第五章-贝塞尔函数讲解

与这些固有值相对应的函数F可表示为：
Fm
r

Jn

mn
R
r

m 1, 2,L
二、正交关系
贝塞耳方程是施图姆－刘维尔本征值方程：
d [
dx
d 2R
d 2
]

m2

R


m n
R
0
在区间(0,R)上带权r正交：
R 0
rJn

mn
R
r

第五章 贝塞尔函数
5.1 贝塞尔方程
在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导 出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标 函数---特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等
在2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分
布，与时间没有关系。
2u 0 u x2 y2 R2 f
d dx
xn
Jn

x

xn
J n1

x

d dx

x
n
J
n

x



x
n
J
n1

x

(5.18)
J n 1

x

J n 1

x

2n x
Jn

x
Jn1 x Jn1 x 2Jn' x
第二类贝塞尔函数
d dx
xn
Nn

x

xn Nn1
件，(5.11)式可定义为求解以下定解问题。
r2F '' rF ' r2 n2 F 0
F R 0 F 0
令 x r ，记F(r)=y(x)，则(5.11)转化为：
x2 y'' xy' x2 n2 y 0 贝塞尔方程 (5.12)
2

ak

ak 2

0
由于 a0 0，可得 s1 n s2 n ,需要分别讨论：
(5.14) (5.15) (5.16)
情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代 入(5.15)式得到a1=0,代入(5.16)式得到：
ak

ak 2
k 2n k

2 sin x
x
J
1 2

x

2 cos x
x
1 0.8 0.6 0.4 0.2
J0 J5
-0.2 -0.4
2
4
6
8
10
5.1.2.虚宗量贝塞耳方程
n 阶虚宗量贝塞耳方程
x2
d 2R dx 2

x
dR dx

(x2

n2 )R

0
ix
2
d 2R
d 2

dR
d
( 2
y1

x

Jn

x


1m
m0
2n2m
xn2m
m!n
m
1
(5.18)
Jn(x)称为n阶第一类贝塞尔函数
取s2=-n时：
a0

1
2n n
1
可以得到方程另一个特解
y2

x

Jn

x


1m
m0
2n2m
xn2m
m! n
解： 采用分离变量
分离变量
u(x, y, z,t) V (x, y)T (t)
化简引入常量
Vxx Vyy V 0
T
''
a2T

0
Helmholtz方程
为了求Helmholtz方程 (5.5)，可在极坐标中进行求解
2V

r
2
1 r
V r

1 r2
5
10
15
20
5
4
3
Kn（x）
2
1
0
0
2
4
6
8
10
3000
2500
2000
1500
In（x）
1000
500
0
0
2
4
6
8
10
5.2 贝塞尔函数的递推式
Jn
x


1m
m0
2n2m
xn2m
m!n
m
1
由(5.18)式可以得到第一类贝塞尔函数递推式：
Jn x 1n Jn x
(5.12)为二阶变系数常 微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数
x2 y'' xy' x2 n2 y 0 贝塞尔方程
求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂级数解：

y x ak xsk a0 0 k 0
将(5.13)代回贝塞尔方程(5.12)，整理得到：
(5.43)
1
J0(x)
J1(x)
0.5
0
-0.5
0
5
10
15
20
利用上述关于贝塞尔函数的零点的结论，可设 mn m 1, 2,L 为
Jn(x)的正零点，则由（5.34）可得：
R mn m 1, 2,L
即
mn


mn
R

2
m 1, 2,L
个条件可以得到：
Jn R 0
(5.34)
由于(5.34)式可知：当 取不同值时，Jn(x)有零值,即贝塞尔
函数的零点。
1. Jn(x)有无穷多个零点,关于原点对称分布。 2. Jn(x)的零点和Jn+1(x)的零点是彼此相间分布，且Jn(x)的零 点更靠近坐标原点。 3. 当x趋于无穷大时，Jn(x)两个零点之间的距离接近于π。
在极坐标系中：
2u 1 u 1 2u

r
2

r
r

r2
2
0
u rr0 f
分离变量
u(r, ) R(r)( )
0 r r0

化简引入常量
R '' 1 R ' 1 R '' 0
r
r2
r2R '' rR ' R 0 '' 0
s2 n2
a0
xs

s
12

n2

a1 x s 1


s

k
2

n2

ak

ak 2
xsk 0
k 2
(5.12) (5.13)
故有：
s2 n2 a0 0

s
12

n2

a1

0
s

k 2

n
2V
2
V

0
V rR 0
(5.5)
(5.7) (5.8)
再次分离变量
V (r, ) F(r)G( )

F
''


1 r
F'





r2

F

0
G '' G 0
(5.9) (5.10)
由于温度函数u(x,y,t)是单值的，所以v(x,y)也是单值，因此

x
d dx

xn
Nn

x


xn
Nn1

x

Nn1

x

Nn1

x

2n x
Nn

x
Nn1 x Nn1 x wk.baidu.com2Nn' x
半奇数阶贝塞尔函数
J 1 2
x

m0
1m
m!

