《理论力学》第一章 力的分解与力的投影
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第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
计算图示力F对点O之 矩。F与水平线夹角 为，杆OA长r，与水 平线夹角为。
平面力系中的力矩
解：
M O ( F ) Fh Frsin( - )
MO (Fx ) -Fx y -Fcos rsin MO (Fy ) Fy x Fsin rcos
投影是代数量
x
力在某轴的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向 间夹角的余弦。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
Fx=F cos Fy=F cos=F sin
Fx和Fy是力F在x，y轴上的投影
力的解析式：
F Fx i Fy j
力的大小与方向为：
F Fx Fy
2
2
Fx cos F
F2
y
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
F cos x 0.754 FR cos Fy FR 0.656
F1
60
O
45
30
45
x
F3
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
F4
40.99
第一章
49.01
静力学的基本公理与受力分析
例题
或
合力的大小：
F3
F4
三、力在空间坐标轴上的投影 力在空间正交坐标轴上的投影可用两种方法来计算 直接投影法
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
z
O
F
y
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二次投影法
cos
Fy F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FR F1 F2
Fn F
FR Fx i Fy j , Fi Fxi i Fyi j (i 1, 2,
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
F
O
Fxy
x
y
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F Fx2 Fy2 Fz2 Fx cos( F , i ) F Fy cos( F , j ) F Fz cos( F , k ) F
O
45
30
45
x
129.3 N
F3
Fy Fyi F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3 N
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F4
例题
合力的大小：
来自百度文库平面基本力系
FR Fx2 Fy2 171.3 N
§ 1 –3
一、力的分解
力的分解与力的投影
根据力的平行四边形法则，作用在O点的一个力 R，可以过同一点O向任意两个方位线分解，分力的 大小与合力R的关系根据平行四边形的边、角几何 关系确定。
y
F1
O
R
F2
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二、力在坐标轴上的投影
定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给 这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。 F α
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面力系中的力矩
M O (Fx ) M O (Fy ) xFy - yFx
Fr(sincos - cossin ) Frsin ( - ) M O (F )
M O (F ) M O (Fx ) M O (Fy )
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
已知：Fn，，r
平面力系中的力矩
r
O
求：力 Fn 块对轮心O的力矩。
解：（1）直接计算
F Fn
h
M O (Fn ) Fn h Fn r cos
（2）利用合力定理计算
Fr
M O ( Fn ) M O ( Fr ) M O ( F ) M O (F ) Fn r cos
静力学的基本公理与受力分析
一、平面力系中的力矩
力矩是度量力使刚体绕点转动效应的物理量 O——矩心
h——力臂，点O到力的作用线的垂直距离
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与 力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心 逆时针转向时为正，反之为负。
Mo(F)=±Fh=±2AOAB
力矩为零的情况：当h=0即力的作用线通过矩心时 力矩单位 牛顿米（Nm） 千牛顿米（KNm）
§ 1 –4
力对物体可以产生
力 矩
移动效应--取决于力的大小、方向; 转动效应--取决于力矩的大小、方向.
