矢量三角形法在力学问题中的妙用
高中力学动态平衡和矢量三角形
例三：如图所示，在光滑的斜面上有一小球用板挡住，若开始时，板与斜面 成锐角，当板与斜面的夹角在逐渐增大并至板达到水平位置的过程中，球对斜面 和板的压力如何变化？ 通过分析可以知道此题中，球的重力不变（此为不变量）且斜面对球的支持 力的方向是不变的（此为约束）。所以就可以利用这个关系来解此题。小球的瞬 时，只受三个力的作用，且重力和另两个支持力总处于动态平衡状态，故也可先 作出-G和两个面对物体的受力图。在板的整个改变角度过程中，它和斜面的夹角 在变大，所以以板对球的支持力的方向是一个从N1→F1→F2┉逐渐变化的过程，由 此也可以从图上看到，N1是由大变小再变大的过程，N2的变化过程是从大变小的过 程。 动态平衡问题，都有以上相同的类型，只要掌握了基本的方法，对于经过变 化稍难的习题也能求解了。例如例三稍加改变，告诉学生斜面的倾角为α，板与 斜面的夹角为β，问β为多大时，板所受到的压力为最小。这时学生就会根据板 所受压力的变化情况，再利用相应的数学方法，去正确地求出β角的最小值了。
例一： 墙上固定一个小圆环，一小球用线系住穿过圆环靠于墙 上，如图所示，当从圆环到小球之间的系线在变长的过程中，线受到 的拉力和球对墙的压力是如何变化的？ 此类题目，学生解题时错误的比例是比较高的。要解决此类问题 的关键，是如何找出条件中的不变量及约束，再辅于作图。在分析此 题的过程中，可以很明显地看到，在整个过程中，分析得出墙对球的 支持力的方向不变，总是水平向右方向（此为约束），而且小球重力 是不变的（此为不变量）。可先作出小球的–G，再作墙对球的支持力 N1和线对球的拉力N2的瞬时矢量图，三力的关系是N1和N2的矢量和应 该等于–G。依题意可以知道，系线在伸长的过程，实际上是–G和N2 之间的夹角在变小的过程，由于物体的重力是不变的，且N1的方向不 变，所以整个过程很容易知道两力均是变小的过程。
在力学中巧用矢量三角形法则
在力学中巧用矢量三角形法则作者：刘卫东来源：《中学生数理化·教与学》2011年第03期一、矢量加、减运算的图示矢量的加、减运算，即矢量的合成与分解是处理物理问题必备的数学方法.矢量加减依据平行四边形法则，也可简化为三角形（或多边形）法则.其图解方法如图1.若已知矢量A、B,如图1（a），当求C＝A＋B，即作矢量的加法时，可将A、B两矢量依次首（有向线段箭头）尾（有向线段末端）相接后，由A的尾画到B的首的有向线段即为C，如图1（b）；当求C＝A－B，即作矢量的减法时，通常将表示A、B两矢量的有向线段末端重合，即从同一点出发分别画出两相减矢量，由B的有向线段箭头画到A矢量箭头的有向线段即为C，如图1（c）.运用这种方法也可以进行多个矢量连续相加或相减.我们可以归纳如下.图解方法求矢量和：相加各矢量依次首尾相接后，连接第一个“加数”尾与最后一个“加数”头的有向线段即为各矢量之和.图解方法求矢量差：末端共点分别作相减矢量，连接两箭头，方向指向“被减数”的有向线段即为该二矢量之差.二、运动的合成与分解当物体实际发生的运动较为复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际的分运动.这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法.运动的合成与分解遵循如下原理：1．独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律运动进行，不会因有其他运动的存在而发生变化.2．等时性原理合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义.3．矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则，即平行四边形定则作上述物理量运算.三、矢量三角形在共点力平衡中的运用物体在三个不彼此平行的力的作用下处于平衡状态，这三个力必在同一平面内共点，其合力为零.这三个力组成一个封闭的三角形，解答此类题目时用矢量三角形法则，分析一些动态变化时定性处理问题简捷、直观、明了.有时定量计算时也简捷、方便，避免大量用三角函数求极值的烦琐过程，能收到事半功倍的效果.1．共点力平衡时力变化的定性讨论例１如图２（a），DAB为半圆支架，两细绳OA、OB接于圆心O，其下悬重力为G的物体.若OA细绳固定不动，将细绳OB的B端沿半圆支架从水平位置逐渐缓慢移至竖直位置C 的过程中，细绳OA和细绳OB对节点O的拉力大小如何变化？解析：选节点O为研究对象，节点在拉力G、TA、TB三个力的作用下始终处于共点力的平衡状态，G的大小和方向都确定；TA的方向确定但大小不定；TB的大小和方向都不定，根据图2（b）中力的封闭矢量三角形可以看出，在OB向上靠近OC的过程中，TA一直减小，TB先减小后增大.2．共点力平衡时力变化的定量计算例２如图３，质量为m的物体放在水平地面上，用水平向右的拉力F拉物体，使物体沿水平向右匀速运动，已知物体和水平面间的动摩擦因数为，μ在保持拉力F大小不变的情况下改变其方向，但仍使物体沿原方向匀速运动，则拉力F′与原拉力F间的夹角θ为多大？解析：略.总之，凡遇到物体受三个共点力作用，处于平衡问题时，若一个力的大小与方向都确定，另一个力的方向也确定，求这个力的大小及第三个力的大小如何变化时，利用矢量三角形定性讨论比较方便.。
