上海海事大学高数第二学期期末考试试卷
2013-2014学年第二学期上海海事大学概率论与数理统计期末考试A
Φ(1)=0.8413 Φ(2)=0.9772 Z0.025=1.960 Z0.05=1.645 t0.025(35)=2.0301 t0.025(36)=2.0281 t0.025(35)=1.6896 t0.05(36)=1.6883 x^2/0.05(9)=16.919x^2/0.05(10)=18.307 x^2/0.05(12)=21.026 x^2/0.05(13)=22.362 x^2/0.1(12)=18.549 x^2/0.1(13)=19.812 x^2/0.9(12)=6.304 x^2/0.9(13)=7.041 x^2/0.95(12)=5.226 x^2/0.95(13)=5.892一、1.设A ，B 随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，P(A ∪B)=0.6,则P(A B)= P(B|A)= 2.一个袋中有2个黑球和若干白球，现有放回地摸球3次，若至少摸到一个白球的概率为26/27，白球个数 ；记首次抽到黑球抽取次数为X ，则P{X=3}=3.设连续型随机变量X 服从区间[0,100]上均匀分布，E(X)= 随机变量Y 的概率密度为fY y = 100e −100y ,y >00,else。
则P{|Y-50|>=50}= 若X,Y 相互独立，则(X,Y)联合概率密度f(x,y)=4.已知X,Y 是两个相互独立的正态随机变量，且Z=X-2Y+3，则Z 服从 分布；若X~N(2,3) Y~N(-1,5)随机变量Z 方差为5.设随机变量X~b(100,0.2)由二项分布律知P{X=1}= 若应用中心极限定理的P{24<=x<=28}=6.设X1,X2,…,Xn 是来自总体N(μ,σ^2)中随机抽取的样本，X是样本均值，则X ~ (Xi −X )^2n i =1 7.设D(X)=1 D(Y)=9 相差系数Ρx,y=-0.2,协方差COV(X,Y) D(2X-Y)二、1.袋中有5个红球和5个绿球，现掷一枚均匀骰子，掷出几点就从中随机取几个球。
2021-2022学年上海海事大学附属高级中学高一数学文下学期期末试题含解析
2021-2022学年上海海事大学附属高级中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设向量=（1，）与=（-1， 2）垂直，则等于（）A. B. C.0D.-1参考答案：Ｃ2.设集合U={1，2，3，4}, A={2，3}, B={1}, 则等于(A) {2} (B) {3} (C) (D) {2，3}参考答案：D3. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A．与是异面直线B．平面C．平面D．，为异面直线，且参考答案：D4. 数列1，，，…，的前n项和为（）A．B．C．D．参考答案：B【分析】求出通项公式的分母，利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】解：===2（）．数列1，，，…，的前n项和：数列1+++…+=2（1++…）=2（1﹣）=．故选：B．【点评】本题考查数列求和的方法，裂项消项法的应用，考查计算能力．5. 如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤参考答案：B【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．6. 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（）A． B．C．D．参考答案：C7. 设偶函数f(x)的定义域为R，当x时f(x)是增函数，则f(-2),f(4),f(-3)的大小关系是（）（A）f(4)>f(-3)>f(-2) （B）f(4)>f(-2)>f(-3)（C）f(4)<f(-3)<f(-2) （D）f(4)<f(-2)<f(-3)参考答案：A略8. 已知圆锥的高为3，它的底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（）A. B. C. 16π D. 32π参考答案：B如图：设球心到底面圆心的距离为，则球的半径为，由勾股定理得解得，故半径，故选9. 下列数列为等比数列的是（）A．1，2，3，4，5，6，… B．1，2，4，8，16，32，…C．0，0，0，0，0，0，… D．1，-2，3，-4，5，-6，…参考答案：B略10. 已知幂函数的图象过点，则的值为（）（A）（B）（C）－2 （D）2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设是公比为的等比数列，其前项积为，且满足，，．下列判断：①； ②；③；④使成立的最小整数为199．其中成立的是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽．参考答案：①③④：对于①，若，则，此时，与已知矛盾；若，则与矛盾，故，∴①成立．对于②，由得，而，∴②错误．对于③，由于，且，故，而，∴③成立．对于④，∵，∴，且，故使成立的最小整数为199，∴④成立．12. 在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有___________盏灯．参考答案：6.【分析】根据题意可将问题转化为等比数列中，已知和，求解的问题；利用等比数列前项和公式可求得，利用求得结果.【详解】由题意可知，每层悬挂的红灯数成等比数列，设为设第7层悬挂红灯数为，向下依次为且即从上往下数第二层有盏灯本题正确结果；【点睛】本题考查利用等比数列前项和求解基本量的问题，属于基础题.13. 已知，求代数式参考答案：略14. 如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．④当容器倾斜如图（3）所示时，BE·BF是定值。
高等数学B(二)B期末考卷及解答 海大
高等数学B（二）试卷B一、解答下列各题(本大题共13小题，总计59分)1、(本小题2分),。
=ln()2，求z zz xyx y2、(本小题2分)设z x y x,。
=+()arctan，求z zx y3、(本小题4分)设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。
4、(本小题5分)过z 轴及点M (,,)447-，作一平面，求它的方程。
5、(本小题5分)计算二重积分6、(本小题5分)求曲面e e e xz yz +=-22在点(,,)--112处的切平面和法线方程 。
7、(本小题5分)求函数z x y xy y=-+++2322的极值。
8、(本小题5分)计算二重积分其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。
9、(本小题6分)设a=2,b=3，求a b a b⨯+⋅22()。
10、(本小题6分)求微分方程满足初始条件的解：''-'-=='=⎧⎨⎩y y y y y 200105(),()二、解答下列各题(本大题共2小题，总计10分) 1、(本小题5分)曲线上任意一点的矢径长等于夹在曲线和ox 轴之间的法线长，求此曲线.2、(本小题5分)证明：l x y z y z 1010:++=++=⎧⎨⎩与l x z x y 21010:++=++=⎧⎨⎩垂直。
