电磁场的边界条件(一)
电磁场的边界条件
将⑧代入⑨，得： sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 ) rs sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 )
2n1 cos 1 ts n1 cos 1 n2 cos 2
对绝大多数物质， 1 2
所以得到方程：
E1 y z E1' y z E2 y z
z 0
⑥
代入边界条件，可得：
k1 cos 1 A1s k1' cos 1' A1' s k2 cos 2 A2 s
k1 k1' 整理得： cos 1 A1s cos 1' A1' s cos 2 A2 s k2 k2' k1 sin 2 将 代入上式，得： k2 sin 1
AB BC CD DA
针对麦克斯韦 方程组积分形 式的第三个与 第四个方程， 建立如左图模 型，积分可得
E2t CD ( E2 n DF E1n FA) 0
E1t E2t 同理可得 H1t =H 2t
电磁场边界条件
（1）电场强度E 在分界面上的平行分量连续。
从右图可以看出， 对于s光：
Ex 0 E y ES Ez 0
根据几何关系，可知：
k x k sin 1 , k y 0, k z k cos 1
对于单色平面光波： E0 e E
i[t ( k x x k y y k z z )]
将上面的结论带 i[1t ( k sin 1 x k cos1 z )] E E0 e 入方程可得： 对于s光，可以分解为：
i ( k2 sin 2 x )
【精品】第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件
第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边值关系1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。
重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质;2)电磁场的边值关系 难点：电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时2.6麦克斯韦方程组（Maxwell ’sEquations ）一、麦克斯韦方程1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。
直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式：00001(1)(2)0(3)(4)BE E tE B B J tρεμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪∂⎪⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩实验定律3、法拉第电磁感应定律4、电荷守恒定律12314dq dq dF RR πε=S D dS q ⋅=⎰0l E dl ⋅=⎰34JdV R dB R μπ⨯=0SB dS ⋅=⎰()0=⋅∇B CH dl I ⋅=⎰()JH =⨯∇tB E ∂∂-=⨯∇ 0=∂∂+⋅∇tJ ρ 0J ∇⋅≡对矛盾的解决麦克斯韦理论稳恒况缓变情况2、毕奥－沙伐尔定律1、库仑定律()/ερ=⋅∇E()=⨯∇E t S d B dt d S ∂⎰⋅∂-=Φ-= ε0S QJ dS t ∂⋅+=∂⎰→上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应 运动方程，（1）（3）为约束方程。
二、麦克斯韦方程组的基本性质 1、线性性麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。
2、自洽性方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。
如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：()0=∂⋅∂∇-=⨯∇⋅∇tBE⇒C B =⋅∇ ，考虑到静磁时0=⋅∇B,所以取0=C 。
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播[摘要]：本文结合相关示意图简要总结了电磁场的边界条件，在参考大量相关文献的基础上，由边界条件出发分析了交变电磁场传播的原理，联系实际解释了电磁场的辐射和传播。
关键字：电磁场；电磁波；边界条件；辐射；传播。
