成比例定理典例1如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，则BFFC的值为________．[解析]如图，过点D作DM∥AF交BC于点M.∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM .又点D 是AC 的中点，∴在△CAF 中，CM ＝MF ，∴BF FC ＝BF FM ＋MC＝12.[答案] 12【解题法】 平行线分线段成比例定理的应用以相似三角形为载体，通过三角形相似构建相应线段比，解题时要充分利用中点作辅助线，从而有效利用定理．命题法2 三角形相似的判定与性质典例2 (1)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D .①求证：PC AC ＝PD BD ；②若AC ＝3，求AP ·AD 的值．(2)如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BD 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E .①求证：AB 2＝DE ·BC ；②若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长．[解] (1)①证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD .又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD .②因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ，所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝AC AD .所以AP ·AD ＝AC 2＝9.(2)①证明：∵AD ∥BC ，∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD . 又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC .∴△CDE ∽△BCD .∴DC BC ＝DE DC .∴CD 2＝DE ·BC ，即AB 2＝DE ·BC .②由①知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4，∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ，∴PD PB ＝DE BC ＝49.又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815.∴PC 2＝PD ·PB ＝365×815＝54252.∴PC ＝545.【解题法】 相似三角形的判定定理的选择(1)已知有一角相等时，可选择判定定理一与判定定理二．(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理二与判定定理三．(3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．1.如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·F A；③AE·CE ＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是() A．①② B．③④C．①②③D．①②④答案 D解析由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD，∵AD 平分∠BAC ，∠CBD ＝∠CAD ，∴∠BAD ＝∠DBC .∴∠FBD ＝∠CBD ，即BD 平分∠CBF ，∴①正确；由切割线定理知，②正确；由相交弦定理知，AE ·ED ＝BE ·EC ，∴③不正确；∵△ABF ∽△BDF ，∴AB BD ＝AF BF ，∴AF ·BD ＝AB ·BF ，∴④正确．故选D.2．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________.答案 9解析 ∵EB ＝2AE ，∴AB ＝3AE ，又△DFC ∽△EF A ，∴S △CDF S △AEF＝DC 2AE 2＝AB 2AE 2＝9.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证：△ABD ∽△AEB .证明因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.4．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF 的面积．解(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.5.如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF2＝AD·BC.证明(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2.，又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt △BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.考点二圆的初步1圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．3圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1圆的内接四边形的对角互补．性质定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．4圆的切线的性质及判定定理性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．5弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．6与圆有关的比例线段相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．注意点圆中的有关定理可以解决的问题类型相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题.1．思维辨析(1)相同长度的弧所对的圆心角相等．()(2)任何四边形都有外接圆．( )(3)同一段弧所对的圆周角是圆心角的12.( )(4)圆的切线长是割线与圆交点的两条线段长的比例中项．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．