小学奥数知识点拨 精讲试题 容斥原理之重叠问题(二).学生版
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【答案】 50 人
【巩固】某班有 42 人，其中 26 人爱打篮球，17 人爱打排球，19 人爱踢足球， 9 人既爱打篮球又爱踢足球， 4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱 打篮球又爱打排球的有几人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由于全班 42 人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有 42 人．根据包含排除法，
【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设参加数学小组的学生组成集合 A，参加语文小组的学生组成集合 B，参加文艺小组的学生组成集
合 G． 三 者 都 参 加 的 学 生 有 z 人 ． 有 A B C =46， A =24， B =20， C =3.5， A C =7
A B C ， B C =2 A B C ， A B =10．
【答案】 98 人
【例 4】 新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍
于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人；只参加演奏的比同时参
加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没
【考点】三量重叠问题 【难度】4 星 【题型】解答
A B
C
【解析】如图，用 A 圆表示带汉堡的人， B 圆表示带鸡腿的人， C 圆表示带芝士蛋糕的人． ⑴ 根据包含排除法，总人数 （ 带汉堡的人数 带鸡腿的人数 带芝士蛋糕的人数）（ 带汉堡、鸡 腿的人数 带汉堡、芝士蛋糕的人数 带鸡腿、芝士蛋糕的人数 ） 三种都带了的人数，即 10 （6 6 4）（3 2 1） 三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10 10 0 (人)． ⑵ 求只带一种的人数，只需从 10 人中减去带了两种的人数，即10 （3 2 1） 4 (人)．只带了一种 的有 4 人．
加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C A B (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类 的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A 类、 B 类、 C 类的元 素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下：
1．先包含—— A B 重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了1 次；
2．再排除—— A B A B 把多加了1 次的重叠部分 A B 减去．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合 A、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A B (意思是把 A、B 的一切元素都“包含”进来，
111 x 100
x 11
只爱好体育的有： 55 17 15 4 19 (人)．
【答案】11人只爱好科学和文艺，19 人只爱好体育。
百度文库
【例 5】 在某个风和日丽的日子，10 个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中 6 个人带了汉堡， 6 个人 带了鸡腿， 4 个人带了芝士蛋糕，有 3 个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士 蛋糕． 2 个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问： ⑴ 三种都带了的有几人？ ⑵ 只带了一种的有几个？
如 下 ． 设 只 爱 好 科 学 和 文 艺 两 项 的 有 x人 ． 由 容 斥 原 理 ， 列 方 程 得 55 56 51 （17 15）（4 15）（x 15） 15 100
7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库
教师版
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即 55 56 51 17 4 x 15 2 100
其中甲报 30 份，乙报 34 份，丙报 40 份，那么既订乙报又订丙报的有___________户。 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】总共有（30＋34＋40） 2＝52 户居民，订丙和乙的有 52－30＝22 户。 【答案】 22 户
用式子可表示成： A B A B A B (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”
读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下: A 表示小圆
部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．图示如下: A 表示小圆 部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．
7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）
教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有 25 人参加自然兴趣小组，35 人参加美术兴趣小组，27 人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有 12 人， 参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8 人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人， 语文、美术、自然 3 科兴趣小组都参加的有 4 人．求这个班的学生人数．
【答案】（1）0 人，（2） 4 人
【巩固】盛夏的一天，有10 个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的
各有 5 人；可乐、雪碧都要的有 3 人；可乐、橙汁都要的有 2 人；雪碧、橙汁都要的有 2 人；三样都
【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答
A子 子
B子 子
C子 子
【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合 A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人 组成集合 C．
A =25， B =35， C =27， B C =12， A B =8， A C =9， A B C =4.
42 （26 17 19）（9 4 既爱打篮球又爱打排球的人数） 0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人数 为： 49 42 7 (人)．
【答案】 7 人
【例 3】 四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动．其中有 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组， 参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的 3．5 倍，又是 3 项活动都参加人数 的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的 2 倍，既参加数学小 组又参加语文小组的有 10 人．求参加文艺小组的人数．
有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人． 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】西城实验 【解析】设只参加合唱的有 x 人，那么只参加跳舞的人数为 3x ，由 50 人没有参加演奏、10 人同时参加了跳
舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为 50 10 40 人，即 x 3x 40 ，得 x 10 ，所以只参加合唱的有10 人，那么只参加跳舞的人数为 30 人，又由“同时参加三种节目 的人比只参加合唱的人少 7 人”，得到同时参加三项的有 3 人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演 奏、合唱但没有参加跳舞的”有： 40 10 10 3 17 人．
图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数， 大圆表示 C 的元素的个数．
1．先包含： A B C 重叠部分 A B 、 B C 、 C A 重叠了 2 次，多加了1 次．
2．再排除： A B C A B B C A C 重叠部分 A B C 重叠了 3 次，但是在进行 A B C A B B C A C 计算时都被减掉了．
人加起来，共是 42 55 33 130 人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18 人，同时参加围 棋和国际象棋的10 人与同时参加中国象棋和国际象棋的 9 人减去，但是，同时参加了三种棋赛的 5 人被加了 3次，又被减了 3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有： 130 （18 10 9） 5 98 (人)． 或者根据学过的公式： A B C A B C A B B C A C A B C ，参加棋类比赛的总 人数为： 42 55 33 18 10 9 5 98 (人)．
ABC = A B C AB AC BC ABC .
