流体力学 第一章

z 定常流场（稳定流场）：对于Euler变量表示
的流场，若
G ∂V
=
0
G →V
=
G V (x,
y,
z)
∂t
z 即流动与时间t无关，则称为定常流场。
【思考题】在风洞实验中，将飞机或汽车模型固 定在洞壁上，让空气匀速地流过模型。请问 这种流动属于：
1. 定常流动 2. 不定常流动
【思考题】设某日北京的气温为10度，南京与 北京相距1000公里，气温为15度，而北京向 南京的气流速度为12米/秒，在流动过程中， 假设空气温度不变，试问南京平均每日下降几
=
z0
求相应的流⎩ 体质点的速度
欧拉变量==>拉氏变量的方法：
z 由速度分布求质点轨迹 z 步骤 1. 对t积分， 2. 利用初始条件定出积分常数
三、流体的加速度：
z 我们如何描述流体的位移、速度和加速度，如 前所述，有两种可能：Lagrange方法和Euler 方法。用Lagrange系统，我们跟踪流体质点， 而Euler系统，我们看场的描述。场给出了整 个流场的在任何地方任何时间的细节，但我们 不能跟踪每一个流体质点。
z 在流体力学中最重要的物理量是速度和压强，其欧拉 表示式分别为
GG V = V (x, y, z,t)
p = p(x, y, z,t)
(1.2.4)
z 速度场分量式为
⎧u = u( x, y,z,t ) ⎪⎨v = v( x, y,z,t ) ⎪⎩w = w( x, y,z,t )
z 欧拉方法更直接，但应用牛顿运动第二定律较困难。 因此在欧拉系统中我们需要一个流体指点的加速度关 系式，这有一些复杂
dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
(1.2.10)
z 所以有：
GG G G
G
dV = ∂V + u ∂V + v ∂V + w ∂V (1.2.11) dt ∂t ∂x ∂y ∂z
z 在直角坐标系中加速度场的分量式为：
ax
=
∂u ∂t
+u
∂u ∂x
+
v
∂u ∂y
+
w ∂u ∂z
ay
=
∂v ∂t
z 若场内函数不依赖于矢径则称之为均匀场反之
称为不均匀场．若场内函数不依赖时间t称为
定常场，反之称不定常场．定常流动的数学表
达式为
或
z 某人坐在匀速运动的飞机上测量和记录周围 各点空气的速度和压强，请问它采用的研究 方法是：
1. 拉格朗日法； 2. 欧拉法； 3. 两者均不是。
二、. 描述流体运动的两种方法 （观点）的关系（区别及联系）
z 注意：流场定常只是流线与迹线重合的充分条 件，即对于非定常流场，流线与迹线也可能重 合（例如第一章作业的题11）。
§4.速度的分解
z 亥姆霍兹速度分解定理（一点邻域内的相对运 动分析）
z 以xy平面流场为例。设 M 0( x, y ) 点的速度 为 v( M 0 )，邻近点M( x+dx，y+dy )的速度可 用 的泰勒展开式表示（取一阶）
3. 迹线和流线的区别：
z 流线：某瞬间反映整个流动状况的空间曲线。 z 迹线：某流点在不同时刻运行的路径（轨迹）。 z 一般情况下，两者不相重合；当流动定常时
（流点在任一时刻的状态与当时的空间点一 样），两者重合。∵（1.20）、（1.22）两式 都不显含t ，各瞬间的流线均相同，∴流线与 迹线重合。
一点邻域内的速度=平移速度+旋转速度 +线形变率+角形变率
§5 涡度、散度和形变率
z 线形变率（法形变率）
z 仍以 xy 平面流场为例，设速度分量 u 沿 y 方
向不变，v 沿 x 方向不变。现考察正方形面元
δxδy，经过δt 时间后，x方向增加的长度为
1. 拉格朗日法：
z 拉格朗日法又称随体法：跟随流体质点运动，
记录该质点在运动过程中物理量随时间变化规 律。设某质点标记为（a,b,c），该质点的物理 量B的拉格朗日表示式为：
B = B(a,b, c,t)
(1.2.1)
z 式中(a,b,c)称为拉格朗日坐标，可用某特征时
刻质点所在位置的空间坐标定义，不同的 （a,b,c）代表不同质点。
z 任意时刻质点相对于坐标原点的位置矢量（矢径）
的拉格朗日表示式为：
