信号系统习题解答3版-第四章

第4章习题答案

4-1 判断下列系统是线性的还是非线性的，是时变的还是非时变的。 （1）1()4(3)2

(2)()()

(3)()()

(4)()()t

t t y t x t y t x t y t e x t y t x d ττ--=+===⎰

121212*********[()()]4[(3)(3)]2

()()=4(3)2+4(3)]2=4[(3)(3)]4[()()]()()T x t x t x t x t y t y t x t x t x t x t T x t x t y t y t +=+++++++∴+≠+∴ （）

但：系统解：是非线性的

000000T[()]4(3)2,

()4[3()]2

T[()](),x t t x t t y t t x t t x t t y t t -=-+-=-+∴-≠- 所以系统是时变的。

1212121212122[()()]()()()()=()()

[()()]()()T x t x t x t x t y t y t x t x t T x t x t y t y t +=+++∴+≠+∴ （）

但：系统是非线性的

000000T[()](),

()()

T[()]=(),x t t x t t y t t x t t x t t y t t -=--=-∴-- 所以系统是时不变的。

1212121212123[()()][()()]()()=()()

[()()]()()t t t T x t x t e x t x t y t y t e x t e x t T x t x t y t y t ---+=+++∴+=+∴ （）

系统是线性的

0()000000T[()](),

()()

T[()](),t t t x t t e x t t y t t e x t t x t t y t t ----=--=-∴-≠- 所以系统是时变的。

121212121

1

1

12124[()()][()()]()()=()()[()()]()()t

t

t

t t t T x t x t x x y t y t x x T x t x t y t y t τττττττ

---+=+++∴+=+∴⎰⎰⎰ （）d d d 系统是线性的

00

0000011

1

00T[()]()(),

()()T[()](),t

t t t t t t t t t x t t x t d x u du y t t x d x t t y t t ττττ

--------=-=-=∴-=-⎰⎰

⎰

所以系统是时不变的。

4-4 对图题4-4(a)、(b)所示的电路列写出电流 12()()i t i t 、和电压()o v t 的微分方程

+ ()o t -

1221212()()22()()()()2[()()]2[()()]o t

o di t di t dt dt

i t v t x t v t i t i t i i d τττ-∞⎧

=⎪⎪

+=⎨

⎪=+++⎪⎩

⎰ 解方程组得：222112212

22222

00022

()()()()()()464(),232()()()()()232()32()d i t di t d i t di t d x t dx t i t i t dt dt dt dt dt dt

d v t dv t d x t dx t v t x t dt dt dt dt

++=++=++=++ 4-5 给定系统微分方程、起始状态及激励信号分别如下，试判断系统在起始点是否发生跳变，并据此写出()(0)k +y 的值。 （1）

d ()d ()2()3d d y t x t y t t t

+= (0)0y -

=，

()()x t u t = （2）22d ()d ()d ()234()d d d y t y t x t y t t t t

++= (0)1y -

=

，(0)1y -'=，()()x t u t = **（3）22d ()d ()d ()23

4()()d d d y t y t x t y t x t t t t

++=+ (0)1y -

=，(0)1y -'=，()()x t t δ= 解：(1) )(3)(2)(t t y t y dt

d

δ=+ 因为方程在t =0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变

设：代入方程⎪⎩

⎪⎨⎧=+=)()()()()(t au t y t bu t a t y dt

d

δ

得：a =3, 3)0(3)0(＝＋－

＋y y =

(2)

)()(4)(3)(222t t y t y dt

d

t y dt d δ=++ 因为方程在t =0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变

3112()()()(),()()2),2

(y t t y t u t y u t t u t t δ-'''→→→

所以：

⎩⎨⎧==5.1)0(5.0)0(1)0()0(,,＝

＋＝－

＋－＋y y y y (3) )()(')(4)(3

)(222t t t y t y dt

d

t y dt d δδ+=++ 因为方程在t =0时，存在冲激和冲激偶作用，则起始点会发生跳变

11(),(),211

2()()()()()()22

4y t t y t t t u t u y t t δδδ''''→→→--

,,1(0)(0)2(0)(0)1/4y y y y ⎧-=

⎪⎨⎪-=-⎩＋－＋－ ,,13(0)(0)223(0)(0)1/44

y y y y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩＋－

＋－ 4-7 给定系统微分方程为 22

d ()d ()d ()

32()3()d d d y t y t x t y t x t t t t

++=+ 若激励信号与起始状态为以下二种情况时，分别求它们的全响应。并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应各分量（应注意在起始点是否发生跳变）。

（1）()()x t u t =，(0)1y -=，(0)2y -

'=

（2）3()e ()t x t u t -=，(0)1y -

=，(0)2y -'=

解：（1）)(3)()(2)(3)(22t u t t y t y dt d

t y dt

d +=++δ 0232=++αα

2121-=-=αα

齐次解：t

t h e A e A t y 22

1)(--+= 特解：

2/3)(=t y p

完全解：

2/3)(221++=--t t e A e A t y

因为方程在t =0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变

()(),()(),()()y t t y t u t y t tu t δ'''→→→