贝塞尔函数

贝塞尔函数

基本概念编辑

是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：

这类方程的解无法用初等函数系统地表示。

贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。

基本内容编辑

贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。

这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。

这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来

好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。

定义

贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。

历史

几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。

现实背景和应用范围

贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题；

* 圆柱体中的热传导定律|热传导问题；

* 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；

贝塞尔函数的实例：一个紧绷鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。

第一类贝塞尔函数

第一类阶贝塞尔函数是贝塞尔方程当为整数或非负时的解，须满足在时有限。这样选取和处理''J''_α的原因见本主题下面的贝塞尔函数#性质|性质介绍；另一种定义方法是通过它在点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：

上式中为Γ函数（它可视为阶乘|阶乘函数向非整型因变量和自变量|自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或三角函数|余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着''x''的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数的曲线（）。

如果;不为整数，则和线性无关，可以构成微分方程的一个'''解系'''。反之若是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：=

于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与线性无关的另一解，需要定义'''第二类贝塞尔函数'''。

第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）

'''第二类贝塞尔函数'''也许比第一类更为常用。这种函数通常用表示，它们是贝塞尔方程的另一类解，又被称为'''诺依曼函数'''，存在如下关系：

,

汉开尔函数

贝塞尔方程的另外一对重要的线性无关解称为'''赫尔曼·汉开尔，汉开尔函数'''，分别定义为：

利用前面推出的关系可将汉开尔函数表示成：

:

黎卡提-贝塞尔函数

黎卡提-贝塞尔函数（Riccati-Bessel functions）和球贝塞尔函数比较类似：

:

该函数满足方程：

分类编辑

利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。又称标函数。用柱坐标解拉普拉斯方程时，用到贝塞尔函数，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。贝塞尔函数的一族，也称第一类贝塞尔函数，记作，用的偶次幂的无穷和来定义，数称为贝塞尔函数的阶，它依赖于函数所要解决的问题。的图形像衰减的余弦曲线，像衰减的正弦曲线(见图)。第二类贝塞尔函数(又称诺伊曼函数)，记作。当n为非整数时，可以由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义；当为整数时，不能由第一类贝塞尔函数的简单组合得到，此时需要通过一个求极限过程来计算函数值。第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为，其中为虚数，用n阶(正或负)贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程[1] 。应用范围编辑

贝塞尔方程是在柱坐标系或球坐标系下，用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程得到的（柱面域问题中的积分阶式α=n，球面域

问题中的半奇数阶形式α=n+&frac12），因此，贝塞尔函数在波问题和涉及势场的各种问题中起着重要作用

*电磁波在圆柱波导中的传播；

*圆筒内的热传导；

*圆（环）膜的振动模态分析；

贝塞尔函数在其他领域也很有用。例如，贝塞尔函数用于调频合成或Kaiser窗和波声学