北京四中数学必修五巩固练习1.1余弦定理提高版
高中数学第二章解三角形章末复习提升课巩固提升训练(含解析)北师大版必修5
高中数学第二章解三角形章末复习提升课巩固提升训练（含解析）北师大版必修51．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，B ＝45°，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°解析：选C.由正弦定理得：sin A ＝a sin B b ＝32， 因为a >b ，所以A ＝60°或A ＝120°，故选C.2．在△ABC 中，若lg sin A －lg sin C ＝lg sin B ＝－lg 2，且B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形解析：选C.由lg sin A －lg sin C ＝lg sin B ＝－lg 2可得lg sin A sin C ＝lg sin B ＝lg 22，所以ac ＝22＝sin B ，又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以B ＝π4，c ＝2a .由余弦定理可知b 2＝a 2＋2a 2－2a ×2a ×22，整理可得b ＝a ，因此△ABC 为等腰直角三角形． 3．为维护国家主权和领土完整，我海监船310号奉命赶赴钓鱼岛海域执法巡航．当我船航行到A 处时测得钓鱼岛在我船北偏东45°方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B 处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15°方向上，则此时B 处到钓鱼岛的距离为( )A ．20海里B ．10海里C ．20 2 海里D ．20 3 海里解析：选C.设钓鱼岛在C 处，则在△ABC 中，AB ＝20，∠BAC ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得：BC ＝AB sin ∠CAB sin ∠ACB ＝20sin 45°sin 30°＝202，故选C. 4．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝________． 解析：由正弦定理得sin A sin C ＝a c，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， 因为 a ＝4，b ＝5，c ＝6，所以 sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：15.如图，l 1，l 2，l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是3，正三角形ABC 的三个顶点分别在l 1，l 2，l 3上，则正三角形的边长是________．解析：如图，过点C 作l 1的垂线，交直线l 1于点H ，交直线l 2于点M .设∠ACH ＝θ，则∠BCH ＝60°－θ.在Rt △ACH 中，CH ＝4， 故AC ＝CH cos ∠ACH ＝4cos θ； 在Rt △BCM 中，CM ＝3，故BC ＝CM cos ∠BCM ＝3cos （60°－θ）. 所以4cos θ＝3cos （60°－θ）， 解得sin θ＝123cos θ. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，代入求得cos θ＝1213， 故AC ＝41213＝2393. 答案：23936．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋b sin A ＋sin B的值； (2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积S △ABC .解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝232＝433，所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，所以a ＋b sin A ＋sin B ＝433（sin A ＋sin B ）sin A ＋sin B ＝433. (2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝3.。
巩固练习_余弦定理_提高
【巩固练习】一、选择题1．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝12，则c 的值为( )A ．4B ．8C ．4或8D ．无解2．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ②a ＝b cos C ＋c cos B ③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C④b ＝c sin A ＋a sin C一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( ) A. (,)2ππ B. (,)32ππC. (,)42ππD. (0,)2π4．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋C ．4－ D. 5. △ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为A ．6πB ．3πC ．2π D. 23π6. 锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，如果B ＝2A ，则b a 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．D ．，2)7．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( ) A.23B ．23-C ．14- D. 14二、填空题 8. 已知锐角三角形三边长分别为3,4，a ，则a 的取值范围为________．9. 在△ABC 中，A ，B ，C 是三个内角，C ＝30°，则sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C 的值是________．10. 在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝_______________. 11. 若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．三、解答题12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，求A 的大小．13. 在△ABC 中，已知sin C ＝sin sin cos cos A B A B ++，试判断三角形的形状．14．在△ABC 中，已知c b ＝1，B ＝30°.(1)求角A ；(2)求△ABC 的面积．15. 在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =， （1）求22tan sin 22B C A ++的值；（2）若2a =，ABC S =△，求b 的值．【答案与解析】1. 【答案】 C【解析】 由3a b ＝12，得a ＝4，b ＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝48＋c 2－12c ，解得c ＝4或c ＝8.2. 【答案】 C【解析】 由正、余弦定理知①③一定成立，对于②由正弦定理知sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④由正弦定理sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，则不一定成立．3. 【答案】 B【解析】 根据余弦定理：222cos 02b c a A bc+-=>，∴A 为锐角． ∵在不等边三角形中，a 是最大边，∴A 是最大角，∴△ABC 为锐角三角形，∴3π<A <2π. 4. 【答案】 A【解析】 △ABC 中，易知∠B ＝30°，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos 30°，∴222b =-=4∴b ＝2.5. 【答案】 B【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B 。
北京四中数学必修五巩固练习1.2解三角形应用举例提高版
【巩固练习】 一、选择题1．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD.252m 2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(15＋33) mB ．(30＋153) mC ．(30＋303) mD ．(15＋303) m3．某海上有A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°角，则B ，C 两岛之间的距离是( )A ．103海里 B.106海里 C ．52海里 D.56海里4．如右图，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b 5.有一长为10m 的斜坡，倾斜角为075，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为030，则坡底要延长（ ）A.5mB.10mC.102mD.103m 6. 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．()562km +B ．()562km - C ． ()1062km +D ．()1062km -二、填空题km h的速度向正北方向航行,船在A处看见灯塔B在船的东北方向7. 一艘船以20/上,1h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75的方向上,这时,船与灯塔的距离BC=；8. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为45，则塔AB的高度为；30，测得塔基B的俯角为09. 江崖边有一炮台江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45和30,炮台顶部到江面高30m,而且两条船与炮台底部连线成30,则两条船相距；三、解答题10．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A 以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？11．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/︒+小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东45α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和α角的正弦值．13. 如图，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，∠BAD=110°，又在B点测得∠ABD=40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD.(精确到1m)105的方向航行60n mile后到达海岛B,然后14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东0从B出发,沿北偏东030的方向航行602n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?15. 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.16. 一个人在建筑物的正西A点，测得建筑物顶的仰角是α，这个人再从A点向南走到B点，再测得建筑物顶的仰角是β，设A，B间的距离是a．证明：建筑物的高是()()sin sinαβαβ+-．【答案与解析】1．答案： A解析：在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°∴∠ABC＝30°，由正弦定理：sin sinAB ACBCA ABC=∠∠∴AB＝sin50sin45sin sin30AC BCAABC∠⨯=∠＝502m．故选A.2.答案： C解析：由正弦定理可得00060sin(4530)sin30PB=-，00160302sin15sin15PB⨯==，h＝PB sin 45°＝(30＋303) m.故选C.3.答案： D解析： 如图所示，在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，所以C ＝45°，由正弦定理sin sin BC AB A C=，得00sin 10sin 6056sin sin 45AB A BC C ⋅=== (海里)．4. 答案： C解析： 由A 与B 不可到达，故不易测量α，β，故选C.5. 答案： C解析：在△ABB’中由正弦定理,得0'0210sin 4521021sin 302AB BB ⨯===6. 答案： D解析： 如图，由题意得∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°， ∴00sin 75sin30AB BC=，∴BC ＝10sin75＝()1062km -.7. 答案：202(km)； 如图所示：20km AC =，030CAB ∠=，000754530ABC ∠=-=，在ABC ∆中，根据正弦定理0sin 20sin 45202sin sin 30AC BAC BC ABC ⋅∠===∠。
北京四中高考数学总复习 三角恒等变换(提高)知识梳理教案
三角恒等变换【考纲要求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式 要点诠释：1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2±≠+∈、、παβαβπ2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。
公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角()±αβ的正切值化简。
考点二、二倍角公式1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：sin 22sin cos ααα= 2()S α； ααα22sin cos 2cos -=2()C α；22tan tan 21tan ααα=-2()T α。
要点诠释：1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(224Z k k k ∈+≠+≠ππαππα和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。
(2021年整理)人教版高中数学必修五专题余弦定理习题(含答案)
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余弦定理一、选择题1．(2016·天津高考）在△ABC中,若AB＝错误!，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ）A．1 B．2C．3 D．42．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为( ）A。
错误! B.错误!C.错误!D.错误!或错误!3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a,b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab 的值为( )A.错误!B．8－4错误!C．1 D。
错误!4．在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b，c,若(a2＋c2－b2)tan B＝错误!ac,则角B为( )A。
错误! B.错误!C.错误!或错误!D。
错误!或错误!5．在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c。
若a＝1，c＝4错误!,B＝45°，则sin C 等于（)A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!二、填空题6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若a＝1，b＝错误!，c＝错误!,则B ＝________.7．在△ABC中,已知a，b是方程x2－5x＋2＝0的两根，C＝120°，则边c＝________.8．（2015·重庆高考)设△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－错误!,3sin A＝2sin B，则c＝________。
29【精品讲义】高中数学必修五_余弦定理_知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
余弦定理【学习目标】1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系.【要点梳理】要点一：学过的三角形知识 1.ABC ∆中（1）一般约定：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ； （2）0180A B C ++=；（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >⇔>； 等边对等角，等角对等边，即B C b c =⇔=；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ∆中，090C ∠=， （1）090B A +=， （2）222a b c += （3）sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =； cos b A c =，cos aB c=，cos 0C =要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据 要点二：余弦定理及其证明三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即：Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=余弦定理的推导已知：ABC ∆中，BC a =，AC b =及角C ，求角C 的对应边c . 证明：方法一：向量法（1）锐角ABC ∆中（如图）， ∵AC CB AB +=，∴()()AB AB AC CB AC CB ⋅=++222AC CB AC CB =+⋅+22||2||||cos()||AC CB AC C CB π=+⋅-+222cos b ba C a =-+即：2222cos c a b ab C =+- (*)同理可得：2222cos b a c ac B =+-,2222cos a b c bc A =+- 要点诠释：（1）推导（*）中，AC 与CB 的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC 与CB 的夹角应为C π-，而不是C .（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。
北师大版高中数学必修五练习余弦定理
