向量加法的三角形法则
三角形向量的公式大全
三角形向量的公式大全一、向量加法与三角形法则。
1. 三角形法则(向量加法)- 已知向量→AB和→BC,则→AC=→AB+→BC。
- 几何意义:将向量→AB的终点作为向量→BC的起点,连接→AB的起点与→BC的终点所得到的向量→AC就是→AB与→BC的和向量。
2. 向量加法的交换律在三角形中的体现。
- →AB+→BC=→BC+→AB(虽然三角形法则中顺序有意义,但从向量加法的结果看满足交换律,这里可以通过平行四边形法则辅助理解,以→AB和→BC为邻边的平行四边形,对角线所表示的向量→AC不管是先加→AB还是先加→BC结果相同)3. 向量加法的结合律在三角形中的体现。
- (→AB+→BC)+→CD=→AB+(→BC+→CD),例如在三角形ABC和三角形BCD中,(→AB+→BC)得到→AC,→AC+→CD=→AD;而→BC+→CD=→BD,→AB+→BD=→AD二、向量减法与三角形法则。
1. 三角形法则(向量减法)- 若→AC=→AB+→BC,则→AB=→AC-→BC。
- 几何意义:向量减法是加法的逆运算,在三角形中,→AB可以看作是从→AC的终点指向→BC的终点的向量。
2. →AB与→BA的关系。
- →AB=-→BA,在三角形中,如果→AB表示从A到B的向量,那么→BA 就是从B到A的向量,它们大小相等,方向相反。
三、三角形中的向量数量积公式。
1. 向量数量积的定义在三角形中的应用。
- 对于三角形ABC中的向量→AB和→AC,它们的数量积→AB·→AC=|→AB||→AC|cos∠ BAC。
- 这个公式可以用来求三角形中的角,例如cos∠BAC=frac{→AB·→AC}{|→AB||→AC|}。
2. 向量数量积的分配律在三角形中的体现。
- →AB·(→AC+→AD)=→AB·→AC+→AB·→AD。
在三角形ABC和ABD共顶点A的情况下,如果把→AC+→AD看作一个新的向量→AE(→AE=→AC+→AD),那么→AB·→AE就等于→AB分别与→AC和→AD数量积的和。
向量加法精选教学PPT课件
做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法: 若b + x = a,则x叫做a与b的差,记作a b
3.求作差向量:
已知向量a、b,求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法:在平面内取一点O,
向量的减法
1“相反向量”的定义:
与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定:零向量的相反向量仍是零向量。
(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向
量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量, 则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义:向量a加上b的相反向量, 叫做a与b的差。
这个男孩不假思索地回答道:“我竭尽全力。” 16年后,这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示:每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的,一般人的潜能只开发了2-8左右,像爱因斯坦那样伟大的大科学家,也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能,就可以背诵400本教科书,可以学完十几所大 学的课程,还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说,我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹,仅仅做到尽力而为还远远不够,必须竭尽全力才行。
b
a
b
a
三角 边形法则 A
特殊情况
a
a
b
b
a b
A
B
C
(2)
a b
CA
B
(3)
对于零向量与任一向量a,有 a+0=0+a=a
向量基本定理
B
向量的夹角 两个非零向量 则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ,作 OA a, OB b,
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直,
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 a 1 e1 2 e2 的形式,我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时, 就称为向量的正交分解。
在平面上,如果选取互相垂直的向量作 为基底时,会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底,将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图,已知梯形ABCD, AB//CD,且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案:
1 DC e1 ; 2
A
N
解:取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中,正确的有: ( 2、3 )
平面向量的三角形法则
平面向量的三角形法则平面向量是解决几何和物理问题中常用的数学工具之一。