用矢量三角形解三力平衡问题
相似应用
O
T L H
X
B
T
A
G
对小球进行受力分析：
左图中出现了几何三角形， 且几何三角形三条边分别跟 小球受到的三个力方向一致。
建立与几何三角形明显相
F
似的矢量三角形，如图
由比例关系知：
G T HL
L 不变， 则 T 不变;
G F X 减小， H X 则 F 减小。
F
矢量三角形与圆的知识结合
如图，一个小物块静止的放 在长木板上，现缓慢增大木 板与水平方向的夹角，假设 物块始终相对木板静止。试 利用矢量三角形判断物块所 受支持力 FN 和摩擦力 f 大小 的变化情况。
对小球进行受力分析：
T
H
L
左图中出现了几何三角形， 且几何三角形三条边分别跟 小球受到的三个力方向一致。
FN
建立与几何三角形明显相 似的矢量三角形，如图
R
T
由比例关系知：
G T L 减小， H L 则 T 减小；
G FN R 不变，
G
FN H R 则 FN 不变。
相似应用
O
A
如图，A球固定于空间一点，B 球用不可伸长的绝缘轻线拴住， 悬挂于A球正上方的O点，两球 因带有同种电荷而互相排斥，斥 力方向沿两球连线方向。随着时 间的推移，两球因电量损失而缓 B 慢靠近，试判断在两球缓慢靠近 的过程中，绳对小球的拉力 T 和 A对B的斥力 F 大小变化情况。
FNf Βιβλιοθήκη NG f对物块进行受力分析： 不难看出：随着挡板倾角的增大， FN 和 f 的方向都会随着变化，不 过，FN 和 f 的夹角始终是90º。
构建矢量三角形，如图
可见，FN 一直减小， f 一直增大。
高中物理·矢量三角形的巧妙运用
♠ 类型Ⅲ
如图所示,一个表面光滑的半球固定在水平面上,其球心的正上方一 定高度处固定一小滑轮,一根细绳一端拴一小球,置于球面上A点,另 一端绕过定滑轮 ,现缓慢地拉动细绳的一端 ,使小球从 A点运动到 D 点 ,在此过程中 ,小球所受的球面支持力 FN及细绳拉力 FT的变化情 况是 O
物体受力特点：3个力：G、FN、FT ①G确定,即大小方向不变 ② FN、FT变化有依据情况待定
专题一
矢量三角形巧解力学问题
学习目标：
1、掌握矢量三角形在静态平衡问题中的应用。
2、学会运用矢量三角形判断常见动态平衡。
3、感受数学图形解决物理问题的美妙。
想一想：
身边的三角形应用
物理题
物体受三个力F1、F2、F3，处于平衡状态时，F1、F2 、F3首尾相接，构成闭合三角形
F2
静止 匀速直线运动
情景三：
如图所示，光滑的球静止在斜面和木板之间，
已知球重为G，斜面的倾角为θ。起初挡板竖直放
置，将挡板逆时针缓慢转动到与斜面垂直，
此过程中小球对斜面和
挡板的压力如何变化
θ
？
♠ 类型Ⅰ
如图所示，光滑的小球静止在斜面和木板之间， 已知球重为G，斜面的倾角为θ。起初挡板竖直放 置，将挡板逆时针缓慢转动到与斜面垂直， 此过程的任意 时刻物体近似 看成静止状态
F3
F1
情景一：
如图所示，挡板竖直放置，光滑的小球静止在斜
面和木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ。
求小球对斜面和挡板的压力？
N2 G
N1
θ
N1=G tanθ N2=G/cos θ
θ
情景二：
如图所示，挡板与斜面垂直，光滑的小球静止在
矢量三角形法在力学问题中的妙用
05
结论与展望
结论
矢量三角形法在力学问题中具 有广泛的应用，能够简化复杂
的问题，提高解题效率。
通过矢量三角形法，可以直 观地理解力的合成与分解， 以及速度和加速度的变化。
矢量三角形法在解决动力学、 静力学和运动学问题中表现出 色，为解决实际问题提供了有
力工具。
展望
随着物理学和工程学的发展，矢量三 角形法将在更多领域得到应用，如流 体力学、电磁学和量子力学等。
详细描述
通过构建矢量三角形，可以将动量和冲量的问题转化为简单的几何问题，从而快速找到动量和冲量的方向和大小。 这种方法能够避免复杂的代数运算，简化解题过程。
弹性力学问题实例
总结词
矢量三角形法在解决弹性力学问题时具 有直观性和通用性，可以广泛应用于各 种弹性力学问题。
VS
详细描述
通过构建矢量三角形，可以清晰地表示出 弹性力的大小和方向，从而快速判断出物 体的变形情况。这种方法能够避免复杂的 受力分析，简化解题过程。