第1课时 余弦定理及其推论课时过关·能力提升1.在△ABC 中,已知a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,a=2,b=3,cos C =13,c =( )A.2B.3 C .√11 D.√17c 2=a 2+b 2-2ab cos C=22+32-2×2×3×13=9,∴c =3.2.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C ,3b=20a cos A ,则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4a=b+1,c=b-1.∵3b=20a ·cos A ,∴3b=20(b+1)·b 2+(b -1)2-(b+1)22b (b -1). 整理得7b 2-27b-40=0,解得b=5,故a=6,b=5,c=4,即sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=6∶5∶4.3.若△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2−√3ab,则△ABC 的最大内角为( )A.60°B.90°C.120°D.150°cos C =a 2+b 2-c 22ab =−√32,则C=150°.故选D.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若c 2-a 2-b 22ab>0,则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形5.在△ABC 中,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,则CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.−32 B.32 C.−152 D.152,得cos C =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=52+32-722×5×3=−12, ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos C=3×5×(-12)=−152.6.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,已知a =√3,b =3,C =30°,则A =_______________.,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=3+9-2×3×√3×cos 30°=3,所以c =√3,即a=c =√3.所以A=C=30°.°7.在△ABC 中,已知a ,b 是方程x 2-5x+2=0的两个根,C=120°,则c= .a ,b 为方程x 2-5x+2=0的两个根,∴a+b=5,ab=2,c 2=a 2+b 2-2ab cos C=(a+b )2-2ab-2ab cos 120°=25-4-4×(-12)=23,∴c =√23. √238.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知B=C ,2b =√3a,则cos A =_________________.B=C ,2b =√3a,得c=b =√3a, 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =34a 2+34a 2-a 22×32a×32a =13.9.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a+c=6,b=2,cos B =79.(1)求a ,c 的值;(2)求sin(A-B )的值.∵cos B =79,由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-42ac =79,又a+c=6,解得a=c=3. (2)∵sin B =4√29,a =3,b =2,∴由正弦定理a =b ,得sin A =2√23,cos A =13. ∴sin(A-B )=sin A cos B-cos A sin B =2√23×79−13×4√29=10√227. ★10.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan C=3√7.(1)求cos C ;(2)若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =52,且a +b =9,求c.∵C 是△ABC 的内角,且tan C=3√7,∴C 为锐角,则cos C>0.由tan C=3√7及sin 2C+cos 2C=1,得cos C=−18(舍去)或cos C =18.(2)∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =52,∴abcos C =52,∴ab =20. ∵a+b=9,∴a 2+b 2+2ab=81,∴a 2+b 2=41.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=41-2×52=36,解得c=6或c=-6(舍去).∴c=6.★11.如图所示,A ,B 是单位圆O 上的动点,且A ,B 分别在第一、第二象限,C 是圆O 与x 轴正半轴的交点,△AOB 为等边三角形.若点A 的坐标为(x ,y ).记∠COA=α.(1)若点A 的坐标为(35,45),求sin 2α+sin2αcos 2α+cos2α的值; (2)求BC 2的取值范围.∵点A 的坐标为(3,4),根据三角函数的定义可知,0<α<π,∴sin α=4,cos α=3,∴sin 2α+sin2αcos 2α+cos2α=sin 2α+2sinαcosα3cos 2α-1=20.(2)∵△AOB 为等边三角形,∴∠AOB =π3.∴cos ∠COB=co s (∠COA +π)=cos (α+π).∴BC2=OC2+OB2-2OC·OB cos∠BOC=2-2co s(α+π3).∵π6<α<π2,∴π2<α+π3<5π6,∴co s5π6<cos(α+π3)<cosπ2,即−√32<cos(α+π3)<0.∴2<BC2<√3+2.。
人教版高中数学必修五课后提升作业二112余弦定理含解析1.doc
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课后提升作业二余弦定理（45分钟70分）一、选择题（每小题5分，共40分）1.（2016 •锦州高二检测）在ZXABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若2+b2-c2=v；3ab,则角C的值为（）a< TA.-B.-c.競 D.于畴【解析】选A.因为Z\ABC中，a'+b2-c2二丽ab, 所以cosC二& “ Y ［贝寸c二二2ab 2 6【补偿训练】在△ ABC中，边a, b,c所对的角分别为A, B, C, b=3, c=5, A=120°，则a二( )A. 7B. V19C. 49D. 19【解析】选 A. a2=b2+c2-2bccosA二9+25-2X3X5cos120°二49,所以a二7.2.(2016 •银川高二检测)在AABC 中，若Q+c) (a-c)=b(b+c),则A=()A. 90°B. 60°C. 120°D. 150°【解析】选C・由已知可得a2-c2=b2+bc,所以b2+c2_a2=_bc,h4* 公1所以cosA二 ~~——二--，所以A=120 °•2bc 23.（2016 •西安高二检测）在AABC中，已知a二書,b二育,C二二则AABC4是（）A.锐角三角形B•直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形【解析】选B.由余弦定理得c2-a2+b2_2abcosC-3+6_2\ 3 X V© X -^=3, 所以c二七3所以a2+c2二b：所以△ ABC为直角三角形.4.在ZXABC 中,角A, B,C 的对边分别为a, b, c.若(a2+c2-b2) <anB=v'3ac, 则角B的值为()C.陽3D肓或丁【解析】选D.因为*讥7二cosB,结合已知等式得cosB • tanB= 2ac所以sinB=—, B==或竺2 3 35. （2016 •汕头高二检测）在△ ABC中，『二『+£+再be,则A等于A. 60°B. 45°C. 120°D. 150°【解析】选D.由已知得b2+c2-a2=- be,根据余弦定理，得cosA=—-——二—工，所以A=150°・2bc 26•在三角形ABC中，若三个内角A, B,C的对边分別是a, b, c, a=l, c=4v2, B=45°，则sinC 的值等于( )4 4 44\41A.-B.TC.—D.—41 5 25 41【解析】选B.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB, 所以b2=1 +32-2 X 1 X 4V2 X 务25, 因此b二5,由正弦定理得- j ,slnB slnC所以S i nC二沁竺二土b 5 S7. （2016 •厦门高二检测）在锐角AABC中，角A, B, C的对边分别是A. 3B. 4C. 5D. 6a, b, c,若拾6cosC,则去+誥的值是（）【解析】选B.因为-+-=6cosC,由余弦定理可得^±1=6X —a b ab 2ab“ 2 i 2 3c£> taruC tartC m^AslnC eo^BsinC sin€ (cosA , cosB\以a+b -—、则--- + --- ---- - + ---- -- ——-—+ —2 tanA tauB cosCsinA cosCsir.B cosa \sinA sinBz sirrCl ?inB:osA4slnAcosB cos€sinAsinBabcosC ab *&已知锐角△ ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b, c, 23cos，A+cos2A=0, a=7, c=6,则b二( )A. 10B. 9C. 8D. 5【解题指南】由23cos2A+cos2A二0,利用倍角公式求出cosA的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b的值.【解析】选D.因为23cos'A+cos2A二0,所以23COS2A+2COS2A-1 =0,解得cos2A=-7,2a因为AABC为锐角三角形, 所以cosA二1, s i n5 a由正弦定理’& -「得8・slnA sinC 空£ sinCs i nC二上£ cosc£.又B二n - (A+C),35 3a所以s i nB=s i n (A+C)二s i nAcosC+cosAs i nC, .-2V6v19 V 12v6 2y6s inB=— X —X .a n I由正弦定理亠二b得丄二貝解得b二5.sinA sinB '士士'二、填空题（每小题5分，共10分）9.