三、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、(本小题5分)判别∑∞=+132)1(3cosn n n n π的敛散性。
2、(本小题5分)横截面为半圆形的圆柱形的张口容器，其表面积等于S ，当容器的断面半径与长度各为多大时，容器具有最大容积？3、(本小题5分)判别∑∞=+-1)2ln(1)1(n nn 的敛散性，若收敛，说明是条件收敛，还是绝对收敛？四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计12分)1、(本小题6分)nn n nn x4)1(1⋅-∑∞=2、(本小题6分) 设()xe xf =，试求函数关于()1+x 的幂级数。
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数是（）。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3x答案：A2. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是（）。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B4. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。
A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(e^x) + CD. x^e + C答案：A5. 微分方程dy/dx = y/x的通解是（）。
A. y = CxB. y = Cx^2C. y = C/xD. y = Cx^(-1)答案：C6. 函数f(x)=ln(x)的二阶导数是（）。
A. 1/x^2B. -1/x^2C. 1/xD. -1/x答案：A7. 函数f(x)=x^2-4x+4的极值点是（）。
A. x=2B. x=-2C. x=0D. x=4答案：A8. 函数f(x)=x^3-3x+1的拐点是（）。
A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=2答案：A9. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B10. 函数f(x)=x^3的泰勒展开式在x=0处的前三项是（）。
A. 1+3x+3x^2B. 1+x+x^2C. 1+3x+3x^3D. 1+x+x^3答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^4-4x^2+4的极小值点是x=______。
答案：±√22. 函数f(x)=x^2-6x+8的零点是x=______。
答案：2和43. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C4. 函数f(x)=x^3的二阶导数是______。
答案：6x5. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是______。
高数下期末考试试题及答案解析
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y→→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),fx y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).（A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散 （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散 （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂．解： 2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰． 解：4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰. 解：5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和． 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解2．计算积分22()d Lx y s +⎰，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)．解：3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4． 计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………xO2y x =2x y =y D2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0⋅=a b ； (D)⨯=0a b ．2.极限2222001lim()sin x y x y x y →→+=+ ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =∆的是( B )；（A ） (,)f x y xy =； （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数；（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=.4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).（A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点. 5．设平面区域D ：22(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ） （A ）123I I I <<； （B ）123I I I >>； （C ）213I I I <<； （D ）312I I I <<．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（D ） (A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12．7．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ） （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散； （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散； （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；（D ）若级数1||nn a ∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 3 。