如图，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若P A ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．答案6解析 设圆的半径为r ，则(3－r )(3＋r )＝1×3，即r 2＝6，解得r＝ 6.3．如图，过点D 作圆的切线切于B 点，作割线交圆于A ，C 两点，其中BD ＝3，AD ＝4，AB ＝2，则BC ＝________.答案 32解析 由切割线定理，得BD 2＝CD ·AD ，得CD ＝94.又∵∠A ＝∠DBC ，∠D ＝∠D ，∴△ABD ∽△BCD ，BD CD ＝AB BC ，解得BC ＝32.[考法综述] 利用圆的切线的性质、切割线定理、相交弦定理确定圆中有关线段之间的关系，解题中一般应用弦切角定理，圆周角定理等确定角之间的关系，结合三角形相似的判定与性质或三角形的其他定理确定边角之间的关系，证明有关线段的等式或者求线段的长．命题法圆中的有关定理及其应用典例如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且P A＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．[解](1)证明：如图所示，连接AB，CE.∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠ADB.又∠BAC＝∠CEP，∴∠ADB＝∠CEP，∴AD∥EC.(2)解法一：∵P A是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴P A2＝PB·PD，即62＝PB·(PB＋9)．∴PB＝3或PB＝－12(舍去)．在⊙O2中由相交弦定理，得P A·PC＝BP·PE，∴PE ＝4.∴DE ＝BD ＋PB ＋PE ＝9＋3＋4＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16＝144.∴AD ＝12.解法二：设BP ＝x ，PE ＝y .∵P A ＝6，PC ＝2，∴由相交弦定理得P A ·PC ＝BP ·PE ，即xy ＝12 ①∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝APPC ，∴9＋x y ＝62 ②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－12y ＝－1(舍去)，∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，∴AD2＝DB·DE＝9×16＝144，∴AD＝12.【解题法】应用圆中的有关定理的解题思路圆中的有关定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面，在与定理相关的图形不完整时，要借助辅助线补齐相应部分．处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用相似三角形．(2)利用圆的有关定理．(3)利用平行线分线段成比例定理及推论．(4)利用面积关系．1．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )A.83 B ．3 C.103 D.52 答案 A解析 由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ，则2×4＝2AM 2，AM ＝2.因为M 、N 是弦AB 的三等分点，所以AM ＝NB ，AN ＝MB ，又CN ·NE＝AN ·NB ，即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.答案 8解析 由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是P A ＝CP ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝152.因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ，故PD P A ＝PC PO ，即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.3.如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC的延长线交于点P，若P A＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.答案 2解析由切割线定理得P A2＝PC·PD，得PD＝P A2PC ＝623＝12，∴CD＝PD－PC＝12－3＝9，即CE＋ED＝9，∵CE∶ED＝2∶1，∴CE＝6，ED＝3.由相交弦定理得AE·EB＝CE·ED，即9EB＝6×3，得EB＝2.4．如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.答案 3解析 ∵四边形BCFE 是圆内接四边形，∴∠C ＋∠BEF ＝180°，∴∠C ＝∠AEF ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AE AC ＝EF BC ＝12，∴EF ＝3.5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．解(1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.可得x＝3，所以∠ACB＝60°.6．如图所示，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明(1)如图所示．因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME ＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN ＝FM·FO.7．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．解 (1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED .又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB2＝6，AD故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，∴∠D＝∠CBE，又BC＝EC，∴∠CBE＝∠E，∴∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC，知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.