一、电磁场的边界条件电磁场在两种不同媒质分界面上，从一侧过渡到另一侧时，场矢量E、D、B、H一般都有一个跃变。
电磁场的边界条件就是指场矢量的这种跃变所遵从的条件，也就是两侧切向分量之间以及法向分量之间的关系。
电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出，它实际上是积分形式的极限结果。
这些边界条件是：n·(D1-D2)=ρs； (1)n×(E1-E2)=0； (2)n·(B1-B2)=0； (3)n×(H1-H2)=J)s。
(4)式中n为两媒质分界面法线方向的单位矢量，场矢量E、D、B、H的下标1或2分别表示在媒质1或2内紧靠分界面的场矢量,ρ为分界面上的自由电荷面密度,J为分界面上的传导电流面密度。
式(1)表示在分界面两侧电位移矢量D的法向分量的差等于分界面上的自由电荷面密度。
当分界面上无自由电荷时，两侧电位移矢量的法向分量相等,即其法向分量是连续的。
式(2)表示在分界面两侧电场强度E的切向分量是连续的。
式(3)表示在分界面两侧磁通密度B的法向分量是连续的。
式(4)表示在分界面两侧磁场强度H的切向分量的差等于分界面上的表面传导电流面密度。
当分界面上无表面传导电流时，两侧磁场强度的切向分量相等，即其切向分量是连续的。
当媒质2为理想导体时，E2、D2、B2、H2等于零，式(1)表示D1的法向分量等于自由电荷面密度；式(2)表示E1无切向分量.式(3)表示B1的法向分量为零；式(4)表示H1的切向分量等于表面传导电流面密度,并且与电流方向正交。
二、电磁波的辐射和传播电磁波的产生与发射是通过天线来实现的。
由振荡电路产生的强大交变讯号通过互感耦合到天线上，天线就有交变电流产生，如下图所示。
电磁场的边界条件
1)理想介质是指电导率为无穷大的导体，2)电场强度和磁感应强度均为零。
3)表面上，一般存在自由电荷和自由电流。
设区域2为理想导体，区域1为介质，有 ,,均为零，得nD 2tE 2n B 2t H 2注意：理想介质和理想导体只是理论上存在。
在实际应用中，某些媒质的电导率极小或极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理。
电磁场的边界条件可总结归纳如下：1)在两种媒质分界面上，如果存在面电流，使 H 切向分量不连续，其不连续量由式 确定若分界面上不存在面电流，则 H 的切向分量是连续的。
2)在两种媒质的分界面上，E 的切向分量是连续的。
3)在两种媒质的分界面上，B 的法向分量是连续的。
4)在两种媒质的分界面上，如果存在面电荷，使 D 的法向分量不连续，其不连续量由 确定。
若分界面上不存在面电荷，则D 的法向分量是连续的。
n B ⋅= 1Sn H J ⨯= t SH J =0n B =⇒1Sn D σ⋅=0t E =⇒⇒10n E ⨯=⇒n SD σ= 12()Sn H H J ⨯-=12()n D D σ⋅-=：积分形式：积分形式微分形式：微分形式：电磁场的基本方程和边界条件12()0n B B ⋅-=B ∇⋅= 积分形式：微分形式：积分形式：12()0n B B ⋅-=D ρ∇⋅= 0SB d S ⋅=⎰A SD d S q⋅=⎰A 微分形式：基本方程10n B ⋅= 12()n D D σ⋅-=12()0n D D ⋅-=10n D ⋅= 边界条件积分形式。
电磁波的边界条件
电磁波的边界条件
电磁波的边界条件是指，在电磁场中，当遇到介质边界时，场量在两个介质之间需要满足一些特定的关系式，这些关系式被称为电磁波的边界条件。
具体来说，电磁波的边界条件包括以下三个方面： 1. 法向分量的连续性：在介质表面，电场和磁场的法向分量必须连续，即两侧介质中电场和磁场的法向分量相等。
2. 切向分量的连续性：在介质表面，电场和磁场的切向分量也必须连续，即两侧介质中电场和磁场的切向分量相等。
3. 边界上的电荷和电流密度关系：在介质表面，电场和磁场的边界上的电荷和电流密度必须满足一定的关系，这个关系式通常被称为麦克斯韦方程组的边界条件。
这些边界条件是描述电磁波传播过程中的基本规律，对于电磁学的研究和应用都非常重要。
电磁场理论课件-5.6磁介质分界面上的边界条件
I
b
O 321 a
Jm
M
1
(M 2 )ez
( 0
1)
I (b2
a
2
)
e
z
在ρ=a和ρ=b处的磁化面电流为
在垂直于Jzm轴s |J平bms面|M内a2的Me磁2化[((电e0)流1为0) 2I b]ez
I 2m0:54:44 S J m d S
2 b
J ms
dl
(
0
1)I
(
0
1)I
0
2
2
三、导体边界条件
B2 H2
在理想导体内部，磁场为0。
若媒质2为导体，则由边界条件一般形式推得：
B1 n B2 n n (H1 H2 )
0
J
S
H
2
,
B2
0