______________________________________________ 在AABC 中，B=60° , b2=ac,则ZXABC 的形状为___________________ ・【解析】由b3=ac 及余弦定理b2=a2+c2-2accos 60°，得ac=a2+c2-ac, 所以（a-c）2=0,所以a二c,又B=60°,所以Z\ABC为等边三角形.答案：等边三角形10.（2016 •北京高考）在ZSABC中,A二舉a=V3c,则匕二3 c【解析】由余弦定理，得a2=b2+c2+bc.把a-v 3c 代入，得b2+bc_2c2-0.2除以C；得（y》2二0,解得2二-2（舍）或—・c c答案：1 三、解答题（每小题10分，共20分）11.在AABC 中，a=3, b=2 V®, B二2A・（1）求cosA的值.⑵求c的值.【解题指南】（1）由条件可以看出，已知两角关系，求角，可以利用正弦定理解决问题.（2）由已知两边和角求第三边，可以应用余弦定理求解. ⑵ 由余弦定理得a Jb'+c 2-2bccosA,所以 3J (2V6) 2+C 2-2 X 2v6c X 二3 即 C 2-8C +15=0,解得 c=5 或 c 二3. 当c 二3时，因为a=3, 所以a 二c,即A 二C,又因为B=2A,故 A=C=-B,2又因为A+C+B 二n ,IT $故 2B= n ,即 B 二二，所以 b=Va 2 + c 2=3\ 2, 这与b=2v6矛盾，故c 二3不合题意舍去.因此c=5.12. (2015 •安徽高考)在Z\ABC 中,A=—, AB=6, AC=3v2,点 D 在 BC 边 4 ±, AD=BD,求 AD 的长.【解析】由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2-2AB • AC • cosZBAC 二61 2 3+ (3\ 2) 2_2 X 6 X 3*v 2 X cos 乎二90, 1 ，・ 2 A【解析】（1）由正弦定理得 a _ b si nA所以即 cosA-sinA sin2A , sinA 2sinAcosA ,所以BC二3VW,在厶ABD 中,设ZADB二6,则Z ADC 二180。
高中数学第二章解三角形章末复习提升课巩固提升训练北师大版必修5(2021年整理)
2018年高中数学第二章解三角形章末复习提升课巩固提升训练北师大版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高中数学第二章解三角形章末复习提升课巩固提升训练北师大版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章解三角形1．在△ABC中,a＝2错误!,b＝2错误!,B＝45°,则A等于( )A．30° B．60°C．60°或120°D．30°或150°解析：选C。
由正弦定理得：sin A＝错误!＝错误!，因为a〉b，所以A＝60°或A＝120°,故选C.2．在△ABC中，若lg sin A－lg sin C＝lg sin B＝－lg错误!，且B∈错误!，则△ABC的形状是（)A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形解析:选C.由lg sin A－lg sin C＝lg sin B＝－lg2可得lg错误!＝lg sin B＝lg错误!,所以错误!＝错误!＝sin B，又B∈错误!，所以B＝错误!，c＝错误!a.由余弦定理可知b2＝a2＋2a2－2a×错误!a×错误!，整理可得b＝a,因此△ABC为等腰直角三角形．3．为维护国家主权和领土完整,我海监船310号奉命赶赴钓鱼岛海域执法巡航．当我船航行到A处时测得钓鱼岛在我船北偏东45°方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15°方向上,则此时B处到钓鱼岛的距离为（）A．20海里B．10海里C．20错误!海里D．20错误!海里解析：选C。
2019-2020学年高中数学北师大版必修五单元巩固卷：(5)正弦定理与余弦定理 Word版含答案
姓名，年级：时间：单元巩固卷（5)正弦定理与余弦定理1、在ABC △中60,2A AB ∠==且ABC △，则BC 的长为 （ ）AB C ． D ．2 2、已知ABC △中， 60a b B ===︒，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°3、在ABC ∆中,若sin2sin2A B =,则ABC ∆一定是( )A 。
等腰三角形 B.直角三角形C 。
等腰直角三角形D 。
等腰或直角三角形4、在ABC △中,已知222a b c +=，则C ∠= （ ）A. 30︒ B 。
45︒ C. 150︒ D 。
135︒5、在ABC △中, π4ABC ∠=，AB =，3BC =,则sin BAC ∠= （ )A 。
10B.5D 6、在ABC △中，260,B b ac =︒=，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．不等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形7、在ABC △中，若sin a b A =，则ABC △一定是（）A 。
锐角三角形B 。
直角三角形C 。
钝角三角形 D.等腰三角形8、如图,在ABC △中, D 是边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ===，则sin C 的值为( ）3 3 C 。
6 6 9、在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC △的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定10、在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin 3cos b A a B =,则 B = ( )A 。
6π B 。
4π C 。
3π D. 2π 11、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于__________12、在锐角ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,,2a b c C A =,则c a的取值范围是__________。
北京四中高考数学总复习 正弦、余弦定理及解三角形提高知识梳理
正弦、余弦定理及解三角形【考纲要求】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【知识网络】【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系约定：ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c . 1．边的关系：(1) 两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>；两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<； (2) 勾股定理：ABC ∆中，22290a b c C +=⇔=︒. 2．角的关系：ABC ∆中，A B C π++=,222C B A ++=2π （1）互补关系：sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=- tan()tan()tan A B C C π+=-=-（2）互余关系：sinsin()cos 2222A B C Cπ+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-=tan tan()cot 2222A B C C π+=-=3．直角三角形中的边与角之间的关系Rt ABC ∆中，90C =︒（如图），有： c cC c b B c a A ====1sin ,sin ,sin ， cos ,cos ,cos 0b aA B C c c===.要点二、正弦定理、余弦定理应用解三角形正弦定理 余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）⇒⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b AR a sin 2sin 2sin 22. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
2019-2020新学练考数学同步必修五北师大巩固提升：第二章§1-1.2 余弦定理 Word版含
姓名，年级：时间：[A 基础达标］1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°,则边c的值是（）A．8 B．217C．6错误!D．2错误!解析：选D。
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝2错误!，故选D.2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝错误!,则最大角的余弦值是( )A．－错误!B．－错误!C．－错误!D．－错误!解析：选C.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×错误!＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A＝错误!＝错误!＝－错误!。
3．在△ABC中，a，b,c为角A、B、C的对边，且b2＝ac,则B的取值范围是（)A。
错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析:选A。
cos B＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!≥错误!，因为0〈B<π，所以B∈错误!.4．在△ABC中，若b cos A＝a cos B，则△ABC是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形解析：选B.因为b cos A＝a cos B，所以b·错误!＝a·错误!.所以b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2。
