可口可乐易拉罐PPT课件

• 设饮料罐的半径为 r （因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h. 罐内 体积为 V. b 为除顶盖 外的材料的厚度. 其中 r, h 是自变量, 所用材 料的体积 SV 是因变量, 而 b 和 V 是固定参数,
是待定参数.
饮料罐侧面所用材料的体积为
( (r b)2 r2 )(h (1 )b) (2 rb b2 )(h (1 )b) 2 rhb 2 r(1 )b2 h b2 (1 )b3

V
(1 )
(1)r (1)d .
2
• 测量数据为 h/d=2, 即 4 1, =3 , 即顶
盖的厚度是其他材料厚度的 3 倍.
• 为验证这个 r 确实使 S 达到极小。计算 S 的 二阶导数
S


4b[2
(1


)

2V r3
]

0,
r 0.
• 所以, 这个 r 确实使 S 达到局部极小, 因为 临界点只有一个, 因此也是全局极小.
底部所用材料的体积为 b r2
• 所以, SV 和 V 分别为,
SV (r, h) 2 rhb r 2 (1 )b
2 r(1 )b2 h b2 (1 )b3
V (r, h) r2h
• 因为b<<r , 所以带 b2 , b3 的项可以忽略 • 因此: SV (r, h) S(r, h) 2 rhb r2 (1)b
• 用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比 其他的材料要硬(厚, 因为要使劲拉), 假设除
易拉罐的顶盖外, 罐的厚度相同, 记作b, 顶
盖的厚度为 b .
• 想象一下, 硬度体现在同样材料的厚度上(有 人测量过, 顶盖厚度大约是其他部分的材料 厚度的 3 倍). 因此, 我们可以进行如下的数 学建模. 这时必须考虑所用材料的体积.
r
最小.
2020/1/12
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• 求临界点: 令其导数为零得
dS 2b[(1) r V ] 2b ((1) r3 V ) 0.
dr
r2 r2
• 解得临界点为 r 3 V
(1 )
• 因此
h V ( 3 2(1 ) )2 2(1 )( 3 V )
V r2h, h V / r2.
0

S (r )

2 (2r

V
r2
)

2
r2
(2r3
V

),
r3 V ,
2
h

V
r
2
V

3
4 2
V2
3
4 2V 3 2V 2
3 8V
2
2r d
• 它顶盖的直径和从顶 盖到底部的高: 约为6 厘米和12厘米.
• 中间胖的部分的直径 约为6.6厘米，胖的部 分高约为10.2厘米.
探讨
• 更有意思的是, 计算饮料罐的胖的部分的直 径和高的比为 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黄 金分割比 0.618. 这是巧合吗? 还是这样的比 例看起来最舒服, 最美?
探讨
• 此外, 诸如底部的形状, 上拱的底面, 顶盖实际上也 不是平面的, 略有上拱, 顶盖实际上是半径为 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料冲压而成的, 从顶 盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了 和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压. 所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要 求, 必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定. 因此, 我们可以体会到真正用数学建模的方法来进 行设计是很复杂的过程, 只依靠数学知识是不够的, 必须和实际工作者的经验紧密结合.
• 通过测量重量或容积来验证. 我们可以认为 1 立方厘米的水和饮料的重量都是 1 克.
• 测量结果为: 未打开罐时饮料罐的重量为 370 克, 倒出来的可乐确实重 355 克, 空的饮 料罐重量为 15 克, 装满水的饮料罐重量为 380 克. 这和我们的近似计算 380.2 立方厘 米十分接近！饮料罐不能装满饮料, 而是留 有 10 立方厘米的空间余量.
可口可乐罐头为什么是这种样子
问题
• 可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮 料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的 高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么 是这样的?
知识准备
• 体积给定的圆柱体, 其表面积最小的尺寸(半 径和高)为多少?
表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有 ：
S(r, h) 2 r h r2 r2 2[r2 rh]
• 可口可乐饮料罐上标 明净含量为 355 毫升 (即 355 立方厘米).
简化模型——分析和假设：
• 首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一 定合理性的. 要求饮料罐内体积一定时, 求 能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的 直径和从顶盖到底部的高之比.
• 实际上，饮料罐的形状是绕其中轴线旋转 而成的立体图形。
记 g(r, h) r2h V
建立以下的数学模型：
min S(r, h)
r0, h0
s.t. g(r, h) 0
• 其中 S 是目标函数，
• g(r, h) 0 是约束条件, V 是已知的(即罐内体积 一定), 即要在体积一定 的条件下, 求罐的体积
最小的 r, h 和 使得 r,
验证和进一步的分析：
• 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚 度的 3 倍.
• 如果易拉罐的半径为3厘米, 则其体积为
V 62 12 339.3 355
即装不下那么多饮料，为什么？模型到底对 不对?
V
• 按照
r3
4
, V = 365立方厘米, 可以算得
• r = 3.074 厘米.
一种可能的考虑.
• 粗略的计算, 可以把饮料罐的体积看成两部 分,一是上底半径为 3 厘米，下底半径为 3.3 厘米, 高为 1 厘米的锥台, 二是半径为 3.3 厘 米, 高为 10.2 厘米的圆柱体. 它们的体积分 别为 31.2 立方厘米和 349 立方厘米总共为 380.2 立方厘米.
验证
h 和测量结果吻合. 这 是一个求条件极值的 问题.
模型的求解：
• 一种解法(从约束中解出一个变量，化条件 极值问题为求一元函数的无条件极值问题)
• 从 g(r, h) r2h V 0 解 h V / r2 ,代 入 S, 使原问题化为：求 d : h 使 S 最小, 即, 求 r 使 S(r, h(r)) b[ 2V (1) r2 ]