第五章_贝塞尔函数

n阶第一类贝塞尔函数()

J x

第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()

Y x

第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()

H x

第一类变形的贝塞尔函数()

I x

开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数

在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分

方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 § 贝塞尔方程的引出

下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。

这个问题可以归结为求解下述定解问题：

2222

22222

0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)??????

???

用分离变量法解这个问题，先令

(,,)(,)()u x y t V x y T t =

代入方程（）得

222

22()V V

VT a T x y

??'=+??

或

2222

2 (0)V V T x y a T V

λλ??+

'??==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程

20T a T λ'+= （）

22220V V

V x y

λ??++=?? （）从（）得

()a t T t Ae λ-=

方程（）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件

222

0x y R V

+== （）

的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（）与条件（）写成极坐标形式得

22222110,,02, (5.7)

0,02, (5.8)

R V v V

V R V

ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤?????

?=≤≤? 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ，

代入（）并分离变量可得

()()0θμθ''Θ+Θ= （）

22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （）

由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得，因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：

2220,1,2,

对应于2n n μ=，有

0()2

a θΘ=

（为常数） ()cos sin ,(1,2,)n n n a n b n n θθθΘ=+=

以2n n μ=代入（）得

222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-= （）

这个方程与（）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。

若再作代换

r =，

并记

()F r P

=，

则得

222()()()()0r F r rF r r n F r '''++-=.

这是n 阶贝塞尔方程最常见的形式。

由条件（）及温度u 是有限的，分别可得

()0

(0)P R P =???

<+∞

?? （）因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（）在条件（）下的特征值与特征函数（（中第一个条件是在R ρ=处的第一类边界条件，第二个条件是在0ρ=处的自然边界条件，由于2()k ρρ=在0ρ=处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。在下一节先讨论方程（）的解法，然后在§中再回过头来讨论这个特征值问题。 § 贝塞尔方程的求解

在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以x 表示自变量，以y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为

222

()0d y dy x x x n y dx dx

++-= （）其中n 为任意实数或复数。我们仅限于n 为任意实数，且由于方程中的系数出现2n 的项，所以在讨论时，不妨先假定0n ≥。

设方程（）有一个级数解，其形式为

0120

()c k

c k k k k y x a a x a x a x a x ∞

+==+++

=∑，00a ≠ （）

其中常数c 和(0,1,2,)k a k =可以通过把y 和它的导数,y y '''代入（）来确定。

将（）及其导数代入（）后得

{[()(1)()()]}0c k k k c k c k c k x

n a x ∞

+=++-+++-=∑

化简后写成

220122

()[(1)]{[()]}0c

c c k k k k c n a x c n a x

c k n a a x ∞

++-=-++-++-+=∑

要上式为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得到下列各式： 1°220()0a c n -=； 2°221[(1)]0a c n +-=；

3°222[()]0(2,3,)k k c k n a a k -+-+==。

由1°得c n =±，代入2°得10a =。先暂取c n =，代入3°得 4°2

(2)

k k a a k n k --=

+。

因为10a =，由4°知13570a a a a =====，而246,,,

a a a 都可以用0a 表

示，即

22(22)

a a n -=

+，

424(22)(24)

a a n n =

++，

6246(22)(24)(26)

a a n n n -=

+++，

…

2(1)2462(22)(24)(22)

(1)2!(1)(2)

()

m m m

a a m n n n m a m n n n m =-+++-=+++.

由此知（）的一般项为

202(1)2!(1)(2)()

m n m

a x m n n n m +-+++ 0a 是一个任意常数，让0a 取一个确定的值，就得（）得一个特解。把0a 取作

2(1)

a n =

Γ+ 这样选取0a 可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同，并可以运用下列恒等式：

()(1)

(2)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++

使分母简化，从而使（）中一般项的系数变成

221

(1)2!(1)

m n m

a m n m +=-Γ++ （）这样就比较整齐、简单了。

以（）代入（）得到（）的一个特解

2120

(1)(0)2!(1)n m

n m m x y n m n m +∞

+==-≥Γ++∑

用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数。记作

220

()(1)(0)2!(1)n m

n n m m x J x n m n m +∞

+==-≥Γ++∑ （）

至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解()n J x 。

当n 为正整数或零时，(1)()!n m n m Γ++=+，故有

220

()(1)(0,1,2,)2!()!n m

n n m m x J x n m n m +∞

+==-=+∑ （）

取c n =-时，用同样的方法可得（）的另一特解

220

()(1)(1,2,)2!(1)!n m

n n m m x J x n m n m -+∞

--+==-≠Γ-++∑ （）

比较（）式与（）式可见，只要在（）右端把n 换成n -，即可得到（）式。因此不论n 式正数还是负数，总可以用（）统一地表达第一类贝塞尔函数。

当n 不为整数时，这两个特解()n J x 与()n J x -是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（）的通解为