高等数学A（二）（商船）期末考卷及解答海大
⾼等数学A（⼆）（商船）期末考卷及解答海⼤⾼等数学A （⼆）试卷（商船）⼀、单项选择题（在每个⼩题四个备选答案中选出⼀个正确答案，填在题末的括号中）(本⼤题分4⼩题, 每⼩题3分, 共12分)1、设Ω为正⽅体0≤x ≤1;0≤y ≤1;0≤z ≤1.f (x ,y ,z )为Ω上有界函数。
若，则答 ( )(A) f (x ,y ,z )在Ω上可积 (B) f (x ,y ,z )在Ω上不⼀定可积 (C) 因为f 有界，所以I =0 (D) f (x ,y ,z )在Ω上必不可积 2、设C 为从A (0，0)到B (4，3)的直线段，则( )3、微分⽅程''+=y y x x cos 2的⼀个特解应具有形式答：（）（A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+ （C ）A x B x cos sin 22+（D ）()cos Ax B x +2 4、设u x x y=+arcsin22则u x= 答（）(A)x x y22+ (B)-+y x y22(C) y x y22+ (D) -+x x y22⼆、填空题（将正确答案填在横线上） (本⼤题分3⼩题, 每⼩题3分, 共9分)1、设f x x x x (),,=-<≤---<02220ππππ，已知S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，则S 94π??=______ 。
2、设f (x ,y ,z )在有界闭区域Ω上可积，Ω=Ω1∪Ω2,，则 I =f (x ,y ,z )d v =f (x ,y ,z )d v +___________________。
3、若级数为2121n nn -=∞∑，其和是_____ 。
三、解答下列各题(本⼤题5分)设函数f (x ,y ,z )=xy +yz +zx －x －y －z +6,问在点P (3，4，0)处沿怎样的⽅向 l ，f 的变化率最⼤?并求此最⼤的变化率四、解答下列各题(本⼤题共5⼩题，总计30分) 1、(本⼩题5分)计算y z z x z x x y y x y z d d )(d d )(d d )(-+-+-??∑，其中光滑曲⾯∑围成的Ω的体积为V 。
2023高数II期末模拟卷及参考答案
高数II 期末模拟卷课程名称：高等数学AII课程类别：必修考试方式：闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。
2、考试时间120分钟。
3、答案写在答题卷上。
一、单项选择题（每小题3分，共21分）1.下列方程中是线性微分方程的是()A.2(')120y xy +=B.'''3sin xy y xy y -+=C.32'4y y x -= D.222'''x y y y e x x-+=2.直线134x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩和直线11111x y z +-==-的夹角等于()A．2πB．4πC．3πD．6π3.函数2222220(,)00xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩点（0，0）处()A.连续但偏导数不存在B.不连续但偏导数存在C.连续且偏导数存在D.偏导数存在且可微4.设D 由22(2)1x y ++=所围区域，I 1=2()d Dx y σ+⎰⎰，I 2=3()d Dx y σ+⎰⎰则()A.12I I >B．12I I =C．12I I <D．不能比较5.设⎰⎰=12),(xxdy y x f dx I ，交换积分次序，得()A.⎰⎰xx dxy x f dy 210),( B.⎰⎰10),(yy dxy x f dy C.⎰⎰102),(y ydxy x f dy D.⎰⎰yydxy x f dy 1),(6.设S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1z =之间的部分，则Sz dS =⎰⎰()学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题A.23πB．223D．π7.下列级数绝对收敛的是()A.2221111357-+-+B.1(1)n n ∞-=-∑C.11(1)nn n ∞=-∑ D.231(1)nn n∞-=-∑二、填空题（每小题3分，共21分）1.微分方程20y y y '''-+=的通解为.2.xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转而成的曲面方程是.3.极限211lim (1)x xyx y x →∞→-=.4.曲线23222x t y t z t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩在点t=1处的切线方程为.5.已知D =22{(,)1}x y x y +≤，22()Df xy dxdy +⎰⎰，其极坐标形式为.6.设Ω：222+2,x y z z +≤则dV Ω=⎰⎰⎰.7.幂级数0(1)21nnn n x ∞=-+∑的收敛区间是.三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x y ===围成.2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.2.求幂级数121n n n x n ∞+=+∑的收敛半径、收敛域及和函数.参考答案一、单项选择题（每小题3分，共21分）DABA BBA二、填空题（每小题3分，共21分）1.12x x y C e C xe =+；2.225y z x +=；3.1e -；4.12113x y z --==；5.212()d f r rdr πθ⎰⎰；6.43π；7.(-2,2).三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.解：先求20y xy '+=的通解为21x y C e -=(2分）常数变易法，将2()x y u x e-=⋅代入原方程得22()2x xu x e xe --'⋅=解得2()u x x C =+,故原方程的通解为22()x y x C e -=+（4分）将01x y==代入通解得1C =，（5分）故满足初始条件01x y==的特解为22(1)xy x e -=+.（6分）2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.解：直线11111x y z --==-过两点(2,1,2)-和点(1,0,1)，（2分）由条件知平面过点A (2,1,2)-、点B (1,0,1)点和C (0,3,1)-，所以过A、B、C 三点的平面方程为111110130x yz ---=--（5分）即所求平面方程为3410x y z --+=.（6分）四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.