所以，这个班中至少参加一项活动的人有 25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即 这个班有 62 人．
【答案】 62 人
【巩固】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有 42 人，
在解答有关包含排除问题时，我们常常3．利再用包圆含圈：图A(韦 恩B 图C)来 帮A 助B分析B 思 C考．A C A B C ．
7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库
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例题精讲
模块一、三量重叠问题
【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了 2 份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸，
参加中国象棋比赛的有 55 人，参加国际象棋比赛的有 33 人，同时参加了围棋和中国象棋比赛
的有18 人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10 人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛
的有 9 人，其中三种棋赛都参加的有 5 人，问参加棋类比赛的共有多少人？ 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据包含排除法，先把参加围棋比赛的 42 人，参加中国象棋比赛的 55 人与参加国际象棋比赛的 33
【答案】17 人
【巩固】 六年级 100 名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的 55 人，爱
好文艺的 56 人，爱好科学的 51 人，三项都爱好的 15 人，只爱好体育和科学的 4 人，只爱好体育
和文艺的 17 人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？ 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】只是 A 类和 B 类的元素个数，有别于容斥原理Ⅱ中的既是 A 类又是 B 类的元数个数．依题意，画图
【例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有 34 人，手中有黄旗的共 有 26 人，手中有蓝旗的共有18 人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有 6 人．而手中只有红、黄 两种小旗的有 9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有 4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有 3 人，那么 这个班共有多少人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答
A
B
C
【解析】如图，用 A 圆表示手中有红旗的， B 圆表示手中有黄旗的， C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有 红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去， 手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：（34 26 18）（9 4 3） 6 2 50 (人)．
因为 A B C A B C A B A C B C A B C ，
所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得 x=3， 即三者的都参加的有 3 人．那么参加文艺小组的有 3 7=21 人．
【答案】 21 人
7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库
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【巩固】某班有 42 人，其中 26 人爱打篮球，17 人爱打排球，19 人爱踢足球， 9 人既爱打篮球又爱踢足球， 4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱 打篮球又爱打排球的有几人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由于全班 42 人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有 42 人．根据包含排除法，
【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设参加数学小组的学生组成集合 A，参加语文小组的学生组成集合 B，参加文艺小组的学生组成集
合 G． 三 者 都 参 加 的 学 生 有 z 人 ． 有 A B C =46， A =24， B =20， C =3.5， A C =7
A B C ， B C =2 A B C ， A B =10．
【答案】 98 人
【例 4】 新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍
于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人；只参加演奏的比同时参
加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没
【考点】三量重叠问题 【难度】4 星 【题型】解答
A B
C
【解析】如图，用 A 圆表示带汉堡的人， B 圆表示带鸡腿的人， C 圆表示带芝士蛋糕的人． ⑴ 根据包含排除法，总人数 （ 带汉堡的人数 带鸡腿的人数 带芝士蛋糕的人数）（ 带汉堡、鸡 腿的人数 带汉堡、芝士蛋糕的人数 带鸡腿、芝士蛋糕的人数 ） 三种都带了的人数，即 10 （6 6 4）（3 2 1） 三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10 10 0 (人)． ⑵ 求只带一种的人数，只需从 10 人中减去带了两种的人数，即10 （3 2 1） 4 (人)．只带了一种 的有 4 人．
加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C A B (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类 的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A 类、 B 类、 C 类的元 素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下：
1．先包含—— A B 重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了1 次；
2．再排除—— A B A B 把多加了1 次的重叠部分 A B 减去．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合 A、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A B (意思是把 A、B 的一切元素都“包含”进来，
111 x 100
x 11
只爱好体育的有： 55 17 15 4 19 (人)．
【答案】11人只爱好科学和文艺，19 人只爱好体育。
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【例 5】 在某个风和日丽的日子，10 个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中 6 个人带了汉堡， 6 个人 带了鸡腿， 4 个人带了芝士蛋糕，有 3 个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士 蛋糕． 2 个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问： ⑴ 三种都带了的有几人？ ⑵ 只带了一种的有几个？
如 下 ． 设 只 爱 好 科 学 和 文 艺 两 项 的 有 x人 ． 由 容 斥 原 理 ， 列 方 程 得 55 56 51 （17 15）（4 15）（x 15） 15 100
7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库
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即 55 56 51 17 4 x 15 2 100
其中甲报 30 份，乙报 34 份，丙报 40 份，那么既订乙报又订丙报的有___________户。 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】总共有（30＋34＋40） 2＝52 户居民，订丙和乙的有 52－30＝22 户。 【答案】 22 户
用式子可表示成： A B A B A B (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”
读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下: A 表示小圆
部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．图示如下: A 表示小圆 部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．
7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）
教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有 25 人参加自然兴趣小组，35 人参加美术兴趣小组，27 人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有 12 人， 参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8 人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人， 语文、美术、自然 3 科兴趣小组都参加的有 4 人．求这个班的学生人数．
【答案】（1）0 人，（2） 4 人
【巩固】盛夏的一天，有10 个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的
各有 5 人；可乐、雪碧都要的有 3 人；可乐、橙汁都要的有 2 人；雪碧、橙汁都要的有 2 人；三样都
【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答
A子 子
B子 子
C子 子
【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合 A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人 组成集合 C．
A =25， B =35， C =27， B C =12， A B =8， A C =9， A B C =4.