未来需要进一步研究矢量三角形法的 理论基础和实际应用，以更好地解决 复杂问题，促进科学技术的发展。
随着计算技术和可视化技术的发展， 矢量三角形法将更加直观和易于理解， 有助于推动物理学和工程学的发展。
THANKS
矢量三角形法的基本原理
矢量三角形法基于平行四边形法则和三角形法则，通过构建矢量三角形来描述力和 运动的合成与分解。
在力的合成与分解中，根据平行四边形法则，两个力可以合成一个合力或一个力可 以分解为两个分力，其效果是等效的。
在速度和加速度的合成与分解中，根据三角形法则，一个运动可以分解为多个分运 动或多个运动可以合成一个总运动，其效果也是等效的。
适用范围广
矢量三角形法适用于多种 类型的力学问题，如静力 学、动力学、弹性力学等。
【方法详解】利用矢量三角形解决高中物理动态平衡与矢量极值等问题
平衡问题：物体不受力或所受合外力为零，这是物体处于平衡的条件。
解决此类问题的方法很多，包括正交分解法、矢量三角形法、相似三角形法、利用拉密定理……矢量三角形：矢量合成的平行四边形定则可以用矢量三角形法则来等效替代。
把代表两个分矢量的有向线段首尾相连，则合矢量就从第一个矢量的起点到第二个矢量的末端。
以此类推，若一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则代表三个力的有向线段必定构成封闭三角形。
利用矢量三角形法在处理三力平衡问题和两力的加速（减速）问题时是非常方便的，像摩擦角这样四力动态平衡问题，用起来也很方便！尤其是动态平衡中求极值的问题迅速得到解决，而且非常直观。
解决动态平衡的一般步骤如下：①确定研究对象；②分析对象状态和受力情况，画出示意图；③将各力首尾相连，画出封闭的矢量三角形；④根据题意，画出动态变化的边角关系；⑤确认未知量变化情况。
一、两力作用下的动力学问题例1、如图所示，固定的斜面A和放在斜面上的楔形木块B的倾角均为θ=30°，已知斜面A的上表面和木块B的表面均光滑，木块B 的质量为M，上面放有质量为m的小球C，当用平行于斜面的力F 作用在木块上时，木块B和小球C保持相对静止，求推力F及木块B对小球C的弹力的大小。
解析：解决动力学问题，先对物体进行受力分析。
选择小球为研究对象，小球受到重力和B对小球的支持力（两个力），作加速运动；选择整体为研究对象，小球和木块受到重力，支持力和推力。
根据条件，小球和木块加速度相同，根据牛顿第二定律，解决此题的关键是求出木块B和小球C保持相对静止时的加速度大小。
由于小球与木块相对静止，故小球C受到的合力方向必定和木块B 的加速度的方向相同（平行于斜面），即沿斜面向下。
用三角形法则作出小球受到的合力（N与G的箭头收尾相连，以便画出合力），如图所示。
由于弹力N的方向与木块B的上表面垂直，因此弹力的方向与竖直方向的夹角为60°，不难看出，矢量三角形为等边三角形，即N=ma=mg，小球的加速度大小为g，以球和木块整体为对象，由牛顿第二定律可知解得推力的大小为:二、三力作用下的动态平衡问题例2、如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿逆时针方向绕O点缓慢转动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化?解析:选择小球为研究对象，分析小球受力如图所示，小球受重力G、挡板的支持力N1和斜面的支持力N2，小球在这三个力的作用下处于平衡状态，这三个力可构成矢量三角形(如上图)。
矢量三角形法 物理
矢量三角形法物理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矢量三角形法是物理学中非常重要的一种方法，它可以用来分析和解决各种复杂的物理问题。
在研究物理学的过程中，我们经常会遇到各种力的作用，而这些力往往是以矢量的形式存在的，需要进行矢量运算来求解。
矢量三角形法是一种简单而实用的方法，可以帮助我们计算矢量的合成、分解、夹角以及方向等。
通过矢量三角形法，我们可以将一个复杂的矢量问题转化为简单的几何问题，从而更加容易地理解和解决。
在物理学中，很多问题都可以通过矢量三角形法来解决，比如力的合成、速度的合成、加速度的分解等。
下面我们将通过一些具体的例子来说明矢量三角形法的应用。
我们来看一个力的合成问题。
假设有两个力F1和F2作用在一个物体上，它们的大小和方向分别为F1=5N, F2=8N, θ1=30°, θ2=60°。
我们需要计算这两个力的合成结果。
首先我们将这两个力画成矢量图，然后通过矢量三角形法来计算它们的合成力。
根据矢量三角形法，我们可以先计算出F1和F2的水平和垂直分量，再将这些分量相加得到合成力的大小和方向。
