图论基本概念
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图论基本概念
goodhorsezxj@gmail.com
图的定义
• 所谓图G是一个三元组 • 结点集合(vertex set) • 边集合(edge set) • 关联函数(incidence function)
图的定义
• 邻接结点(adjacent vertices) • 孤立结点(isolated vertex) • 邻接边(adjacent sides) • 环(loop) • 平行边(parallel edges), 重边(multiple edges) • 对称边(symmetric edges)
连通图
• 连通分支(component), 连通分支数 • 连通图, 非连通图
• • • • 单侧连通的(unilateral connected) 强连通的(strongly connected) 弱连通的(weakly connected) 强连通分支
• 距离(distance) • 直径(diameter)
• 点覆盖(vertex covering) • 最小点覆盖(smallest vertex covering) • 定理：S是G的独立集 = G中每条边的两端点都 不同时属于S = G中每条边至少有一段点在V-S 中 = V-S是G的点覆盖
• 支配集(dominating set) • 极小支配集(minimal dominating set) • 最小支配集(smallest dominating set)
• 割点(cut vertex) • 割边或桥(cut edge) • 点连通度或连通度(vertex connectivity) • 边连通度(edge connectivity) • 偶图或二分图(bipartite graph) • 完全二分图，记作Km,n
欧拉图
• 欧拉路是经过图G每边一次且仅一次的迹， 欧拉回路是闭迹 • 定理：连通图G具有欧拉回路当且仅当它的 每个顶点都有偶数度 • 定理：连通图G具有欧拉路而无欧拉回路， 当且仅当G恰有两个奇数度结点
平面图
• 定理：图G可嵌入球面=图G可嵌入平面 • 定理：设G是带e条边，v个顶点和r个面的 平面图连通，则v-e+r=2（欧拉公式） 染色问题： • 平面图的染色：四色问题 • 一般图的染色：无有效算法
独立集
• 独立集(independent set)：是顶点集合，其中 任意两个顶点互不相邻 • 极大独立集(maximal independent set) • 最大独立集(greatest independent set)
哈密顿图
• 哈密顿路是经过图G的每个结点一次且仅一 次的路 • 具有哈密顿回路的无向图，与具有哈密顿 有向回路的有向图，统称为哈密顿图 • 哈密顿问题：即判断一个给定的图是否是 哈密顿图的问题，是图论中尚未解决的难 题之一
树及其应用
• 树(tree)是无圈连通无向图。数中度数为1的结点称为树 的叶(leafage)。数中度数大于1的节点称为树得分枝点 (branch vertex)或内点。不相交的若干树称为森林 (forest)，即森林的每个连通分支是树 • 定理：T是树=T中无环=T连通且任意边是割边=T连通且 E=V-1 • 有向树的根(root) • 由根到某一顶点v的有向路的长度，称为顶点v的层数 (level)。根树的高度就是定点层数的最大值
• 子图(subgraph) • 生成子图(spanning subgraph) • 补图(complement graph)
路
• 链(chain, walk) • 链的长度(length)、端点(end-vertices)、 内部点(internal vertices) • 迹(trail) 与 路(path)：边互不同的链，内 部点互不同的链 •开与闭 • K、奇、偶圈
百度文库的分类
• • • • • • 无向图(undirected graph) 有向图(directed graph) 有向无环图(DAG) 混合图(mixed graph) 零图(null graph)：仅有一些孤立结点的图 平凡图(trivial graph)：只有一个孤立结点的图
• 多重图(multigraph)：含有平行边的图 • 简单图(simple graph) • 完全图(complete graph), 记作Km • 阶 (order)：图的顶点个数
• 支配集与点覆盖的区别
• 求解一般图的最大独立集、最小点覆盖、 最小支配集都是NP问题 • 二分图中求最大独立集、最小点覆盖可做
• 练习： • TOJ 2310. Failing Roads
• 结点的度数(degree) • 入度(in-degree), 出度(out-degree) 定理：每个图中，结点度数的总和等于边数的二倍 定理：每个图中，度数为奇数的结点必定是偶数个 定理：在任何有向图中，所有结点的入度之和等于 所有结点的出度之和