∴AD∥BC，∴∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，∴△ADE为等边三角形．9.如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O 相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明(1)连接AB，AC，由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵.因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB ，由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.10．如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)∵PD＝PG，∴∠PDG＝∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又∠PGD＝∠EGA，∴∠DBA ＝∠EGA.∴∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.由AF⊥EP，得∠PF A＝90°，∴∠BDA＝90°，故AB是直径．(2)连接BC，DC.∵AB是直径，∴∠BDA＝∠ACB＝90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD.∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB＝∠CBA.又∠DCB＝∠DAB.∴∠DCB＝∠CBA，∴DC∥AB.∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角．∴ED为直径，由(1)得ED＝AB.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E在CA上，且AE＝2CE，AD，BE交于F，求AF FD.[错解][错因分析]错误得出三角形相似，比例关系混乱．[正解]取BE的中点G，连接DG在△BCE中，∵D，G是BC、BE的中点，∴DG∥EC，且DG＝12EC，又∵AE＝2CE，且DG＝12EC，∴△DFG∽△AFE，∴AFFD ＝EFFG＝AEDG＝AE12EC＝4.[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：90分钟基础组1.[2021·枣强中学期末]如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于点H，BC＝4，AH＝3，则△DEF的边长为________．答案 43解析 设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ，∴x 4＝3－32x 3＝2－x2，解得x ＝43.2．[2021·衡水二中仿真]如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ＝5，DB ＝3，FC ＝2，则BF ＝________.答案 103解析 由平行线的性质可得BF FC ＝AE EC ＝AD BD ＝53，所以BF ＝53FC ＝103.3.[2021·枣强中学期中]如图所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与AC 交于点D ，与圆交于点E ，连接AE ，已知ED ＝3，BD ＝6，则线段AE 的长为________．答案 3 3解析 易知∠CBE ＝∠CAE ＝∠ABE ，又∠E ＝∠E ，所以△EAD ∽△EBA ，所以AE EB ＝EDAE ，所以AE 2＝EB ·ED ＝27，所以AE ＝3 3.4．[2021·冀州中学猜题]如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.答案 6解析因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED，所以∠A＝∠PED，又∠P 是公共角，所以△PED∽△P AE.则PD PE ＝PEP A，即PE2＝P A·PD.由PD＝2DA＝2，可得PE2＝6.∴PE＝ 6.5．[2021·武邑中学仿真]如图，过圆O外一点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若∠AEB＝40°，则∠PCE＝________.答案70°解析由PE为切线可得∠PEB＝∠P AE，由PC为角平分线可得∠EPC＝∠APC.由△P AE的内角和为180°，得2(∠APC＋∠BAE)＋40°＝180°，所以∠APC＋∠BAE＝70°，故∠PCE＝∠APC＋∠BAE＝70°.6．[2021·衡水中学模拟]如图，已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR，PS的垂线，垂足分别为H，K，HK 与QS交于点T，QK交PR于点M.求证：(1)QM HM ＝MP MK ； (2)QT ＝TS .证明 (1)因为∠QHP ＝∠QKP ，所以Q ，H ，K ，P 都在以QP 为直径的圆上，即Q ，H ，K ，P 四点共圆，由相交弦定理得QM ·MK ＝HM ·MP ，所以QM HM ＝MP MK .(2)因为Q ，H ，K ，P 四点共圆，所以∠HKS ＝∠HQP .因为∠PSR＝90°，所以PR 为圆的直径，所以∠PQR ＝90°，∠QRH ＝∠HQP .而∠QSP ＝∠QRH ，综上可得∠QSP ＝∠HKS ，所以TS ＝TK .又∠SKQ ＝90°，所以∠SQK ＝∠TKQ ，所以QT ＝TK ，所以QT ＝TS .7．[2021·冀州中学期中]如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过D点作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AB＝DC，∠ABC ＝∠DCB，又BC＝BC，所以△ABC≌△DCB.(2)因为AD∥BC，DE∥AC，所以∠EDA＝∠ACB.又由△ABC≌△DCB 知∠ACB＝∠DBC，所以∠EDA＝∠DBC.由AD∥BC得∠EAD＝∠ABC，＝又∠ABC＝∠DCB，所以∠EAD＝∠DCB.所以△AED∽△CDB，所以DEBDAE，所以DE·DC＝AE·BD.DC8．[2021·衡水中学仿真]由⊙O外一点P引⊙O的切线P A，PB，过P引割线PCD交⊙O于点C，D，OP与AB交于点E.求证：∠CEO＋∠CDO＝180°.证明如图，连接AO，则AO⊥P A，又AE⊥OP，则P A2＝PE·PO.因为P A2＝PC·PD，所以PE·PO＝PC·PD，从而C，D，O，E四点共。