对于F1=5N, θ1=30°，它的水平分量为F1x=5*cos30°=5*√3/2=4.33N，垂直分量为F1y=5*sin30°=5*1/2=2.5N。
对于F2=8N, θ2=60°，它的水平分量为F2x=8*cos60°=4N，垂直分量为F2y=8*sin60°=6.93N。
然后将两个力的水平和垂直分量相加，得到合成力的水平分量F=4.33+4=8.33N，垂直分量F=2.5+6.93=9.43N。
通过勾股定理计算出合成力的大小和方向，即F=sqrt(8.33^2+9.43^2)=12.66N，θ=tan^(-1)(9.43/8.33)=47.39°。
这两个力的合成结果为12.66N，方向为47.39°。
矢量三角形在高中物理中求极值的应用赏析
矢量三角形在高中物理中求极值的应用赏析云梦一中 乾华高矢量三角形法则是从平行四边形法则演变来的，是矢量运算的法则。
用矢量三角形分析和计算矢量的最小值， 即简便又形象，有事半功倍的效果，下面举例分析。
一、求电场强度最小值例1 质量为m 的带正电小球A 悬挂在绝缘细线上，其电荷量为q ，且处匀强电场中。
当小球A 静止时，细线与竖直方向成30°角，如图所示，求匀强电场强度E 的最小值及其方向。
解析：由于小球受重力、电场力和绳的拉力处于静止状态，故小球所受的重力和电场力的合力一定沿绳的方向向下。
根据三角形法则可做出重力、电场力及其合力的矢量三角形，如图。
可见当电场力qE 和合力F 垂直时，电场力最小，即E 最小。
由几何关系得：mgsin30°＝qE解得：E 小＝mg/2q方向：垂直于绳向上二、求速度最小值例2 有一小船在渡河，如图所示，在离对岸30m 时，其下游40m 处有一危险水域，假若水流速度为5m/s ，为了使小船在危险水域之前到达对岸，求小船从现在起，相对于静水的最小速度。
解析：小船同时参与两个运动，随水流的运动和相对于水的运动，两分速度分别为v 1和v 2，与合速度v 可组成矢量三角形，如图，当小船恰好在危险区登陆，且v 2垂直于v 时，v 2最小。
v 2＝v 1sin α，由位移关系可得：sin α＝3/5 解得最小速度v 2＝3m/s 船头指向：与上游河岸成53°。
三、求力的最小值例3 将质量m ＝5kg 的木板置于水平桌面上，其右端三分之一长度推出桌子边缘，木板与桌面间动摩擦因数为33，试求欲将木板推回桌面所施加的最小推力。
解析：木板受力为：重力mg 、支持力F N 、摩擦力F μ、和推力F 。
因F μ与压力成正比，所以F μ和F N 也成正比，两者的合力方向F 合是确定的，且tan α＝ F μ/F N ＝μ，可得α＝30°，如图。
刚好推动木板的条件是合力恰好为零，即重力、推力和F 合三个力的合力为零。
矢量的三角形法则
矢量的三角形法则矢量是物理学中重要的概念，它是有大小和方向的量。
在矢量的运算中，三角形法则是一种常用的方法。
本文将详细介绍矢量的三角形法则及其应用。
一、矢量的概念矢量是指具有大小和方向的量，常用箭头表示。
矢量的大小用模表示，方向用箭头的指向表示。
在二维空间中，矢量可以表示为一个有序数对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
二、矢量的加法矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。
在三角形法则中，我们可以通过将两个矢量首尾相连构成一个三角形，然后用一条从三角形的起点指向终点的矢量表示它们的和。
具体操作如下：1. 将两个矢量的起点放在同一点上；2. 用一条直线连接两个矢量的终点，构成一个三角形；3. 从两个矢量的起点引出一条线段，指向这个三角形的终点，这条线段就表示它们的和。
三、矢量的减法矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。
在三角形法则中，我们可以通过将两个矢量的起点放在同一点上，然后用一条从被减矢量的终点指向减矢量的终点的矢量表示它们的差。
具体操作如下：1. 将两个矢量的起点放在同一点上；2. 用一条直线连接减矢量的终点和被减矢量的终点，构成一个三角形；3. 从被减矢量的起点引出一条线段，指向这个三角形的终点，这条线段就表示它们的差。
四、矢量的平行四边形法则除了三角形法则，矢量的加法还有一种常用的方法，即平行四边形法则。
在平行四边形法则中，我们可以通过将两个矢量的起点放在同一点上，然后将它们的终点连线构成一个平行四边形，用对角线表示它们的和。
具体操作如下：1. 将两个矢量的起点放在同一点上；2. 用一条直线连接两个矢量的终点，构成一个平行四边形；3. 从这个平行四边形的起点引出一条线段，指向对角线的交点，这条线段就表示它们的和。
五、矢量的三角函数在矢量的运算中，三角函数经常用于求解矢量的分量。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在三角形法则中，我们可以通过求解三角形的边长和角度来求解矢量的分量。