解：222x y z x y x +∂=+∂，222x y z yxx +∂=+∂（4分）所以222222()()x ydz y dx x y x yx dy =+++++（5分）()()222222222222411z z x x y xy y x y x y x y y y x ⎛⎫∂∂-⋅-=+=+=+ ⎪∂∂∂⎝++⎭+210x y z x y==∂∂∂1=（6分）2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.解：设2(,,)z F x y z xz y e =-+（1分）则(,,),x F x y z z =(,,)2y F x y z y =-，(,,)zz F x y z x e =+（2分）,x Z z F z zF x e x ∂-=-=∂+2,y Z z F z y yF e x ∂=-=∂+（4分）()22221z z z y e x e x z z z y x x e y x ∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭++∂∂∂()()32z z z y x e ze x e -+-+=（6分）3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.解：2(,)3820(,)220x y f x y x x y f x y x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，解得驻点为（0，0），（2，2）（3分）又68,2,(,)2yy A x B C f x y =-===-（4分）对于点（0，0），A=-8,B=2,C=-2,2120AC B -=>,且A<0，所以(0,0)6f =为极大值.对于点(2,2)，A=4,B=2,C=-2,2120AC B -=-<,所以(2,2)f 不是极值.（6分）五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x x ===围成.解：X 型区域D:02,2x x y x ≤≤≤≤，（2分）220(2)(2)xDxx y dxdy dx x y dy+=+⎰⎰⎰⎰（3分）2220456[2(2)26x x x x x dx -=-+=⎰（6分）2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.解：积分域Ω:2:z x ≤≤∈+≤⎪⎩（2分）极坐标系下的区域D:02,01r θπ≤≤≤≤（3分）Dzdxdydz zdyΩ=⎰⎰⎰⎰⎰（4分）212230(1)2Dx y dxdy d r dr ππθ=--==⎰⎰⎰⎰（6分）3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.解:2,12x Q xy P =+=,又xQx y P ∂∂==∂∂2,故积分与路径无关.（2分）所以积分路径L 可换为折线从点A(0,0)到C(2,0)再到B(2,2)（3分）又因为线段AC:,20,0≤≤=x y 线段BC:,20,2≤≤=y x (4分)⎰⎰⎰+++++=++CBACLdyx dx xy dy x dx xy dy x dx xy 222)12()12()12(104220=+=⎰⎰dy dx （6分）六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.解：1212)1(-+-=nnn n a ，（1分）而121121)1(21212lim lim 11<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅--=+∞→+∞→n n a a n n n nn n 所以原级数绝对收敛，故原级数收敛。
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。
答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。
高数下学期期末试题(含答案)3套
高等数学期末考试试卷1一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D 为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。
2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。
3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
25、求级数的和。
四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。
五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。
一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x 轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)4解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。
高数下册期末考试试卷
高数下册期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的结果为：A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1/63. 函数y=x^3的导数是：A. 3x^2B. 3xC. x^2D. x^34. 以下哪个级数是发散的？A. ∑(1/n^2)B. ∑(1/n)C. ∑(1/2^n)D. ∑(1/n^3)5. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D是由x=0, y=0, x+y=1围成的区域，结果为：A. 1/12B. 1/24C. 1/8D. 1/66. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)7. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的结果为：A. 0B. 1C. -1D. ∞8. 以下哪个函数的不定积分是ln|x|+C？A. 1/xB. xC. x^2D. e^x9. 函数y=ln(x)的二阶导数是：A. 1/x^2B. 1/xC. -1/x^2D. -1/x10. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑((-1)^n/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n)D. ∑(1/n^3)二、填空题（每题3分，共30分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x的极小值点是__________。
12. 计算定积分∫(-1,1) x dx的结果为__________。
13. 函数y=e^x的反函数是__________。
14. 计算二重积分∬(D) x^2 + y^2 dA，其中D是由x=0, y=0, x=1, y=1围成的区域，结果为__________。
15. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是__________。
高等数学A(二)B期末考卷及解答海大
高等数学A(二)B期末考卷及解答海大一、选择题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=2，则下列选项中正确的是（）A. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 0B. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 2C. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 1D. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 22. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足0≤f(x)≤1，则下列选项中正确的是（）A. ∫(0,1) f(x) dx = 0B. ∫(0,1) f(x) dx = 1C. ∫(0,1) f(x) dx = 0.5D. 无法确定3. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=3，则下列选项中正确的是（）A. A可逆B. A不可逆C. A的行列式为0D. A的行列式为34. 设函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为yy0=2(xx0)，则下列选项中正确的是（）A. f'(x0)=0B. f'(x0)=1C. f'(x0)=2D. f'(x0)不存在5. 设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)>0，则下列选项中正确的是（）A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上单调递减C. f(x)在[a,b]上取得最大值D. f(x)在[a,b]上取得最小值二、判断题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处连续。
（）2. 若函数f(x)在区间[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上一定连续。
（）3. 矩阵A的行列式为0，则A不可逆。
（）4. 二重积分的值与积分次序无关。
（）5. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)>0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)=x^33x，则f'(x)=______。
大学高数期末复习卷 试卷与答案1
第二学期高等数学练习题（二）一、 选择题1、在点处),(y x f 可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 的所有二阶偏导数存在 （B ）),(y x f 连续（C ）),(y x f 的所有一阶偏导数连续 （D ）),(y x f 连续且),(y x f 对y x ,的偏导数都存在。
2．设22),(y xy x y x f -+=的驻点为)0,0(,则)0,0(f 是),(y x f 的 （ ）(A)极大值; (B) 极小值; (C) 非极值; (D) 不能确定.3．微分方程x xey y y 2'"65=+-的特解形式是（ ） (A) bx ae x +2 (B) x e b ax 2)(+(C) x e b ax x 2)(+ (D) x e b ax x 22)(+4．曲面1232222=++z y x 上，点)1,2,1(-处的切平面方程是（ ）A 、24682=-+z y xB 、2068=+-z y xC 、1234=-+z y xD 、1234=+-z y x5．下列级数条件收敛的是（ ）（A ）)1(1)1(1+-∑∞=n n n n（B ）211)1(n n n ∑∞=- （C ）1)1(1+-∑∞=n n n n （D ）n n n 1sin )1(1∑∞=- 6．设n 是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，则z y x u 2286+=在点P 沿方向n 的方向导数为（ ）（A ）0 （B ）711 （C ）117 （D ）2 。
7．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。
A. 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。
二、填空题1、微分方程 x y y x cos =+' 的通解是2．交换积分⎰⎰--x x dy y x f dx 1110),(的次序成为 。
2010―2011学年第二学期期末考试《概率论与数理统计》B(精)
第 1 页共 4 页上海海事大学试卷2010 — 2011 学年第二学期期末考试《概率论与数理统计》(B 卷(本次考试允许使用计算器班级学号姓名总分可能用到的概率值:5.00(=Φ,0.9772Φ(2=,0.01(9 2.82t =,0.01(10 2.76t =,0.025(15 2.132t =,0.025(16 2.12t=,0.025(35 2.0301t =,0.025(36 2.0281t =,0.01(49 2.33t =,0.01(50 2.31t =,0.025(8,9 4.10F =,0.025(9,8 4.3572F =,0.025(17 2.1099t =,0.05(5,7 3.97F =, 0.05(4,6 4.53F =,0.05(6,4 6.16F=,20.025(614.44c =,07.115(205.0=χ,20.05(612.592c =,20.05(17.882c =,20.025(1 5.025c =,20.05(210.597c =,0.05(16 1.746t =,0.05(15 1.753t =,0.025(15 2.132t =一、填空题(共5题,每空4分,共20分请将正确答案写在题目后面的横线上。
1. 设A 与B 相互独立,且(0.8P A B =∪,(0.2P A =,则=(B P ____________。
2.n 张奖券中含有m 张有奖的,k 个人购买,每人一张,其中至少有一人中奖的概率是___________。
3. 假设(3,0.2X B ∼,(5,15Y N ∼, 则(E X Y +=_____________。
4. 设X 为连续性随机变量,则对于任意确定的常数a ,有{}P X a == 。
5. 设随机变量(100,0.5X B ∼,应用中心极限定理可算得{}≈<<6040X P _ 。
题目一二得分阅卷人--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页共 4 页二、计算题(共7题,其中1,2,5,6,7题每题10分,3,4题每题15分,共80分请将正确答案写在题目下方。