通过平面向量的运算和性质,我们可以方便地描述物理系统的位移、力和速度等概念。
其中,平面向量的三角形法则是非常重要的基础知识。
本文将详细介绍平面向量的三角形法则以及其应用。
一、平面向量的定义在平面直角坐标系中,平面向量可以表示为一个有方向的线段。
根据平面向量的定义,我们可以用其起点和终点的坐标表示一个平面向量。
例如,对于平面向量AB,其起点为A坐标(x1, y1),终点为B坐标(x2, y2),我们可以表示为向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)。
二、平面向量的三角形法则平面向量的三角形法则是指当三个平面向量相互作用时,可以将它们的起点放在同一个点,然后将它们的终点连接起来形成一个三角形。
这个三角形的对角线是第三个平面向量的和向量。
具体来说,对于平面向量AB和AC,它们的和向量是平面向量AD,即AB + AC = AD。
三、平面向量的运算规则1. 平面向量的加法平面向量的加法满足交换律和结合律。
换言之,对于任意平面向量AB,AC和AD,满足AB + AC = AC + AB,以及(AB + AC) + AD =AB + (AC + AD)。
2. 平面向量的乘法平面向量的乘法有数量积和向量积两种形式。
(1)数量积数量积也称为点积,表示为AB · AC。
数量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的横坐标相乘,再将AB的纵坐标与AC的纵坐标相乘,然后将两个结果相加。
即AB · AC = ABx * ACx + ABy * ACy。
其中,ABx为AB的横坐标,ACx为AC的横坐标,ABy为AB的纵坐标,ACy为AC的纵坐标。
(2)向量积向量积也称为叉积,表示为AB × AC。
向量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的纵坐标相乘,再将AB的纵坐标与AC的横坐标相乘,然后根据坐标轴的正负关系确定结果的方向。
向量加法三角形法则优秀课件
B
AB BC AC
香港
上海 台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
向量加法的三角形法则:
a
ab
b
首首 C 尾尾
相连 接
bAa源自B已 知 非 零 向 量 a、 b,在 平 面 内 任 取 一 点 A , 作 ABa,BCb, 则 向 量 AC 叫 做 a与 b的 和 , 记 作 ab,即
向量加法三角形法则优秀课件
探究一:向量加法的几何运算法则
思考1:如图,某人从点A到点B,再从点B按原方向到点C,
则两次位移的和可用哪个向量表示?由此可得什么结论?
A
BC
AB BC AC
思考2:如图,某人从点A到点B,再从点B按反方向到点C,则
两次位移的和可用哪个向量表示?由此可得什么结论?
CA
abABBCAC 这 种 求 向 量 和 的 方 法 , 称 为 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 。
尝试练习一:
(1)根据图示填空:
E
D
A B B C _ A__ C__
B C C D _ B_D___
A
C A B B C C D _ A_ _ D_ _
A B B C C D D E _ A_ _ E_ _
B
根据图示填空:
(1)a+d=__D__A________ (2)c+b=__C__B________
D
d O
a
C
c
b
A
B
向量公式大全
向量公式之蔡仲巾千创作设a=(x,y),b=(x',y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,暗示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,暗示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律:(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b。
若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的加减法及数乘运算
例1、计算下列各式
(1)( 3) 4a 12a
(2)3(a b ) 2(a b ) a
a 5b 2c
(3)( 2a 3b c ) (3a 2b c )
5b
练一练:
书本P90,练习5
B
b d
D
d
A
c
a
b
a
c
C
o
例2.如图,平行四边形 ABCD中, AB a , AD b , 用 a , b 表示向量 AC , DB 。
解:由作向量和的平行四边形法则, 得
例题
AC a b
D
C
b
由作向量差的方法,
A 知 DB AB AD a b
于是求 a b 就是求这样一个向量,
它与
b
O
这是因为: a b b a b b a 0 a
b的和等于 a。
此即向量减法的三角形法则
法(二) 三角形法则
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量 a b
一、①λ
a 的定义及运算律 (a≠0)
②向量共线定理
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点B 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
设 e1 , e2是两个不共线的向量, AB 2e1 ke2 , CB e1 3e2 , CD 2e1 e2 ,若A、B、D三点共线,求k的值.