力的矢量三角形画法
力的矢量三角形画法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：力的矢量三角形画法是物理学中非常重要的概念之一，它帮助我们更直观地理解力的合成和分解。
在力的矢量三角形画法中，我们通过图形的方式将不同方向的力进行合成和分解，从而得到最终的结果。
下面来深入了解力的矢量三角形画法。
让我们来了解一下什么是力的矢量。
在物理学中，力是一个矢量量，它不仅有大小，还有方向。
力的合成就是指把不同方向的力合并在一起，得到一个结果力的过程。
而力的分解则是把一个力拆分成多个力的过程。
这两个过程都是通过力的矢量三角形画法来实现的。
在力的矢量三角形画法中，我们通常使用箭头来表示力的大小和方向。
箭头的长度代表力的大小，箭头的方向代表力的方向。
当有多个力作用在一个物体上时，我们可以通过将这些力的箭头放在一起，然后通过矢量三角形的方法将它们合成为一个结果力。
这个结果力的大小和方向可以通过矢量三角形的几何关系来求得。
举个例子，假设有两个力分别为F1和F2，它们的大小和方向如图所示。
如果我们想求出这两个力的合力，即它们的合成力F，我们可以按照以下步骤进行：第一步，将这两个力的箭头画在一起，F1的箭头位于F2的箭头前面。
这样我们就可以形成一个平行四边形，F1和F2分别为平行四边形的两条边。
第二步，通过平行四边形的对角线画出一个三角形。
这个三角形的一条边就是合成力F的方向，而这个三角形的其他两条边就是F1和F2的合力。
第三步，通过几何关系或三角函数，我们可以求出合力F的大小。
通过力的矢量三角形画法，我们可以更加直观地理解不同方向力的合成和分解过程。
这不仅有助于我们在实际问题中求解力的合力，还可以帮助我们更好地理解物体受力的情况，从而更好地分析和解决问题。
在物理学中，力的合成和分解是非常重要的概念。
通过力的矢量三角形画法，我们可以更好地掌握这些概念，从而提高我们解决物理问题的能力。
希望通过本文的介绍，您对力的矢量三角形画法有了更深入的了解。
愿您在学习物理的过程中能够更加游刃有余，取得更好的成绩！第二篇示例：力的矢量三角形画法是物理学中的一项重要概念，它用来描述多个力的方向和大小的关系。
矢量三角形法在力学问题中的妙用
F变小。
例4．如图为一攀岩运动员正沿竖直岩壁缓慢攀 登，由于身背较重的行囊，重心上移至肩部的 O点，总质量为60kg。此时手臂与身体垂直， 手臂与岩壁夹角为53°。则手受到的拉力和脚 受到的作用力分别为（设手、脚受到的作用力 均通过重心O，g取10m/s2，sin53°=0.8, cos53°=0.6） （ A ） A．360N 480N O 53° B．480N 360 N C．450N 800N D．800N 450N
F
G C 图7 A N
B
【模型探究】 问题一
图解分析法 ：动态平衡问题动态平衡中各力的变 化情况是一种常见题型.总结其特点有:合力大小和 方向都不变;一个分力的方向不变,分析另一个分力 方向变化时两个分力大小的变化情况.用图解法具有 简单、直观的优点. 对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力 分析,依据某一参量的变化,在同一图中作出物体在 若干状态下力的平衡图(力的平行四边形),再由动态 力的平行四边形各边长度变化及角度变化确定力的
例3 ．如图4所示，电灯悬挂于O点，三根绳子的拉力分别为TA、TB、TC，保 持O点的位置不变，绳子的悬点B也不变，则悬点A向上移动的过程中，下列说法 正确的是（ ） B A. A、 TA、TB一直减少； 图4 B、 TA一直增大，TB一直减少； A O C、 TA先增大后减少，TB先减少后增大； C D、TA先减少后增大，TB一直减少； 分析：对于这道题，若用常规的正交分解法，先求出TA、TB的表达式，再分析当θ 角（TA与水平方向所成的夹角）改变时TA、TB的大小变化，问题自然会变得相当复 杂，而且也不能一眼就可看出正确的结果。若利用矢量三角形，可作如下的分析： 若O点始终处于平衡状态，且只受TA、TB、TC三个力作用，则这三个力构成如下图 所示的矢量三角形。在A点位置向上移动的过程中，因TC的大小和方向始终不变， TB的方向也不变，即在力的三角形中，TC的长度和方向不变，TB与TC的夹角大小不 变，A点向上移动，且TA与水平方向的夹角由90度逐渐变小，由矢量三角形图的变 化可知，TA先减少后增大，而TB则一直减少。答案为D。
用矢量三角形求解三力动态平衡问题
用矢量三角形求解三力动态平衡问题矢量三角形：矢量合成的平行四边形定则可以用矢量三角形法则来等效替代。
把代表两个分矢量的有向线段首尾相连，则合矢量就从第一个矢量的起点到第二个矢量的末端。