图的同构
• 两个图（一般图）是否同构还没有很简便 的判别方法
goodhorsezxj@gmail.com
图的定义
• 所谓图G是一个三元组 • 结点集合(vertex set) • 边集合(edge set) • 关联函数(incidence function)
图的定义
• 邻接结点(adjacent vertices) • 孤立结点(isolated vertex) • 邻接边(adjacent sides) • 环(loop) • 平行边(parallel edges), 重边(multiple edges) • 对称边(symmetric edges)
连通图
• 连通分支(component), 连通分支数 • 连通图, 非连通图
• • • • 单侧连通的(unilateral connected) 强连通的(strongly connected) 弱连通的(weakly connected) 强连通分支
• 距离(distance) • 直径(diameter)
• 点覆盖(vertex covering) • 最小点覆盖(smallest vertex covering) • 定理：S是G的独立集 = G中每条边的两端点都 不同时属于S = G中每条边至少有一段点在V-S 中 = V-S是G的点覆盖
• 支配集(dominating set) • 极小支配集(minimal dominating set) • 最小支配集(smallest dominating set)
• 割点(cut vertex) • 割边或桥(cut edge) • 点连通度或连通度(vertex connectivity) • 边连通度(edge connectivity) • 偶图或二分图(bipartite graph) • 完全二分图，记作Km,n
欧拉图
• 欧拉路是经过图G每边一次且仅一次的迹， 欧拉回路是闭迹 • 定理：连通图G具有欧拉回路当且仅当它的 每个顶点都有偶数度 • 定理：连通图G具有欧拉路而无欧拉回路， 当且仅当G恰有两个奇数度结点
平面图
• 定理：图G可嵌入球面=图G可嵌入平面 • 定理：设G是带e条边，v个顶点和r个面的 平面图连通，则v-e+r=2（欧拉公式） 染色问题： • 平面图的染色：四色问题 • 一般图的染色：无有效算法
独立集
• 独立集(independent set)：是顶点集合，其中 任意两个顶点互不相邻 • 极大独立集(maximal independent set) • 最大独立集(greatest independent set)
哈密顿图
• 哈密顿路是经过图G的每个结点一次且仅一 次的路 • 具有哈密顿回路的无向图，与具有哈密顿 有向回路的有向图，统称为哈密顿图 • 哈密顿问题：即判断一个给定的图是否是 哈密顿图的问题，是图论中尚未解决的难 题之一
树及其应用
• 树(tree)是无圈连通无向图。数中度数为1的结点称为树 的叶(leafage)。数中度数大于1的节点称为树得分枝点 (branch vertex)或内点。不相交的若干树称为森林 (forest)，即森林的每个连通分支是树 • 定理：T是树=T中无环=T连通且任意边是割边=T连通且 E=V-1 • 有向树的根(root) • 由根到某一顶点v的有向路的长度，称为顶点v的层数 (level)。根树的高度就是定点层数的最大值
• 子图(subgraph) • 生成子图(spanning subgraph) • 补图(complement graph)
路
• 链(chain, walk) • 链的长度(length)、端点(end-vertices)、 内部点(internal vertices) • 迹(trail) 与 路(path)：边互不同的链，内 部点互不同的链 •开与闭 • K、奇、偶圈
百度文库的分类
• • • • • • 无向图(undirected graph) 有向图(directed graph) 有向无环图(DAG) 混合图(mixed graph) 零图(null graph)：仅有一些孤立结点的图 平凡图(trivial graph)：只有一个孤立结点的图
• 多重图(multigraph)：含有平行边的图 • 简单图(simple graph) • 完全图(complete graph), 记作Km • 阶 (order)：图的顶点个数
• 支配集与点覆盖的区别
• 求解一般图的最大独立集、最小点覆盖、 最小支配集都是NP问题 • 二分图中求最大独立集、最小点覆盖可做
• 练习： • TOJ 2310. Failing Roads
• 结点的度数(degree) • 入度(in-degree), 出度(out-degree) 定理：每个图中，结点度数的总和等于边数的二倍 定理：每个图中，度数为奇数的结点必定是偶数个 定理：在任何有向图中，所有结点的入度之和等于 所有结点的出度之和
图的同构
• 两个图（一般图）是否同构还没有很简便 的判别方法