第一章非线性动力学分析方法

第一章非线性动力学分析方法（6学时）

一、教学目标

1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；

2、掌握线性稳定性的分析方法；

3、掌握奇点的分类及判别条件；

4、理解结构稳定性及分支现象；

5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。

二、教学重点

1、线性稳定性的分析方法；

2、奇点的判别。

三、教学难点

线性稳定性的分析方法

四、教学方法

讲授并适当运用课件辅助教学

五、教学建议

学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。

六、教学过程

本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。

相空间和稳定性

一、动力系统

在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。

假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时

间t 的函数而且也是空间位置r

的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。

),,,(2111

n X X X f dt

dX ⋅⋅⋅=λ ),,,(2122

n X X X f dt

dX ⋅⋅⋅=λ (1.1.1)

…

),,,(21n n n

X X X f dt

dX ⋅⋅⋅=λ 其中λ代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。

对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。

例如:)cos(t A x x

ω=+ 令y x

= ，t z ω=，上式化为 ⎪⎩⎪

⎨⎧=+-==.

cos ,ωz

z A x y y x

上式则是一个三维自治动力系统。

又如：⎩

⎨⎧==).,,(),,,(t v u g v t v u f u

令t w =，则化为⎪⎩⎪

⎨⎧===.

1),,,(),,,(w w v u g v w v u f u

它就是三微自治动力系统.

对于常微分方程来说，只要给定初始条件方程就能求解。对于偏微分方程，不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。

能严格求出解析解的非线性微分方程组是极少的，大多数只能求数值解或近似解析解。

二、相空间

由n 个状态变量{}i X ＝(X 1，X 2，…X n )描述的系统，可以用这n 个状态变量为坐标轴支起一个n 维空间，这个n 维空间就称为系统的相空间。在t 时刻，每个状态变量都有一个确定的值，这些值决定了相空间的一个点，这个点称为系统状态的代表点(相点)，即它代表了系统t 时刻的状态。随着时间的流逝，代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线。它代表了系统状态的演化过程。

三、稳定性

把方程组(1.1.1)简写如下

),,,(21n i i

X X X f dt

dX ⋅⋅⋅=λ， i ＝l ，2，…n (1.1.2) 设方程组(1.1.2)在初始条件00)(i i X t X =下的解为)(t X i ，如果用与原来略有差别的

初始条件i i i X t X η+='00)(，i η是一个小扰动，就会得到方程组的新解)(t X i '。如果对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，并且δη≤i ，当0t t ≥时也满足 ε<-')()(t X t X i i ，i ＝l ，2，…n

(1.1.3)

则称方程组(1.1.2)的解)(t X i 是稳定的，否则它就是不稳定的。这样定义的稳定性称为Lyapunov 稳定性。

如果)(t X i 是稳定的，并且满足极限条件 0)()(lim ='-∞

→t X t X i i t ，i ＝l ，2，…n

(1.1.4)

则称)(t X i 是惭近稳定的。

上述抽象的数学定义可以直观理解为：方程组对于不同的初始条件有不同的解，如果原初始条件)(0t X i 和受扰动后的初始条件)(0t X i '之差限定在一定的范围内，即

δ<-')()(00t X t X i i ，未扰动解)(t X i 和扰动解)(t X i '之差也不超出一定的范围，即ε<-')()(t X t X i i ，则末扰动解)(t X i 就是稳定的；如果)(t X i '渐渐趋近于)(t X i ，最终变得和)(t X i 一致，则称)(t X i 是渐近稳定的；如果)(t X i '与)(t X i 之差不存在一个有限范围，即)(t X i '远离)(t X i ，则称)(t X i 是不稳定的。

由上述Lyapunov 稳定性的定义可以看到，要对动力系统的解的稳定性做出判断，必须对动力学方程组求解，然而对于非线性动力系统是很难获得解析解的，即使获得近似解析解也是如此。那么，我们能否象最小熵产生原理那样，不用对方程组具体求解就能对系统的稳定性作出判断。Lyapunov 发展了这种判断方法，通常称为Lyapunov 第二方法。这种方法主要是寻找(或构造)一个Lyapunov 函数，利用这个函数的性质对系统的稳定性作出判断。

线性稳定性分析

通过上节对稳定性的定义我们知道，要对非线性微分方程组的解的稳定性作出判断，最好是求出它的解析解。然而，对于大多数非线性微分方程组很难得到它们的解析