B1 n 0
n
H1
JS
说明20：:48:0可3 以应用边界条件计算导体边界上电流分布。6
5.6 磁介质分界面上的边界条件
四、矢量磁位的边界条件
B1
n
B2 B
n 0 A
(
A1
A2
)
n
0
A1 A2
n (H1
B H
H2)
Js A
n( 1
1
A1
1
1
A2 )
Js
1
1
(
A1 )t
1
2
(
A2 )t
Js
20:49:58
7
5.6 磁介质分界面上的边界条件
例1：铁质的无限长圆管中通过电流I，管的内、外半
B2 n
2
或： n (B1 B2 ) 0
时变电磁场的边界条件
时变电磁场的边界条件
1、在任何边界上电场强度的切向分量是连续的（条件：磁感应强度的变化率有限）
2、在任何边界上，磁感应强度的法向分量是连续的
3、电通密度的法向分量边界条件与媒质特性有关。
两种理想介质形成的边界上，电通密度的法向分量是连续的
4、磁场强度的切线分量边界条件也与媒质特性有关。
在一般边界上，磁场强度的切向分量是连续的（条件：电通密度的时间变化率有限）。
但在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连续的
5、理想导体内部不可能存在电场，否则将会导致无限大的电流；理想导体内部也不可能存在时变磁场，否则这种时变磁场在理想导体内部会产生时变电场。
在理想导体内部也不可能存在时变的传导电流，否则这种时变的传导电流在理想导体内部会产生时变磁场。
所以，在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它们只可能分布在理想导电体的表面。
6、在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，只可能存在法向电场及切向磁场，也就是说，时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须与其表面相切。
7、无源区中的正弦电磁场被其边界上的电场切向分量或磁场切向分量唯一地确定。
电磁场的源与边界条件
根据安培环路定理可得恒定磁场的磁感应强度 B 的旋度为
当有磁介质存在时，上式变为
B 0J B 0 (J JM )
式中 J 为传导电流密度， J M 为磁化电流密度。
（3）磁感应强度 B 的边界条件 将积分形式的麦克斯韦第三方程应用于如图 4 所示的圆
柱，易得
en (B1 B2 ) 0 上式表明磁感强度的法向分量是连续的。
球的极限当带电体的尺寸相对于观察点至带电体的距离可以忽略时，就可以认为电荷分布于
带电体中心上，即将带电体抽象为一个几何点。点电荷的电荷密度分布可以用数学上的 (r )
来描述。
二、 电流及电流分布
电荷做定向运动形成电流，通常以电流强度来描述其大小。在电磁理论研究中，常用到 体电流模型，面电流模型和线电流模型。 1、 体电流
移矢量的切向分量是不连续的（两种介质的 通常不等）。
3、磁感应强度 B 的散度、旋度和边界条件
（1）磁感应强度 B 的散度 根据磁通连续性原理的微分形式可知恒定磁场为无散场，故 B0
磁通连续性原理表明自然界无孤立的磁荷存在。上式即为麦克斯韦第二方程的微分形式。 （2）磁感应强度 B 的旋度
即
故有
(P1 P2 ) enS SPS
en (P1 P2 ) SP 上式表明极化强度的法向分量是不连续的。一般情况下，其切向分量也不连续。
7、磁化强度 M 的散度、旋度和边界条件
7/9
电磁场与电磁波
第二章 电磁场的基本规律
学习报告
（1）磁化强度 M 的散度
对于各向同性和线性磁介质， M m H ，由于 H 的散度为零，故
自然界中存在两种电荷：正电荷和负电荷。带电体上所带的电荷是以离散的方式分布的， 任何带电体的电荷量都是基元电荷的整数倍，但在研究宏观电磁现象时，人们关注的是大量 微观带电粒子的整体效应，因此可以认为电荷是以一定形式连续分布的，并用电荷密度来描 述电荷的分布。 1、 电荷体密度
理论整理-电磁场的源与边界条件
D E
（3） 电位移矢量 D 的边界条件 利用积分形式的麦克斯韦第四方程可得
B t
en ( D1 D2 ) S
上式表明分界面上存在自由电荷面分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。 对于各向同性的介质，由于 D E ，且由于电场强度 E 的切向分量是连续的，故电位 移矢量的切向分量是不连续的（两种介质的 通常不等） 。
当存在时变的位移电流时，上式变为
H J
上式即为麦克斯韦第一方程的微分形式，表明磁 场的旋度源是传导电流和时变的位移电流。 （3）磁场强度 H 的边界条件 将麦克斯韦第一方程的积分形式应用到如图 5 所示的环路，可得磁场强度的边界条件为
D t