以此类推，若一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则代表三个力的有向线段必定构成封闭三角形。
利用矢量三角形法在处理三力平衡问题和两力的加速（减速）问题时是非常方便的，像摩擦角这样四力动态平衡问题，用起来也很方便！尤其是动态平衡中求极值的问题迅速得到解决，而且非常直观。
解决动态平衡的一般步骤如下：①确定研究对象；②分析对象状态和受力情况，画出示意图；③将各力首尾相连，画出封闭的矢量三角形；④根据题意，画出动态变化的边角关系；⑤确认未知量变化情况。
利用图解法应注意三点：(1)前提是合力不变，一个分力的方向不变．(2)正确判断某一个分力的大小和方向变化及其引起的另一分力的变化．(3)注意某一分力方向变化的空间三力作用下的动态平衡问题例题、如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿逆时针方向绕O点缓慢转动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化?解析:选择小球为研究对象，分析小球受力如图所示，小球受重力G、挡板的支持力N1和斜面的支持力N2，小球在这三个力的作用下处于平衡状态，这三个力可构成矢量三角形(如上图)。
挡板绕O点缓慢移动，小球处于动态平衡。
因挡板对小球的支持力N1（如图所示，红色箭头逆时针旋转）的方向与水平方向之间的夹角由0°缓慢变大，重力的大小和方向都不变，斜面的支持力N2的方向不变，由矢量三角形知斜面的支寺力N2必将变小，而挡板的支持力N1将先变小后变大。
总结：（1）第一个力大小方向都不变——重力G（2）第二个力方向不变——斜面的支持力N2（3）第三个力的方向在旋转，导致大小也变化——挡板的支持力N1（分别用蓝色和红色标出）。
三角形物理学中的应用
三角形物理学中的应用以共点力的平衡为例，物体在三个非平行力的作用下平衡时，这三个力必在同一平面内共点。
根据共点力的平衡条件可知，其合力为零，三个力组成一个封闭三角形。
因此，既可以用矢量三角形分析共点力的动态平衡问题，也可以分析物体在共点力的作用下平衡时的极值问题。
实践证明，这种几何法往往比解析法要简单。
1、矢量三角形法：物体受三个共点力作用而平衡时，若第一个力的大小和方向确定（第一个定力），第二个力的方向也确定（第二个定向），求第二个力的大小及第三个力的大小与方向（第三个变力）如何变化，可以直接利用矢量三角形定性与定量讨论。
画图技巧：定力两个端点确定不动，定向力作用线是以定力一端为起（或终）点的一条直线，变力是变化的，但不是乱变，因为要构成（闭合）三角形，所以变力一端与定力另一端相连而不动，变力的变化是由于变力另一端在定向力的作用线上移动引起的。
例1、用一根细绳把重为G的小球挂在竖直光滑的墙壁上，如图所示，若改用较长的细绳，使α角变小时，细绳对小球的拉力及墙壁对小球的弹力如何变化？解析：选小球为研究对象，小球在重力G、细绳拉力、墙壁弹力F N三个力作用下始终处于共点力的平衡状态，G的大小和方向都确定。
F N的方向确定，但大小不定，的大小和方向都不定。
通过情景分析可知，改用较长的细绳，相当于使α角变小，根据图中力的封闭矢量三角形可以看出，α角较小时，细绳对小球的拉力和墙壁对小球的弹力均减小。
例2、如图所示，一轻杆O端用铰链固定于墙壁上，A端用轻绳拉紧使OA杆保持水平，若在A端挂重物G，当把重物的悬点A点向O点逐渐缓慢移动时，绳对A点的拉力和铰链对杆的作用如何变化？解析：选杆A端为研究对象，杆在拉力、拉力和铰链作用力三个力作用下始终处于平衡状态。
的大小和方向都确定，的方向确定，但大小不定，的大小和方向都不定。
根据图中力的封闭矢量三角形可以看出，当把重物的悬点从A点向O点逐渐缓慢移动时，一直减小，先减小后增大。
动态平衡—矢量三角形和相似三角形
动态平衡—矢量三角形和相似三角形在物理学中，动态平衡是一个十分重要的概念。
当一个物体所受的合力为零，但力的大小或方向在不断变化时，我们就说这个物体处于动态平衡状态。
而在解决动态平衡问题时，矢量三角形和相似三角形是两个非常有用的工具。
让我们先来理解一下什么是矢量。
矢量是既有大小又有方向的物理量，比如力、速度、位移等。
而矢量三角形，就是用三角形的三条边来分别表示三个矢量的大小和方向。
想象一个物体在三个力的作用下处于平衡状态。
这三个力可以用矢量来表示，并且首尾相接可以构成一个封闭的三角形。
当其中某个力的大小或方向发生变化时，我们通过调整三角形的形状来反映这种变化，从而找到新的平衡状态。
比如，有一个用绳子悬挂的小球，受到重力、绳子的拉力和水平风力的作用。
当风力逐渐增大时，我们可以通过画出不同时刻的矢量三角形，清晰地看到绳子拉力和风力的变化情况。