()()n n y AJ x BJ x -=+ （）

其中,A B 为两个任意常数。

当然，在n 不为整数的情况，方程（）的通解除了可以写成（）式以外还可以写成其它的形式，只要能够找到该方程另一个与()n J x 线性无关的特解，它与()n J x 就可构成（）的通解，这样的特解是容易找到的。例如，在（）中取cot ,csc A n B n ππ==-，则得到（）的一个特解

()cot ()csc ()

()cos ()

()

sin n n n n n Y x n J x n J x J x n J x n n ππππ

--=--=

≠整数（）显然，()n Y x 与()n J x 是线性无关的，因此，（）的通解可以写成

()()n n y AJ x BY x =+ （）

由（）式所确定的函数()n Y x 称为第二类贝塞尔函数，或称Neumann 函数。

§ 当n 为整数时贝塞尔方程的通解

上一节说明，当n 不为整数时，贝塞尔方程（）的通解由（）或

（）式确定，当n 为整数时，（）的通解应该是什么样子呢

首先，我们证明当n 为整数时，()n J x 与()n J x -是线性相关的。事

实上，不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时，会得到同样的结果），这在（）中，

(1)

N m Γ-++当0,1,2,

,(1)m N =-时均为

零，这时级数从m N =起才开始出现非零项。于是（）可以写成

2224

24()(1)2!(1)! (1){}2!2(1)!2(2)!2!

(1)()

N m

N n m

m N

N N N N

N N N N N x J x m N m x x x N N N J x -+∞

--+=++++=-Γ-++=--++++=-∑

即()N J x 与()N J x -线性相关，这时()N J x 与()N J x -已不能构成贝塞尔方程的通解了。为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与()N J x 线性无关的特解。

取哪一个特解自然我们想到第二类贝塞尔函数。不过当n 为整数时（）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（）的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义。在n 为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为

()cos ()

()lim

()sin n n J x J x Y x n ααααπαπ

-→-=为整数（）由于当n 为整数时，()(1)()cos ()n n n n J x J x n J x π-=-=，所以上式右端的极限为“0

”形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推导，最后得

00200(1)()2212()()(ln )2(!)1

m m m m k x

x Y x J x c m k ππ∞

-==-=+-+∑∑

210211

0002

1(1)!()()(ln )2!2(1)()1112 (),(1,2,3,)!()!11

n m

n n n m m n m

n m m m k k x n m x Y x J x c m x n m n m k k πππ-+-=+∞+--===--??

=+- ?

--+=+++∑∑∑∑ （）其中111lim(1ln)0.557223n c n

→∞

=++++-=，称为欧拉常数。

根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与

()n J x 是线性无关的（因为当0x =时，()n J x 为有限值，而()n Y x 为无穷

大）。

综上所述，不论n 是否为整数，贝塞尔方程（）的通解都可表示为

()()n n y AJ x BY x =+

其中,A B 为任意常数，n 为任意实数。 §贝塞尔函数的递推公式

不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此鼓孤立的，而是有一定的联系，本节来建立反映这种联系的递推公式。

先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。在（）中令0n =及1n =得

246

2024262

()1(1)22(2!)2(3!)

2(!)

k x x x x J x k =-+-++-+

357

135721

()(1)

222!22!3!23!4!

2!(1)!

k k

k x x x x x J x k k ++=-+-+

+-+

取出第一个级数的第2k +项求导数，得

2221

21122222221(22)(1)(1)(1)2[(1)!]2[(1)!]2!(1)!

k k k k k k

k k k d x k x x dx k k k k ++++++++-=--=--+++ 这个式子正好是1()J x 中含21k x +这一项的负值，且知0()J x 的第一项导数为零，故得关系式

01()()d

J x J x dx

=- （）将1()J x 乘以x 并求导数，又得

13213

222

2222

[()][(1)]

222!

2!(1)!

(1)2

2(!)

[1(1)]

2(!)k k

k k k

k k

k d d x x x xJ x dx dx k k x x x k x x x k +++=-++-+

+=-+

+-+=-+

+-+

即

10[()]()d

xJ x xJ x dx

= （）以上结果可以推广，现将()n J x 乘以n x 求导数，得

22202121

1[()](1)2!(1)(1)2!()()

n m n m

n n m m n m n m

n m m n n d d x x J x dx dx m n m x x m n m x J x +∞+=+-∞

+-=-=-Γ++=-Γ+=∑∑

即

1[()]()n

n n n d x J x x J x dx

-= （）同理可得

1[()]()n

n n n d x J x x J x dx

--+=- （）将（）和（）两式左端的导数求出来，并经过化简，这分别得

1()()()n

n n xJ x nJ x xJ x -'+= 及 1()()()n

n n xJ x nJ x xJ x +'-=-. 将这两式相减及相加，分别得到

112

()()()n n n J x J x nJ x x

-++=

（） 11()()2()n n n

J x J x J x -+'-= （）以上几式就是贝塞尔函数的递推公式，它们在有关贝塞尔函数的的分析运算中非常有用。特别值得一提的是，应用（）式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来，因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，这利用此表和（），即可计算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值。