en ( H1 H 2 ) J S
dq d dV dt dt V 此方程即为电流连续性方程的积分形式。假定闭合面 S 所限定的体积 V 不随时间变化，上
S
J dS
式变为
S V
S
J dS
dq dV V t dt
应用散度定理， J dS JdV ，上式变为
5/9
学习资料
J S en lim
l 0
i di en l dl
面电流可以看作是体电流在某一方向线度趋近于 0 的 结果。 3、 线电流 分布与横截面积可以忽略的细线上的电荷沿细线定向流动所形成的电流称为线电流， 线 电流没有线电流密度矢量。长度元 dl 中流过电流 I ，则将 Idl 成为电流元。
6/9
学习资料
2017-9-25 周报 （姬应科）
电磁场与电磁波学习报告
为 p qd ， d 由负电荷指向正电荷。以 dS 为底， d 为斜高构成一个体积元 V dS d ，如 图 6 所示。只有电偶极子中心在 V 内的正电荷才穿出面元 dS 。设电介质中单位体积的分 子数为 N ，则穿出面元 dS 的正电荷为
电磁场与电磁波第三章媒质的电磁性质和边界条件
D E B H
4.关于本构矩阵
D B
0
0 E
H
非均匀媒质：C是空间坐标的函数 不稳定媒质：C是时间坐标的函数 时间色散媒质：C是时间导数的函数 空间色散媒质：C是空间坐标导数的函数 非线性媒质： C是场强的函数
四、媒质中的麦克斯韦方程组
2. 极化强度
为了描述介质极化的状态， 引入极化强度 矢量.定义单位体积内的电偶极矩为极化强度 矢量(Polarization Intensity Vector), 即
P lim p
V 0 V
C / m2
式中 p 为体积元 V内电偶极矩的矢量和，
p 的方向从负极化电荷指向正极化电荷。
B
l E dl S t dS
因为
E dl
l
E1tl E2tl
S
B t
dSB tl Nhomakorabeah
0
故：E1t E2t 或 nˆ (E1 E2 ) 0
at
结论：在分界面上 电场强度的切向分 量总是连续的。
若媒质Ⅱ为理想导体时：
E1t 0 理想导体表面没有切向电场。
d eE
式中：
称为电子的迁移率，
e
其单位为 (m。2/V s)
故电流密度为： JC Need 可得： JC NeeeE
如图，单位时间内通过 dS的电量为：
dq Nee ddS 式中：Ne为自由电子密度。
导体材料的物态方程
JC NeeeE
若设： e Nee
令： r 1 m
B 0r H H
磁介质的物态方程
其中 r称为相对磁导率。
电磁场的边界条件
也可以表示为标量形式：
可见， 的切向分量在不同的媒质分界面上不连续， H 与分界面上的传导电流面密度有关。
②、E 的边界条件
en
(E1 E2 ) 0 E E 1t 2t
结论： E 切向连续。
③ D 的边界条件
1
dv
n
D2
D1 h 0
D dS
s
2
电磁场的边界条件
1 什么是边界条件？
2 为什么要研究边界条件？ 3 如何讨论边界条件？
在两种不同媒质的分界面上，场矢量E, D, B, H
各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。
在实际的电磁场问题中，总会遇到两种不
同媒质的分界面（例如：空气与玻璃的分界面、 导体与空气的分界面等），边界条件在处理电 磁场问题中占据着十分重要的地位。
或
B 1n B 2n D 1n D 2n
2.理想导体与介质的分界面，电导率 ， 假设I为介质，II为理想导体。 此时
E 2 0 , B 2 0, D 2 0, H 2 0
en en en en
H1 Js E1 0 B1 0 D 1 ρ s
dS )
由于
D t
有限，故 lim S
h 0
D t
dS 0
而 lim
h 0
J dS
s
h 0
lim
(J S )
h 0
lim
( J e p l h ) J s e p l
en ( H 1
H2) Js
H 1t H 2t J s
数
, ,
sommerfeld边界条件(一)
sommerfeld边界条件(一)Sommerfeld边界条件简介在电磁场理论中，Sommerfeld边界条件是一种常用的边界条件，描述了电磁波在与介质或界面交互时的行为。
这种边界条件是由奥地利物理学家Arnold Sommerfeld在20世纪初提出的，并在电磁学研究中得到广泛应用。
背景知识在电磁场中，边界条件是指在不同介质或界面相遇的位置上，电磁场应满足的特定条件。
边界条件的正确应用对于解决电磁场问题至关重要。
对于电导体边界，一种常用的边界条件是Sommerfeld边界条件。
Sommerfeld边界条件的基本原理Sommerfeld边界条件是基于电磁波在导体内的传播行为而建立的。
在电磁波入射导体表面时，一部分电磁波将被反射，一部分将穿透导体进入导体内部。