向量三角形法则口诀
向量三角形法则口诀向量三角形法则是求解向量三角形碰撞、合力等问题时的一种常用方法。
它是基于向量的代数运算和三角函数的几何性质,通过研究力的大小、方向和作用点等因素,进而求解出力的合力或分力大小与方向。
下面是关于向量三角形法则的口诀,详细进行解释和说明。
口诀:力合力矩,加加减就好。
解释:向量三角形法则主要涉及两个方面的运算,即力的合力和力对应的力矩。
在进行运算时,需要进行力的加法运算,同时考虑一定的方向性,以及正负号的取舍。
下面将详细介绍力合力矩的计算方法和运算规则。
一、力的合力计算:1.平行力的合力:若两个力同方向,则合力等于两个力的和,方向沿着原来的方向;若两个力反方向,则合力等于两个力的差值,方向指向力大的方向。
2.非平行力的合力:将各个力按照平行或共面的方式进行分解或合成;将力按照其在x轴和y轴上的分量进行相加,得到合力的x分量和y分量;利用勾股定理和三角函数,计算合力的大小和方向。
二、力矩的计算:1.力矩定义:力矩指力相对于旋转轴的转动效果大小。
力矩的大小等于力的大小与力臂的乘积;力矩的方向遵循右手定则,通过拇指、食指和中指的关系进行确定。
2.力矩的计算:将力矢量与力臂矢量进行叉乘运算,得到力矩的大小和方向;力矩的大小等于力的大小与力臂的垂直分量的乘积;力矩的方向通过右手定则进行确定。
三、加加减就好:1.加法原则:启创点“加”,矢量相同方向,叠加即可;矢量不同方向,矢量之和为矢量相减的绝对值。
2.强调方向:力的合力和力矩的方向通过矢量的代数运算得到;正负号的取舍由力的相对位置和角度决定。
综上所述,向量三角形法则是一种通过力的分解和合成,以及运用向量的代数运算和三角函数的几何性质来求解力合力矩问题的方法。
它是一种较为直观和简便的计算方法,可以有效地计算出力的合力大小和方向,以及力的旋转效果大小。
通过记住和运用这个口诀,可以更好地理解和应用向量三角形法则,从而解决相关的物理问题。
向量的加减法及数乘运算
o·
A 的三角形法则
B
AB BC AC
ab ba (a b) c a (b c)
1. 相反向量:
与 做 记作
a长aa度的相相等反,向方量向相反的向量,叫
规定:零向量的相反向量仍是零向量。
注:(1) a a
((32))如任即 那果意: 么,向:量aaa与, b它互a相为b,反相b向反a量向a的量a, a和,0是b零向0量. 。
a
b
D
b
由作向量差的方法,
知
DB
AB
AD
a
A b
a
C B
练习u.A如uBur图,ar ,平uAuDu行r 四br边,形你A能B用CD的、ar 两br来条表对示角线Mu相uuAr交、uM于uuBr点、uMMuuCur,和且uMuuD。ur
D
C
M
b
A
r a
B
另:(1) a b a b a b
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理:
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
uuur r r uuur r r
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗?为什么?
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A
向量三角形法则口诀
向量三角形法则口诀在数学中,向量是一种具有大小和方向的量,它在几何学和物理学中有着广泛的应用。
在向量运算中,有一条重要的法则叫做向量三角形法则,它可以帮助我们理解和计算向量的运算规律。
下面我将为大家介绍向量三角形法则口诀,希望能帮助大家更好地理解和运用向量的知识。
1. 向量加法的口诀:向量相加要平行,首尾相接顺次行。
这句口诀简洁明了地说明了向量加法的规则。
在向量加法中,我们需要将两个向量首尾相接,然后用一条新的向量连接它们的起点和终点,这个新的向量就是它们的和向量。
而且,这个和向量的方向与原向量相同,大小等于它们的几何和。
2. 向量减法的口诀:向量相减要变号,首尾相接顺次行。
这句口诀简洁明了地说明了向量减法的规则。
在向量减法中,我们需要将被减向量的起点和终点连接起来,然后用一条新的向量连接减向量的终点和被减向量的起点,这个新的向量就是它们的差向量。
而且,这个差向量的方向与原向量相反,大小等于它们的几何差。
3. 向量数量积的口诀:向量数量积,模乘cos夹角。
这句口诀简洁明了地说明了向量数量积的规则。
在向量数量积中,我们需要将两个向量的模长相乘,再乘以它们夹角的余弦值,这个结果就是它们的数量积。
