深度、广度和双向搜索优化及其应用

影响搜索效率的因素

两个状态的集合
: 未处理完的状态 : 已处理的状态



判重：每次演化出一个状态s时，s是否属于 或者 剪枝：状态s的任意演化结果是否都属于

属于，则剪枝

演化出来的状态数量：的大小
深度优先搜索



两个状态的集合 : 未处理完的状态 : 已处理的状态 从中选择被演化状态的原则：离初态S0最远的状 态s S0到s的距离：从S0到达s使用的动作数量 实现方法：用stack表示 每次取stack顶部的状态演化 每次演化出的状态s若不属于，则s将压入stack 的顶部
搜索

有顺序有策略地产生解空间的元素
每个解空间的元素表现为一定动作的执行轨迹 (trace of actions) 采用递归的策略产生解空间的元素，出口条件 轨迹已经达到终点：真解、或者伪解 轨迹不可能导出真解


搜索的过程



两个状态的集合 : 未处理完的状态 : 已处理的状态 状态的处理: 有顺序的尝试备选动作, 每一次的尝试都 演化出另一个状态 已处理的状态: 全部备选动作都已经尝试 一个树结构: 状态之间的演化关系 递归的出口 为空 演化出目标状态S* 演化出的状态不属于
深搜 vs. 广搜
深搜 1-2-4-8-5-6-3-7

广搜 1-2-3-4-5-6-7-8

广搜算法

广度优先搜索算法如下：（用 QUEUE）
(1) 把初始节点S0放入Open表中； (2) 如果Open表为空，则问题无解，失败退出； (3) 把Open表的第一个节点取出放入Closed表，并记该节点 为n； (4) 考察节点n是否为目标节点。若是，则得到问题的解， 成功退出； (5) 若节点n不可扩展，则转第(2)步； (6) 扩展节点n，将其子节点放入Open表的尾部，并为每一 个子节点设置指向父节点的指针，然后转第(2)步。
问题

是否还有新的剪枝策略，以进一步加速搜 索过程？
剪枝 4

拼每一根棍子的时候，应该确保已经拼好 的部分，长度是从长到短排列的
由于取木棒是从长到短的，所以如果长得 在前，短的在后不可行的话，那么相反的 一定不可行

POJ1020-Anniversary Cake


有一块边长为BoxSize的正方形的大蛋糕， 现在给出n块不同尺寸的正方形的小蛋糕的 边长，问是否能把大蛋糕按恰好切割为这n 块小蛋糕，要求每块小蛋糕必须为整块。 Max_n=16，Max_size=10，大蛋糕最大40*40 如何确定搜索策略
POJ1077八数码问题

八数码问题是人工智能中的经典问题 POJ1077八数码Baidu Nhomakorabea题：经典搜索问题

有一个3*3的棋盘，其中有0-8共9个数字，0表 示空格，其他的数字可以和0交换位置。求由初 始状态 到达目标状态 123 456 780 的步数最少的解？
8
2
3
1
2
3
1
4
6
4
5
6
5
7
7
8
1
搜索
深度优先搜索 广度优先搜索
枚举

划分解的存在范围 对范围内的元素进行逐一判断 例：求出A~I 分别对应的数字(1~9) 使得下 式成立 ABCD
× E
FGHI
枚举解法

枚举ABCDE的值，计算乘积，判断是否符 合要求。
搜索复杂的、高级的枚举

枚举: 解空间中的每个元素是一个动作(action)的 集合F
剪枝2

让我们考虑接下来的两种策略，一是用更长的木 棍来代替当前木棍，显然这样总长度会超过原始 木棍的长度，违法。二是用更短的木棍组合来代 替这根木棍，他们的 总长恰好是当前木棍的长度， 但是由于这些替代木棍在后面的搜索中无法得到 合法解，当前木棍也不可能替代这些木棍组合出 合法解。因为当前木棍的做的事这些替 代木棍也 能做到。所以，当出现加上某根木棍恰好能填满 一根原始木棍，但由在后面的搜索中失败了，就 不必考虑其他木棍了，直接退出当前的枚举。
剪枝3