Sommerfeld边界条件要求反射波和穿透波的辐射场（远离导体表面的场）应满足特定的边界条件。
Sommerfeld边界条件的表达式Sommerfeld边界条件可以用一个数学表达式来描述。
设电磁波在导体表面上的电场为E，磁场为H，导体表面的单位外法矢量为n，则Sommerfeld边界条件可以写为：1.E⋅n=0，即电场与导体表面法线方向的投影为零；2.H⋅n=0，即磁场与导体表面法线方向的投影为零。
重要性和应用Sommerfeld边界条件在电磁波导的研究、天线、散射问题等领域得到广泛应用。
通过使用这种边界条件，可以得到更准确的电磁波解析解，并辅助数值模拟来解决一些复杂的电磁场问题。
结论Sommerfeld边界条件是电磁场理论中常用的一种边界条件，描述了电磁波在导体表面上的行为。
准确地应用这种边界条件对于解决电磁场问题至关重要。
在电磁波导和其他电磁场问题中，Sommerfeld边界条件的正确使用将有助于获得更精确的解析解或数值模拟结果。
2-7 电磁场的边界条件
ห้องสมุดไป่ตู้
解： ⑴ 电介质分界面，分界面上 E 的切向分量连续，z 0 处
E1 (0, t ) ex [60cos(15108 t ) 20cos(15108 t )]V / m ex 80cos(15108 t )V / m
E2 (0, t ) ex Acos(15108 t ) V / m
2.7
电磁场的边界条件
求解由不同媒质所构成的各区域中的电磁场问题。
电磁场矢量 E、 D、 H、 B 在不同媒质分界面上各自满足的关系，称为
电磁场的边界条件。
1. 磁场强度 H 的边界条件
在媒质分界面上，包围P点作一矩形回路l 。 令 l2 0，根据麦氏第一方程 D 1 1 1 2 2 2 l H dl SJ dS S t dS H dl ( H1 H 2 ) e dl H dl 0 ep l l2 l1 en D lim dS 0 lim J dS J e p dl e S h 0 t S l1 h 0
顶面
D1 en dS
D2 en dS S dS
S
可得 en ( D1 D2 ) S
D1n D2n S
D 的法向分量不连续。
当 S 0 时，
en ( D1 D2 ) 0
D1n D2n 0
磁场矢量穿过不存在面电流的分界面时，方向发生变化与磁介质
参数的关系。
总结：电磁场的边界条件 ①在两种媒质分界面上，如果存在面电流，使 H 的切向分量不连续， 其不连续量由 en ( H1 H 2 )确定。若分界面上不存在面电流，则 JS 的切向分量是连续的。 H
电磁场边界条件
解：（1）磁场强度
r
Q
r E
0
H t
ex
E y z
ez
Ey x
0
H t
可求得
r
H t
E0
0
r [ex
d
cos(
d
z)
cos(t
kx)
r ez
k
sin(
d
z)sin(t kx)]
r H
r ex
0d
E0
cos(
d
z) sin(t
r kx) ez
k
0
E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
2）两导体表面的面电流密度
D2 )
0
s
相应的标量形式为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
2.7.2 两种特殊情况的边界条件
1、理想导体表面上的边界条件
理想导体是指σ→∞，所以在理想导体内部不存在电场
。此外，理想导体内部也不存在磁场。理想导体内部不存 在电磁场，即所有场量为零。设 e是n 理想导体的外法向矢
θ1=1.09°，B1 / B2=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强 度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁感应线几乎与铁磁 材料表面垂直。
例1、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
r E
ery E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流 密度和面电荷密度。
s
en
D |zd
ez
D |zd
电磁场三类边界条件
电磁场三类边界条件电磁场三类边界条件电磁场的边界条件是指在介质边界处，电场和磁场的变化情况。
根据边界条件的不同，可以将其分为三类：第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
下面将详细介绍这三类边界条件。
一、第一类边界条件第一类边界条件也称为零法向电场和零切向磁场边界条件。
