上海海事大学高数第二学期期末考试试卷

上 海 海 事 大 学 试 卷

2009 — 2010 学年第二学期期末考试

《 高等数学A （二）》（A 卷） （本次考试不能使用计算器）

班级 学号 姓名 总分 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32

231，则f y '(,)32=（ ）

(A) 41 (B) 40 (C) 42 (D) 39

2、设圆域D ：x 2+y 2

≤1,f 是域D 上的连续函数，则

答 ( )

3、如果81

lim

1=+∞→n

n n a a ,则幂级数∑∞

=03n n n x a (A)当2

(C) 当81

>

x 时,发散； (D) 当2

1

>x 时,发散；

答( )

题 目 一 二 三（1） 三（2） 三（3） 三（4） 三（5） 三（6） 三（7） 得 分 阅卷人

--------------------------------------------------------------------------------------

装

订

线------------------------------------------------------------------------------------

4、设Ω为球体x 2

+y 2

+z 2

≤1,f (x ,y ,z )在Ω上连续，I =x 2yzf (x ,y 2,z 3),则I =

(A) 4x 2yzf (x ,y 2z 3)d v (B) 4

x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v

(C) 2

x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v (D) 0

答 ( )

5、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2

(a >0)负向一周，则曲线积分

（ ）

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

1、设)ln(),,(2

22z y x z y x f ++=，则=-)2,1,1(f d gra ϖ

2、=-=+++

dz z y x xyz 处全微分在)1,0,1(,2222

3、设L 为圆周12

2

=+y x ，则⎰

=L

ds x 2

4、如果幂级数n

n x a ∑在x = -2处条件收敛，则收敛半径为R= 5、曲面32=+-xy e z z

在（1，2，0）处切平面方程为

三 计算题（必须有解题过程） （本大题分7小题，共 60分） 1、（本小题8分）

已知2

2

)1()1(ln -+-=y x u ，试求：2222y

u

x u ∂∂∂∂+

2、（本小题8分）

求函数223333y x y x z --+=的极值。

3、（本题12分，每题6分）

判别下列级数的敛散性，若是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛。

（1）∑∞

=-+1

1

2)1

2(

n n n n

（2）

∑∞

=--1

1

4)1(n n

n n 4、（每小题8分）

在()0,π内把函数()f x x =-π展开成以2π为周期的正弦级数。

5、（本小题8分）

计算⎰⎰

∑

++xydxdy dxdz y dydz x 2

2，∑为曲面221z x y z =+=和所围立体表面外侧。

6、（本小题8分）

已知)(x f n 满足n e x x f x f x n n n ,)()(1-+='为正整数，且n

e

f n =

)1( 求：∑+∞

=1)(n n x f

7、(本小题8分)

已知)(x f 连续，且满足⎰

--

=x dt t f t x x x f 0

)()(sin )(，求)(x f 。

《 高等数学A （二）》（A 卷）(答案)

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

1、(C)

2、(A).

3、( A )

4、 D

5、（A ） 二、填空题(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) 1、⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-32,31,

31

2、dy dx 2-

3、π

4、2

5、062=-+y x

三、解答下列各题

(本大题共7小题，总计60分) 1、(本小题8分)

2

222

222

2])1()1[()

1(2)1()1(1)1()1(1

-+---

-+-=

-+--=

y x x y x u y x x u ••••xx x 解： 4分

2

2)

1()1(1

-+--=

y x y u y

2

222

22]

)1()1[()1(2)1()1(1-+----+-=y x y y x u yy

7分

u u xx yy +=0。

（8分）

2、(本小题8分)

解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0

630632

2

y y z x x z y x ，得驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0( 3分 2

xy

yy xx z z z D -=)1)(1(36--=y x 5分 0

6)2,2(,

036)2,2(036)2,0(,036)0,2(,06,036)0,0(>=>=<-=<-=<-=>=xx xx z D D D z D

点)0,2(),2,0(非极值点；函数z 在点(,)00处取极大值z (,)000=； 7分 在点)2,2(处取极小值8)2,2(-=z 。44= 8分

3、(本小题12分)

（1）解：,)1

2(

12-+=n n n n u

原级数收敛∴<=

+==-∞

→∞→,14

1

)

12(lim 12lim n

n n n n n n n

u ρΘ。

……6分

或n

n n u ⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪

⎭

⎫

⎝⎛<<-4122101

2，所以原级数收敛。 （2）解：14

1

441lim 1<=⋅

++∞→n n n n n Θ， 3分 ∑∞

=1

n n

u

收敛，所以原级数绝对收敛。 6分

4、(本小题8分)

解：在()-π,0内对()f x 做奇延拓，延拓后所得函数的Fourier 系数 1分