所以a2＝b2.所以a＝b。
故此三角形是等腰三角形．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝错误!a，则（）A．a〉b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定解析：选A.由余弦定理,知c2＝a2＋b2－2ab cos C，则2a2＝a2＋b2＋ab，即a2＝b2＋ab，则错误!错误!＋错误!－1＝0，所以错误!＝错误!〈1，所以a〉b，故选A.6．△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A,则B＝________．解析:依题意得2b×错误!＝a×错误!＋c×错误!,即a2＋c2－b2＝ac，所以2ac cos B＝ac〉0,cos B ＝错误!。
巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修五《正、余弦定理》单元同步检测题及解析
北师大版高中数学必修五1 正弦定理和余弦定理（北师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，下列各式中符合余弦定理的是（）（1）c2＝a2＋b2－2abcos C；（2）c2＝a2－b2－2bccos A；（3）b2＝a2－c2－2bccos A；（4）cos C＝a2＋b2＋c2－2ab.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B =（）A. B.C. D.3.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的长是（）A. B.C.2D.24.已知锐角A 是△ABC的一个内角，a,b,c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则下列各式正确的是（）（1）b＋c＝2a；（2）b＋c2a；（3）b＋c ≤2a；（4）b＋c≥2a.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)5.在△ABC中，点D为BC边上一点，BD＝12DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝（）A.30°B.60°C.45°D.90°6.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A. B.C. D.7.在△ABC中，已知2sin Acos B = sin C，那么△ABC的形状是（）三角形.A.锐角B.直角C.等边D.等腰二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）8.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C＝.9.如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝12A1B1. 若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为_______．10.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，则△ABC的形状是．(填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)11.在△ABC中，下列关系式：①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C，一定成立的个数是.12.△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c= .三、解答题（共47分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.（11分）在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．14.（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin B=b．（1）求角A的大小；（2）若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．15.（12分）在△ABC 中，2sin cos 2A A +=，2AC =，3AB =，求tan A 的值和△ABC 的面积.16.（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （1）求角A ；（2）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n|的最小值．1 正弦定理和余弦定理（北师大版必修5）参考答案1.A 解析：注意余弦定理的形式，特别是正负号问题．2.A 解析：依题意得0°60°，由正弦定理得sin sin a b A B =得sin B ＝sin b Aa＝33，cos B ＝＝63，故选A. 3.D 解析：根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219. 故选D.4.C 解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12.又因为A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°.所以2b c a+＝sin sin 2sin B C A+＝2sincos223B C B C +-＝cos2B C -≤1，即b ＋c ≤2a.故选C.5.B 解析：由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin 60°＝3－3，所以DC ＝2(3－1).又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过点A 作AE ⊥BC 于点E ，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE＝1，所以BE ＝3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°.在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋3， 所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.故选B.6.C 解析：设等腰三角形的底边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为22244222··a a a a a＋－＝78. 故选C.7.D 解析：由2 =，知2=，∴+，即= 0.∴ 0，∴ .故选D.8. 解析：利用正弦定理、余弦定理求解.由3sin A=5sin B ，得3a=5b.又因为b+c=2a ，所以a=b,c=b, 所以cos C==-.因为C ∈（0,π），所以C ＝.9.2 解析：在△AOB 中，由正弦定理得＝1，∴ sin ∠AOB ＝AB.∵ ∠AOB=∠，∴.在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝＝＝2.10.锐角三角形 解析一：根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B.∵ B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴ 2a c +⎛⎫⎪⎝⎭2＝a 2＋c 2－2accos 60°， 整理得(a －c)2＝0，∴ a ＝c.∴ △ABC 是正三角形．∴ △ABC 是锐角三角形． 解析二：根据正弦定理得，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C. 又∵ B ＝60°，∴ A ＋C ＝120°，∴ C ＝120°－A ，∴ 2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A)，整理得sin(A ＋30°)＝1，∴ A ＝60°，C ＝60°.∴ △ABC 是正三角形．∴ △ABC 是锐角三角形． 11.3 解析：由正、余弦定理知①③一定成立．对于②，由正弦定理知sin A ＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin(B ＋C)，显然成立． 对于④，由正弦定理知sin B ＝sin Csin A ＋sin Asin C ＝2sin Asin C ，不一定成立．12.2 解析：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：= == ，∴cos A= .由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即1=3+c2-3c，解得c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故填2.13.解：由余弦定理知cos B＝2222a c bac＋－，将c＝acos B代入，得c ＝2222a c bac＋－，∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．又∵b＝asin C，∴b＝a•ca，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．14.解：（1）由2asin B=b，利用正弦定理得2sin Asin B=sin B.∵sin B≠0，∴sin A =.又A为锐角，∴A=.（2）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即36=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=64-3bc，∴bc=.又sin A=，则=bcsin A=．15.