高中数学论文：圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 沪教版
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有MQ MP =.
证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为02
2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （0，t ），B （0，-t ），知t ，-t 是02
=++F Ey Cy 的两个根，所以0=E .
若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.
若CD ，EF 斜率都存在，设C （x 1，k 1x 1）, D （x 2，k 1x 2），E （x 3，k 2x 3）, F （x 4,k 2x 4），P （0，p ），Q （0，q ），
1
11131132)(:x k x x x x x k x k y CE +-⋅--=,
1
321
31111131132)
()0(x x k k x x x k x x x x k x k p --=+-⋅--=
,同理242142)(x x k k x x q --=, 所以)
()()]
()()[(13244321214321x x x x x x x x x x x x k k q p -⋅-+-+-=
+
将x k y 1=代入(*)得0
)()(12
2
11=+++++F x Ek D x Ck Bk A ,又0=E 得
21121Ck Bk A D x x ++-=
+, 2
1
121Ck Bk A F x x ++= , 同理 22243Ck Bk A D
x x ++-=+, 2
2
243Ck Bk A F
x x ++=
，所以0=+q p ，即MQ MP =.
注:2003年高考数学北京卷第18（III ）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB 为平行长轴的弦的特殊情形.
定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有MQ MP =.
证明：如图2，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.
F
E
M
P
Q
D
C
B
A y x
图1
设圆锥曲线的方程为
022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，
设A （11,y x ），B （21,y x ），则切线MA 的方
程是02211=++F y E
x D ，切线MB 的方程
是0
2
221=++F y E x D ，得0)(21=-y y E ，所以0=E .（下面与定理1的证明相同，略）
特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.
性质1：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线122
22=±b y a x 的弦CD ，EF 是其焦点轴，则直线
CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：m
a x 2
=上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线
与焦点轴所在直线的交点时，l 就是过焦点的直线.
证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则根据定理1，定理2得MQ MP =.
过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得
FH
FM HG
MQ HG
MP HE
EM =
=
=
，设M （m ，0），H
（n ，0），焦点轴长为2a ，则有n
a m
a n a m a --=
--+，得2
a mn =.
注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推论2.
若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.
性质2：过点M （m ，0）做抛物线px y 22
=的弦CD ，E 是抛物线的顶点，直线DF 与抛物线的对称轴平行，则直线CE 、DF 的连线交点在直线l ：m x -=上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线.
注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中M 为焦点的情形.性质2就是文[1]中的性质2，文[2]中的推论1.
F
E
M P
Q D
C
B
A
y
x
图2
y H G
O
F E M
P
Q D
C B
A
x
图3
性质3：直线l ：m a x 2=，过点M （m ，0）做椭圆、双曲线122
22=±b
y a x 的弦CD ，直线l
与CD 交于点I ，则
DI
DM CI
CM =
.
证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：
DI
DM IG
MQ IG
MP CI
CM =
=
=
.
性质4：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线1
22
22=±b
y a x 的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：
m
a x 2
=上.
证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：
DI
DM IG
MQ IG
MP CI
CM =
=
=
，
由性质3得，点I 在直线l ：m a x 2
=上，所以点G 在
直线l ：m
a x 2
=上.
类似性质3、性质4得到性质5、性质6.
性质5：直线l ：m x -=，过点M （m ，0）做抛物线px y 22
=的弦CD ，直线l 与CD 交
于点I ，则
DI
DM CI
CM =
.
性质6：过点M （m ，0）做抛物线px y 22
=的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：m x -=上.
注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M 为焦点时，直线CE 、DF 的连线交点G 落在相应准线上.
性质7：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线122
22=±b
y a x 的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥
I
y H
G O
F E M
P
Q D
C B
A x
图4
图5
E I
y
H G
O
F
M
P
Q
D
C B
A
x