3 2

m


x 2
n2m

Yn
x

Jn
x cos n
sin n
Jn
x
(5.21)
Yn(x)称为n阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数 贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为：
yx CJn x DYn x
(5.22)
情形2：n为整数，则s1-s2=2n也为整数。与前面相同处理，当n>=0 时，方程的一个解为：
Jn

x

m0
1m
2n2m
xn2m
m! n

m
Jn
x


m0
1
m
xn2m 2n2m m! n
m 1
Jn x 1n Jn x
Yn

x


lim
an
J
a

x

cos a sin a
Ja
G( ) 应是以2 为周期的函数。因此， n2 ,方程(5.10)的解为：
G(
)

1 2
a0
G2 ( ) an cos n bn sin n
将 n2 代入(5.9)式得到
F ''

1 r
F'





n2 r2

F

0
n阶贝塞尔方程
(5.11)
由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此，F 0 ,结合边界条
n2)R

0
J n ( )


(1)k
k 0
in2k k !(n k
( x )n2k 1) 2

in
in2k
( x )n2k
k0 k !(n k 1) 2
定义：

In ( x) in J n (ix)
k 0
1
( x )n2k
k !(n k 1) 2
a1 a3 a5
0
(5.17)
a2m
1m
22m m!n
1
1n
2
n m a0
引入 函数并利用其递推式：nn n 1 ，则一般项的系
数变为：
a2m
1m
1
22m m! n

m
1
a0
将所求的系数代回(5.13)式得到第一个特解
由于圆盘上温度的定解问题可表示：
r2F '' rF ' r2 n2 F r 0
F R 0, F 0
(5.32)
贝塞尔方程(5.32)的通解可表示为：
y x CJn x DYn x
(5.33)
由于 Yn 0 为无穷大，由边界条件可以得到D=0，再利用另一

x

(5.23) (5.21)
可见，不论n是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)的通解都可 以表示为：
yx CJn x DYn x
情形3：n为半奇数后面讨论。
1 0.5
0 -0.5
0
Jn（x）
5
10
15
20
5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35
0
Yn（x）

J n ( ) i n
k 0
1
( x )n2k
k !(n k 1) 2

In ( x) in J n (ix)
k 0
1
( x )n2k
k !(n k 1) 2
通解：
y(x) C1I1(x) C2I2 (x)
5.3 贝塞尔函数展开为级数
Jn

kn
R
r

dr

0
m k
三 贝塞耳函数的模
定义积分：
R 0
rJ
2 n

mn
R
r

dr

0
的平方根，为贝塞尔函数
Jn

mn
R
r

的模：
R 0
rJ
2 n

mn
R
r dr

R2 2
J2 n1
mn
四 傅立叶-贝塞耳级数
在求解贝塞耳方程时，往往要把已知函数按贝塞耳函数展开为级数。
1
如果f(r)为定义在区间(0,R)内的分段连续函数，且积分
Rr2 0
f r dr
的值有限，则它必可以展开为以下级数形式：
f
r


Cm Jn
m1

mn
R
r

(5.42)
欧拉方程
5.1.1 贝塞尔方程的导出
假设半径为R的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度 始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。
由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这
a2

uxx uyy
ut
u 0 x2 y2 R2

u t0 x, y
傅立叶-贝塞耳级数
性质：1. 在级数f(r)的连续点(5.42)收敛于f(r); 2. 在级数f(r)的间断点r0收敛于该点的左右极限平均值。
系数Cm可以由下式确定：
Cm
R
rf
0
r Jn


m n
R
r dr

R2 2
J2 n 1
m n
傅立叶-贝塞耳系数

m
1
J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数
(5.19)
Jn(x) 和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表 示为：
y x AJn x BJn x
(5.20)
令 A cot n , B csc n，则 (5.20)可写成
第二个线性 无关特解