上海海事大学附属高级中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析
上海海事大学附属高级中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3）时，则当∈（，）时，=（）A. B. C. D. 参考答案：B令x为，则，由是奇函数，则设∈（，）则2. 若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为（）A．3 B．4 C．6 D．8参考答案：C3. 设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[﹣2，0]时，f(x)=2﹣，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（0＜a＜1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．(0，)B．(0，) C．(，)D．(，1)参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x+4）=f（x），推出函数的周期是4，根据函数f（x）是偶函数，得到函数f（x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论．【解答】解：由f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4，∵当x∈[﹣2，0]时，=2﹣2﹣x，∴若x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=2﹣2x=f（x），即f（x）=2﹣2x，x∈[0，2]，由f（x）﹣log a（x+2）=0得f（x）=log a（x+2），作出函数f（x）的图象如图：当a＞1时，要使方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则等价为函数f（x）与g（x）=log a（x+2）有3个不同的交点，则满足，即，解得：＜a＜故a的取值范围是（，），故选：C．4. 设且则 ( ）A． B．6 C．12 D．36参考答案：A5. 已知函数，且，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据函数为偶函数化简，比较自变量的大小，然后根据函数的单调性判断出的大小关系.【详解】由于函数为偶函数，故.而，而当时，函数为增函数，故.所以本小题选A. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查指数式和对数式比较大小，属于中档题.6. 下列图象中，可能是函数的图象的是( )A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据题意，求出函数的导数，按a的值分5种情况讨论，分析函数f（x）的定义域、是否经过原点以及在第一象限的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）＝x a（e x+e﹣x），其导数f′（x）＝ax a﹣1（e x+e﹣x）+x a（e x﹣e﹣x），又由a∈Z，当a＝0，f（x）＝e x+e﹣x，（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，没有选项符合；当a为正偶数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为R，f（x）为偶函数且过原点，在第一象限为增函数，没有选项符合，当a为正奇数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为R，f（x）为奇函数且过原点，在第一象限为增函数且增加的越来越快，没有选项符合，当a为负偶数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限先减后增，D选项符合；当a为负奇数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，f（x）为奇函数，不经过原点且在第一象限先减后增，没有选项符合，综合可得：D可能是函数f（x）＝x a（e x+e﹣x）（a∈Z）的图象；故选：D．【点睛】本题考查函数图象的判定，注意讨论a的取值情况，属于基础题．对于已知函数表达式确定函数的图像的题目，一般是通过解析式得到函数的定义域和值域，或者函数的奇偶性等性质，进而对图像进行排除.7. 执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是。
2021-2022学年上海海事大学附属高级中学高二数学理期末试题含解析
2021-2022学年上海海事大学附属高级中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是等差数列，若,则数列前8项的和为………( )A.128B.80C.64D.56参考答案：C2. 计算:（）A. 1B.C. 2D.参考答案：B【分析】将对数的底数或真数化成幂的形式，运用对数运算的法则求解.【详解】，故选B.【点睛】本题考查对数的运算法则，属于基础题.3. 已知直线,平面,且，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（）A.①④B.③④C.①②D.②③参考答案：A4. 已知周长为c,且它的内切圆半径为r，则三角形的面积为.类似地，若四面体的表面积为，内切球半径为，则其体积是（)A. B. C.3 D.参考答案：B5. 已知i为虚数单位，复数z满足，是复数z的共轭复数，则下列关于复数z的说法正确的是（）A. B.C. D. 复数z在复平面内表示的点在第四象限参考答案：C【分析】利用复数的除法求出，然后求出，，以及对应点的坐标，依次排除答案。
【详解】由，可得，，，，复数在复平面内表示的点为，在第二象限；故答案选C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法以及复数的几何意义，属于基础题。
6. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D由题意可得，在复平面内对应的点为，在第四象限，选D7. 已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（）A． B． C．D．参考答案：B略8. 已知直线l的倾斜角为120°，则直线l的斜率为( )A. B. C. D.参考答案：D9. 已知数列满足，则（）A． B． C． D．参考答案：D10. 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3D．2+2参考答案：B【考点】平面图形的直观图．【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2，所以OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选B．【点评】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 阅读下面的流程图，若输入a=6，b=1，则输出的结果是_________ ．