5.6几何证明举例学案(第一课时)
5.6几何证明举例学案第一课时
【学习目标】
1、通过学习，进一步学会三角形全等的判定方法
2、利用三角形全等证明线段和角相等
【学习重点、难点】学会判定三角形全等的基本方法并能灵活应用，
利用全等三角形的性质证明有关的问题
【学习过程】
一、知识回顾
1、判定三角形全等的基本事实有
2、全等三角形的性质：全等三角形的
二、探究新知
在前面我们已经学过的全等三角形的四个判定方法中，判定方法1、2、4都已经为基本事实，你能够自己证明判定方法3吗？
已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’
求证：△ABC≌△A’B’C’
证明：
由此我们可以把全等三角形的判定方法3作为全等三角形的判定定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等
从基本事实SAS,ASA,SSS,以及AAS出发可以判定两个三角形全等,利用全等三角形对应边和对应角的定义，可以进一步推证两个全等三角形的有关线段或角的相等。
三、学以致用
例题1：已知：如图AB=CB,BC=CD
求证：∠B=∠D
四、智慧冲浪
（1）如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，
则需添加的一个条件是（只写一个即
可，不添加辅助线）
（2）已知如图∠1=∠2，CD∥EF∥AB，AE=CE，求证：AB=CD
五、挑战自我
作出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分线有什么性质?对应边上的中线，对应边上的高有什么性质？证明你的结论。
六、自我反思
请同学们想一想，通过本节学习，你有什么收获？。
高中数学选修4-1《几何证明选讲》全套教案(55页)(经典)
A1 A2
m=（m、n 为自源自数），那么怎样证明B1 B2
m
=
？并使学生试证，
A2 A3 n
B2 B3 n
并概括为：
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，那么
A1 A2 = B1B2 。 A2 A3 B2 B3
最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应 线段”的使用，并以正反之例予以明确。
（三）应用举例
例 1（1）已知：如图 5， l1// l2 // l3 ，AB=3，DF=2，EF=4，求 BC。 （2）已知：如图 6， l1// l2 // l3 ，AB=3，BC=5，DB=4.5，求 BF。
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，如果
A1 A2
2
= ，那么
B1 B2
2
= ，即
A1 A2
= B1B2
。
A2 A3 3
B2 B3 3
A2 A3 B2 B3
继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。
进一步提出：
（3）已知：如图 7， l1// l2 // l3 ，AB=3，BC=5，DF=10，求 DE。 （4）已知：如图 8， l1// l2 // l3 ，AB=a，BC=b，DF=c，求 EF。
其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其 口答。
例 2．已知线段 PQ，PQ 上求一点 D，使 PD：DQ=4：1。 先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足， 最后使他们实践。 （四）小结 1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线 等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线段成比例定理是 通过转化为平行线等分线段定理来解决的。 2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对 应线段，否则就会产生错误。 （五）布置作业 补充（1）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PD：PQ=4：1； （2）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PQ：DQ=4：1
高三数学大一轮复习 几何证明选讲学案 理 新人教A版
第十三章选修系列4学案73 几何证明选讲(一)相似三角形的判定及有关性质导学目标： 1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理．自主梳理1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．2．平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段__________．推论1 平行于三角形一边的直线截其他两边(或________________)，所得的对应线段__________．推论2 平行于三角形的一边，并且和其他两边________的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应________．推论3 三角形的一个内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．3．相似三角形的判定判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应________的两个三角形相似．判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且____________相等的两个三角形相似．判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例的两个三角形相似．4．相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．5．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在____________与斜边的______，斜边上的高的________等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．自我检测1．如果梯形的中位线的长为6 cm，上底长为4 cm，那么下底长为________cm.2．