解法一：先解三角方程，求出角A的值..21)45cos(,22)45cos(2cossin=-∴=-=+AAAA又0180<<A, 4560,105.A A∴-==13tan tan(4560)2313A+∴=+==---,.46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+== A )62(434623221s i n 21+=+⨯⨯⨯=∙=∴∆A AB AC S ABC . 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin A-cos A 的值. 22cos sin =+A A ， ① .0c o s ,0s i n ,1800.21c o s s i n 2.21)c o s (s i n 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A 又23c o s s i n 21)c o s (s i n 2=-=-A A A A , 26c o s s i n=-∴A A . ② ①+②，得sin A =+264. ①－②，得cos A =-264. 从而sin 264tan 23cos 426A A A +==⨯=---. 以下解法同解法一.16.解：（1）由正弦定理得，tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=， ∴sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=， ∴ 1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．（2）∵ m +n 2cos ,2cos1(cos ,cos )2C B B C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴|m +n|222222π1πcos cos cos cos 1sin 2326B C B B B ⎛⎫⎛⎫=+=+-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵π3A=，∴2π3B C+=，∴2π0,3B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．从而ππ7π2666B-<-<．∴当πsin26B⎛⎫-⎪⎝⎭＝1，即π3B=时，|m+n|2取得最小值12．∴|m+n|min22 =.。
北京四中高中数学 正弦函数、余弦函数的性质提高巩固
北京四中高中数学 正弦函数、余弦函数的性质提高巩固练习 新人教A 版必修1【巩固练习】1．下列结论错误的是（ ）A ．正弦函数与函数3cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是同一函数B ．向左、右平移2π个单位，图象都不变的函数一定是正弦函数C ．直线32x π=-是正弦函数图象的一条对称轴D ．点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是余弦函数图象的一个对称中心 2.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是( )A.0B.4πC.2π D.π 3.函数5sin()2y x π=+的图象的一条对称轴方程是( ) A.2π-=x B.2x π= C .x π= D.32x π= 4．函数2sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（x ∈R ）的最小值等于（ ）A ．―3B ．―2C ．―1D ．5．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数，又是周期函数，若()f x 的最小正周期为π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()sin f x x =，则53f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ．-6． x x y sin sin -=的值域是( )A.]0,1[-B.]1,0[C.]1,1[-D.]0,2[-7．已知函数()sin((0))f x x π=+>3ωω的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）. A. 关于点(0)π3，对称 B. 关于直线x π=4对称 C. 关于点(0)π4，对称 D. 关于直线x π=3对称8．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是下图中的（ ）9．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，若f （1）=2，则f （2011）=________ ．10．若f （x ）具有性质：①()f x 为偶函数；②对于任意x ∈R ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③24F π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．则()f x 的解析式可以是________（写出一个即可）． 11.设0ω>，若函数()2sin f x x ω=在[,]34ππ-上单调递增，则ω的取值范围是________. 12．设0ω>，若函数()2sin f x x ω=在[,]34ππ-上单调递增，则ω的取值范围是________. 函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是________．（写出所有正确结论的编号） ①图象C 关于直线1112x π=对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由y=3sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ． 13．已知函数()2cos()32x f x π=- (1)求)(x f 的单调递增区间；(2)若,x ππ⎡⎤⎣⎦∈-，求f(x)的最大值和最小值.14．已知函数121sin ()log 1sin x f x x-=+．（1）求()f x 的定义域、值域；（2）判断()f x 的奇偶性．15． 12cos 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，28,5x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值． 【答案与解析】1．【答案】B【解析】向左、右平移2π个单位，图象都不变的函数并不只有正弦函数．2. 【答案】C【解析】x y 2cos =为偶函数，使用诱导公式.3. 【答案】C【解析】(法一：数形结合；法二：特殊值代入检验).4．【答案】C【解析】 2sin cos 2sin sin 36326y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵x ∈R ，∴y min =－1．5．【答案】D【解析】552sin 33333f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 6．【答案】D 【解析】0,sin 0sin sin 202sin ,sin 0x y x x y x x ≥⎧=-=⇒-≤≤⎨<⎩. 7．【答案】A8．【答案】A【解析】当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos x 递增，ln cos y x =也递增；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos x 递减，ln cos y x =也递减，又ln cos y x =为偶函数．9．【答案】132【解析】由1313()(2)13(2)(4)()()(2)f x f x f x f x f x f x f x ⋅+=⇒+=⇒+==+，∴()f x 是以4为周期的周期函数，1313(2011)(50243)(3)(12)(1)2f f f f f =⨯+==+==． 10．【答案】()2cos 4f x x =【解析】根据性质①②可知，()f x 关于直线x=0和4x π=都对称，而余弦函数中相邻的两对轴之间的距离为半个周期，于是可令周期为2π，令24f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是函数的最小值，于是可以写出满足条件的一个解析式为()2cos 4f x x =，当然答案不止一个．11. 【答案】3[,2]2【解析】令,,2222x x ππππωωω-≤≤-≤≤则[,]22ππωω-是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即[,]34ππ-⊆[,]22ππωω-， 则3422232ππωωππω⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪-≥-⎪⎩ 12．【答案】①②③【解析】 ④y=3sin2x 的图象向右平移3π个单位得23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，非图象C ．向右平移6π个单位长度可得图象C ． 13．【解析】(1)单增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,324,344ππππ (2)()()2,3max min =-=x f x f .14．【解析】（1）由已知1sin 01sin x x->+，又有－1≤sin x ≤1，故－1＜sin x ＜1． 故()f x 的定义域为,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且． 又1sin (1sin )2211sin 1sin 1sin x x x x x--++==-++++，因为－1＜sin x ＜1，所以01sin 2x <+<，111sin 2x >+，21211sin 2x >⨯=+，211101sin x-+>-+=+．故()f x 的值域为（－∞，+∞）． （2）函数的定义域关于原点对称，且sin(―x)=―sin x ． 