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对偶线性规划
x6 -7 -2 -1 1
RHS
35 5 7 6
已获得最优解： （x1, x2, x3, x4, x5, x6）=（5, 7, 6, 0, 0, 0） 对偶问题的最优解为： （w1, w2, w3, w4, w5, w6）=（-1, 5, 7, 0, 0, 0） max y=35 min z=35
3、初始解原始、对偶都不可行的问题
min y=bTW s.t. ATW ≥ C W≥0
引进松弛变量
max z=CTX s.t. AX+XS=b X, XS≥0
max y=bTW s.t. ATW-WS=C W, WS≥0
z
X -CT
XS 0T
RHS 0
max s.t. AX+XS=b X, XS≥0 min y=bTW s.t. ATW-WS=C W, WS≥0 WT=CBTB-1 WST=WTA- CT
x4 0 1 0 0
x5 0 -1
x6 -5 2 -1 -3
2 2 -7 2
RHS
30 -5 7 16
z z x1 x2 x3 1 0 0 0
x1 0 1 0 0
x2 0 0 1 0
x3 0 0 0 1
x4 -1 -1 0 2
x5 -5 -1 -1 0
min z=CTX s.t. AX=b X ≥0 min z=CTX s.t. AX≤b X ≥0
max y=bTW s.t. ATW≤C W ≥0 max y=bTW s.t. ATW≤C W ：unr max y=bTW s.t. ATW≤C W ≤0
三、原始对偶关系
1、可行解的目标函数值之间的关系
n n m XS
X
m W
对偶问题线性规划ppt
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
那么该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
那么其对应的对偶变量一定为零。 即
n
如果yˆi 0，则 aij xˆ j bi j 1 n
如果 aij xˆ j bi，则 yˆi 0 j 1
原 : m ax Z x1 2 x2
x1 x2 x3 2
2
x1
x2
x3
1
x1 ,
x2
,
x3
0
对 : m in W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
y1 y1
y2 2 y2 0
y 1 , y 2 0
试用对偶理论证明原问题无界。
__
解：X =（0.0.0）是 P 的一个可行解，而 D 的第一
练习 线性规划问题
min 2x1 3x2 5x3 2x4 3x5 s.t. x1 x2 2x3 x4 3x5 4 2x1 x2 3x3 x4 x5 3 xj 0, j 1, 2, ,5
已 知 原 问 题 的 最 优 解 为 x(1 ,0,0,0,1 )T 试 用 互 补 松 弛 性 质 找 出 对 偶 问 题 的 最 优 解 .
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求解对偶问题解的方法，而是利
用对偶理论求解原问题的解的方法。
对于标准线性规划问题：
minf CX
AX b
s.t.
X
0
maxzbY
s.t. ATY C
可行基B 假设B对应的根本解是可行解
最优基B 假设B对应的根本解是最优解
对偶可行基B 假设CBB-1是对偶问题可行解
例2 给定线性规划问题 min 2x1 3x2 x3 s.t. 3x1 3x2 x3 1 x1 2x2 x3 2 x1, x2 , x3 0
线性规划对偶理论PPT课件
max z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2
a21x1 a22x2
a1nxn ≤ b1 ≤ a2nxn b2
≤
am1x1 am2 x2
amn xn bm
x
j
≥
0
j 1, 2,
,n
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21y 2
a12
y1
a
22
y
2
a1n y1 a2n y2 yi ≥ 0 i 1, 2,
am1y m ≥ c1 am2xm≥ c2
amn ym ≥ cn ,m
6
第6页/共45页
规范形式下对偶关系的一般形式
max z CX
AX ≤b
X
≥
0
min w Yb YA≥ C Y ≥ 0
7
第7页/共45页
【证】因为X°、Y°是可行解，故有AX°≤b, X°≥0及Y°A≥C， Y°≥0,将不等式 AX°≤b
两边左乘Y°，得Y0AX°≤Y0b
再将不等式Y°A≥C两边右乘X°，得C X°≤Y°AX°
故
C X°≤Y°AX≤Y°b
这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性 规划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目 标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。
6
y2
8 y3 y3
≥ ≤
5 4
y1
5 y2
≤9
y1≤0， y2≥0， y3无约束
15
第15页/共45页
线性规划对偶问题的基本性质
下面介绍对偶基本性质时，一般假定是如下规范对偶关系。
设原问题是（记为LP）： 对偶问题是（记为DP）：
4运筹学第二章线性规划的对偶理论-PPT精选文档44页
证：设原问题为： max z=CX；AX≤b；X≥0 则 对偶问题为：min ω=Yb；YA≥C；Y ≥0
因X(0)是原问题的可行解，所以AX(0)≤b
又因Y(0)是对偶问题的可行解，所以Y(0)A≥C
Y (0) A X(0) ≤ Y (0) b
Y (0) A X(0) ≥ CX (0)
因此， CX(0) ≤Y(0) A X(0) ≤ Y(0) b 结论成立。
20
军事运筹学
6﹒互补松弛性：若X(0)是原问题的可行解， Y(0)是对偶 问题的可行解，则YξX(0)=0和Y(0)Xξ=0 当且仅当X(0)， Y(0)是最优解。
证： 设原问题和对偶问题的标准型是
max z=CX AX+xξ=b X≥0，Xξ ≥0
min ω =Yb YA－Yξ=C Y≥0，Yξ ≥0
6
军事运筹学
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
X≥0
Y≥0
我们把（5.2）式的问题称为（5.1）式问题的对偶线 性规划问题。
7
军事运筹学
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AX b
s.t.