那么相似三角形又是怎么在动态平衡中发挥作用的呢？相似三角形指的是对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
在处理动态平衡问题时，如果存在一个力三角形与一个几何三角形相似，那么我们就可以利用相似三角形的对应边成比例这一性质来求解。
比如说，有一个轻杆一端固定，另一端连着一个小球，小球在一个倾斜的光滑面上运动。
我们可以发现力的三角形和由轻杆、斜面构成的几何三角形相似。
通过这种相似关系，就能得出力的大小与几何长度之间的比例关系，进而求解力的变化。
为了更深入地理解这两个工具的应用，让我们来看几个具体的例子。
例一：一个重物通过两根细绳悬挂在天花板上，两细绳与天花板的夹角分别为 30°和 60°。
现在保持其中一根细绳的方向不变，逐渐改变另一根细绳的长度，使重物始终处于平衡状态。
在这个过程中，两根细绳拉力的变化情况如何？我们可以先画出初始状态下的矢量三角形，然后根据条件改变其中一个力的大小或方向，观察矢量三角形的变化。
通过这种直观的方式，就能清楚地看到拉力的变化趋势。
矢量三角形法--专题
矢量三角形法在三力平衡问题中的应用在静力学中，经常遇到在力系作用下处于平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题．这种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面．我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=O ，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接．当物体所受三力有所变化而又维系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变．比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然．所以，作出物体平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形，是力三角形法的关键操作。
三力平衡的力三角形判断通常有三类情况． 一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向确定。
这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定例1 如图1所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动，例2 则拉力Ｆ和墙壁对球的支持力Ｎ的变化情况如何？分析与解 以球为研究对象，在平衡时受重力，绳上的拉力及墙壁对球的支持力，三力关系可由一系列闭合的矢量三角形来描述。
其中重力为确定力，墙壁对球的支持力为方向确定力，如图2，取点Ｏ作表示重力的有向线段①，从该箭头的端点作支持力Ｎ的作用线所在射线②,作从射线②任意点指向Ｏ点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③它们就是绳子拉力矢量。
用曲线箭头表示变化趋势，从图中容易分析绳子拉力不断增大，墙壁对球的支持力也不断增大，因上升的过程中图中角度θ在不断增大例2 如图3装置，AB 为一轻杆在B 处用铰链固定于竖墙壁上，AC 为不可伸长的轻质拉索，重物Ｗ可在AB 杆上滑行。
试分析当重物W 从A 端向B 端滑行的过程中，绳索中拉力的变化情况以及墙对AB 杆作用力的变化情况。
分析与解 以AB 杆为研究对象，用力矩平衡的知识可较为方便明确AC 拉索中的拉力变化情况，但不易确定墙对AB 杆作用力的情况。
夏显奇矢量三角形法则在物理解题中的应用
矢量三角形法那么在物理解题中的应用夏显奇〔师大学2021级学科教学〔物理〕教育硕士〕摘要：矢量合成的平行四边形定那么可以用矢量三角形法那么来等效替代，应用矢量三角形法那么可以求解动态平衡问题，求物理量的极值及研究抛体运动，利用矢量三角形法那么再结合数学知识，可以使很多物理问题迅速得到解决,而且非常直观显见、简捷。
关键词：矢量三角形；动态平衡；极值；抛体运动；直观 1.引言矢量概念是高中物理教学中引进的重要概念之一，在物理中，将有大小和方向的量称为矢量，如力、位移、速度、加速度、动量、冲量等物理量都是矢量。
平行四边形是一切矢量合成的普遍法那么，在许多矢量合成与分解的问题中，尤其是一些动态变化的问题，应用平行四边形法那么导出的矢量三角形法那么进展分析求解就显得很方便快捷。
矢量三角形法那么作图简单，线条较少，图象清晰，在讨论某些变化的矢量或矢量的增量时，有时比平行四边形法那么更清楚、方便。
矢量三角形不但可以处理力的问题，它同样可以处理与速度、加速度、动量等有关的矢量问题。