而且,数量积的结果是一个标量,它的大小等于两个向量的模长乘积再乘以它们夹角的余弦值。
4. 向量叉积的口诀:向量叉积很特别,模乘sin夹角。
这句口诀简洁明了地说明了向量叉积的规则。
在向量叉积中,我们需要将两个向量的模长相乘,再乘以它们夹角的正弦值,这个结果就是它们的叉积。
而且,叉积的结果是一个向量,它的方向垂直于原向量所在的平面,大小等于两个向量的模长乘积再乘以它们夹角的正弦值。
通过以上口诀,我们可以更好地理解和记忆向量三角形法则,从而更加灵活地运用向量的知识。
希望大家能够通过不断地练习和应用,掌握向量的运算规律,提高数学和物理的解题能力。
向量加法三角形法则课件
在解决实际问题时,我们可以根据需要选择使用向量加法或三角形法则,或者将它 们结合起来使用,以获得更准确的结果。
04 向量加法与三角形法则的拓展
向量加法与三角形法则在物理学中的应用
力的合成与分解
通过向量加法与三角形法则,可以更 方便地计算多个力的合成效果,以及 将一个力分解为多个分力。
在数学中的应用
向量加法三角形法则在数学中也有广泛的应用,如在解析几何、线性代数等领域中,需要 使用向量加法三角形法则进行向量的运算和推导。
在实际生活中的应用
向量加法三角形法则在实际生活中也有广泛的应用,如导航、交通规划、气象分析等领域 中,需要使用向量加法三角形法则进行位置、速度和方向的运算和推导。
对向量加法三角形法则的未来展望
深入研究
随着数学和物理学的发展,向量加法三角形法则的应用范围将越来越广泛,需要对其进行更深入的研究和探索。
拓展应用领域
随着科技的发展,向量加法三角形法则的应用领域将不断拓展,如人工智能、机器学习等领域中也可以应用向量 加法三角形法则进行向量的运算和推导。
02 向量加法的三角形法则
三角形法则的推导过程
三角形法则的推导基于向量的基本定义和性质,通过平行四 边形的性质和平行四边形的对角线性质,推导出向量加法的 三角形法则。
具体推导过程包括:首先,将两个向量首尾相接,构成一个 平行四边形;然后,根据平行四边形的对角线性质,得到两 个向量的和向量;最后,根据平行四边形的性质,证明得到 的和向量与三角形另一边的向量相等。
向量加法与三角形法则的区别
向量加法是一种数学运算,它 定义了向量之间的加法关系, 具有交换律和结合律等性质。
向量加法三角形法则和平行四边形法则
向量加法三角形法则和平行四边形法则1. 引言向量加法听起来可能像个高深莫测的数学概念,但其实生活中到处都是它的影子。
就像我们平时走路、跑步一样,都是在用向量加法在舞蹈。
没错,今天就让我们轻松幽默地聊聊这两个法则,三角形法则和平行四边形法则,保证让你在笑声中学到东西。
1.1 向量的基本概念首先,什么是向量呢?简单来说,向量就是有方向和大小的量。
想象一下,你在地图上找路,方向和距离都得考虑,这不就是向量吗?所以,向量就像你人生路上的导航,告诉你该怎么走,往哪儿去。
1.2 三角形法则的魅力接下来,咱们先从三角形法则开始。
这个法则说的是,如果你有两个向量,比如说A和B,要把它们加在一起,你只需把它们的起点和终点连接起来,形成一个三角形。
这个三角形的另一边就代表了向量和,也就是A+B。
就像两个小伙伴一起出门,A先走一步,然后B紧跟其后,最后他们一起到达的那个地方,就是结果。
是不是很简单?2. 生活中的应用生活中到处都有向量加法的应用,想想你打篮球时,投篮的角度和力度,都是向量的表现。
你投篮的力量和方向,结合起来就是你进球的关键。
而在这过程中,三角形法则帮你找到了最佳路径,呵呵,真是妙不可言。
2.1 平行四边形法则的奇妙好吧,接下来我们聊聊平行四边形法则。
这可不是简单的几何图形,而是更进一步的向量加法。
当你有两个向量A和B时,如果把它们的起点重合,向外画出两条平行线,形成一个平行四边形。
这个四边形的对角线就是A+B的结果。
想象一下,你和朋友在一起做计划,两个方向结合起来,最终的方案就像是那个四边形的对角线,既新颖又有趣。
2.2 为什么选平行四边形?那么,为什么要用平行四边形法则呢?因为它提供了更全面的视角,帮助你看清两个向量的结合效果。
就像你在筹备聚会,光有一个方向的想法是远远不够的,得多方面考虑,才能办出个让人赞不绝口的聚会来。
3. 总结通过三角形法则和平行四边形法则,我们不仅能看到向量加法的简单与神奇,还能感受到它在生活中的广泛应用。
向量加减法首尾规律
向量加减法首尾规律
向量的加法口诀:首尾相连,首连尾,方向指向末向量。
向量的减法口诀:首首相连,尾连尾,方向指向被减向量。