故11221sin()1sin ()log log 1sin()1sin x x f x x x --+-==+--112211sin log log ()1sin 1sin 1sin x f x x x x -==-=--++，故()f x 是奇函数．15．【解析】由12223k x k ππππ≤+≤+，得244433k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ）．∴函数的单调递增区间是244,433k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k∈Z）．同理函数的单调减区间是4104,433k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k∈Z）．令28244,4533k kπππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，即16471530k≤≤，又k∈Z，∴k不存在．令284104,4533k kπππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，得k=1．∴284104,4533k kπππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，这表明12cos23y xπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在2822,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴a的最大值为223π．。
北京四中高三数学高考总复习三角函数的性质及其应用(提高)巩固练习_三角函数的性质及其应用_提高
【巩固练习】 一、选择题 1. .若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2π,则ω等于（ ） (A)12(B)12(C)2(D)42.为了得到函数2sin(2)3y x π=+的图象,只需把函数sin(2)6y x π=+的图象( ) (A)向左平移2π个单位长度 (B)向右平移2π个单位长度 (C)向左平移4π个单位长度 (D)向右平移4π个单位长度 3. 设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,且 f (－x )＝f (x ),则( )． (A)f (x )在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 (B)f (x )在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 (C)f (x )在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 (D)f (x )在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 4.将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位,若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于（ ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12 5. 函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象为C,①图象C 关于直线1211π=x 对称;②函数f(x)在区间(125,12ππ-)内是增函数;③由y=3sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.以上三个论断中,正确论断的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)36．下列函数中,图象的一部分如图所示的是（ ）（A ）sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭7.函数()()sin f x A x b ωϕ=++的图象如图,则()f x 的解析式的和=(0)+(1)+(2)++(2006)S f f f f 的值分别为（ ）(A)1()sin 212f x x π=+ =2006S (B)1()sin 122f x x π=+ 1=20072S (C)1()sin 122f x x π=+ 1=20062S （D ）1()sin 122f x x π=+ =2007S 二、填空题8．设函数).0)(3cos()(πϕϕ<<+=x x f 若)()(x f x f '+是奇函数,则ϕ= .9.函数2s i n ,y x x R=∈的图象按向量a 平移后得到的图象的函数解析式为2s i n (+)-13y x π=,则向量a 的坐标为 .10. 将函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤≤个单位后,得到函数sin()6y x π=-的图象,则ϕ的一个可能值为 . (写出—个即可)．11．若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合,则称这两个函数为“同形”函数．给出下列函数：①,cos sin )(1x x x f += ②x x f sin )(2=,③2sin 2)(3+=x x f , ④)cos (sin 2)(4x x x f +=, 其中“同形”函数有____________．(填序号) 三、解答题12.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+,求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程.13．已知函数()22π()cos(2)12cos ,3f x x x x =-+-∈R ． (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间;(2)ABC ∆的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、,若()1,2B f b ==c 且,a b >试判断ABC ∆的形状,并说明理由．14．如图是某简谐运动的一段图象,其函数模型是()sin()(0)f x A x x ωϕ=+≥,其中A＞0,ω＞0,2π-＜φ＜2π(1)根据图象求函数=()y f x 的解析式; (2)若函数实数α满足0<<απ．且()3g x dx α=⎰π．求α的值．15．已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕϕω=+-+<<>为偶函数,且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为.2π （1）求()8πf 的值;（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象,求()g x 的单调递减区间.【参考答案与解析】 1.【答案】C 【解析】21,222ππωω⋅=∴= 2．【答案】C【解析】把函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移4π个单位长度,得到2sin[2(+)]=sin(2)463y x x πππ=++的图象. 3．【答案】A【解析】()()()sin cos 4f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭,由最小正周期为π得ω＝2,又由f (－x ) ＝f (x )可知f (x )为偶函数,因此φ＋4π＝k π＋2π (k ∈Z ),又|φ|＜2π可得φ＝4π,所以f (x )x ,在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选A. 4．【答案】B5.【答案】C【解析】对于①,当1211π=x 时,3)312112sin(3)1211(-=-⨯=πππf ,因此图象C 关于直线1211π=x 对称; 对于②,由22ππ-k ≤32π-x ≤22ππ+k 得12ππ-k ≤x≤125ππ+k ,k ∈Z , 令k=0得函数f(x)在区间(125,12ππ-)内是增函数;对于③,由y=3sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到)322sin(3)3(2sin 3ππ-=-=x x y 的图象,故③不正确. 综上所述,正确结论的个数是2.故选C. 6.【答案】D【解析】易知A=1,由44T π=可知2ω=.将点(,1)6π代入()sin 2y x ϕ=+,可知3π是其中的ϕ值之一.故函数是sin 2cos 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7.【答案】B【解析】观察图形,知12A =,1,=4,=2b T πω=∴,所以1()sin (+)122f x x πϕ=+,将（0,1）代入解析式得出11sin (0+)12ϕ=+,0sin ,=0ϕϕ∴=∴. 所以1()sin 122f x x π=+, 又31(0)=1,(1)=,(2)=1,(3)=,(4)=122f f f f f ,且以4为周期, (0)+(1)+(2)+(3)=4f f f f ,式中共有2007项,2007=4501+3⨯=(0)+(1)+(2)++(2006)=4501+(2004)+(2005)+(2006)S f f f f f f f ∴⨯31=2004+1++1=200722.8.【答案】6π【解析】()'()))f x f x ϕϕ+=+-+,又()'()f x f x +是奇函数,且在R 上有意义,(0)'(0)0f f ∴+=,即cos 0ϕϕ-=,又0ϕπ<<,6πϕ∴=.9.【答案】(--1)3π，【解析】由2sin ,y x x R =∈向左平移3π个单位得到2sin (+)3y x π=;将2sin (+)3y x π=再向下平移1个单位得到2sin (+)-13y x π=故平移方向是(--1)3π，10.