数学二次根式知识点复习及练习课件春季版【八年级下册】

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思考 ：
a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S，25 ①都是形如
由2x-1≥0，得
1 x≥
2 1
即当x取大于或等于 的实数时，式子
2
有意2义x． 1
因为 a(a≥ 0)表示a的算术平方根，
所以 a(a≥ 0)总是一个非负数, 即 a ≥ 0(a≥ 0).
并且它的平方等于a, 即 ( a)2 a(a≥ 0)
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
7 2x 1 （8
1 x
）
5、要使下列式子有意义，求字母Ｘ
的取值范围
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x≥2 且 x≠3。
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
正数 想一想：一个正数的算术平方根是
。
零的算术平方根是
。
0 负数有没有算术平方根？
没有
1、求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 3 a 32
（４）若
(x 7)2 1
，
x7
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿7
7. 求式子 围。
x＋1－
5－x
解:由题意得,
有意义时X的取值范
x 1 0 5 | x | 0
x 5
|
1得 x|
x 5
1 x 5
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
(2) 3x
(3) 4x2
(5) x3
(7)
1
a
1 2a
(4) 1 x
1 (6) x2
1 2
(8) 3 x
| x | 4
X≤3且X≠-4
2. a 4+ 4 a 有意义的条件是 a 4 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
解：
①
②
解得 - 5≤x＜3
说明：二次根式被开方数不小于0 ，所以求二次根式中字母的取值范 围常转化为不等式（组）
例2： x取什么实数时，二次根式
有意2x义？1
解：二次根式
有2意x义的1 条件是2x-1≥0．
C
C. x2
D. 1 x
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 , 00..0044,, aa2 ,2 ,
5,
aa,, 3 8.
定义：式子 a (a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
题型1:
确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 x ≤__3___时， 3 x 有意义。
1
（１） 3 x （２） 2x 5
由3 x 0得：x 3 由2x 5 0得：x 5
2
（３） 1 x
x
由1x
x 0得：x 0
1且x
0
6、（１） ( 3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1 x)2 __x__1
（３） (x 2)2 x 2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
，2S 与算4术S平方根的共同点: 9
的式a子，
②a都是非负数.
a a 一般地，形如 （ ≥0）的式子叫做二次根式．
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
1.判断下列各式是否是二次根式.
5 ( ×)
a (a 0)( ×)
2. 下列各式一定是二次根式的是（ ）.
A. x 1
B. x2 1
Байду номын сангаас
3 8 ( ×) a (a 0)( √ )
3、 a2 a a 0
1 ab a ba 0,b 0
、
2 a a (a 0,b 0)
、b
b
四种运算
加 、减、乘、除
第一部分 二次根式的概念
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质：
0有一个平方根就是它0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
二次根式全章复习
二次根式的定义:
形如 a
的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a≤0)
还学习了二次根式的乘法和一种化简方法
a≥0,b≥0
化简二次根式的步骤 1：.将被开方数尽可能分解成几个平方数。
若两个含有二次根式 的代数式相乘，积不含有 二次根式，则这两个代数 式互为有理化因式。
在进行根式计算时，利用 有理化因式，有时可以化去分 母中的根号，从而实现分母有 理化。
知识结构
三个概念
二
三个性质
次
根
式
两个公式
最简二次根式
同类二次根式
有理化因式
--不要求，只需了 解
1、 a 0(a 0)
2、 a 2 aa 0
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1 , 0.04; 49
观察： 上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数 即: a 0
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点：
例如 16x2
：
2.应用
3.将平方项应用
化简.
根式运算的结果中，被开方数应不含能 开得尽方的因数或因式。
运算的结果应该是最简二次根式或整式 。
二次根式的除法公式：
a a
b
b
a a
b
b
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
根号内不含小数。
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a2+0.1
、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
定义： 像
,,
这样表示的算术
平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二
次根式。
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3, 1