如图，在△ABC中，ED∥BC，EF∥BD，则下列四个结论正确的是(填序号)________．①AFFD＝EDBC；②AFFD＝CDAD；③AFFD＝ADDC；④AFFD＝ABAE.3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC＝________.4．如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm ，则BD ＝________cm .第4题图 第5题图5．(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.探究点一 确定线段的n 等分点例1 已知线段PQ ，在线段PQ 上求作一点D ，使PD∶DQ＝2∶1.变式迁移1 已知△ABC，D 在AC 上，AD∶DC＝2∶1，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上．探究点二 平行线分线段成比例定理的应用例2 在△ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD ＝CE ，DE 的延长线交BC 的延长线于点F.求证：DF EF ＝ACAB.变式迁移2 如图，已知AB∥CD∥EF，AB ＝a ，CD ＝b(0<a<b)，AE∶EC＝m∶n(0<m<n)，求EF.探究点三相似三角形的判定及性质的应用例3如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，过D与BC平行的直线交AB于点E，∠ACE ＝∠ABC，求证：AB·CE＝AC·DE.变式迁移3 如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E、F 两点，证明AF·AD＝AG·BF.1．用添加平行辅助线的方法构造使用平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理的条件．特别是在使用平行线分线段成比例定理及推论时，一定要注意对应线段，对应边．2．利用平行线等分线段定理将某线段任意等分，需要过线段的一个端点作辅助线，在作图时要注意保留作图痕迹．3．在证明两个或两个以上的比例式相等时，需要找第三个比例式与它们都相等，可考虑利用平行线分线段成比例定理或推论，也可以考虑用线段替换及等比定理，由相等的传递性得出结论．4．判定两个三角形相似，根据题设条件选择使用三角形相似的判定定理．(满分：75分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．如图所示，l 1∥l 2∥l 3，下列比例式正确的有________(填序号)． (1)AD DF ＝CE BC ；(2)AD BE ＝BC AF ；(3)CE DF ＝AD BC ；(4)AF DF ＝BE CE.2．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的一点，过D 点作DE∥BC 交AC 于E.已知AD DB ＝23，则S △ADES 四边形BCED＝__________________________________________.3．如图，在四边形ABCD 中，EF∥BC，FG∥AD，则EF BC ＋FGAD＝________.4．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为3∶2，则斜边上的中线的长为________．5．(2010·苏州模拟)如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF∥BC，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________.6．如图所示，在△ABC 中，AD⊥BC，CE 是中线，DC ＝BE ，DG⊥CE 于G ，EC 的长为4，则EG ＝________.7．(2010·天津武清一模)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB ＝15，AF ＝4，则DE ＝________.8．如图所示，BD 、CE 是△ABC 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则PQBC＝________.二、解答题(共35分)9．(11分)如图所示，在△ABC 中，∠CAB＝90°，AD⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AEEC.10．(12分)如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，M 是AD 上一点，BM 、CM 的延长线分别交AC 、AB 于F 、E.求证：EF∥BC.11．(12分)(2010·苏州模拟)如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O 点，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别相交于点M ，N ，R ，S 和P ，求证：PM·PN＝PR·PS.学案73 几何证明选讲(一)相似三角形的判定及有关性质自主梳理2．成比例 两边的延长线 成比例 相交 成比例 3．相等 夹角 5.斜边上的射影 乘积 平方 自我检测 1．8 2.③ 3.2133解析 由射影定理：CD 2＝AD·BD.∴AD＝43，∴AC＝CD 2＋AD 2＝4＋169＝2133.4.359解析 ∵AB AC ＝BD DC ＝54，∴BD＝359cm .5．4 2解析 ∵AC＝4，AD ＝12，∠ACD＝90°，∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD＝8 2.又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴AB AD ＝BECD，∴BE＝AB·CD AD ＝6×8212＝4 2.课堂活动区例1 解题导引 利用平行线等分线段定理可对线段任意等分，其作图步骤为：首先作出辅助射线，然后在射线上依次截取任意相同长度的n 条线段，最后过辅助线上的各等分点作平行线，确定所求线段的n 等分点．解 在线段PQ 上求作点D ，使PD∶DQ＝2∶1，就是要作出线段PQ 上靠近Q 点的一个三等分点，通过线段PQ 的一个端点作辅助射线，并取线段的三等分点，利用平行线等分线段定理确定D 点的位置．作法：①作射线PN.②在射线PN 上截取PB ＝2a ，BC ＝a. ③连接CQ.④过点B 作CQ 的平行线，交PQ 于D. ∴点D 即为所求的点． 