第二类贝塞尔函数也具有与第一类贝塞尔函数相同的递推公式

1111[()]()[()]()2()()()

()()2()

n n

n n n n n n n n n n n n d x Y x x Y x dx d x Y x x Y x dx

Y x Y x Y x x Y x Y x Y x ---+-+-+?=??

?=-???+=??

'?-=? （）作为递推公式的一个应用，考虑半奇数阶的贝塞尔函数，现计算

12()J x ，1()J x -。由（）可得

120

(1)()()32!()

m m m x J x m m ∞

+=-=Γ+∑

而

13135(21)1135

(21)()()2

22m m m m +++Γ+=Γ=从而

21120(

1)()(21)!m m J x x x m ∞+=-==+ （）同理，可求得

12()J x x -=

（）利用递推公式（）得到

3212123

()()()1

cos sin )

1sin ()1sin (

)()J x

J x J x x x x x d x

x dx x d x

x dx x

-=-=-+==

同理可得

3232121211cos ()()()()()d x

J x J x J x x x dx x

--=-=

一般而言，有

1sin ()(1)(

)()n n n d x

x x dx x

=- 12

()

1cos ()(

)()n n d x

x x dx x

-+=

（）这里为了方便起见，采用了微分算子1(

)n d x dx

，它是算子1d

x dx 连续作用n 次的缩写，例如21sin 11sin ()()[()]d x d d x

x dx x x dx x dx x

=，

千万不能把它与1n n n d x dx 混为一谈。

从（）可以看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数。 §函数展成贝塞尔函数的级数

利用贝塞尔求解数学物理方程的定解问题，最终要把已知函数

按贝塞尔方程的特征函数系进行展开。这一节我们先要所明贝塞尔方程的特征函数系是什么样的函数系，然后证明这个特征函数系是一个

正交系。

贝塞尔函数的零点

在§中，已经将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成贝塞尔方程的特征值问题：

222()()()()0,0,(5.34)

()0, (5.35)(0)(). (5.36)

r R r P r rP r r n P r r R P r P λ=?'''++-=<

=??

<+∞?自然边界条件方程（）的通解为

()))n n P r AJ BY =+，

由条件（）可得0B =，即

())n P r AJ =

利用条件（）得

)0n J = （）

这就说明，为了求出上述特征值问题的特征值λ必须要计算()n J x 的零点。()n J x 有没有实的零点若存在实的零点，一共有多少个关于这些问题，有以下结论：

1°()n J x 有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x 轴上关于原点实对称分布的，因而()n J x 必有无穷多个正的零点。

2°()n J x 的零点与1()n J x +的零点是彼此相间分布的，即()n J x 的任

意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个1()n J x +的零点。

3°以()n m μ表示()n J x 的非负零点（1,2,m =），则()()

1n n m m μμ+-当m →∞

时无限地接近于π，即()n J x 几乎是以2π为周期的函数。

0()J x 与1()J x 的图形见图。

为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数的正零点的数值已被详细计算出来，并列成表格。下表给出了()n J x (0,1,2,,5)n =的前9个正

零点()

(1,2,,9)n m

m μ=的近似值：

利用上述关于贝塞尔函数零点的结论，方程（）的解为

()

n m

μ=（1,2,m =）

即

()

)n m

n R

μλ=（1,2,m =）（）

与这些特征值相对应的特征函数为

()()(

)n m

m n P r J r R

μ=（1,2,m =）（）

贝塞尔函数的正交性

现在来讨论特征函数系()

() (1,2,)n m n J r m R μ??

=???

?的正交性，我们将要证明

()

222()2()

110,,()()()(),,22

n n R

k n n n n n m n m m k rJ r J r dr R R R R J J m k μμμμ-+≠??

=?=

=???

当当（）由于贝塞尔函数系()

(

) (1,2,)n m n J r m R μ??

=???