X
0
对偶问题 :
min g( y) Yb
s.t.
YA C
Y
0
上两式中
X ( x1, x2 ,, xn )T Y ( y1, y2 ,, ym ) C (c1, c2 ,, cn ) b (b1,b2 ,,bm )T
a11 a12 a1n
s.t.
a12 y1
a22 y2
am2 ym
c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn
y1, y2 ,, ym 0
对偶问题习惯写为 : min g(Y ) bTY T
ATY T C T s.t.
Y 0
5
2.1.2 (max,)标准型的对偶变换
原问题(max,)
技术系数矩阵 A
价值系数 C
右端项 b
第 i 行约束条件为 型
第 i 行约束条件为 型
第 i 行约束条件为 = 型
决策变量 xj 0
决策变量 xj 0
决策变量 xj 不限
对偶问题(min,)
技术系数矩阵 AT 右端项 b
价值系数 C 对偶变量 yi 0 对偶变量 yi 0 对偶变量 yi 不限 第 j 行约束条件为 型 第 j 行约束条件为 型 第 j 行约束条件为 = 型
9
2.2.2 最优解判别定理
定理 若原问题的某个可行解X0的目标函数值与对偶问题 某个可行解Y0的目标函数值相等，则X0, Y0分别是相 应问题的最优解
证：由弱对偶定理推论1，结论是显然的。
即CX0 = Y0b CX, Y0b = CX0 Yb 。
s.t.
2
y1
3y2
y3
w4
5
y1 0, y2 0, y3 不限
3w1 4w2 w3 w4 4
s.t.
2w1 2w1
3w2 3w2
w3 w3
w4 w4
5 5
w1, w2 , w3, w4 70
表2.1.1 对偶变换的规则
y1 2 y2 1 产品1的所得
s.t.
2 y1 y2 2 2 y1 3y2 3
产品 2 的所得 产品 3的所得
3y1 2 y2 4 产品 4 的所得
y1, y2 0
பைடு நூலகம்
3
2.1.1 线性规划原问题与对偶问题的表达形式
原问题 : max f (x) CX
– 工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少
max f (x) x1 2x2 3x3 4x4
s.t.
2x1x12
x2 x2
2 x3 3x3
3x4 2x4
25 15
A 资源 B资源
x1, x2 , x3, x4 0
目标函数 min g(y)=25y1+15y2
第二章 线性规划的对偶理论及其应用
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船
对偶是一种普遍现象
2.1 线性规划的对偶理论
2.1.1 线性规划原问题与对偶问题的表达形式
• 任何线性规划问题都有其对偶问题 • 对偶问题有其明显的经济含义
例 2.1.1
max f ( x) x1 2x2 3x3 4x4
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
4
2.1.1 线性规划原问题与对偶问题的表达形式
把对偶问题展开
min g( y) b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
• 约束条件的类型与非负条件对偶 • 非标准的约束条件类型对应非正常的非负条件 • 对偶变换是一一对应的
8
弱对偶定理推论 • max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问题目
标函数值的下限； min问题的任何可行解目标函数值 是其对偶max问题目标函数值的上限 • 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶min (max)问 题无可行解 • 如果原max(min)问题有可行解，其对偶min (max)问题 无可行解，则原问题为无界解
x1 2x2 2x3 3x4 25 s.t. 2x1 x2 3x3 2x4 15
x1, x2 , x3, x4 0
A 资源 B资源
假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们谈判原料 价格的模型是怎样的？
2
例2.1.1
– 设A、B资源的出售价格分别为 y1 和 y2 – 显然商人希望总的收购价越小越好
x2 不限, x1 0
化为(max, )型标准问题
max f ( x) 4x1 5x2 5x2
3x1 2x2 2x2 20
s.t.
4 x1
3x2 3x2 x1 x2 x2
10 5
x1 x2 x2 5
x1, x2 , x2 0
令 y1 w1, y2 w2, y3 w3 w4 经整理得 :
应用标准型对偶变换规 则 min h(w) 20w1 10w2 5w3 5w4
min g( y) 20 y1 10 y2 5y3
3y1 4 y2 y3 4
系数矩阵矩阵 • 原问题与对偶问题互为对偶
– 对偶问题可能比原问题容易求解 – 对偶问题还有很多理论和实际应用的意义
6
2.1.3 非标准型的对偶变换
例2.1.2 原线性规划问题
max f (x) 4x1 5x2
s.t.
3x1 2x2 20 4x1 3x2 10
x1 x2 5
• 目标函数由 max 型变为 min 型 • 对应原问题每个约束行有一个对偶变量 yi，i=1,2,…,m • 对偶问题约束为 型，有 n 行 • 原问题的价值系数 C 变换为对偶问题的右端项 • 原问题的右端项 b 变换为对偶问题的价值系数 • 原问题的技术系数矩阵 A 转置后成为对偶问题的技术