G r
=
G r (a,
b,
c,
t)
(1.2.2)
z 上式代表任意流体质点的运动轨迹。
z 其分量形式为：
x = x(a,b, c,t)
y = y(a,b, c,t)
z = z(a,b, c,t)
z 质点速度的拉格朗日描述是：
GG V = V (a,b, c,t)
Δx
+
G ∂V
Δy
+
G ∂V
Δz
∂t ∂x ∂y ∂z
z 同除以Δt ,得
G GG
G
G
ΔV = ∂V + ∂V Δx + ∂V Δy + ∂V Δz Δt ∂t ∂x Δt ∂y Δt ∂z Δt
(1.2.8) (1.2.9)
z 当 Δt → 0 时:
G GG
G
G
dV = ∂V + ∂V dx + ∂V dy + ∂V dz
两种变量仅是考察的角度不同，即着眼于流点还 是空间（场）点，其描述同一流场的结论本质 应该是一致的，则两者可以相互转换。
拉氏变量==>欧拉变量的方法：
⎧⎪u(a,b, c,t) ⎪
=
∂ ∂t
x(a, b,
c, t )
⎪⎨v(a,b, c,t) ⎪
=
∂ ∂t
y(a, b,
c, t )
(1.2.5)
⎪⎪⎩w(a,b, c,t)
迹线的特点： z 迹线是流场中实际存在的 z 迹线具有持续性（t是自变量）；
请判断下列说法是否正确：过流场中的一点可以 有多条迹线。
1. 根本不可能； 2. 在定常流中是正确的； 3. 在不定常流中是正确的。
2. 流线：
z 线上任意点的切线方向与该点的速度方向一致 的假想曲线，如下图中的s线
z 流线方程（只有欧拉表示式）：在直角坐标系 中为：
G V (a,b, c,t) =
∂
G r (a,b, c,t)
∂t
z 质点加速度的拉格朗日描述是：
G a
=
G a(a,
b,
c,
t
)
G a(a,b, c,t)
=
∂2 ∂t 2
G r (a,b, c,t)
z 请判断拉格朗日法适合于描述下述哪一类流 动：
1. 研究一污染物粒子在水中运动的轨道； 2. 研究无数质点组成的质点群的运动； 3. 研究一流动空间的速度分布。
+
y02
cos(ωt
+
tan −1
y0 x0
)
⎪ ⎨
y
=
⎪
x02
+
y02
sin(ωt
+
tan −1
y0 x0
)
⎪z ⎪
=
z0
⎩
求迹线。
z 迹线的欧拉表示式：
(1.3.2）
z 或：
(1.3.3)
式中t为自变量，x,y,z均为t的函数。u v是时间的
t函数，已知充分的边界条件，对上式积分得， x = x(t), y = y(t), z = z(t) 消去时间t，即得迹线方程。
+
u
∂v ∂x
+
v
∂v ∂y
+
w
∂v ∂z
az
=
∂w ∂t
+u
∂w ∂x
+
v
∂w ∂y
+
w ∂w ∂z
(1.2.12)
四、质点导数：
z 任意物理量B(x,y,z,t)的质点导数为:
(1.2.13)
z
表示空间点上的物理量B随时间的变化
率，称为物理量B的当地变化率（或局地变
化），反映流场的不定常性；
z 表示沿x方向的位移（迁移）时，因流场的 不均匀性引起的物理量B的变化，称为物理量 B在x方向迁移变化率（或平流变化）；
z 质点加速度的欧拉描述是：
G a(x,
y,
z,
t
)
=
d
G V (x,
y, z,t)
dt
GG G G
G
dV = ∂V + u ∂V + v ∂V + w ∂V
dt ∂t ∂x ∂y ∂z
z 物理量的欧拉表示式代表了该物理量的空间分 布，称为该物理量场，例如速度场、压强场等。 因此欧拉观点是场的观点，可运用数学上“场 论”知识作为理论分析工具。欧拉法适用于描 述空间固定域上的流动，是流体力学中最常用 的描述方法。
v
(M
)
=
v
(M
0
)
+
∂v ∂x
dx
+
∂v ∂y
dy
(1.4.1)
z 在x方向分量式上加减
，在y方向分量
式上加减
，整理后可得
⎪⎪⎧u(M)
=
u(M0
)
+
1 2
( ∂u ∂y
−
∂v )dy ∂x
+
∂u ∂x
dx
+
1 2
( ∂u ∂y
+
∂v )dy ∂x
⎨ ⎪⎪⎩v(M)
=
v(M0