三角形定则解决向量加减的方法
将各个向量依次首尾顺次相接,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
注:两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同;差向量的终点指向被减向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法
将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,结果为公共起点的对角线。
平行四边形定则解决向量减法的方法
将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。
)
注:当两个向量首尾相连时常选用三角形法则,当两个向量共始点时常选用平行四边形法则。
坐标系解向量加减法
在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,
A(X1,Y1)B(X2,Y2),则A+B=(X1+X2,Y1+Y2),A-B=(X1-X2,Y1-Y2)
简单地讲:向量的加减就是向量对应分量的加减。
类似于物理的正交分解。
向量加法的三角形法则
向量加法的三角形法则向量加法是数学中的重要概念,它描述了两个向量相加的规则。
在向量加法中,三角形法则是一种常用的方法,用于计算两个向量的和。
本文将详细介绍向量加法的三角形法则,包括其定义、应用和相关实例。
1. 三角形法则的定义。
在向量加法中,三角形法则是指通过将两个向量的起点连接起来,然后以它们的终点作为新向量的起点,连接起来形成一个三角形,从而得到两个向量的和。
具体而言,如果有两个向量a和b,它们的和可以表示为c=a+b。
根据三角形法则,向量c的起点是向量a的起点,终点是向量b的终点,这样就形成了一个三角形。
2. 三角形法则的应用。
三角形法则可以用于计算两个向量的和,同时也可以用于验证向量加法的结果。
通过将两个向量连接起来形成一个三角形,我们可以直观地看出它们的和的方向和大小。
这种方法特别适用于平面向量,因为在平面上可以直接绘制出向量和所形成的三角形。
在三维空间中,虽然无法直接绘制出向量和所形成的三角形,但仍然可以通过三角形法则来计算向量的和。
3. 三角形法则的实例。
为了更好地理解三角形法则,我们可以通过一个实例来说明。
假设有两个向量a=[3,4]和b=[1,2],我们需要计算它们的和c=a+b。
根据三角形法则,我们可以将向量a和b的起点连接起来,然后以它们的终点作为新向量c的起点,连接起来形成一个三角形。
通过计算向量a和b的和,我们可以得到c=[4,6]。
这样,我们就通过三角形法则成功地计算出了向量a和b的和。
4. 三角形法则的推广。
除了用于计算两个向量的和外,三角形法则还可以推广到多个向量的情况。
当有多个向量需要相加时,我们可以依次连接它们的起点和终点,形成一个闭合的多边形,然后通过闭合多边形的性质来计算它们的和。
这种方法被称为多边形法则,它是三角形法则的推广。
总之,三角形法则是向量加法中的重要方法,它可以帮助我们直观地理解和计算向量的和。
通过将两个向量连接起来形成一个三角形,我们可以清晰地看出它们的和的方向和大小。
向量的减法运算
两共线向量求和 ------ 三角形法则
方向相同
方向相反
a
a
b
b
O a+b A
B O a+b B
A
OB= a+b
走进新课
已知:两个力的合力为 F 其中一个力为 F1 求:另一个力 F2
F F2
F1
学习目标
1 掌握向量的减法运算并理解其几何意义;
2 会用向量减法的三角形法则和平行四边 形法则作两个向量的差向量,培养数形 结合解决问题的能力;
BA = m- n
.
E
D
Fm n
C
A
B
练习、如图,已知向量AB a, AD b,DAB 120o, 且 | a || b | 3,求 | a b | 和 | a b |
C
O
D b
`
120o
a
B
A
解:以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,
由于 | AD || AB | 3,故此四边形为菱形
A
C
b
D
| DB | | DB |2 | DB |2 62 82 10
| a b || a b | 10
4.已知 OA =a, OB =b,若| OA |=12,| OB |=5,且
∠AOB=90°, 则|a-b|= 13 .