2. 矢量三角形的建立 2.1 矢量三角形1CAC1F 2F FoB C1F 2F Fo丙乙在图1甲中，F 是共点力1F 和2F 的合力，构成平行四边形，该平行四边形含有两个全等的三角形，每一个三角形都包含了三个矢量的大小和方向，因此，如果我们只取其中的一个三角形，如图1乙所示，从O 点出发，把代表1F 和2F 的线段OA 、AC 首尾相接地画出来，连接O 和C ，从O 指向C 的矢量就表示合力F 的大小和方向。
上述作图法叫做力的三角形定那么，其合矢量与分矢量的关系是：两个分矢量首尾相接，分矢量与合矢量首首相接，尾尾相接，作三角形OBC ，如图1丙所示，同样可以求出1F 和2F 的合力F 。
图1乙、丙中矢量三角形的数学表达式为:12F F F +=。
2.2 矢量三角形2三个力1F 、2F 、3F 使物体处于平衡状态，如图2甲，由力的平衡知识知道，1F 、2F 的合力'3F 与力3F 等大、反向，如果把3F 平移到'3F 的位置上，那么构成如图2乙的三角形。
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• 条件：物体受三个力作用下的共点力平衡， 若一个力的大小和方向不变，另一个力的 方向不变，求这个力的大小和第三个力的 大小如何变化时，
例．如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的 木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板 沿逆时针方向绕O点缓慢移动，求小球对斜面和挡板的 压力怎样变化？
O
θ
N2 θ N1 G N2 G θ N2
G N1 N1
一、定性分析变力平衡问题
• 例1 用一细绳把重为G的小球挂在竖直光滑 的墙壁上，当悬绳变长时 （ ） • A．绳子拉力变小，墙对球的弹力变大 • B．绳子拉力变小，墙对球的弹力变小 • C．绳子拉力变大，墙对球的弹力变大 • D．绳子拉力变大，墙对球的弹力变小
F
G C 图7 A N
B
二、定量计算变力平衡问题
例6 倾角为θ的光滑斜面上装一光滑档板，在 档板与斜面间放一重为G的圆球，问档板转到 与斜面成多大的角度时，圆球对档板的压力最 小？
• 解析 圆球在重力G、弹力N1和N2，三力作 用下处于平衡状态。如图在G、N1和N2构成 的矢量三角形中，G的大小方向已知，N2的 方向已知，N2和G的夹角为θ，当N1和N2相 互垂直时N1有最小值，此时档板与斜面间的 夹角为90º 由图可知：
• 解析 选小球为研究对象，小球在重力G、墙 壁对球的弹力N1和木板对球的弹力N2三力作 用下处于平衡状态，根据如图所示的封闭矢 量三角形知，板BC放平时，两力都变小。故 选：B
• 例4 如图2所示，DCB为半圆形支架，两细 绳OA和OB接于圆心O，下悬重为G的物体， 若细绳OA固定不动，将细绳OB的B端沿半圆 支架从水平位置逐渐缓慢移至竖直位置C的过 程中，细绳OA和OB对节点O的拉力大小如何 变化？
解析 选节点O为研究对象，节点在拉力T（T ＝G）、TA和TB三力作用下处于平衡状态， T的大小和方向都不变，TA的方向不变但大 小可变，TB的大小和方向都不定，由如图示 的矢量三角形可以看出，在B端向上移动时， TA一直减小，TB先减小后增大。
例5． 如图7所示，两个光滑的球体，直径均为d，置于直径为D 的圆桶内，且d<D<2d，在相互接触的三点A、B、C受到的作用 力分别为F1、F2、F3，如果将桶的直径加大，但仍小于2d，则 F1、F2、F3的变化情况是（ ） A．F1增大，F2不变，F3增大； B．F1减少，F2不变，F3减少； C．F1减少，F2减少，F3增大； D．F1增大，F2减少，F3减少；
B 图4
A
O C
TB TB TC=G 图5 TC
图6
TA
TA
• 例3 如图3所示，把球夹在墙壁和木板BC之 间，不计摩擦，墙壁对球的弹力为N1，板对 球的弹力为N2。在将板BC逐渐放至水平的过 程中，下列说法中，正确的是（ ） • A. N1和N2都增大 B．N1和N2都减小 • C．N1增大N2减小 D．N1减小N2增大
总之，凡遇到物体受三个力作用下的共点力平 衡，若一个力的大小和方向不变，另一个力的方 向不变，求这个力的大小和第三个力的大小如何 变化时，利用矢量三角形法则比较方便，
解析 选小球为研究对象，小球在重力G、细 绳拉力T和墙壁弹力N三力作用下处于平衡 状态，根据如图所示力的封闭矢量三角形 知 ．如图4所示，电灯悬挂于O点，三根绳子的拉力分别为TA、 TB、TC，保持O点的位置不变，绳子的悬点B也不变，则悬点A向 上移动的过程中，下列说法正确的是（ ） A、TA、TB一直减少； B、 TA一直增大，TB一直减少； C、 TA先增大后减少，TB先减少后增大； D、TA先减少后增大，TB一直减少；