参考答案：212. 过点P（2，－1）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为．参考答案：2x+y-3=013. 已知正数a ,b 满足ab =a +b +5，则ab 的取值范围是______. 参考答案： [，+∞）略14. 已知直线曲线相切则.参考答案：15. 给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ，b ，c 中的最大数；④求函数f(x)＝的函数值．其中需要用选择结构来描述算法的有________个．参考答案： 316. 已知点P 是双曲线－=1上的动点，F 、F 分别是其左、右焦点，O 为坐标原点，则的取值范围________________.参考答案：17. 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若,则该椭圆的离心率为参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
上海海事大学附属中学高一数学文下学期期末试题含解析
上海海事大学附属中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B略2. 函数为定义在上的偶函数，且满足，当时，则（）A．－1 B．1 C．2 D．－2参考答案：B3. 函数的图象关于A.轴对称B.直线对称C.原点对称 D.轴对称参考答案：D4. 在等差数列中，若，则的值为（）A B C D参考答案：A 5. （3分）若U={1，2，3，4，5，6，}，M={1，2，5}，则?U M=（）A．{2，4} B．{1，3，6} C．{3，5} D．{3，4，6}参考答案：D考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U及M，求出M的补集即可．解答：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，5}，∴?U M={3，4，6}，故选：D．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．6. 设函数的图象关于直线对称，则的值为（）A 5BC 3 D参考答案：A略7. 已知点，，向量，若，则实数y的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：D由题∵，，故选：D．8. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是( ▲ )A.0≤m ≤4B.0≤m ＜4C.0≤m ＜1D. 0<m ≤1参考答案：B 略9. 若是所在平面内一点，且满足|，则一定是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形参考答案：B10. 已知点A （x ，y ）是30°角终边上异于原点的一点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：C考点：任意角的概念 .二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 满足条件的集合M 有个．参考答案：8由题意可得M 中必含有元素1和2,也就是至少两个元素，所以两个元素集{1,2},三个元素集{1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}，四个元素集{1,2,3,4}、{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，五个元素集{1，2，3，4，5，}，共8个。
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上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010 学年第二学期期末考试《 高等数学A （二）》（A 卷） （本次考试不能使用计算器）班级 学号 姓名 总分 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f y '(,)32=（ ）(A) 41 (B) 40 (C) 42 (D) 392、设圆域D ：x 2+y 2≤1,f 是域D 上的连续函数，则答 ( )3、如果81lim1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n n n x a (A)当2<x 时,收敛； (B) 当8<x 时,收敛；(C) 当81>x 时,发散； (D) 当21>x 时,发散；答( )题 目 一 二 三（1） 三（2） 三（3） 三（4） 三（5） 三（6） 三（7） 得 分 阅卷人--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------4、设Ω为球体x 2+y 2+z 2≤1,f (x ,y ,z )在Ω上连续，I =x 2yzf (x ,y 2,z 3),则I =(A) 4x 2yzf (x ,y 2z 3)d v (B) 4x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v(C) 2x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v (D) 0答 ( )5、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2(a >0)负向一周，则曲线积分（ ）二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=-)2,1,1(f d gra ϖ2、=-=+++dz z y x xyz 处全微分在)1,0,1(,22223、设L 为圆周122=+y x ，则⎰=Lds x 24、如果幂级数nn x a ∑在x = -2处条件收敛，则收敛半径为R= 5、曲面32=+-xy e z z在（1，2，0）处切平面方程为三 计算题（必须有解题过程） （本大题分7小题，共 60分） 1、（本小题8分）已知22)1()1(ln -+-=y x u ，试求：2222yux u ∂∂∂∂+2、（本小题8分）求函数223333y x y x z --+=的极值。
3、（本题12分，每题6分）判别下列级数的敛散性，若是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛。
（1）∑∞=-+112)12(n n n n（2）∑∞=--114)1(n nn n 4、（每小题8分）在()0,π内把函数()f x x =-π展开成以2π为周期的正弦级数。
5、（本小题8分）计算⎰⎰∑++xydxdy dxdz y dydz x 22，∑为曲面221z x y z =+=和所围立体表面外侧。
6、（本小题8分）已知)(x f n 满足n e x x f x f x n n n ,)()(1-+='为正整数，且nef n =)1( 求：∑+∞=1)(n n x f7、(本小题8分)已知)(x f 连续，且满足⎰--=x dt t f t x x x f 0)()(sin )(，求)(x f 。