5. 在 正 六 边 形 ABCDEF 中 , AE =m, AD =n, 则
a
b
b
练习
1.如图,已知a,b,求作a b.
(1)
a
(2)
a
b
b
a
(4)
a
b
b
b
a
ba
向量加法三角形法则
向量加法三角形法则《向量加法三角形法则:一场奇妙的数学之旅》嘿,你知道向量加法三角形法则吗?这可真是一个超级有趣的东西呢!我来给你好好讲讲吧。
我在数学课上第一次听到这个法则的时候,就像发现了一个神秘的宝藏一样。
老师在黑板上画了一些箭头,那些箭头就是向量啦。
向量就像是带着方向的小箭头精灵,每个箭头都有自己的长度和方向。
比如说,我们想象有一个小蚂蚁。
小蚂蚁要从一个点A出发,先朝着一个方向走了一段路,这就可以看成是一个向量。
然后呢,它又改变方向,朝着另一个方向走了一段路,这又是一个向量。
那小蚂蚁最终到达的位置,就可以用向量加法三角形法则来计算。
我和我的同桌当时就对这个法则特别好奇。
我对他说:“你看啊,这个向量加法三角形法则就好像是我们在玩接力赛一样。
”他一脸疑惑地看着我,我就接着解释:“第一个向量就像是第一个跑的同学,他跑了一段路后把接力棒交给第二个同学,第二个同学跑的方向和距离就是第二个向量,那最后到达的终点就像是接力赛的最终位置呀。
”同桌听了我的解释,眼睛一下子就亮了,他说:“哇,还真是这么回事呢!”那这个向量加法三角形法则具体怎么操作呢?我们有两个向量,比如说向量a和向量b。
我们把向量a的尾巴放在一个点上,然后把向量b的尾巴放在向量a的箭头那里。
然后呢,从向量a的尾巴到向量b的箭头画一个新的向量,这个新的向量就是向量a和向量b的和啦。
这就像是搭积木一样,一块积木接着一块积木,最后组成了一个新的形状。
我在做练习题的时候,就遇到了这样一个情况。
有一个关于船在河流中行驶的问题。
船本身有一个速度向量,河流也有一个速度向量。
那船最终的行驶方向和速度就可以用向量加法三角形法则来求。
我当时就在想,这船就像一个调皮的小鸭子,它自己想朝着一个方向游,可是河流就像一个大力士,拉着小鸭子朝着另一个方向走。
那小鸭子最终游向哪里呢?就得靠这个神奇的向量加法三角形法则啦。
我还和我的小组同学一起讨论过这个法则的用处呢。
有个同学说:“这个法则在物理里面也很有用啊,比如力的合成。
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点 C 与两次连续位移的 效 果 相 同. 即→ AB +→ BC =→ AC
从学生 熟悉的位移 (向量)入 手,观察现 象,得到结 论,引入向量
A
B
结论:
A
二)如图 1(多媒体投影),由于大陆和台
湾没有直航,因此 2003 年春节探亲,乘飞
机要先从台北到香港,再从香港到上海,
r b
结(论5):
(1)共线向量求和也适用
形法则
(2)向量加法满足交换律
a+b=b+a
点两向量平
行时求和的
r b
ar
三角
问题,下面教 师将重点讲 解.
通过(3)做向量
r b
ar
,
验证交换律
抢答测评
1、填空 uuur uuur
(1) OuuBur BuuCur (3) uAuNur uBuAur (5) PC CP
方向相同或相反的非零向量叫平行向量, 零向量与任意向量平行
(3)如果两个向量要相等,必须具备什么 条件?
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
(4)向量和数的区别在哪里?
引入 一)请观察: (1)动点从点 A 位移到点 B,再从点 B 位 移到点 C; (2) 动点从点 A 直接位移到点 C.