变式迁移1解 假设能找到，如图，设EC 交BD 于点F ，则F 为EC 的中点， 作EG∥AC 交BD 于G. ∵EG∥AC，EF ＝FC ，∴△EGF≌△CDF，且EG ＝DC ，∴EG 綊12AD ，△BEG∽△BAD，∴BE BA ＝EG AD ＝12，∴E 为AB 的中点． ∴当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上．例2 解题导引 证明线段成比例问题，一般有平行的条件可考虑用平行线分线段成比例定理或推论，也可以用三角形相似或考虑用线段替换等方法．证明 作EG∥AB 交BC 于G ，如图所示，∵△CEG∽△CAB， ∴EG AB ＝CE AC ，即AC AB ＝CE EG ＝DB EG ， 又∵DB EG ＝DF EF ，∴DF EF ＝AC AB .变式迁移2 解 如图，过点F 作FH∥EC，分别交BA ，DC 的延长线于点G ，H ，由EF∥AB∥CD 及FH∥EC，知AG ＝CH ＝EF ，FG ＝AE ，FH ＝EC.从而FG∶FH＝AE∶EC ＝m∶n.由BG∥DH，知BG∶DH＝FG∶FH＝m∶n. 设EF ＝x ，则得(x ＋a)∶(x＋b)＝m∶n.解得x ＝mb －nan －m ，即EF ＝mb －nan －m.例3 解题导引 有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果．证明 方法一 ∵AB∥CD， ∴EA CD ＝AF CF ，即EA AF ＝CD CF .① ∵DE∥BC， ∴AF AC ＝AE AB ，即EA AF ＝AB AC.② 由①②得CD CF ＝ABAC，③∵∠FDC＝∠ECF，∠DEC＝∠FEC， ∴△EFC∽△ECD. ∴CD CF ＝DE CE.④ 由③④得AB AC ＝DECE，即AB·CE＝AC·DE.方法二 ∵AB∥CD，DE∥BC， ∴BEDC 是平行四边形． ∴DE＝BC.∵∠ACE＝∠ABC，∠EAC＝∠BAC，∴△AEC∽△ACB.∴BC CE ＝ABAC.∴AB AC ＝DECE，即AB·CE＝AC·DE. 变式迁移3 证明 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB∥DC，AD∥BC.所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA. 所以△ABF∽△GDA.从而有AF AG ＝BFAD ，即AF·AD＝AG·BF.课后练习区 1．(4)解析 由平行线分线段成比例定理可知(4)正确． 2.421解析 由AD DB ＝23知，AD AB ＝25，S △ADE S △ABC ＝425，故S △ADE S 四边形BCED ＝421.3．1解析 ∵EF∥BC，∴EF BC ＝AFAC ，又∵FG∥AD，∴FG AD ＝CFAC，∴EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋CF AC ＝ACAC＝1. 4.562解析 设斜边上的两段的长分别为3t,2t ，由直角三角形中的射影定理知：62＝3t·2t，解得t ＝6(t>0，舍去负根)，所以斜边的长为56，故斜边上的中线的长为562.5．15解析 ∵AD∥BC，∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53，∴OB BD ＝58，∵OE∥AD，∴OE AD ＝OB BD ＝58，∴OE＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF＝OE ＋OF ＝15. 6．2解析 连接DE ，因为AD⊥BC，所以△ADB 是直角三角形，则DE ＝12AB ＝BE ＝DC.又因为DG⊥CE 于G ，所以DG 平分CE ，故EG ＝2.7．6解析 设DE ＝x ，∵DE∥AC， ∴BE 15＝x x ＋4，解得BE ＝15x x ＋4. ∴BD DC ＝BE EA ＝BE 15－BE ＝x 4. 又∵AD 平分∠BAC，∴BD DC ＝BA AC ＝15x ＋4＝x4，解得x ＝6. 8.14解析 连接DE ，延长QP 交AB 于N ， 则⎩⎪⎨⎪⎧NP ＝12ED ＝14BC ，NP ＋PQ ＝12BC.得PQ ＝14BC.9．证明 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②(3分)在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD·BC， 即BD AB ＝ABBC.③(6分) 由①③得：DF AF ＝ABBC ，④(9分)由②④得：DF AF ＝AEEC.(11分)10．证明 延长AD 至G ，使DG ＝MD ，连接BG 、CG. ∵BD＝DC ，MD ＝DG ，∴四边形BGCM 为平行四边形．(4分) ∴EC∥BG，FB∥CG， ∴AE AB ＝AM AG ，AF AC ＝AM AG ， ∴AE AB ＝AFAC，(8分) ∴EF∥BC.(12分)11．证明 ∵BO∥PM， ∴PM BO ＝PAOA ，(2分) ∵DO∥PS， ∴PS DO ＝PA OA ，∴PM BO ＝PSDO .(4分) 即PM PS ＝BODO ，由BO∥PR 得PR BO ＝PCCO.(6分) 由DO∥PN 得PN OD ＝PCCO.(8分)∴PR BO ＝PN DO ，即PR PN ＝BO DO ， ∴PR PN ＝PMPS.∴PM·PN＝PR·PS.(12分)。
几何选讲证明教案
辅导讲义一、教学目标几何选讲证明1.复习几何选讲知识点2.对一些典型的几何选讲证明训练二、上课内容1. 复习几何选讲知识点2. 对一些例题选讲3. 习题训练4.评讲小结三、课后作业见课后四、家长签名（本人确认：孩子已经完成“课后作业”）_________________几何证明选讲一：几何证明选讲知识点平行线等分线段定理上截得的线段也相等。
平分线分线段成比例定理相似三角形的判定及性质比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。
角形与三角形相似。
对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
这条直线平行于三角形的第三边。
1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
比例，那么这两个直角三角形相似。
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
直角三角形的射影定理是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
圆周定理90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
圆的切线的性质及判定定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。