它是指在介质表面上，法向于表面的电场强度和切向于表面的磁感应强度均为零。
1. 零法向电场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的电荷分布情况，因此会产生一个法向于表面方向的电场。
而当这个电场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——法向于表面方向上的电通量密度。
根据高斯定理可知，在任意一个闭合曲面内部，通过该曲面的总电通量等于该曲面所包围空间内部所有自由电荷之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合曲面。
则在该曲面上的电通量密度可以表示为：$$\vec{D_1}\cdot\vec{n}=\rho_s$$其中，$\vec{D_1}$表示介质1内部的电位移矢量，$\vec{n}$表示介质表面法向矢量，$\rho_s$表示表面自由电荷密度。
当我们将这个式子应用于介质表面时，可以得到：$$D_{1n}=\rho_s$$其中，$D_{1n}$表示介质1内部法向于表面方向上的电场强度。
由于介质表面上不存在自由电荷，因此$\rho_s=0$。
因此，在第一类边界条件下，法向于介质表面方向上的电场强度为零。
2. 零切向磁场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的磁场分布情况，因此会产生一个切向于表面方向的磁感应强度。
而当这个磁场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——切向于表面方向上的磁通量密度。
根据安培环路定理可知，在任意一个闭合回路上，通过该回路的总磁通量等于该回路所包围空间内部所有电流之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合回路。
电磁场的边界条件(一)
1. 电场法向分量的边界条件 2. 电场切向分量的边界条件 3. 标量电位的边界条件
决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。
1.电场法向分量的边界条件
如图所示，在柱形闭合面上应 用电场的高斯定律
= & •0A5 +爲・Z)2冨= Qs勇 故： 疋占1兰対.刀2二用
风=01.小=（葯久+歯a y+歯a）
“=廁=顷2 ” a + 弟 a y + 弟 a z)
E、t = E、_E\
=(—a -
124 ay+95 az)
n
50 a 50
y 50
得:
EH = E,t
"l 3 n = S0E2 n
D\n — D2n = 0
E2n = (279 八aa + 372人ay + 465 az) 50 50 50
Ez= E2, + "5.72% + 4.960, + 11乓
小结:
1. 电场法向分量的边界条件Dm -D2n = PS
2. 电场切向分量的边界条件EH = At
域 。 3. 标量电位的边界条件
|s =
2I
-f 愛dS = _^MAh = 0 Js d t
dt
故: Eit = E2t 或 n x （瓦-瓦）=0
因为：D = sE
该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。
D\t _ D2t ^2
若媒质□为理想导体时：E1t = 0
面上取两点，分别 为爾站，如图，从标量电位的物理意 义出 发
例1:试求两个平行板电容器的电场强度。 解：
电磁场三类边界条件
电磁场三类边界条件介绍在电磁学中，边界条件是解决电磁场问题时的重要问题之一。
电磁场三类边界条件指的是麦克斯韦方程组在不同介质之间的边界上的满足条件。
这些条件在电磁场问题的求解中起到了关键的作用。
在本文中，我们将详细探讨电磁场三类边界条件的定义和应用。
一、第一类边界条件第一类边界条件也称为电磁场的法向边界条件。
其主要定义了电场和磁场在边界上的法向分量之间的关系。
具体表达如下：1.在介质边界上，电场的法向分量E n1和E n2满足：E n1=E n2；2.在介质边界上，磁场的法向分量H n1和H n2满足：H n1=H n2。
第一类边界条件体现了介质边界上的电场和磁场的连续性。
二、第二类边界条件第二类边界条件也称为电磁场的切向边界条件。
其主要定义了电场和磁场在边界上的切向分量之间的关系。
具体表达如下：1.在介质边界上，电场的切向分量E t1和E t2满足：E t1ϵ1=E t2ϵ2；2.在介质边界上，磁场的切向分量H t1和H t2满足：H t1μ1=H t2μ2。
其中，ϵ1和ϵ2分别为两个介质的介电常数，μ1和μ2分别为两个介质的磁导率。
第二类边界条件体现了介质边界上的电场和磁场的连续性和切向分量之间的比例关系。