?是特征值问题（～）的特征函数系，所以它的正交性由§中的施图姆－刘维尔理论可以直接推出。不过因为在那里我们并没有就一般情况证明这个结论，因此，我们在这里把贝塞尔函数系的正交性详细证明一下，而且这个证明方法是富有启发性的，完全可以类似的步骤来证明§中的结论3。下一章将要讲到的勒让德多项式的正交性，也是施图姆－刘维尔理论的另一个具体例子。

下面就来证明（）。为了书写方便，令

()

1()(

)n m

n F r J r R

μ=，

2()()()n F r J r αα=为任意参数，

按定义，1()F r ，2()F r 分别满足

()22

11()[][()]()0n m dF r d n r r F r dr dr R r

μ+-=

22()[][]()0dF r d n r r F r dr dr r

α+-= 以2()F r 乘第一个方程减去以1()F r 乘第二个方程，然后对r 从0到R 积分得

()

2211220

210

()

[(

)]()()()

[]()()

[]0n R R

R dF r d rF r F r dr F r r dr R

dr dr dF r d F r r dr dr dr

μα-+-=???

即

()

12211200[(

)]()(){[()()()()]}0n R

rF r F r dr r F r F r F r F r R

μα''-+-=? 由此可得

211212()

[()()()()]

()()(

n m

R F R F R F R F R rF r F r dr R

α''-=-

因()

1()()0n n m

F R J μ==，故上式可写成 ()

()()

21()()

2222

()()

()()()()()()n n n R

m m n n m n n n n m m J R J RF R F R rJ r J r dr R

μμαμαμμαα''=-=---?

（）若取()

,n k k m R

μα=

≠，则

()()()0n n n k J R J αμ==，

从而（）的右端为零，即（）中第一个式子已得证。

为了证明（）中第二个式子，在（）两端令()n m

μα→

，此时（）

右端的极限是“00

”形式的不定型的极限，利用洛必达法则计算这个极限得

()

()()()

()2

()()()lim [()]22n m

n n n R

n m

m n m n n

n m R

J J R R R rJ r dr J R μαμμμαμα→''-'==-?

由递推公式

1()()()n

n n xJ x nJ x xJ x -'+= 1()()()n

n n xJ x nJ x xJ x +'-=- 及()

()0n n m

J μ=可知 ()()()

11()()()n n n n m n m n m J J J μμμ-+'==-

从而()2222()2()

110

()()()22

n R

n n m

n m n m R R rJ r dr J J R μμμ-+==?，这就是（）中第二个式

子。通常把定积分

()20

(

)n R

rJ r dr R

μ?

的正平方根，称为贝塞尔函数()(

)n m

n J r R

μ的模。

利用§中关于特征函数系的完备性可知，任意在[0,]R 上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数()f r ，只要它在0r =处有界，在r R =处等于零，则它必能展开成如下形式的绝对且一致收敛的级数

贝塞尔函数的有关公式

贝塞尔函数的有关公式 C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解B(z)为(柱)贝塞尔函数。有 p 第一类柱贝塞尔函数J(z) p np为整数n时，J=(,1)J; ,n n p不为整数时，J与J线性无关。 p,p 第二类柱贝塞尔函数N(z)(柱诺依曼函数) p nn为整数时N=(,1)N。 ,n n 第三类柱贝塞尔函数H(z) (柱汉开尔函数): p(1) 第一类柱汉开尔函数 H(z)= J(z)+j N(z) pp p(2)第二类柱汉开尔函数 H(z)= J(z),j N(z) pp p 大宗量z

小宗量z 0 ，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论 p668 J(z)的母函数和有关公式 nz(t/2-1/2t)函数e称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到 j j 在上式中作代换，令t=e，t= je等，可得又可得如z=x为实数

贝塞尔函数的加法公式 J(z)的零点,nni J’(z)的零点,nni 半整数阶贝塞尔函数 J(z)的零点,n+1/2np

J'(z)的零点,'n+1/2np D(朗斯基行列式及其它关系式 E(修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为 ,p I(z)=jJ(jz)(称为第一类修正的柱贝塞尔函数。 ppp+1(1)K(z)=(,/2)jH(jz)(称为第二类修正的柱贝塞尔函数。 pp

大宗量z 小宗量z 0 (0210)《古代散文》复习思考题一、填空题 1(甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。2(深于比兴、，是先秦散文的突出特点。 3(《》长于描写外交辞令。 4(《国语》的突出特点是长于。 5(“兼爱”、“非攻”是思想的核心。

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

三角函数正弦定理和余弦定理

(文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案：证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源：09年高考上海卷题型：解答题，难度：中档

(文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4 2sin(π - A 的值。答案：（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理， A BC C AB sin sin = ，于是522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5，从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源：09年高考江西卷题型：解答题，难度：容易在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且

第五章贝塞尔函数

n阶第一类贝塞尔函数() J x n 第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数() Y x n 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)() H x n 第一类变形的贝塞尔函数() I x n 开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以

看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。这个问题可以归结为求解下述定解问题： 2222 22222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)()u x y t V x y T t = 代入方程（5.1）得

三角函数之正余弦定理

教师寄语：天才=1％的灵感+99％的血汗 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识.自主学习 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数一解两解一解一解