如果某次拼接选择长度为L1的木棒，导致最终失 败，则在同一位置尝试下一根木棒时，要跳过所 有长度为L1的木棒。
小结



构造一条木棒长度为L的“路径”：拼接木棒 在未被拼接的木棒中，找出一节最长的，开始拼接 从未拼接的木棒中，选择一个长度合适的木棒，使得拼接 后的木棒长度≤L 找到了 若在前面的拼接过程中曾试图用过相同长度的一节 其他木棒，但发现这样拼接不成功，继续寻找能够 进行拼接的木棒 //剪枝3 把找到的那节木棒拼接上去。继续进行拼接 继续拼接成功，找到了“路径” 继续拼接不成功，把刚拼接的那节木棒拿下来， 继续找下一个合适的未拼接木棒 //剪枝2、1 没有找到：拼接失败
If (num>size-col[p]) num=size-col[p]; For i:=num downto 1 do if (a[i]>0) Begin dec(a[i]); For j:=p to p+i-1 do inc(col[j],i); If (dfs(t+1)) exit(true); For j:=p to p+i-1 do dec(col[j],i); Inc(a[i]);
在前面，后进入Open表的节点排在后面。
广度优先搜索



两个状态的集合 : 未处理完的状态 : 已处理的状态 从中选择被演化状态的原则：离初态S0距离最近 的状态s S0到s的距离：从S0到达s使用的动作数量 实现方法：用queue表示 每次取queue头部的状态演化 每次演化出的状态s若不属于，则s将压入 queue的尾部


Dfs递归搜索函数


Bool Dfs(int nUnusedSticks, int nLeft ) ;
Function dfs(nUnusedSticks:longint, nLeft:longint):longint

表示: 当前有nUnusedSticks根未用木棒， 而且当前正在拼的那根棍子比假定的棍子 长度短了nLeft, 那么在这种情况下能否全部 拼成功。
解题思路

搜索题，还要解决一个问题：如何剪枝 就本题而言，即尽可能快地发现一根拼好 的棍子需要被拆掉，以及尽量少做结果不 能成功的尝试。
剪枝1


每次开始拼第i根棍子的时候，必定选剩下的木棒 里最长的一根，作为该棍子的第一根木棒。 即:就算由于以后的拼接失败，需要重新调整第i根 棍子的拚法，也不会考虑替换第i根棍子中的第一 根木棒（换了也没用）。如果在此情况下怎么都 无法成功，那么就要推翻第i-1根棍子的拚法。如 果不存在第i-1根棍子，那么就推翻本次假设的棍 子长度，尝试下一个长度
解题思路

在拼接过程中，要给用过的木棒做上标记， 以免重复使用 回溯：拼好前i根棍子，结果发现第i+1根拼 不成了，那么就要推翻第i根的拼法，重拼 第i根…..直至有可能推翻第1根棍子的拼法

解题思路

搜索题，首先要解决一个问题：按什么顺 序搜索？ 把木棒按长度排序。每次选木棒的时候都 尽量先选长的。 因为短木棒比较容易用来填补空缺。一根 长木棒，当然比总和相同的几根短木棒要 优先使用
我们的搜索顺序保证了底部先填满的原则， 如果悬空，则回溯

Functin dfs(t:longint):boolean Begin If (t=n+1) exit(true); P:=1;num:=0; For i:=1 to size do if (col[i]<col[p]) p:=I;
For i:=p to size do if (b[i]=b[p]) inc(num) else break;

将初态S0变换为另一个状态F(S0) F中各动作的执行顺序不影响F(S0) 如果F(S0)是符合要求的S*, 那么F是真解, 否则是 伪解
搜索复杂的、高级的枚举