《 高等数学A （二）》（A 卷）(答案)一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、(C)2、(A).3、( A )4、 D5、（A ） 二、填空题(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) 1、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32,31,312、dy dx 2-3、π4、25、062=-+y x三、解答下列各题(本大题共7小题，总计60分) 1、(本小题8分)22222222])1()1[()1(2)1()1(1)1()1(1-+----+-=-+--=y x x y x u y x x u ••••xx x 解： 4分22)1()1(1-+--=y x y u y222222])1()1[()1(2)1()1(1-+----+-=y x y y x u yy7分u u xx yy +=0。
（8分）2、(本小题8分)解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=06306322y y z x x z y x ，得驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0( 3分 2xyyy xx z z z D -=)1)(1(36--=y x 5分 06)2,2(,036)2,2(036)2,0(,036)0,2(,06,036)0,0(>=>=<-=<-=<-=>=xx xx z D D D z D点)0,2(),2,0(非极值点；函数z 在点(,)00处取极大值z (,)000=； 7分 在点)2,2(处取极小值8)2,2(-=z 。
44= 8分3、(本小题12分)（1）解：,)12(12-+=n n n n u原级数收敛∴<=+==-∞→∞→,141)12(lim 12lim nn n n n n n nu ρΘ。
……6分或nn n u ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛<<-41221012，所以原级数收敛。
（2）解：141441lim 1<=⋅++∞→n n n n n Θ， 3分 ∑∞=1n nu收敛，所以原级数绝对收敛。
6分4、(本小题8分)解：在()-π,0内对()f x 做奇延拓，延拓后所得函数的Fourier 系数 1分a n n ==⋅⋅⋅0012,,,, 3分()b x nx xn =-⎰20πππsin d()=---⎰2020n x nx n nx x πππππcos cos d ⋅⋅⋅==,3,2,1,2n n6分由()f x 在()0,π内连续，单调，故在()0,π内()f x x nxn n =-==∞∑π21sin 8分 5、(本小题8分)解：原式=⎰⎰⎰Ω++dv y x )022( 4分=⎰⎰⎰+110202)sin 2cos 2(rdz r r rdr d θθθπ6分=0 8分6、（本题8分）解：)(x f n )(C nx e nx+=， 3分 由nef n =)1(，得C=0，所以 )(x f n =n e x x n 4分∑+∞=1)(n n x f )1ln(1x e nx e x n nx -==∑+∞=， 7分收敛域[)1,1-。
8分7、（本题8分） 解：0()cos (),()sin (),xf x x f t dt f x x f x '''=-=--⎰()()sin f x f x x ''+=- 4分解得：121()cos sin cos 2f x C x C x x x =++，且(0)0,(0)1f f '== 7分得1210,2C C ==，所以11()sin cos 22f x x x x =+ 8分上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010 学年第二学期期末考试《 高等数学A （二）》（B 卷）（本次考试不得使用计算器）班级 学号 姓名 总分(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f x '(,)32=（ ）(A) 59 (B) 56 (C) 58 (D) 552、设函数z x y =-2322，则 （ ）（A ）函数z 在点(,)00处取得极大值 （B ）函数z 在点(,)00处取得极小值 （C ）点(,)00非函数z 的极值点（D ）点(,)00是函数z 的最大值点或最小值点，但不是极值点 3、若幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径为R,那么 ( ) (A)R a a n n n =+∞→1lim,(B) R a a n nn =+∞→1lim,(C)R a n n =∞→lim ,(D)nn n a a 1lim+∞→不一定存在 .--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------4、设Ω1:x 2+y 2+z 2≤R 2,Ω2:x 2+y 2+z 2≤R 2;x ≥0;y ≥0;z ≥0.u =f (t )是(－∞,+∞)上的偶函数，且在(0，+∞)上严格单调增加，则 （ ） (A)x f (x )d v =4x f (x )d v (B) f (x+z)dv=4f (x+z)dv(C) f (x +y )d v =4f (x +y )d v (D)f (xyz )d v =4 f (xyz )d v5、微分方程''+'='-y y y ey22满足条件1)0(,0)0(-='=y y 的解是 （A ）12122e y x =+ （B ）12122e y x =- （C ）e x y212=-（D ）e x y221=+答（ ）二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设222),,(z y x z y x f ++=，则=-)2,1,1(f d gra ϖ2、=+=dz y x z xyz e z则全微分的函数是确定了,,1 3、设L 为圆周422=+y x ，则⎰=+Lds x x )2(24、如果幂级数nn x a ∑在x = 4处条件收敛，则收敛半径为R= 5、x 2－y 2+z 2=3在点（1，1，1）的切平面方程为三 计算题（必须有解题过程） （本大题分7小题，共 60分） 1、（本小题8分）已知221ln y x z ++=，试求：2222yux u ∂∂∂∂+2、（本小题8分）试求曲面4z=x2+y2含于球面x2+y2+z2=12内部部分曲面的面积。
3、（本题12分，每题6分）判别下列级数的敛散性，若是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛。
（1）∑∞=1! 2nn n（2）∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n4、（本小题8分）在[,]0π内把函数f x x ()=-π展开成以2π为周期的余弦级数。