【答案】11π6【解析】依题意得11sin()sin(2)sin()666y x x x ππππ=-=-+=+,将函数s i n y x =的图象向左平移116π个单位后得到函数11sin()6y x π=+的图象,即sin()6y x π=-的图象,则ϕ的一个可能值为116π.11．【答案】①③【解析】先将函数一一化解,1()(),4f x xπ=+xxf sin)(2=,3()1)f x x=+,4()2sin()4f x xπ=+,满足“同形”函数,不仅要求周期相同,而且振幅也要相等,故①③是“同形”函数.12.【解析】()cos(2)2sin()sin()344f x x x xπππ=-+-+1cos22(sin cos)(sin cos)2x x x x x x=+-+221cos22sin cos2x x x x=+-1cos22cos22x x x=-sin(2)6xπ=-∴()f x的最小正周期2T2ππ==由2()62x k k Zπππ-=+∈,得()23kx k Zππ=+∈∴函数图象的对称轴方程为：()3x k k Zππ=+∈13.【解析】(Ⅰ)()⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin32cos232sin232cos322cosππxxxxxxf()f x的最小正周期πT=,单调递增期间是()π5ππ,π+.1212k k k⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z (Ⅱ)由正弦定理得：1πsin sin6aA==,∴sin C=,∵0πC<<, ∴π3C=或2π3．当π3C=时,π2A=;当2π3C=时,π6A=．(不合题意,舍)所以ABC∆为直角三角形。
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【巩固练习】
一、选择题
1．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝12，则c 的值为( )
A ．4
B ．8
C ．4或8
D ．无解
2．在△ABC 中，下列关系式
①a sin B ＝b sin A ②a ＝b cos C ＋c cos B ③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C
④b ＝c sin A ＋a sin C
一定成立的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 3．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( ) A. (,)2π
π B. (,)32
ππ
C. (,)42ππ
D. (0,)2π
4．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ，且∠A ＝75°，则b ＝( )
A ．2
B ．4＋
C ．4－ D. 5. △ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为
A ．6π
B ．3π
C ．2π D. 23π
6. 锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，如果B ＝2A ，则
b a 的取值范围是( )
A ．(－2,2)
B ．(0,2)
C ．
D ．，2)
7．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( ) A.23 B ．2
3
-
C ．14- D. 14
二、填空题 8. 已知锐角三角形三边长分别为3,4，a ，则a 的取值范围为________．
9. 在△ABC 中，A ，B ，C 是三个内角，C ＝30°，则sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C 的值是________．
10. 在△ABC 中，若S △ABC ＝14
(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝_______________. 11. 若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．
三、解答题
12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A
＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，求A 的大小．
13. 在△ABC 中，已知sin C ＝
sin sin cos cos A B A B
++，试判断三角形的形状．
14．在△ABC 中，已知c b ＝1，B ＝30°.
(1)求角A ；
(2)求△ABC 的面积．
15. 在锐角ABC △中，角A
B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin A =， （1）求22tan sin 22
B C A ++的值；
（2）若2a =，ABC S =
△，求b 的值．
【答案与解析】
1. 答案： C
解析： 由3a ＝12，得a ＝4，b ＝利用余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝48＋c 2－12c ，解得c ＝4或c ＝8.
2. 答案： C
解析： 由正、余弦定理知①③一定成立，对于②由正弦定理知sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④由正弦定理sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，则不一定成立．
3. 答案： B
解析： 根据余弦定理：222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴A 为锐角． ∵在不等边三角形中，a 是最大边，∴A 是最大角，
∴△ABC 为锐角三角形，∴
3π<A <2π. 4. 答案： A
解析： △ABC 中，易知∠B ＝30°，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos 30°，
∴222b =-=4
∴b ＝2.
5. 答案： B
解析：222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=
⇒=，故选择答案B 。
6. 答案： C 解析：∵sin sin 22cos sin sin b B A A a A A
===， 又∵△ABC 是锐角三角形，∴00290290
B A A A ⎧=<⎪⎨+>⎪⎩， ∴30°<A <45°，则
b a
＝2cos A ∈
)． 7. 答案： C 解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4知，a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，令a ＝3x ，则b ＝2x ，c ＝4x (x >0)， 根据余弦定理得，222
cos 2a b c C ab
+-= ＝222324232x x x x x +-⨯⨯＝－14
. 8. 答案：
5a <
解析： 由锐角三角形及余弦定理知：
2222223403400a a a ⎧+->⎪+->⎨⎪>⎩
⇔2272550a a a a ⎧>⎪⎪<⇔<<⎨⎪>⎪⎩
9. 答案：14
解析： sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C ＝
214R (a 2＋b 2－2ab cos C ) ＝2
24c R ＝sin 2C ＝14
. 10. 答案：4
π 解析： 根据三角形面积公式得，
S ＝12ab sin C ＝14
(a 2＋b 2－c 2) ∴sin C ＝222
2a b c ab
+-. 又由余弦定理：cos C ＝222
2a b c ab
+-， ∴sin C ＝cos C ，∴C ＝
4π. 11. 答案： 02a <<
解析：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨
+++<+⎩可得02a <<
12.解析： 由已知，根据正弦定理得
2a 2＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )·c
即a 2＝b 2＋c 2＋bc
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
∴cos A ＝－12
∵A ∈(0，π)，∴A ＝120°.
13. 解析： ∵sin C ＝sin sin cos cos A B A B
++， 由正弦定理得c (cos A ＋cos B )＝a ＋b ，
再由余弦定理得，
c ·222
2b c a bc +-＋c ·2222a c b ac
+-＝a ＋b ， ∴a 3＋a 2b －ac 2－bc 2＋b 3＋ab 2＝0，
∴(a ＋b )(c 2－a 2－b 2)＝0，∴c 2＝a 2＋b 2，
故三角形为直角三角形.
14. 解析： (1)由sin sin b c B C
=得 sin C ＝c b
sin B
sin 30°
. ∵c >b ，∴C >B ，∴C ＝60°或C ＝120°.
∴A ＝90°或A ＝30°.
(2)S △ABC ＝
12bc sin A ＝12
×
sin 90°
. 或S △ABC ＝12bc sin A ＝12
×
sin 30°
＝4. 即△ABC
. 15. 解析：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π
，sin 3A =，所以cosA ＝13
，则 2
2222B C
sin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 2
1cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－ （2）ABC ABC 1122S 2S bcsin A bc 223
因为＝，又＝＝，则bc ＝3。
将a ＝2，cosA ＝
13，c ＝3b
代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中得4
2b 6b 90－＋＝ 解得b。