搜索: 解空间的每个元素是一个动作的序列F 将初态S0变换为另一个状态F(S0) 如果F(S0)是符合要求的S*, 那么F是真解, 否则是 伪解 有一个规则, 确定在每个状态S下,分别有哪些动 作可供选择 采用递归的办法, 产生每个动作序列
Dfs的基本递推关系：



bool Dfs(int nUnusedSticks, int nLeft) { ….. if( nLeft = 0 ) //一根刚刚拼完 nLeft := L; //开始拼新的一根 找一根长度不超过nLeft的木棒（假设长 为len）拼在当前棍子上，然后 exit Dfs(nUnusedSticks – 1, nLeft – len ); }
POJ1011 木棒问题

问题描述：

乔治拿来一组等长的棍子，将它们随机地裁断（截 断后的小段称为木棒），使得每一节木棒的长度都 不超过50个长度单位。然后他又想把这些木棒恢复 到为裁截前的状态，但忘记了棍子的初始长度。 请你设计一个程序，帮助乔治计算棍子的可能最小 长度。每一节木棒的长度都用大于零的整数表示
2 8 3 1 4 7 6 5
S0
2
2 8 3 1 4 7 6 5
3
2 3 1 8 4 7 6 5
4
2 8 3 1 6 4 7 5
5
2 8 3 1 4 7 6 5
6 8 3 2 1 4 7 6 5 14 8 3 2 1 4 7 6 5
End;
End.
广度优先搜索

广度优先搜索也称为宽度优先搜索，它是一种先 生成的节点先扩展的策略。适合于判定是否有解 和求唯一解的情况


搜索过程是：从初始节点S0开始逐层向下扩展，在第n层节点还没 有全部搜索完之前，不进入第n+1层节点的搜索。 假设有两个表：Open表存放待处理节点，Closed表存放处理完节 点 Open表中的节点总是按进入的先后排序，先进入Open表的节点排
Dfs的终止条件之一：

bool Dfs(int nUnusedSticks, int nLeft ) { if( nUnusedSticks = 0 and nLeft = 0 ) exit true; if( nLeft = 0 ) //一根刚刚拼完 nLeft := L; //开始拼新的一根 找一根长度不超过nLeft的木棒（假设长为len） 拼在当前棍子上，然后 exit Dfs(nUnusedSticks – 1, nLeft – len )； }
解题思路

首先确定搜索顺序
依然是从大到小搜索，因为小的灵活性较 高

放置蛋糕时遵从从上到下，从左到右的原 则
难点


本题的难点不在于如何找到搜索策略 难点是如何记录当前的状态 最简单的方法是将整个盒子分割成1*1的小 块分别记录是否被占据 但是，这必然是会超时的
按列记录


我们定义一个数组col[] 记录当前列 从上到 下一共连续放了多少的蛋糕 例如在第2~4列放入了一个size=3的小蛋糕， 那么inc(col[2],3), inc(col[3],3), inc(col[4],3)
剪枝1

为什么替换第i根棍子的第一根木棒是没用的？
因为假设替换后能全部拼成功，那么这被换下来 的第一根木棒，必然会出现在以后拼好的某根棍 子k中。那么我们原先拼第i根棍子时, 就可以用和 棍子k同样的构成法来拼，照这种构成法拼好第i 根棍子，继续下去最终也应该能够全部拼成功。

剪枝2

不要希望通过仅仅替换已拼好棍子的最后一根木 棒就能够改变失败的局面。
解题思路

初始状态：有N节木棒 最终状态：这N节木棒恰好被拼接成若干根等长 的棍子(裁前的东西称为棍子）

注意：棍子长度未知

枚举什么？ 枚举所有有可能的棍子长度。 从最长的那根木棒的长度一直枚举到木棒长度 总和的一半。 对每个假设的棍子长度试试看能否拼齐所有棍 子：枚举长度是否可以整除棍子总长。

输入输出



输入数据 由多个案例组成，每个案例包括两行。第一行是一个不超过64的 整数，表示裁截之后共有多少节木棒。第二行是经过裁截后，所 得到的各节木棒的长度。在最后一个案例之后，是零。 输出要求 为每个案例，分别输出木棒的可能最小长度，每个案例占一行。
输入样例
9 521521521 4 1234 0 输出样例 6 5