三、第三类边界条件第三类边界条件也称为电磁场的混合边界条件。
其主要定义了电场和磁场在边界上的法向分量和切向分量之间的关系。
具体表达如下：1.在介质边界上，电场的法向分量E n1和E n2满足：E n1=E n2；2.在介质边界上，磁场的法向分量H n1和H n2满足：H n1=H n2；3.在介质边界上，电场的切向分量E t1和E t2满足：E t1ϵ1=E t2ϵ2；4.在介质边界上，磁场的切向分量H t1和H t2满足：H t1μ1=H t2μ2。
第三类边界条件综合了第一类和第二类边界条件，体现了介质边界上的电场和磁场的连续性以及法向分量和切向分量之间的比例关系。
四、应用举例电磁场三类边界条件在电磁学中的应用非常广泛，下面我们以几个实际问题为例，说明其应用方法：例一：平行板电容器考虑一对平行金属板构成的电容器，两板之间填充了介电常数为ϵ的均匀介质。
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3.5 电磁场的边界条件（一）
1.电场法向分量的边界条件
2.电场切向分量的边界条件
3.标量电位的边界条件
决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。
1. 电场法向分量的边界条件
如图所示，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律
1122ˆˆd S S
D S n
D S n D S S ρ⋅=⋅∆+⋅∆=∆⎰
故：1122ˆˆS n
D n D ρ⋅+⋅=若规定
ˆn
为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则1ˆˆn
n =2ˆˆn
n =-12ˆ()S n
D D ρ⋅-=1n 2n S
D D ρ-=因为：D E
ε=11n 22n S
E E εερ-=
2. 电场切向分量的边界条件
在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd ,在此回路上应用法拉第电磁
感应定律d d l
S
B E l S
t
∂⋅=-⋅∂⎰
⎰
因为：
1t
2t
d l
E l E l E
l
⋅=∆-∆⎰d 0S B B
S l h t t
∂∂-⋅=-∆∆=∂∂⎰故：
1t 2t E E =12ˆ()0n
E E ⨯-=该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。
或1t
2t
1
2
D D εε=
因为：D E
ε=若媒质Ⅱ为理想导体时：1t 0
E =理想导体表面没有切向电场。
3. 标量电位的边界条件
在两种媒质分界面上取两点，分别为A 和B ，如图，从标量电位的物理意义出发
1n 2n
d 22
B
A B A h h
E l E E φφ∆∆-=⋅=+⎰0
A B φφ-=A B
φφ=12S S
φφ=该式表明：在两种媒质分界面处，
标量电位是连续的。
E φ
=-∇21
21S
S S
n n φφεερ∂∂-=∂∂故：
因为：1n 2n S
D D ρ-=在理想导体表面上：
S C
φ=（常数）
h ∆=因：
解：忽略边缘效应
20
11221
U E d d εεε=
+10
21221
U E d d εεε=
+0
12U E E d
==
图(a) 电场方向与分界面垂直
图(b) 电场方向与分界面平行
12t t
E E =例1:试求两个平行板电容器的电场强度。
1122
E E εε=11220
E d E d U +=平行板电容器
思考:
如何求极板上的电荷量？
例2:已知介质1和自由空间的边界方程为：，在界面原点一侧相对介电常数，电场强度求：。
34512x y z ++=13r ε=1ˆˆ25/x z E a a V m =+2E 解：分界面的法线
345
ˆˆˆˆ()525252
x y z n a a a
φφ∇==++∇11ˆˆ()n E E n
n =⋅111t n
E E E =-93124155ˆˆˆ()505050
x y z a a a =++712495ˆˆˆ()505050x y z a a a =-+1t 2t
E E =1n 2n 0
D D -=222ˆˆˆ5.72 4.9611.2t n x y z
E E E a
a a =+=++根据边界条件：得：01023n n
E E εε=2279372465
ˆˆˆ()505050
n x y z E a a a =++
小结：
1.电场法向分量的边界条件
2.电场切向分量的边界条件
3.标量电位的边界条件
1n2n S D Dρ
-=
1t2t
E E
=
12
S S φφ
=。