C
请 3 名学生上台展示, 其余学生观察现象,得 到结论:
教学目标设计 学生归纳、类比、迁移能力,增强学生的数学应用意识和创新意
识。
3.情感、态度与价值观目标:注重培养学生积极参与、大
胆探索的精神以及合作意识;通过让学生体验成功,培养学生学 习数学的信心。
1.分析学生现状:学生已掌握向量的定义及相关概 学情分析 念,有作图基础
2.分析学生需求:学会向量的三角形法则,并以此 推导向量加法的运算法则 1.教学重点:利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则, 重点难点设计 作两个向量的和向量 2.教学难点:对向量加法定义的理解
师生合作,学生总结, 教师补充
梳理总结也 可针对学生 薄弱或易错
处进行强调
和总结.
2、练习册
3、预习向量减法
课后反思
学生对于向量的三角形法则掌握较好,但是实际运用 作图有欠缺,方向、第二个向量的起点位置等易出错, 需多加强调和纠正,加大练习量。对于运算律,学生掌 握情况相对较好,答题较为理想。
uuur uuur 生容易接受, 降低了新课 教学的起点.
这两次位移之和是什么?
学生(齐答):这人两次的位移的和是从台 C
北到上海。
A
如果设 A 为台北,B 为香港,C 为上海,
你能用数学语言叙述这一现象吗?
二、 新课
B
1.向量加法的三角形法则 已知向量 a,b,在平面上任取一点 A,
作 → AB =a,→ BC =b,作向量 → AC ,则向量
→ AC 叫做向量 a 与 b 的和向量.记作 a +b ,即
a+b=→ AB +→ BC =→ AC .
b a
C
a+b
b
A
a
教师引导学 生由位移求 和得到向量 加法的三角 B 形法则.
三角形法则的规律:如果一个向量的 终点和另一个向量的起点相同,那么它们 相加的结果是第一向量的起点为起点,第 二个向量的终点为终点的向量。 (首尾顺次连接,第一个向量的起点到第
师生共同总结归纳三角 形法则的规律. 八 个 字 概 括 :“ 尾 首 相 接,首尾相连”。
二个向量的终点)
uuur uuur
练习 uuur
1:在 uuur
ABC
中,
uuur
AB
uuur
BC
uAuCur CuuBur
, uBuAur uAuCur
学生分组做练习巩
BC CA
, CA AB
uuur uuur (2) uBuPuur PuuCuur (4) MC BM
2、如图所示是平行四边形,填空:
(1) → AB +→ BC ;
(2) → AC +→ CD +→ DO ;A (3) → AC +→ CD +→ DA .
D O
C B
学生抢答,练习巩固, 教师指导
三、课堂小结 1、向量加法的三角形法则 2、加法的交换律 3、会用三角形法则做向量的和 四、课后作业 1、P52 练习 1, 2
《向量的加法 》教学设计
2014-2015 学年第二学期 课程名称:数学 授课教师
上课时间 上课节次 上课班级
1.知识技能目标:理解并掌握向量的加法运算,掌握向量加
法的运算律,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两 个向量的和
2.过程与方法目标:使学生经历向量加法法则的探究和应
用过程,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法,进一步培养
准备三角板,直尺
计
教学任务(教学内容)
一、 复习导入
教学过程设计 备注栏 (含设计
学生活动(主要是学 意图、分组
案内容) 情况、评价 等)
复习旧知:
我们已经学过向量。 (1)什么是向量?
既有大小又有方向的量叫向量,一般用有 向线段表示
教师提问,学生思考回 答。
重温旧知,为 学习新知识 做铺垫。
(2)什么是平行向量?
1.教法:启发式教学和讲练结合,创设问题情境,激发学
选 择 教 生的好奇心与求知欲
教学 策略 设计
法,设 计学法
2.学法:根据学法指导自主性和差异性原则,让学生在
“观察——归纳——检验——应用”的学习过程中,自主参与知 识的发生、发展、形成的过程,使学生掌握知识.
选择教
PPT
学媒体
学生课前或课
外学习活动设
练习 2:请同学们作出下列两个向量的和 固,并在作图中思考,当
向量,并注明 A、 B、C 三个点,得出结论 向量平行即不能构成三
(1) r
b
r ar (3) b
角形时,应如何处理?
(2) ar
r b
学习新 知后紧跟练 习,有利于帮 助学生掌握 向量加法的 三角形法 则.对于作图 中学生的难
ar
ar (4)