力F使物体绕O点转动效果的量度取决于三个因素： （1）力F的大小与力臂的乘积，即力矩的大小； （2）力F与矩心O所确定的平面的方位，即力矩的作用面； （3）在作用面内，力F绕矩心O的转向。
第一章
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面基本力系
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， F2 y F = 300 N，F = 100 N，F = 250 N。
2 3 4
解：
根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：
F1
60
Fx Fxi F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45
合力的大小和方向余弦为
n)
Fx i Fy j (Fxi i ) (Fyi j ) ( Fxi )i ( Fyi ) j
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 Fy Fx cosα , cos FR FR
平面基本力系
Fx 129.3 N
Fy 112.3 N
F2
FR Fx2 Fy2 171.3 N
y
合力的方向： Fy 112.3 tan 0.8685 Fx 129.3 FR Fy
40.97
o
F1
60
O
45
30
45
x
Fx
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
计算图示力F对点O之 矩。F与水平线夹角 为，杆OA长r，与水 平线夹角为。
平面力系中的力矩
解：
M O ( F ) Fh Frsin( - )
MO (Fx ) -Fx y -Fcos rsin MO (Fy ) Fy x Fsin rcos
投影是代数量
x
力在某轴的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向 间夹角的余弦。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
Fx=F cos Fy=F cos=F sin
Fx和Fy是力F在x，y轴上的投影
力的解析式：
F Fx i Fy j
力的大小与方向为：
F Fx Fy
2
2
Fx cos F
F2
y
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
F cos x 0.754 FR cos Fy FR 0.656
F1
60
O
45
30
45
x
F3
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
F4
40.99
第一章
49.01
静力学的基本公理与受力分析
例题
或
合力的大小：
F3
F4
三、力在空间坐标轴上的投影 力在空间正交坐标轴上的投影可用两种方法来计算 直接投影法
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
z
O
F
y
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二次投影法
cos
Fy F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FR F1 F2
Fn F
FR Fx i Fy j , Fi Fxi i Fyi j (i 1, 2,
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
F
O
Fxy
x
y
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F Fx2 Fy2 Fz2 Fx cos( F , i ) F Fy cos( F , j ) F Fz cos( F , k ) F
O
45
30
45
x
129.3 N
F3
Fy Fyi F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3 N
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F4
例题
合力的大小：
来自百度文库平面基本力系
FR Fx2 Fy2 171.3 N
§ 1 –3
一、力的分解
力的分解与力的投影
根据力的平行四边形法则，作用在O点的一个力 R，可以过同一点O向任意两个方位线分解，分力的 大小与合力R的关系根据平行四边形的边、角几何 关系确定。
y
F1
O
R
F2
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二、力在坐标轴上的投影
定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给 这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。 F α
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面力系中的力矩
M O (Fx ) M O (Fy ) xFy - yFx
Fr(sincos - cossin ) Frsin ( - ) M O (F )
M O (F ) M O (Fx ) M O (Fy )
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
已知：Fn，，r
平面力系中的力矩
r
O
求：力 Fn 块对轮心O的力矩。
解：（1）直接计算
F Fn
h
M O (Fn ) Fn h Fn r cos
（2）利用合力定理计算
Fr
M O ( Fn ) M O ( Fr ) M O ( F ) M O (F ) Fn r cos
静力学的基本公理与受力分析
一、平面力系中的力矩
力矩是度量力使刚体绕点转动效应的物理量 O——矩心
h——力臂，点O到力的作用线的垂直距离
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与 力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心 逆时针转向时为正，反之为负。
Mo(F)=±Fh=±2AOAB
力矩为零的情况：当h=0即力的作用线通过矩心时 力矩单位 牛顿米（Nm） 千牛顿米（KNm）
§ 1 –4
力对物体可以产生
力 矩
移动效应--取决于力的大小、方向; 转动效应--取决于力矩的大小、方向.
力F使物体绕O点转动效果的量度取决于三个因素： （1）力F的大小与力臂的乘积，即力矩的大小； （2）力F与矩心O所确定的平面的方位，即力矩的作用面； （3）在作用面内，力F绕矩心O的转向。
第一章
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面基本力系
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， F2 y F = 300 N，F = 100 N，F = 250 N。
2 3 4
解：
根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：
F1
60
Fx Fxi F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45
合力的大小和方向余弦为
n)
Fx i Fy j (Fxi i ) (Fyi j ) ( Fxi )i ( Fyi ) j
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 Fy Fx cosα , cos FR FR
平面基本力系
Fx 129.3 N
Fy 112.3 N
F2
FR Fx2 Fy2 171.3 N
y
合力的方向： Fy 112.3 tan 0.8685 Fx 129.3 FR Fy
40.97
o
F1
60
O
45
30
45
x
Fx
第一章 静力学的基本公理与受力分析