42 （26 17 19）（9 4 既爱打篮球又爱打排球的人数） 0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人数 为： 49 42 7 (人)．
【答案】 7 人
【例 3】 四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动．其中有 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组， 参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的 3．5 倍，又是 3 项活动都参加人数 的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的 2 倍，既参加数学小 组又参加语文小组的有 10 人．求参加文艺小组的人数．
有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人． 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】西城实验 【解析】设只参加合唱的有 x 人，那么只参加跳舞的人数为 3x ，由 50 人没有参加演奏、10 人同时参加了跳
舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为 50 10 40 人，即 x 3x 40 ，得 x 10 ，所以只参加合唱的有10 人，那么只参加跳舞的人数为 30 人，又由“同时参加三种节目 的人比只参加合唱的人少 7 人”，得到同时参加三项的有 3 人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演 奏、合唱但没有参加跳舞的”有： 40 10 10 3 17 人．
图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数， 大圆表示 C 的元素的个数．
1．先包含： A B C 重叠部分 A B 、 B C 、 C A 重叠了 2 次，多加了1 次．
2．再排除： A B C A B B C A C 重叠部分 A B C 重叠了 3 次，但是在进行 A B C A B B C A C 计算时都被减掉了．
人加起来，共是 42 55 33 130 人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18 人，同时参加围 棋和国际象棋的10 人与同时参加中国象棋和国际象棋的 9 人减去，但是，同时参加了三种棋赛的 5 人被加了 3次，又被减了 3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有： 130 （18 10 9） 5 98 (人)． 或者根据学过的公式： A B C A B C A B B C A C A B C ，参加棋类比赛的总 人数为： 42 55 33 18 10 9 5 98 (人)．
ABC = A B C AB AC BC ABC .
所以，这个班中至少参加一项活动的人有 25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即 这个班有 62 人．
【答案】 62 人
【巩固】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有 42 人，
在解答有关包含排除问题时，我们常常3．利再用包圆含圈：图A(韦 恩B 图C)来 帮A 助B分析B 思 C考．A C A B C ．
7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库
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例题精讲
模块一、三量重叠问题
【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了 2 份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸，
参加中国象棋比赛的有 55 人，参加国际象棋比赛的有 33 人，同时参加了围棋和中国象棋比赛
的有18 人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10 人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛
的有 9 人，其中三种棋赛都参加的有 5 人，问参加棋类比赛的共有多少人？ 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据包含排除法，先把参加围棋比赛的 42 人，参加中国象棋比赛的 55 人与参加国际象棋比赛的 33
【答案】17 人
【巩固】 六年级 100 名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的 55 人，爱
好文艺的 56 人，爱好科学的 51 人，三项都爱好的 15 人，只爱好体育和科学的 4 人，只爱好体育
和文艺的 17 人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？ 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】只是 A 类和 B 类的元素个数，有别于容斥原理Ⅱ中的既是 A 类又是 B 类的元数个数．依题意，画图
【例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有 34 人，手中有黄旗的共 有 26 人，手中有蓝旗的共有18 人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有 6 人．而手中只有红、黄 两种小旗的有 9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有 4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有 3 人，那么 这个班共有多少人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答
A
B
C
【解析】如图，用 A 圆表示手中有红旗的， B 圆表示手中有黄旗的， C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有 红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去， 手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：（34 26 18）（9 4 3） 6 2 50 (人)．
因为 A B C A B C A B A C B C A B C ，
所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得 x=3， 即三者的都参加的有 3 人．那么参加文艺小组的有 3 7=21 人．
【答案】 21 人
7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库
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